22513

Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций

Лекция

Производство и промышленные технологии

Рис. Схемы статически неопределимых балок Например для уменьшения пролета балки АВ на двух опорах Рис.1 а можно поставить опору еще посредине а для уменьшения деформаций балки защемленной одним концом Рис. Во всех подобных случаях число опорных реакций которые могут возникнуть превышает число уравнений статики например для балок рис.

Русский

2013-08-04

72.5 KB

7 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 35. Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций.

Общие понятия и метод расчета.

   До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений; тогда мы получаем так называемую статически неопределимую балку.



Рис.1. Схемы статически неопределимых балок

 

   Например, для уменьшения пролета балки АВ на двух опорах (Рис.1, а) можно поставить опору еще посредине, а для уменьшения деформаций балки, защемленной одним концом (Рис.1, б), можно подпереть ее свободный конец.

   Для подбора сечения таких балок, так же как и в рассмотренных ранее задачах, необходимо построить обычным порядком эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, а стало быть, определить опорные реакции.

   Во всех подобных случаях число опорных реакций, которые могут возникнуть, превышает число уравнений статики, например, для балок рис.2. Соответственно: четыре, четыре и пять опорных реакций.



Рис.2. Механизм появления дополнительных связей

 

   Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, выражающие условия совместности деформаций, которые вместе с обычными уравнениями равновесия и дадут возможность определить все опорные реакции.

   Определим опорные реакции и построим эпюру моментов для балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки q рис.3. Сначала изобразим все реакции, которые по устройству опор могут возникнуть в этой балке. Таких реакций может быть на опоре А три: вертикальная А, горизонтальная и опорный момент , на опоре В возможно появление лишь одной реакции В. Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики.

   Одна из реакций является добавочной, как говорят, «лишней» неизвестной. Этот термин прочно укоренился в технической литературе; между тем, принять его можно лишь условно.



Рис.3. Исходная расчетная схема статически неопределимой балки.

 

   Действительно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное закрепление являются «лишними» только с точки зрения необходимости этих закреплений для равновесия балки как жесткого целого. С точки же зрения инженера добавленное закрепление во многих случаях не только не является лишним, а наоборот, позволяет осуществить такую конструкцию, которая без него была бы невозможна. Поэтому мы будем пользоваться термином «лишняя опорная реакция», «лишняя неизвестная» лишь условно.

   Составим все уравнения статики для нашей балки, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки А. Получим систему:

,

   Из первого уравнения сразу определяется опорная реакция Для определения трех других остаются лишь два уравнения.

   За лишнюю реакцию можно взять любую из этих трех: попробуем взять реакцию опоры В. В таком случае мы должны считать, что рассматриваемая балка получилась из статически определимой балки АВ, защемленной концом А, у которой потом поставили добавочную опору в точке В. Эта статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении добавочного, лишнего опорного закрепления, называется основной системой. Выбрав какую-либо из реакций за лишнюю неизвестную, мы тем самым выбираем основную систему.

   Попробуем теперь превратить основную систему без опоры В в систему, полностью совпадающую с заданной статически неопределимой балкой (Рис.3).



Рис.4. Эквивалентная система

 

Для этого загрузим ее сплошной нагрузкой q и в точке В приложим лишнюю реакцию В (Рис.4).

   Однако этого мало: в балке, представленной на рис.4, точка В может перемещаться по вертикали под действием нагрузок q и В; между тем, в нашей статически неопределимой балке точка В не имеет этой возможности, она должна совпадать с опорным шарниром. Поэтому, чтобы привести к окончательному совпадению, надо к последней добавить условие, что прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В должен быть равен нулю:

   Это и будет добавочное уравнение, определяющее реакцию В; оно является условием совместности деформаций в рассматриваемом случае: конец В балки не отрывается от опоры.

Решение этого добавочного уравнения возможно несколькими способами.

 

Способ сравнения деформаций.

   Выполняя решение уравнения , названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом.

   Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В складывается из двух прогибов: одного , вызванного лишь нагрузкой q, и другого , вызванного реакцией В. Таким образом,

(1)

Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной нагрузкой q (рис.4, а).



Рис.4. Расчет прогиба от исходной нагрузки — а) и реакции — б)

 

Тогда прогиб точки В будет равен:

При нагружении основной системы реакцией В (Рис.4,б) имеем:

Подставляя эти значения прогибов в уравнение (1), получаем:

Отсюда

   В этом способе мы сначала даем возможность основной системе деформироваться под действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной реакции В с тем расчетом, чтобы уравнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ и называют способом сравнения деформаций.



Рис.5. Эпюры поперечных сил и внутренних изгибающих моментов.

 

Подставляя значение лишней реакции В в уравнения статики, получаем

Выражение изгибающего момента получаем, рассматривая правую часть балки (Рис.4) и подставляя значение В:

Поперечная сила Q выражается формулой

   Эпюры моментов и поперечных сил изображены на рис.5. Сечение с наибольшим положительным моментом соответствует абсциссе , определяемой равенством

т.е.

Отсюда соответствующая ордината эпюры моментов, равна:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78324. ИНДИВИДУАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ ЛИЧНОСТИ 122 KB
  Темперамент личности совокупность динамических особенностей психической деятельности зависящих от особенностей высшей нервной деятельности конкретного человека. Эстраверсия интроверсия выражаются в преимущественной направленности активности личности либо вовне на мир внешних объектов: окружающих людей событий предметов либо вовнутрь на свои переживания и мысли. Темперамент как биологически обусловленное качество индивида не определяет содержание личности ее...
78325. КИСЛОТНО-ОСНОВНОЙ ГОМОГЕННЫЙ КАТАЛИЗ 93.87 KB
  Гетерогенный катализ позволяет интенсифицировать производственные процессы, использовать более доступные и дешёвые исходные материалы, получать новые вещества с нужными свойствами. В настоящее время гетерогенн-каталитические процессы используют в таких важнейших производствах, как получение серной кислоты
78326. ЭЛЕКТРОХИМИЯ 178.5 KB
  Сумма скачков потенциала на всех границах раздела фаз равновесной электрической системы называется электродвижущей силой ЭДС элемента. УСТРОЙСТВО И РАБОТА ГАЛЬВАНИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА Гальванический элемент состоит из двух электродов анода и катода. Его устройство и принцип работы рассмотрим на примере элемента ДаниэляЯкоби. При замыкании цепи гальванического элемента между электродом и раствором электролита идёт реакция окисления: Ионы цинка из электрода переходят в раствор а на электроде остаются электроны; таким...
78327. ТЕРМОДИНАМИКА ГАЛЬВАНИЧЕСКОГО ЭЛЕМЕНТА 158.39 KB
  В ходе химической реакции при работе гальванического элемента на каждом электроде растворяется или выделяется n молей вещества. Эта максимально полезная работа эквивалентна электрической энергии равной nFE получаемой при работе гальванического элемента. где n число электронов пронимающих участие в процессе F постоянная Фарадея 96 500 Кл E ЭДС элемента.
78328. СТАНДАРТНЫЕ ЭЛЕКТРОДНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ 365.16 KB
  Международным соглашением установлена шкала потенциалов по которой скачок потенциала стандартного водородного электрода при всех температурах равна нулю. Водородный электрод записывается следующим образом: Электродный процесс: Электродный потенциал водородного электрода запишется по уравнению Нернста: Так как парциальное давление водорода равно единице=1то это выражение упрощается: стандартный потенциал водородного электрода при активности ионов водорода...
78329. НЕРАВНОВЕСНАЯ ЭЛЕКТРОХИМИЯ. ЭЛЕКТРОЛИЗ 469.82 KB
  При сравнении этих потенциалов и водорода можно было бы сделать вывод о невозможности выделения металла на катоде. Например при рН=50; и В то же время потенциалы металла в области где не происходит выпадения их нерастворимых гидроксидов от рН не зависит. Таким образом при некоторой плотности тока потенциал выделения водорода становится отрицательнее чем потенциал выделения металла поэтому на катоде может выделиться металл. При электролизе часть количества электричества расходуется на выделение водорода часть на выделение металла.
78330. РАСТВОРЫ ЭЛЕКТРОЛИТОВ 192 KB
  Электролит – это вещество, которое при определенных условиях способно распадаться на заряженные частицы, называемые ионами. Под определенными условиями может подразумеваться раствор, расплав, распад на ионы под действием температуры (термодиссоциация
78331. КИНЕТИКА. ФОРМАЛЬНАЯ КИНЕТИКА. КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ РЕАКЦИЙ РАЗЛИЧНОГО ПОРЯДКА 320.5 KB
  Химическая кинетика включает в себя два раздела: формально-математическое описание скорости реакции без учета действительного механизма самой реакции формальная кинетика; учение о механизме химического взаимодействия. В формальной кинетике скорость химической реакции представляется в зависимости только от концентрации реагирующих веществ. Закономерности формальной кинетики позволяют: определить кинетические параметры химической реакции константу скорости период полупревращения и др.; распространить полученные закономерности на...
78332. Методы определения порядка реакции 368.5 KB
  Основным условием в данном методе является независимость константы скорости от времени протекания реакции. Пусть при изучении скорости протекания реакции мы имеем следующие данные убыли концентрации исходного вещества...