22513

Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций

Лекция

Производство и промышленные технологии

Рис. Схемы статически неопределимых балок Например для уменьшения пролета балки АВ на двух опорах Рис.1 а можно поставить опору еще посредине а для уменьшения деформаций балки защемленной одним концом Рис. Во всех подобных случаях число опорных реакций которые могут возникнуть превышает число уравнений статики например для балок рис.

Русский

2013-08-04

72.5 KB

7 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 35. Расчет статически неопределимых балок. Способ сравнения деформаций.

Общие понятия и метод расчета.

   До сих пор мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений; тогда мы получаем так называемую статически неопределимую балку.



Рис.1. Схемы статически неопределимых балок

 

   Например, для уменьшения пролета балки АВ на двух опорах (Рис.1, а) можно поставить опору еще посредине, а для уменьшения деформаций балки, защемленной одним концом (Рис.1, б), можно подпереть ее свободный конец.

   Для подбора сечения таких балок, так же как и в рассмотренных ранее задачах, необходимо построить обычным порядком эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, а стало быть, определить опорные реакции.

   Во всех подобных случаях число опорных реакций, которые могут возникнуть, превышает число уравнений статики, например, для балок рис.2. Соответственно: четыре, четыре и пять опорных реакций.



Рис.2. Механизм появления дополнительных связей

 

   Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, выражающие условия совместности деформаций, которые вместе с обычными уравнениями равновесия и дадут возможность определить все опорные реакции.

   Определим опорные реакции и построим эпюру моментов для балки, находящейся под действием равномерно распределенной нагрузки q рис.3. Сначала изобразим все реакции, которые по устройству опор могут возникнуть в этой балке. Таких реакций может быть на опоре А три: вертикальная А, горизонтальная и опорный момент , на опоре В возможно появление лишь одной реакции В. Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики.

   Одна из реакций является добавочной, как говорят, «лишней» неизвестной. Этот термин прочно укоренился в технической литературе; между тем, принять его можно лишь условно.



Рис.3. Исходная расчетная схема статически неопределимой балки.

 

   Действительно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное закрепление являются «лишними» только с точки зрения необходимости этих закреплений для равновесия балки как жесткого целого. С точки же зрения инженера добавленное закрепление во многих случаях не только не является лишним, а наоборот, позволяет осуществить такую конструкцию, которая без него была бы невозможна. Поэтому мы будем пользоваться термином «лишняя опорная реакция», «лишняя неизвестная» лишь условно.

   Составим все уравнения статики для нашей балки, приравнивая нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки А. Получим систему:

,

   Из первого уравнения сразу определяется опорная реакция Для определения трех других остаются лишь два уравнения.

   За лишнюю реакцию можно взять любую из этих трех: попробуем взять реакцию опоры В. В таком случае мы должны считать, что рассматриваемая балка получилась из статически определимой балки АВ, защемленной концом А, у которой потом поставили добавочную опору в точке В. Эта статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении добавочного, лишнего опорного закрепления, называется основной системой. Выбрав какую-либо из реакций за лишнюю неизвестную, мы тем самым выбираем основную систему.

   Попробуем теперь превратить основную систему без опоры В в систему, полностью совпадающую с заданной статически неопределимой балкой (Рис.3).



Рис.4. Эквивалентная система

 

Для этого загрузим ее сплошной нагрузкой q и в точке В приложим лишнюю реакцию В (Рис.4).

   Однако этого мало: в балке, представленной на рис.4, точка В может перемещаться по вертикали под действием нагрузок q и В; между тем, в нашей статически неопределимой балке точка В не имеет этой возможности, она должна совпадать с опорным шарниром. Поэтому, чтобы привести к окончательному совпадению, надо к последней добавить условие, что прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В должен быть равен нулю:

   Это и будет добавочное уравнение, определяющее реакцию В; оно является условием совместности деформаций в рассматриваемом случае: конец В балки не отрывается от опоры.

Решение этого добавочного уравнения возможно несколькими способами.

 

Способ сравнения деформаций.

   Выполняя решение уравнения , названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом.

   Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В складывается из двух прогибов: одного , вызванного лишь нагрузкой q, и другого , вызванного реакцией В. Таким образом,

(1)

Остается вычислить эти прогибы. Для этого загрузим основную систему одной нагрузкой q (рис.4, а).



Рис.4. Расчет прогиба от исходной нагрузки — а) и реакции — б)

 

Тогда прогиб точки В будет равен:

При нагружении основной системы реакцией В (Рис.4,б) имеем:

Подставляя эти значения прогибов в уравнение (1), получаем:

Отсюда

   В этом способе мы сначала даем возможность основной системе деформироваться под действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной реакции В с тем расчетом, чтобы уравнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ и называют способом сравнения деформаций.



Рис.5. Эпюры поперечных сил и внутренних изгибающих моментов.

 

Подставляя значение лишней реакции В в уравнения статики, получаем

Выражение изгибающего момента получаем, рассматривая правую часть балки (Рис.4) и подставляя значение В:

Поперечная сила Q выражается формулой

   Эпюры моментов и поперечных сил изображены на рис.5. Сечение с наибольшим положительным моментом соответствует абсциссе , определяемой равенством

т.е.

Отсюда соответствующая ордината эпюры моментов, равна:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84422. Страховой договор и страховое обязательство в гражданском праве России 73.16 KB
  Актуальность данной курсовой работы состоит в том, что идея страхования неразрывно связана с его универсальным значением как средства, способного устранить или, во всяком случае, сделать менее имущественно ощутимым (минимизировать) неблагоприятный результат воздействия отдельных обстоятельств...
84423. СУСПІЛЬНО-ГЕОГРАФІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ВІДТВОРЕННЯ НАСЕЛЕННЯ СВІТУ 135.98 KB
  Важливість і значущість питання, яке ми дослідили в цій роботі, в наші дні визнана усіма державами, що усвідомили небезпеку швидкого росту світового населення, особливо в країнах, що розвиваються, відстала економіка і нерозвинена соціальна сфера яких не в змозі обернути цей ріст на благо свого розвитку.
84425. Экспериментальное изучение самооценки в подростковом возрасте 332 KB
  Подростковый возраст — стадия онтогенетического развития между детством и взрослостью (от 11 до 17 лет), характеризующаяся качественными изменениями, связанными с половым созреванием и вхождением в зрелую жизнь.
84426. Проектирование приспособления для механической обработки детали «корпус» изделия ПУ 98.64 KB
  В машиностроении широко применяется разнообразная технологическая оснастка. Затраты на её изготовление и эксплуатацию составляют до 15-20% от себестоимости продукции, а стоимость и сроки подготовки производства в основном определяются величиной затраты труда и времени на проектирование...
84427. Управление рыночной экономикой 81.9 KB
  На какой бы ступени исторического развития ни находилось человеческое общество, люди, чтобы жить, должны иметь пищу, одежду, жилищные и другие материальные блага. Необходимые человеку средства существования должны быть произведены. Их изготовление совершается в процессе производства.
84429. Аудит и ревизия формирования и использования прибыли 82.06 KB
  Таким образом, актуальность курсовой работы заключается в эффективном финансовом росте и развитии предприятий в следствии правильного управления прибылью. Целью курсовой работы является оценка формирования и использования прибыли.
84430. Доверенность в гражданском праве 47.16 KB
  Полномочие представителя может основываться на доверенности законе например право родителей выступать от имени своих несовершеннолетних детей опекунов от имени подотчетных в качестве из законных представителей административном акте например приказ о назначении на должность продавца кассира...