22514

Применение вариационных методов

Лекция

Производство и промышленные технологии

Лишнюю опорную реакцию В Рис. Рис. При решении по Мору кроме первого состояния нагружения основной балки заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой Рис.2 а следует показать ту же балку во втором состоянии загружения силой Рис.

Русский

2013-08-04

103 KB

1 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 36. Применение вариационных методов.

Раскрытие статической неопределимости для балки, может быть произведено и при помощи теоремы Кастильяно.

   «Лишнюю» опорную реакцию В (Рис.1, а) заменяем «лишней» неизвестной силой В, действующей вместе с заданной нагрузкой q на основную статически определимую балку АВ (фиг. 361, б).



Рис.1. Исходная, а) и основная — б) расчетные схемы

 

   Дифференцируя по силе В потенциальную энергию и вычисляя таким образом прогиб , следует приравнять нулю.

(1)

Остается вычислить М и , установить пределы интеграла и взять его.

Будем считать, что сечение балки не меняется по длине. Тогда уравнение (1) примет вид:

или

отсюда

Далее решение не отличается от описанного в способе сравнения деформаций.

   Раскрытие статической неопределимости возможно выполнить также и по теореме Мора. При решении по Мору, кроме первого состояния нагружения основной балки заданной нагрузкой и лишней неизвестной силой (Рис.2, а), следует показать ту же балку во втором состоянии загружения — силой (Рис.2,б).

Вычисления при обозначениях, принятых на Рис. 2, дают:



а) исходная модель, б) фиктивная модель нагружения, в) грузовая эпюра моментов, г) эпюра моментов от реакции В, д) единичная эпюра моментов

Рис.2. Решение методом Мора и Верещагина

 

т.е. то же, что и при использовании теоремой Кастильяно.

   При решении того же примера по способу Верищагина к двум схемам состояний загружения (Рис.2 а и б) следует построить эпюры моментов: от нагрузки q (Рис.2, в) от силы B (Рис.2 г), и от силы (Рис.2, д).

Величина моментных площадей:

от нагрузки q:

от нагрузки В:

Ординаты эпюр единичной нагрузки:

для умножения на :

для умножения на :

Прогиб в точке В

Отсюда

Совпадение результатов расчета опорной реакции очевидно.

 

Выбор лишней неизвестной и основной системы.

   В предыдущем примере мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию В. Мы могли бы выбрать и момент . Соответственно изменилась бы основная система и ход решения. Окончательный же результат, конечно, получился бы прежним. Возьмем за лишнюю неизвестную опорный момент (Рис.3, а). Какой будет основная система? Чтобы получить ее, надо отбросить то опорное закрепление, которое создает момент , т. е. защемление конца А. Чтобы на конце А не было опорного момента, там следует поставить шарнирно-неподвижную опору.

   Основной системой будет балка, изображенная на Рис.3, б. Загрузим ее внешней нагрузкой и опорным моментом (фиг. 363, в).

   Чтобы эти балки работали одинаково, надо для балки Рис.3, в написать дополнительное условие, что сечение А под действием изображенных нагрузок не может поворачиваться; накладываем это ограничение на перемещение, соответствующее выбранной лишней неизвестной:

Далее, применив для решения уравнения теорему Кастильяно, имеем



а) заданное. б) основная, в) эквивалентная

Рис.3. Расчетные схемы:

следовательно,

   Для нахождения М и выразим реакцию В основной системы через и произведем все обычные вычисления:

.

находим:

Отсюда

,

т. е. той же величине, которая была получена раньше. Дальнейший ход решения не отличается от разобранного выше.

   Решение той же основной системы (Рис.4, а) с применением способа Верещагина потребует изображения второго состояния загружения основной системы моментом (Рис.4, б) и построения эпюр изгибающего момента: от заданной нагрузки q (Рис.4, в), от момента (Рис.4, г) и от единичной нагрузки; (Рис.4, д). Вычисляем :



а)исходная схема, б) нагружение единичным моментом, в) грузовая эпюра, г) моментная эпюра, д) единичная эпюра моментов

Рис.4. Динамика расчета по методу Верещагина:

 

Как видно, уравнение для определения полностью совпадает с найденным по теореме Ка-стильяно.

   Сравнивая два варианта решения поставленной задачи с лишней неизвестной В и с лишней неизвестной , видим, что при применении способа Кастильяно первый вариант менее сложен по вычислениям. Это объясняется тем, что основной системой в первом варианте является балка, защемленная одним концом, во втором же — балка на двух опорах; для второй — вычисления сложнее. Таким образом, лишнюю неизвестную и, следовательно, основную систему надо выбирать с таким расчетом, чтобы выкладки (вычисление изгибающих моментов и т. д.) были проще.

   Если бы мы выбрали за лишнюю неизвестную реакцию А, то основную систему следовало бы так устроить, чтобы опора А не давала возможности поворота сечения и горизонтальных перемещений, но допускала бы вертикальные движения.

   За лишнюю неизвестную нельзя брать лишь ту реакцию, при отбрасывании которой мы получим изменяемую, неустойчивую основную систему.

 

Общий план решения статически неопределимой задачи.

Таким образом, общий метод решения, статически неопределимых задач распадается на ряд отдельных этапов.

   В дух предыдущих лекциях приведены два варианта решения задачи: с лишней реакцией В и с лишней реакцией . Для развертывания добавочного условия даны также два варианта решения: способом сравнения деформаций и с применением теоремы. Кастильяно.

   Если бы число реакций статически неопределимой балки было нe четыре, как в рассмотренном примере, а больше, то соответственно увеличилось бы число лишних неизвестных; загрузив основную систему внешней нагрузкой и этими лишними неизвестными, мы можем написать дополнительные условия, ограничивающие деформации балки в тех сечениях, где эти лишние реакции приложены. Таким путем будет получено столько же дополнительных уравнений, сколько лишних неизвестных.

   Следовательно, общий метод определения добавочных опорных реакций в статически неопределимых балках основан на том, что якая дополнительная опора, вводя лишнюю неизвестную реакцию, в то же время накладывает дополнительное ограничение в основной статически определимой системе на перемещение, соответствующее лишней неизвестной реакции. Выражая уравнением это ограничение, получаем столько дополнительных уравнений, сколько добавлено новых опорных закреплений.

 

Определение деформаций статически неопределимых балок.

   После того, как определены опорные реакции, построены эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, подобраны сечения статически неопределимой балки, определение ее деформаций ничем- не отличается от таких же вычислений для статически определимой балки.

   Необходимо лишь отметить, что в этом случае мы будем иметь избыточное число уравнений для определения постоянных интегрирования. Этот избыток равен числу лишних неизвестных. Избыточные уравнения при правильно найденных реакциях обратятся в, тождества, ибо они уже и были использованы при нахождении лишних неизвестных. Так для балки, с левым (А), жесткозащемленным и правым (В), шарнирноопертыми концами с пролетом l, получим следующее дифференциальное уравнение изогнутой оси:

Интегрируем:

(а)

(b)

Постоянных интегрирования две, условий же для их определения можно написать три, а именно:

в точке А при прогиб и угол поворота ;

В х=0 у = 0.

   Третье из этих уравнений обратится в тождество, ибо оно уже было нами использовано при составлении дополнительного уравнения, из которого мы нашли для В значение . Заметим, что мы могли бы использовать уравнение изогнутой оси балки для нахождения лишней неизвестной. Приняв за лишнюю неизвестную реакцию В, составим и проинтегрируем дифференциальное уравнение изогнутой оси; получим формулы (а) и (b).

   Используя граничные условия в точках А и В, получим три уравнения, из которых найдем реакцию В и постоянные интегрирования С и D.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34942. Монополия: сущность и виды 38 KB
  В силу объективных причин могут возникнуть: сырьевая монополия наличие единственного месторождения полезного ископаемого или иного экономического ресурса; административная монополия государственное регулирование в интересах общества экономического спроса некоторых товаров алкоголь оружие и т.; естественная монополия производство продукции одной фирмой обходится дешевле обществу чем двумя и более коммунальные службы. Наряду с естественными монополиями существуют и искусственные создаваемые за счет специальных мер:...
34943. Налоги. Понятие и виды 25.5 KB
  Понятие и виды Налоги это обязательные платежи взимаемые государством с физических и юридических лиц на основе специального законодательства. Налоги образуют источник бюджетных доходов; Функция перераспределения ресурсов между отраслями. Налоги стимулируют одни виды деятельности и ограничивают другие; Функция перераспределения доходов между членами общества и достижения социальной справедливости.
34944. Направления экономической теории 33.5 KB
  Вместе с Адамом Смитом они и представляю классическое направление экономической теории. Главные результаты классиков составившие наиболее крупные “бриллианты†экономически теории сводятся к следующим положениям: богатство общества и его стоимость создаются трудом притом не в какойто одной сфере деятельности а трудом как таковым трудом во всех отраслях хозяйства; законом экономической деятельности является закон трудовой стоимости; главным побудителем к экономической деятельности служит интерес; частный интерес людей...
34945. Общественное воспроизводство и движение продукта 24.5 KB
  Общественное воспроизводство и движение продукта Модель воспроизводства Коне Данная модель показывает что повторение процесса производства возможно при условии пропорциональности которая достигается на основе конкуренции и свободной игры цен то есть в данной модели государство не вмешивается в порядок Теория воспроизводства общественного капитала Маркса Уделил особое внимание пропорциям между: 1 подотделение средств производства 2 производство предметов потребления Конечная цель производственного процесса является удовлетворение...
34946. Олигополия: сущность и виды 38.5 KB
  Вовторых олигополию отличает от всех прочих структур тот факт что ей присуща взаимозависимость фирм. Взаимозависимость фирм означает что действия каждой из фирм затрагивают каждого из конкурентов и что фирмы осознают это. Например если какаялибо из фирм меняет цену или объем рекламы то это повлияет на величину продаж конкурентов. В то же время невозможно предсказать влияние на продажи фирмы изменения цены поставляемой ею продукции без того чтобы предварительно принять определенные предположения относительно характера реакции на...
34947. Отрасль. Признаки отраслевого рынка 31 KB
  Признаки отраслевого рынка Отрасль группа фирм производящих блага предназначенные для удовлетворения одной потребности и взаимозаменяемые между собой. Признаки отраслевого рынка: численность продавцов и их рыночные доли; степень дифференциации продукта; условия вступления в отрасль и выхода из нее; степень контроля производителей над ценами; характер поведения фирм. К тому же нескольким фирмам легко вступить в сговор. Рыночные доли фирм размер фирм обусловливают возможности фирм оказывать влияние на рыночную цену.
34948. Показатели безработицы. Зависимости между данными показателями 27.5 KB
  Зависимости между данными показателями К показателям безработицы относят уровень безработицы и ее продолжительность. Уровень безработицы Уровень безработицы это доля безработных в общей величине рабочей силы. Он измеряется в процентах и рассчитывается по формуле: уровень безработицы число безработных рабочая сила занятые и безработные Продолжительность безработицы Определяется как число месяцев которые человек провел не имея работы.
34949. Полезность, предельная полезность и их функции 57 KB
  Полезность можно разделить на объективную и субъективную. Полезность блага тем выше чем большему числу потребителей оно служит чем настоятельнее и распространённее эти потребности и чем лучше и полнее оно их удовлетворяет. Полезность является необходимым условием для того чтобы какойнибудь предмет приобрёл меновую ценность.
34950. Понятие издержек производства, производственная функция 41.5 KB
  Естественно что минимальный объем совокупных затрат меняется в зависимости от объема производства Q. Однако составляющие совокупных затрат поразному реагируют на изменение объема производства.