22516

Метод сил

Лекция

Производство и промышленные технологии

Метод сил. Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних так и взаимных а их действие заменяется силами и моментами. Таким образом при указанном способе решения неизвестными оказываются силы.

Русский

2013-08-04

142 KB

7 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 38. Метод сил.

   Наиболее широко применяемым в машиностроении общим методом раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем является метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами. Величина их в дальнейшем подбирается так, чтобы перемещения в системе соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на систему отброшенными связями. Таким образом, при указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Отсюда и название «метод сил». Такой прием не является единственно возможным. В строительной механике широко применяются и другие методы, например метод деформаций, в котором за неизвестные принимаются не силовые факторы, а перемещения в элементах стержневой системы.

   Итак, раскрытие статической неопределимости любой рамы методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Система, освобожденная от дополнительных связей, становится статически определимой. Она носит название основной системы.



а-д) модификации основной системы
Рис.1. пример стержневой рамы:

 

   Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем. Например, для рамы, показанной на рис. 1, можно предложить основные системы, а), б),..., которые получены путем отбрасывания семи дополнительных связей в различных комбинациях. Вместе с тем нужно помнить, что не всякая система с семью отброшенными связями может быть принята как основная. На рис. 2 показано три примера для той же рамы, в которой также отброшено семь связей, однако сделано это неправильно, так как оставшиеся связи не обеспечивают кинематической неизменяемости системы, с одной стороны, и статической определимости во всех узлах,— с другой.



Рис.2.Некорректные преобразования заданной системы в основные по причине кинематической изменяемости- а) б), или статической определимости во всех узлах — в)

 

   После того как дополнительные связи отброшены и система превращена в статически определимую, необходимо, как уже говорилось, ввести вместо связей неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения, вводятся силы. Там, где запрещены угловые смещения, вводятся моменты. Как в том, так и в другом случае неизвестные силовые факторы будем обозначать Xi-, где i — номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Заметим, что для внутренних связей силы Xi, — являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются как к правой, так и к левой частям системы.



а)-д) по отношению к заданной системе
Рис.3. Пять разновидностей основных систем

 

   Основная система, к которой приложены все внешние заданные силы и неизвестные силовые факторы, носит название эквивалентной системы. На рис. 3 показано пять эквивалентных систем, которые соответствуют приведенным выше основным системам (рис. 1). Принцип приложения неизвестных силовых факторов становится ясным без дальнейших пояснений.

Теперь остается составить уравнения для определения неизвестных.

   Обратимся к некоторому конкретному примеру. Рассмотрим, например, первую эквивалентную систему из числа представленных на рис. 3,4. Тем, что рассматривается конкретно взятая семь раз статически неопределимая система, общность рассуждений не будет нарушена.

   Перейдем теперь к составлению уравнений для определения неизвестных силовых факторов. Условимся через обозначать взаимное смещение точек системы.



Рис.4. Пример расчета рамы а)по выбранной основной системе- б)

 

   Первый индекс при соответствует направлению перемещения, а второй — силе, вызвавшей это перемещение.

   В рассматриваемой раме в точке А отброшена неподвижная опора. Следовательно, горизонтальное перемещение здесь равно нулю и можно записать:

   Индекс 1 означает, что речь идет о перемещении по направлению силы Х1, а индекс [Х1, Х2,..., Р] показывает, что перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.

Аналогично можно записать:

   Так как под величиной понимается взаимное смещение точек, то обозначает вертикальное смещение точки В относительно С, — горизонтальное взаимное смещение тех же точек, есть взаимное угловое смещение сечений В и С. Угловым смещением будет также в рассматриваемой системе величина .

   В точках A и D смещения являются абсолютными. Но абсолютные смещения можно рассматривать как смещения, взаимные с неподвижными отброшенными опорами. Поэтому принятые обозначения приемлемы для всех сечений системы.

Пользуясь принципом независимости действия сил, раскроем выражения для перемещений

   Аналогичным образом запишем и остальные пять уравнений: каждое из слагаемых , входящих в уравнение, обозначает перемещение в направлении силы с первым индексом под действием силы, стоящей во втором индексе. Поскольку каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, величину можно записать в следующем виде:

   Что касается перемещений , и т. д., то под индексом Р будем понимать не просто внешнюю силу Р, а вообще систему внешних сил, которая может быть произвольной Поэтому величины , ,... в уравнениях оставим неизменными.

Теперь уравнения примут вид:

   Эти уравнения являются окончательными и носят название канонических уравнений метода сил. Число их равно степени статической неопределимости системы. В некоторых случаях, как увидим далее, когда имеется возможность сразу указать значения некоторых неизвестных, число совместно решаемых уравнений снижается. Остается теперь выяснить, что представляют собой коэффициенты и как следует их определять. Для этого обратимся к выражению (6.1).

Если , то

   Следовательно, коэффициент это есть перемещение по направлению i-го силового фактора под действием единичного фактора, заменяющего k-й фактор. Например, коэффициент уравнения представляет собой взаимное горизонтальное смещение точек B и С, которое возникло бы в раме, если бы к ней вместо всех сил была приложена только единичная сила в точке А (рис. 5 а). Если, например, вместо сил приложив единичные силы, а все прочие силы с эквивалентной системы снять (рис. 5 б), то угол поворота в сечении D под действием этих сил будет , горизонтальное перемещение в точке А будет и т. д.



а) , б) и
Рис.5. Интерпретация коэффициентов уравнений метода сил:

 

   Весьма существенно отметить, что в проделанном выводе совершенно не обусловливается то, каким образом возникают перемещения . Хотя мы и рассматриваем раму, работающую на изгиб, все сказанное с равным успехом может быть отнесено, вообще, к любой системе, работающей на кручение, растяжение и изгиб или на то, другое и третье совместно.

   Обратимся к интегралам Мора. Для того чтобы определить величину , следует вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k-й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы , , , , и в интегралах Мора заменим на , , , , и , понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного k-го фактора. В итоге получим:

где , … — внутренние моменты и силы, возникающие под действием i-го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты получаются как результат перемножения i-го и k-го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то представляет собой результат перемножения i-х единичных эпюр на k-е единичные эпюры.

Очевидно, что

   Это следует, с одной стороны, непосредственно из выражений для , а с другой стороны, из теоремы о взаимности перемещений, поскольку перемещения и возникают под действием одной и той же силы, равной единице.

   Величины , входящие в канонические уравнения, представляют собой перемещения в направлениях 1, 2,..., возникающие под действием заданных внешних сил в эквивалентной системе. Они определяются перемножением эпюры моментов заданных сил на соответствующие единичные эпюры.

   Пример Раскрыть статическую неопределимость и построить эпюру изгибающих моментов для рамы, показанной на рис. 6.



Рис.6. Заданная расчетная схема

 

   Рама три раза статически неопределима. Выбираем основную систему, отбрасывая левую заделку. Действие заделки заменяем двумя силами , и моментом и определяем эквивалентную систему (рис. 7).



Рис.7. Динамика решения: от эквивалентной системы и силовой эпюры Р, включая эпюры моментов от единичных сил: 1, 2, 3 в точках приложения неизвестных , ,

Канонические уравнения (6.2) принимают для рассматриваемой системы такой вид:

   Основные перемещения в рассматриваемой раме определяются изгибом. Поэтому, пренебрегая сдвигом и сжатием стержней, строим эпюры изгибающих моментов от заданной силы P и от трех единичных силовых факторов (рис. 7).

   Определяем коэффициенты уравнений, считая, что жесткость на изгиб всех участков рамы постоянна и равна EJ. Величина определяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следовательно, площадь эпюры и умножается на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести:

   Заметим, что величины при всегда положительны, поскольку площади эпюр и ординаты имеют общий знак.

Определяем, далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая эпюры с соответствующими номерами:

, , , , , , , .

Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получаем:

, ,

Решая эти уравнения, находим:

, ,

Раскрытие статической неопределимости на этом заканчивается.



Рис.8. Суммарная эпюра изгибающих моментов.

 

   Эпюра изгибающих моментов может быть получена наложением на эпюру моментов заданных сил трех единичных эпюр, увеличенных соответственно в , и раза Суммарная эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 8. Там же пунктиром показана форма изогнутой оси рамы.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34714. Валовой внутренний продукт. Методы исчисления ВВП 17.16 KB
  Методы исчисления ВВП. Чтобы ответить на вопрос как идут дела в экономике страны ежегодно вычисляется показатель валового внутреннего продукта ВВП. Прежде чем сформулировать понятие ВВП определим что такое конечный продукт. Валовой внутренний продукт ВВП это общая стоимость или сумма рыночных цен всех конечных товаров и услуг произведенных в данной стране в течение года.
34715. Валовой национальный продукт. Чистый национальный продукт и национальный доход 14.63 KB
  Однако существует еще один показатель валовой национальный продукт ВНП. Выясним что представляет собой ВНП и чем он отличается от ВВП. Когда мы будем исчислять ВНП России то наоборот включим в общую сумму доходы созданные за пределами России. долларов созданы иностранным капиталом на территории нашей страны а значит включаются в ВВП России а в ВНП нет.
34716. Государственный бюджет. Номинальный и реальный валовой внутренний продукт 17.59 KB
  Валовой внутренний продукт ВВП это общая стоимость или сумма рыночных цен всех конечных товаров и услуг произведенных в данной стране в течение года. Показатель номинального ВВП зависит и от количества производимых в стране товаров и услуг и от уровня цен на них. Следовательно если ВВП произведенный в разные годы выражать в ценах того года в который он производился то в одном году его объем будет выражен в одних ценах в другом году в других. Поэтому номинальный ВВП не может служить для оценки роста или сокращения реального...
34717. Теория Маслоу. Виды благ. Факторы производства. Безграничность потребностей и ограниченность ресурсов 32.36 KB
  Он выделял пять групп потребностей: физиологические потребности в пище воде одежде жилье отдыхе воспроизведении рода; потребности в безопасности защита от преступников и внешних врагов защита от нищеты и помощь при болезнях комфорт постоянство условий жизни; социальные потребности в любви дружбе общении с людьми; потребности в уважении со стороны других людей и самоуважении достижение успеха служебный рост; потребности в самореализации реализация своих целей способностей развитие собственной личности. По...
34718. История развития метрологии в России 23.6 KB
  Метрология в древнем мире и в средние векаПотребность в измерениях возникла в незапамятные времена.Многие меры имели антропометрическое происхождение или были связаны с конкретной трудовой деятельностью человека.Древнее происхождение имеют и естественные меры. Первыми из них получившими повсеместное распространение стали меры времени.
34719. Античная система мер и весов 20.09 KB
  Первоначально видимо возникли меры длины. Меры длины палец 185 см 1 12 целого 246 см ладонь 739 см ступня 2962 см локоть 463 см двойной шаг 148 м день пути 28 725 м Меры площади югер 25233 м 10 000 квадратных футов 876 м арура 50 квадратных футов 438 м Меры объёма Котила античная единица измерения ёмкости равная 0275 литра. Хус античная единица измерения ёмкости равная 324 литра Меры объёма сыпучих тел медимн четверик 525 л модий четверик 874 л Меры объёма жидких тел метрет...
34720. Основные особенности развития системы мер в средневековой Западной Европе 19.29 KB
  Характерной чертой ее было понятие целого s базовой единицы измерения. Такой принцип унифицировал способы измерения облегчал установление соответствий между линейными квадратными и кубическими мерами. Для измерения больших земельных массивов применялись такие меры как центурии 200 югеров 50377 га и сальтус 4 центурии или 2015 га. Меры измерения объема жидких и сыпучих тел исчислялись несколько поиному.
34721. Меры веса и объема Древнерусского государства 15.12 KB
  Меры веса были очень разнообразны т. Равнялся 10 пудам1638 кг Пуд был наиболее ходовой мерой и равнялся 1638 кг Гривна употреблялась и как мера веса и как денежная единицаслиток серебра весом 400г Гривна весоваяпримерно 40 г серебра Меры объёма: основная мера объёма жидкостей была ведро= 1 40 бочки=10 кружек. Бочка как мера жидкостей применялась в основном в процессе торговли с иностранцами которым запрещалось вести розничную торговлю вином на малые меры.
34722. Измерение длины, расстояния и площади Древнерусского государства 15.32 KB
  существовало 3 вида сажени: Простаярасстояние по прямой между большими пальцами вытянутых в стороны рук=152см Маховаярасстояние по прямой между средними пальцами вытянутых в стороны рук=176см Косаярасстояние от ступни до конца пальцев противоположной руки вытянутой по диагонали. Следующей мерой длины был локотьрасстояние по прямой от локтевого сгиба до конца вытянутого среднего пальца4751см или одна треть сажени.это расстояние между концами вытянутых пальцев по прямой 1 8 сажени. Пядь малая 1819смрасстояние между большим пальцем и...