22517

Расчет толстостенных цилиндров

Лекция

Производство и промышленные технологии

В цилиндрах у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом подобное предположение повело бы к большим погрешностям.1 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом внутренним ; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению . Расчетная схема толстостенного цилиндра. Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом внутри стенки цилиндра.

Русский

2013-08-04

176.5 KB

10 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 39. Расчет толстостенных цилиндров.

   В тонкостенных цилиндрических резервуарах, подвергнутых внутреннему давлению, вполне возможно при вычислениях считать напряжения равномерно распределенными по толщине стенки. Это допущение мало отзывается на точности расчета.

   В цилиндрах, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, подобное предположение повело бы к большим погрешностям. Расчет таких цилиндров дан Ляме и Гадолиным в 1852 — 1854 гг. Работы русского академика А. В. Гадолина в области расчета кривых стержней в применении к расчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготовляют орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.

   На Рис.1 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом , внутренним ; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению .



Рис.1. Расчетная схема толстостенного цилиндра.

 

   Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом внутри стенки цилиндра. Толщину кольца обозначим . Пусть АВ изображает небольшую часть этого кольца, соответствующую центральному углу .

   Размер выделенного элемента, перпендикулярный к плоскости чертежа, возьмем равным единице. Пусть и будут напряжения, действующие по внутренней и наружной поверхностям элемента АВ, a — напряжения по его боковым граням. По симметрии сечения цилиндра и действующей нагрузки элемент АВ перекашиваться не будет, и касательные напряжения по его граням будут отсутствовать. По граням элемента AB, совпадающим с плоскостью чертежа, будет действовать третье главное напряжение , вызванное давлением на днище цилиндра. Это напряжение можно считать постоянным по всем точкам поперечного сечения цилиндра.

   На элемент AB действуют в плоскости чертежа две силы coставляющие между собой угол , и радиальная сила, равная

   Эта сила направлена в сторону наружной поверхности. Уравновешиваясь, эти три силы составляют замкнутый треугольник abc (Рис.2).



Рис.2. Условия равновесия элемента кольца

 

   Из него следует, что радиальная сила, изображаемая отрезком ab, связана с силой (отрезок са) соотношением

или

;

пренебрегая малыми высшего порядка, получаем:

;

отсюда

(1)

   Условие равновесия дало только одно уравнение для нахождения двух неизвестных напряжений. Задача статически неопределима, и необходимо обратиться к рассмотрению деформаций. Деформация цилиндра будет заключаться в его удлинении и в радиальном, перемещении всех точек его поперечных сечений. Назовем радиальное перемещение точек внутренней поверхности рассматриваемого элемента через u (Рис.3). Точки наружной поверхности переместятся по радиусу на другую величину ; таким образом, толщина dr выделенного элемента увеличится на du, и относительное удлинение материала в радиальном направлении будет



Рис.3. Геометрическая модель деформации элемента кольца

 

   В направлении напряжений относительное удлинение будет равно относительному удлинению дуги ab, занявшей положение cd; так как относительное удлинение дуги таково же, как относительное удлинение радиуса r, то . По закону Гука

(2)

Так как и определяются одной и той же функцией и то они связаны условием совместности. Дифференцируем по r:

(3)

Это и будет условие совместности деформаций; заменяя в нем значения и по (2), получим второе уравнение, связывающее и :

или

(4)

Подставляя в это уравнение значение разности из (32.1), находим:

или

(5)

   Для совместного решения уравнений (1) и (5) продифференцируем первое по и подставим в него значение из второго; получим:

отсюда дифференциальное уравнение задачи:

(6)

Интеграл этого уравнения будет

(7)

что можно проверить подстановкой.

Постоянные А и В определятся из условий на внутренней и наружной поверхностях цилиндра:

(8)

   Знак минус в правых частях этих формул поставлен потому, что положительными мы приняли растягивающие напряжения (Рис.1).

Из условий (8) получаем:

Пользуясь этими значениями и уравнением (7), получаем окончательные формулы для и :

(9)

   Как видно из этих формул, сумма ( не зависит от r, т. е. относительная деформация вдоль оси цилиндра во всех точках сечения одинакова (так как и одинаково), и сечение остается плоским

Представляет очень большой практический интерес случай когда имеет место только одно внутреннее давление ; тогда

(10)

   График, изображающий распределение напряжений по толщине цилиндра в случае , дан на Рис.3. Так как по абсолютной величине продольное растягивающее напряжение обычно значительно меньше и то прочность цилиндра определяется этими последними. Применяя третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений), получаем, что наибольшая разность главных напряжений, равная (для случая )

(11)



Рис.3. Распределение напряжений по толщине цилиндра при

 

будет иметь место в точках внутренней поверхности цилиндра и всегда будет по абсолютной величине значительно больше внутреннего давления.

   Таким образом, остаточные деформации появятся прежде всего у внутренней поверхности цилиндра, когда будет равно пределу текучести материала; борьба с их появлением путем увеличения наружного радиуса практически безнадежна, — с увеличением растут и числитель, и знаменатель формулы (11); поэтому разность главных напряжений хотя и убывает, но очень медленно. Однако момент появления пластических деформаций у внутренней поверхности цилиндра далеко не соответствует исчерпанию грузоподъемности конструкции; для правильной оценки прочности цилиндра необходимо перейти к расчету по допускаемым нагрузкам.



Рис.4. Динамика зоны текучести по толщине цилиндра

 

   Полное исчерпание грузоподъемности произойдет тогда, когда кольцевая пластическая зона, распространяясь от внутренней поверхности цилиндра, дойдет до наружной; состояние разрушения наступит тогда, когда материал у наружной поверхности достигнет состояния, при котором произойдет разрыв. На фиг. 544 показано отношение внутреннего давления , при котором пластическая зона охватывает все сечение, к давлению, соответствующему началу пластических деформаций . Оказывается, что действительная грузоподъемность значительно выше получаемой при обычном методе расчета.

   Упругая грузоподъемность толстостенных цилиндров может быть поднята путем создания начальных напряжений. Для этого необходимо изготовить цилиндр, составленный из двух цилиндров, вставленных один в другой; наружный диаметр внутреннего цилиндра делается несколько больше внутреннего диаметра наружного цилиндра; после одевания наружного цилиндра в нагретом состоянии на внутренний и его остывания по поверхности соприкасания возникнут реакция, сжимающие внутренний и растягивающие внешний цилиндры. Наличие этих начальных напряжений улучшает работу составного цилиндра при внутреннем давлении, как видно из приведенного ниже расчета.

   На Рис.5 изображен составной цилиндр после остывания. Напряжения в тангенциальном направлении будут равны: для наружного цилиндра (растяжение)

для внутреннего цилиндра (сжатие)



Рис.5. модель составного цилиндра после остывания.

 

   Установим, какую разницу в радиусах надо дать, чтобы осуществить желательное начальное усилие ; — это начальный наружный радиус внутреннего цилиндра, а — начальный внутренний радиус наружного цилиндра.

   При остывании наружной трубы происходит выравнивание этих радиусов за счет уменьшения на , и увеличения на ; сумма абсолютных величин этих деформаций должна быть равна :

Относительное тангенциальное удлинение материала на внутренней поверхности наружного цилиндра равно

в эту формулу вместо подставлена величина общего для обоих цилиндров радиуса , так как — малая величина и такая замена вводит очень небольшую погрешность. Относительное увеличение радиуса будет тоже ; поэтому

Относительное тангенциальное сжатие материала на наружной поверхности внутренней трубы равно:

укорочение радиуса будет равно:

Сумма абсолютных величин и равна по предыдущему

   Таким образом, чтобы обеспечить наличие = принятого нами начального усилия необходимо дать разницу диаметров , равную

   Минимальная температура , до которой надо нагреть наружный цилиндр при надевании его на внутренний, определяется уравнением

(при наших числовых данных : ).

 

Напряжения в сферических толстостенных сосудах.

   На фиг. 547 изображен элемент, вырезанный из толщи стенки толстостенного сферического сосуда; внутренний радиус этого элемента равен r, а наружный ; напряжения, действующие на этот элемент, изображены на чертеже.



Рис.6. фрагмент сферического толстостенного сосуда.

 

   Составляя уравнения равновесия и совместности, получаем для и значения:

Постоянные А и В могут быть определены из условий на внутренней и внешней поверхностях сосуда при

и

соответственно, где и — наружный и внутренний радиусы.

Так, при действии внешнего и внутреннего давлений А и В определяются из условий:

на внутренней поверхности,

на внешней поверхности

Отсюда

Тогда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25875. Анализ достаточности капитала банка 27.5 KB
  Достаточность капитала банка это способность собственного капитала банка покрыть убытки связанные с наступлением риска. Величина собственного капитала регулируется и контролируется Банком России. Регулятором было установлено что собственного капитала должно быть у банка не менее 10 от величины его рисковых активов где под рисковыми активами будем понимать денежные средства которые размещены с определенным риском их невозврата.
25876. Анализ задолженности по процентам, неуплаченным клиентам 23 KB
  904 Прочие дебиторы и кредиторы начисленные но неуплаченные банком проценты отражаются до того момента пока клиент не обратится за их получением. По межбанковским кредитам проценты обычно не начисляются а производится их непосредственная уплата. Начисление процентов по межбанковскому кредиту может производится в том случае когда банк не располагает достаточными суммами на корреспондентском счете. Поскольку банки могут прибегать к услугам денежного рынка и приобретать недостающую им ликвидность то такая операция возможна в том случае...
25877. Анализ использования межбанковского кредита и других привлеченных средств 22 KB
  межбанковский кредитМБК м. Ставка МБК – рыночная высокая. Особое место среди МБК занимают кредиты ЦБ под определенные условия. Анализ МБК проводится по след.
25878. Анализ источников прибыли банка 22.5 KB
  Главным источником прибыли являются доходы от всех видов деятельности. Доходы делятся на процентныедоходы по ссудным операциям в руб. Непроцентные это дивиденды по ценным бумагам или инвестициям; доходы от участия в совместной деятельности; доходы от валютных операций комиссионные штрафы присужденные плата за оказание услуг и прочие. Факторы доходов для факторного анализа: процентные доходы повышение непроцентных доходов увеличение доли рабочих активов или активов приносящих доход.
25879. Анализ источников приобретения ценных бумаг и доходности этих операций 27.5 KB
  Ценная бумага это документ который выражает имущественные права акция или долг облигация Главной целью анализа операций банка с ценными бумагами явл. Основными задачами анализа операций с ценными бумагами банка является анализ: Их структуры и динамики; Значимости этих операций в деятельности банка; Качества портфеля ценных бумаг; доходности и эффективности. Анализ операций с ценными бумагами начинают с общей оценки масштабов инвестиционной деятельности банка.
25880. Анализ кредитных рисков 24.5 KB
  Кредитный риск банка можно определить как максимально ожидаемый убыток который может произойти с заданной вероятностью в течение определенного периода времени в результате уменьшения стоимости кредитного портфеля в связи с частичной или полной неплатежеспособностью заемщиков к моменту погашению кредита. Оценка кредитного риска портфеля проводится на основании концепции рисковой стоимости как итоговой меры риска необходимой для расчета размера капитала банка. В случае кредитного риска реальные распределения факторов риска и изменений...
25881. Анализ лизинговых и факторинговых операций банка 28 KB
  Лизинг означает форму долгосрочной аренды связанную с передачей в пользование имущества т. При заключении лизингового договора требуется банковская гарантия либо залог или страхование лизингового платежа и имущества которое является объектом лизинговой сделки. По степени окупаемости имущества лизинги могут быть: с полной окупаемостью при котором в течение срока действия одного договора происходит полная выплата лизингодателю стоимости арендуемого имущества; с неполной окупаемостью когда в течение срока действия одного договора окупается...
25882. Анализ наращенных процентов 27.5 KB
  Размер наращенных процентов определяется следующим образом: Разница между процентной маржой при российской и зарубежной системе учета составит: проценты начисленные и полученные банком относящиеся к предыдущему периоду минус проценты фактически уплаченные банком относящиеся к предыдущему периоду проценты наращенные и причитающиеся банку за отчетный период минус проценты наращенные и подлежащие уплате банком проценты начисленные но не уплаченные клиентами в отчетном периоде изза отсутствия средств. Наращенные проценты не...
25883. Анализ начисления и уплаты дивидендом владельцам акций КБ и паевых взносов 22 KB
  Период и величина начисления и уплаты дивидендов владельцам акций КБ обычно определяется на собрании акционеров в момент подведения итогов отч. счетам в разрезе акционеров банка. Затем производится перечисление средств на расчетные счета акционеров КБ. В отдельных случаях при принятии решения собранием акционеров дивиденды причитающиеся акционерам могут быть присоединены к размеру их доли в УК банка однако для проведения в учете таких операций необходимо вопервых письменное распоряжение акционера; вовторых ден.