22517

Расчет толстостенных цилиндров

Лекция

Производство и промышленные технологии

В цилиндрах у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом подобное предположение повело бы к большим погрешностям.1 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом внутренним ; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению . Расчетная схема толстостенного цилиндра. Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом внутри стенки цилиндра.

Русский

2013-08-04

176.5 KB

10 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 39. Расчет толстостенных цилиндров.

   В тонкостенных цилиндрических резервуарах, подвергнутых внутреннему давлению, вполне возможно при вычислениях считать напряжения равномерно распределенными по толщине стенки. Это допущение мало отзывается на точности расчета.

   В цилиндрах, у которых толщина стенок не мала по сравнению с радиусом, подобное предположение повело бы к большим погрешностям. Расчет таких цилиндров дан Ляме и Гадолиным в 1852 — 1854 гг. Работы русского академика А. В. Гадолина в области расчета кривых стержней в применении к расчету прочности артиллерийских орудий создали ему мировую известность. Отечественные артиллерийские заводы (и многие зарубежные) до сих пор проектируют и изготовляют орудия, пользуясь исследованиями Гадолина.

   На Рис.1 изображено поперечное сечение толстостенного цилиндра с наружным радиусом , внутренним ; цилиндр подвергнут наружному и внутреннему давлению .



Рис.1. Расчетная схема толстостенного цилиндра.

 

   Рассмотрим очень узкое кольцо материала радиусом внутри стенки цилиндра. Толщину кольца обозначим . Пусть АВ изображает небольшую часть этого кольца, соответствующую центральному углу .

   Размер выделенного элемента, перпендикулярный к плоскости чертежа, возьмем равным единице. Пусть и будут напряжения, действующие по внутренней и наружной поверхностям элемента АВ, a — напряжения по его боковым граням. По симметрии сечения цилиндра и действующей нагрузки элемент АВ перекашиваться не будет, и касательные напряжения по его граням будут отсутствовать. По граням элемента AB, совпадающим с плоскостью чертежа, будет действовать третье главное напряжение , вызванное давлением на днище цилиндра. Это напряжение можно считать постоянным по всем точкам поперечного сечения цилиндра.

   На элемент AB действуют в плоскости чертежа две силы coставляющие между собой угол , и радиальная сила, равная

   Эта сила направлена в сторону наружной поверхности. Уравновешиваясь, эти три силы составляют замкнутый треугольник abc (Рис.2).



Рис.2. Условия равновесия элемента кольца

 

   Из него следует, что радиальная сила, изображаемая отрезком ab, связана с силой (отрезок са) соотношением

или

;

пренебрегая малыми высшего порядка, получаем:

;

отсюда

(1)

   Условие равновесия дало только одно уравнение для нахождения двух неизвестных напряжений. Задача статически неопределима, и необходимо обратиться к рассмотрению деформаций. Деформация цилиндра будет заключаться в его удлинении и в радиальном, перемещении всех точек его поперечных сечений. Назовем радиальное перемещение точек внутренней поверхности рассматриваемого элемента через u (Рис.3). Точки наружной поверхности переместятся по радиусу на другую величину ; таким образом, толщина dr выделенного элемента увеличится на du, и относительное удлинение материала в радиальном направлении будет



Рис.3. Геометрическая модель деформации элемента кольца

 

   В направлении напряжений относительное удлинение будет равно относительному удлинению дуги ab, занявшей положение cd; так как относительное удлинение дуги таково же, как относительное удлинение радиуса r, то . По закону Гука

(2)

Так как и определяются одной и той же функцией и то они связаны условием совместности. Дифференцируем по r:

(3)

Это и будет условие совместности деформаций; заменяя в нем значения и по (2), получим второе уравнение, связывающее и :

или

(4)

Подставляя в это уравнение значение разности из (32.1), находим:

или

(5)

   Для совместного решения уравнений (1) и (5) продифференцируем первое по и подставим в него значение из второго; получим:

отсюда дифференциальное уравнение задачи:

(6)

Интеграл этого уравнения будет

(7)

что можно проверить подстановкой.

Постоянные А и В определятся из условий на внутренней и наружной поверхностях цилиндра:

(8)

   Знак минус в правых частях этих формул поставлен потому, что положительными мы приняли растягивающие напряжения (Рис.1).

Из условий (8) получаем:

Пользуясь этими значениями и уравнением (7), получаем окончательные формулы для и :

(9)

   Как видно из этих формул, сумма ( не зависит от r, т. е. относительная деформация вдоль оси цилиндра во всех точках сечения одинакова (так как и одинаково), и сечение остается плоским

Представляет очень большой практический интерес случай когда имеет место только одно внутреннее давление ; тогда

(10)

   График, изображающий распределение напряжений по толщине цилиндра в случае , дан на Рис.3. Так как по абсолютной величине продольное растягивающее напряжение обычно значительно меньше и то прочность цилиндра определяется этими последними. Применяя третью теорию прочности (наибольших касательных напряжений), получаем, что наибольшая разность главных напряжений, равная (для случая )

(11)



Рис.3. Распределение напряжений по толщине цилиндра при

 

будет иметь место в точках внутренней поверхности цилиндра и всегда будет по абсолютной величине значительно больше внутреннего давления.

   Таким образом, остаточные деформации появятся прежде всего у внутренней поверхности цилиндра, когда будет равно пределу текучести материала; борьба с их появлением путем увеличения наружного радиуса практически безнадежна, — с увеличением растут и числитель, и знаменатель формулы (11); поэтому разность главных напряжений хотя и убывает, но очень медленно. Однако момент появления пластических деформаций у внутренней поверхности цилиндра далеко не соответствует исчерпанию грузоподъемности конструкции; для правильной оценки прочности цилиндра необходимо перейти к расчету по допускаемым нагрузкам.



Рис.4. Динамика зоны текучести по толщине цилиндра

 

   Полное исчерпание грузоподъемности произойдет тогда, когда кольцевая пластическая зона, распространяясь от внутренней поверхности цилиндра, дойдет до наружной; состояние разрушения наступит тогда, когда материал у наружной поверхности достигнет состояния, при котором произойдет разрыв. На фиг. 544 показано отношение внутреннего давления , при котором пластическая зона охватывает все сечение, к давлению, соответствующему началу пластических деформаций . Оказывается, что действительная грузоподъемность значительно выше получаемой при обычном методе расчета.

   Упругая грузоподъемность толстостенных цилиндров может быть поднята путем создания начальных напряжений. Для этого необходимо изготовить цилиндр, составленный из двух цилиндров, вставленных один в другой; наружный диаметр внутреннего цилиндра делается несколько больше внутреннего диаметра наружного цилиндра; после одевания наружного цилиндра в нагретом состоянии на внутренний и его остывания по поверхности соприкасания возникнут реакция, сжимающие внутренний и растягивающие внешний цилиндры. Наличие этих начальных напряжений улучшает работу составного цилиндра при внутреннем давлении, как видно из приведенного ниже расчета.

   На Рис.5 изображен составной цилиндр после остывания. Напряжения в тангенциальном направлении будут равны: для наружного цилиндра (растяжение)

для внутреннего цилиндра (сжатие)



Рис.5. модель составного цилиндра после остывания.

 

   Установим, какую разницу в радиусах надо дать, чтобы осуществить желательное начальное усилие ; — это начальный наружный радиус внутреннего цилиндра, а — начальный внутренний радиус наружного цилиндра.

   При остывании наружной трубы происходит выравнивание этих радиусов за счет уменьшения на , и увеличения на ; сумма абсолютных величин этих деформаций должна быть равна :

Относительное тангенциальное удлинение материала на внутренней поверхности наружного цилиндра равно

в эту формулу вместо подставлена величина общего для обоих цилиндров радиуса , так как — малая величина и такая замена вводит очень небольшую погрешность. Относительное увеличение радиуса будет тоже ; поэтому

Относительное тангенциальное сжатие материала на наружной поверхности внутренней трубы равно:

укорочение радиуса будет равно:

Сумма абсолютных величин и равна по предыдущему

   Таким образом, чтобы обеспечить наличие = принятого нами начального усилия необходимо дать разницу диаметров , равную

   Минимальная температура , до которой надо нагреть наружный цилиндр при надевании его на внутренний, определяется уравнением

(при наших числовых данных : ).

 

Напряжения в сферических толстостенных сосудах.

   На фиг. 547 изображен элемент, вырезанный из толщи стенки толстостенного сферического сосуда; внутренний радиус этого элемента равен r, а наружный ; напряжения, действующие на этот элемент, изображены на чертеже.



Рис.6. фрагмент сферического толстостенного сосуда.

 

   Составляя уравнения равновесия и совместности, получаем для и значения:

Постоянные А и В могут быть определены из условий на внутренней и внешней поверхностях сосуда при

и

соответственно, где и — наружный и внутренний радиусы.

Так, при действии внешнего и внутреннего давлений А и В определяются из условий:

на внутренней поверхности,

на внешней поверхности

Отсюда

Тогда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31414. Дослiдження схеми напiвпровiдникового випрямляча 83.5 KB
  Серед них найпоширiнiшi схеми: однонапiвпериодного випрямляча; мостового випрямляча; випрямляча з подвоєнням напруги. Пiд час вимiру опора слiд вибрати полярнiсть мультиметру таким чином щоб дiоди випрямляча не шунтировали опiр RL. Якщо вимiри виконуються за допомогою осцилографа замалювати епюри напруги на виходi випрямляча для максимального i середнього значення опорiв навантаження.
31415. Дослiдження елементiв кола змiнного струму – R, L, C за умов 125.5 KB
  Дослiдження RC ланки Зiбрати стенд для одного з варiантiв ємностi C згiдно завдання C=C1 C=C2 C=C1C2 Електрична схема Перемичкою X3 закорочено iндуктивнiсть L точки 23. Вимiряти напругу джерела живлення E точки 111 напругу на опорi UR точки 12 наругу на конденсаторi UC точки 511. Вимiряти напругу джерела живлення E точки 111 напругу на опорi UR точки 12 напругу на iндуктивностi UL точки 24. Вимiряти напругу джерела живлення E точки 111 напругу на опорi UR точки 12 напругу на iндуктивностi UL точки...
31416. Дослідження трансформатора 72.5 KB
  Варiант Первинна обмотка до джерела ЕРС Вторинна обмотка до навнтаження N1 N2 N1 Пермичка X1: точки 1011 або 1012 N2 Пермичка X2: точки 2124 або вiдсутня N2 N1 N2 Пермичка X2: точки 2021 або 2022 N1 Пермичка X1: точки 1114 або вiдсутня Далi по тексту завдання елементи схеми контрольнi точки вимирiв i точки пiдєднання перемичок наводиться для варiанту N1 N2 для варiанту N2 N1 у скобках....
31417. Дослiдження бiполярного транзистора 79.5 KB
  Для розрахунку параметрiв схем для рiзних включень транзiстору спiльний емiтер спiльний колектором спiльна база використовуються сукупностi ВАХ вхiдних та вихiдних характеристик: cукупнсть залежностей струму бази Ib вiд напруги базаемiтер Ube для рiзних значень напруги колектор емiтер Uce сукупнсть залежностей струму колектора Ic вiд напруги колектор емiтер Uce для рiзних значень струму бази Ib. Виставити потрiбний струм бази Ib i вимiряти залежнiсть струму колектора Ic вiд напруги колектор емiтер Uce для цього...
31418. Дослiдження поведiнки транзистора у поширених схемах включення зi спiльним емiтером i cпiльним колектором 70.5 KB
  Для зменшення обсягу вимiрiв та прискорення виконання роботи струми Ib Ic Ic вимiрються не безпосередньо а обчислюються за вiдомими значеннями опорiв Rb Rc Re i вимiряними значеннями падiння напруг URb URc URe. Для дослiжуємого бiполярного транзистору КТ961А npnтипу з коефiцiентом пiдсилення у дiапазонi 10100 доцiльно використовувати такi значення опорiв: Rb =20KΩ; Rc =1KΩ; Re =0 перемичка. Занотувати значення опорiв для дослiджуємої схеми Rb = ; Rc =...
31419. Інтелектуальна власність як право на результати творчої діяльності людини 86.5 KB
  Інтелектуальна власність як результат творчої діяльності. Інтелектуальна власність як право. Еволюція промислової власності. Еволюція авторського права і суміжних прав. Еволюція інтелектуальної власності в Україні. Соціально-економічні стратегії в країнах світового товариства. Роль промислової власності у економічному розвитку. Авторське право і розвиток культури.
31420. Дослiдження бiполярного транзистора 56.5 KB
  Обладнання: Стенд з двома регульованими напругами вольтметрами та амперметрами опори NPNтранзiстор блок живлення постiйного струму. Для розрахунку параметрiв схем для рiзних включень транзiстору спiльний емiтер спiльний колектором спiльна база використовуються сукупностi ВАХ вхiдних та вихiдних характеристик: cукупнсть залежностей струму бази Ib вiд напруги базаемiтер Ube для рiзних значень напруги колектор емiтер Uce сукупнсть залежностей струму колектора Ic вiд напруги колектор емiтер Uce для рiзних значень струму бази ...
31421. Дослiдження поведiнки транзистора у поширених схемах включення 52.5 KB
  Для зменшення обсягу вимiрiв та прискорення виконання роботи струми Ib Ic Ic вимiрються не безпосередньо а обчислюються за вiдомими значеннями опорiв Rb Rc Re i вимiряними значеннями падiння напруг URb URc URe. Для дослiжуємого бiполярного транзистору КТ961А npnтипу з коефiцiентом пiдсилення у дiапазонi 10100 доцiльно використовувати такi значення опорiв: Доцiльно використовувати такi значення опорiв: Rb =20KΩ; Rc =0 перемичка; Re =1KΩ. Занотувати значення опорiв для дослiджуємої схеми Rb =...
31422. Система інтелектуальної власності 117.5 KB
  Суб’єкти права інтелектуальної власності. Творець (автор) як суб’єкт права. Громадяни, юридичні особи та держава як суб’єкти права інтелектуальної власності. Суб’єкти права промислової власності. Суб’єкти авторського права. Суб’єкти суміжних прав.