22519

Расчет быстровращающегося диска

Лекция

Производство и промышленные технологии

Расчет быстровращающегося диска Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска. Рассмотрим наиболее простую задачу о расчете диска постоянной толщины.

Русский

2013-08-04

100.5 KB

16 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 41. Расчет быстровращающегося диска

   Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска.

   Рассмотрим наиболее простую задачу о расчете диска постоянной толщины. Расчет такого диска положен в основу некоторых приближенных способов расчета дисков любого профиля. Воспользуемся некоторыми результатами, полученными при выводе формул для расчета толстостенных цилиндров. Предположим, что по толщине диска, принимаемой равной единице, напряжения и не меняются; осевое напряжение будем считать равным нулю.

   Составим условия равновесия элемента АВ, выделенного из диска двумя меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими поверхностями (фиг. 586). В данном случае, кроме сил, действующих по граням элемента АВ, необходимо принять во внимание также и силу инерции



Рис.1. Расчетная схема вращающегося диска.

направленную вдоль радиуса от центра к внешнему контуру диска. Вместо ранее полученного уравнения равновесия получим:

(1)

Уравнение условий совместности деформаций также остаются в силе и для данной задачи, т. е.

(1)

Подставляя в это уравнение значение разности из (35.4), находим:

(2)

   Дифференцируя уравнение (1) по r и подставляя в него вместо его значение из формулы (2), получаем линейное дифференциальное уравнение

или

Интегрируя это уравнение, находим:

(4)

Из (1) и (4) следует, что

(5)

   В формулах (4) и (5) А и В — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из условий на контуре диска. При определении постоянных рассмотрим два случая: 1) диск с отверстием в центре и 2) сплошной диск. При этом вначале предположим, что края диска свободны от внешних усилий.

   Для диска с центральным отверстием напряжение должно быть равно нулю как при, так и при (рис.1). Эти условия на контуре при подстановке их в формулу (4) приводят к уравнениям:

и

откуда

и

Подставляя значения А и В в формулы (35.7) и (35.8), получаем:

Полагая для краткости можем написать:

и

можем написать:

   Замечаем, что напряжение обращается в нуль при и , т. е. на внутреннем и наружном контурах диска; при значениях между 1 и напряжение положительно и, как нетрудно убедиться, достигает наибольшей величины при При этом

(6)

   Напряжение при всех значениях также положительно и наибольшей величины достигает у внутреннего края диска, где :

(7)

   Сравнивая выражения (6) и (7), убеждаемся, что всегда больше Поэтому при проверке прочности диска как по теории наибольших касательных напряжений, так и по энергетической теории условие прочности должно быть написано в таком виде:

 

Диск равного сопротивления.

   Получено, что, изменение напряжений и вдоль радиуса диска постоянной толщины весьма значительно. Наиболее неравномерное распределение напряжений имеет место в дисках постоянной толщины с отверстием в центре. При расчете подобных дисков приходится ориентироваться на наибольшее напряжение у внутреннего края диска, что сильно ограничивает возможность повышения предельных скоростей. Для достижения высоких скоростей вращения диски приходится делать с переменной толщиной, уменьшающейся от центра к окружности диска. Наиболее выгодным является такой профиль диска, в котором напряжения во всех точках диска сохраняют постоянное значение. Подобные диски называются дисками равного сопротивления. При расчете этих дисков исходят из предположения, что по толщине диска напряжения не меняются, что обычно влечет за собой небольшие погрешности в величинах напряжений.

   Основные формулы для расчета дисков переменной толщины по прежнему могут быть выведены из рассмотрения условий равновесия элемента диска abcd.



Рис.2. Равновесие элемента диска равного сопротивления.

 

   Переменную толщину диска, являющуюся некоторой функцией радиуса r, обозначим через z. На элемент abcd по меридиональным сечениям ad и bc действуют две силы , составляющие между собой угол ; по грани dc на этот элемент действует радиальное усилие , направленное к центру диска, а по грани ab — радиальное усилие , направленное от центра к наружной поверхности диска. К этим усилиям должна быть присоединена еще и сила инерции массы элемента

направленная от центра к окружности диска.

   Проектируя все перечисленные выше усилия на направление радиуса, получаем такое дифференциальное уравнение равновесия диска переменной толщины:

или

При z = const, это уравнение обращается в известное для диска постоянной толщины.

   В случае диска равного сопротивления напряжения и всюду постоянны и равны между собой. Приравнивая их величине допускаемого напряжения [], можем так переписать уравнение равновесия:

или

где

Интегрируя это уравнение, находим:

где С — постоянная интегрирования. Если диск не имеет отверстия в центре, то из условия, что при r = 0 z = z0, следует: С = z0. Толщина диска в центре (z0) определяется из условий на контуре диска.

   Сплошной диск равного сопротивления может быть применен даже при очень высоких окружных скоростях. Однако по конструктивным соображениям на практике обычно применяются диски переменной толщины с отверстием в центре, профиль которых, близкий к профилю диска равного сопротивления, обеспечивает наиболее выгодное распределение напряжений вдоль радиуса. Методы расчета таких дисков рассматриваются в специальных курсах.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80087. ДИФЕРЕНЦІАЦІЯ ЗВУКІВ «Ц» - «С» 51.5 KB
  Вчити дітей розрізняти звуки «Ц» - «С» в усному і писемному мовленні. Розвивати фонематичні процеси, пам’ять, монологічне мовлення. Закріпляти навик правильної звуковимови; шкільні знання і уміння. Таблиці, картки з малюнками, картки із завданням, додаткова література.
80088. Добро спішіть творити, люди... 58 KB
  Виховати у дітей людяність, гуманізм у стосунках, доброзичливість, повагу до людей, великодушність, скромність та самопожертву. Навчити оволодівати мистецтвом спілкування та навичками взаємодопомоги, пробуджувати у дітей щирий інтерес до всього корисного, морального; бажання назавжди зберегти людську гідність.
80089. Спостереження за вимовою слів з ненаголошеними (е), (и). Правило написання слів з цими звуками 59.5 KB
  Ознайомити учнів з вимовою слів із звуками е и в ненаголошених складах; вчити перевіряти наголоси написання слів з ненаголошеними е и знаходити перевірне слово шляхом зміни форми слова або підбором спільнокореневого слова розвивати мовленнєві здібності учнів лексичний запас вміння аналізувати...
80090. Людина без книги, як криниця без води 44.5 KB
  Удосконалювати вміння правильного свідомого читання; складати план і переказувати за ним текст; знаходити і пояснювати образні вислови; розвивати мовлення та вміння правильно інтонувати речення; виховувати допитливість інтерес до книжки; бережне ставлення до неї.
80091. Форми давального і місцевого відмінків однини прикметників жіночого роду 45.21 KB
  Мета: Вчити учнів утворювати форми давального і місцевого відмінків прикметників жіночого роду в однині розрізняти їх правильно писати й вимовляти ці форми; закріплювати навички визначати відмінок прикметників; розвивати мовленнєві вміння дітей навички каліграфічного письма...
80092. Места посещения. На улице. Как пройти? Правила безопасности дорожного движения 36.5 KB
  Цели: повторить и обобщить усвоение лексического грамматического материала; учить использовать свои знания в создаваемых парасредах Развивать навыки презинтаций своего проекта; Воспитывать положительное отношение к изучению английского языка.
80093. PROFESSIONS IN OUR LIFE 70.5 KB
  We have known some new professions from this tongue – twister. You have already known a lot of professions. Look, I have some letters from different people. I want to read these letters, and you’ll say what these people are.
80094. Які бувають рослини (дерева, кущі, трав’янисті рослини) 47 KB
  Мета: ознайомити учнів із різноманітним світом рослин; вчити порівнювати дерева, кущі, трав’янисті рослини; розвивати мовленнєві вміння, мислення; виховувати допитливість, інтерес до вивчення рідної природи.
80095. Вис на зігнутих руках. Стрибок у довжину з місця 51.5 KB
  Стройові вправи: праворуч ліворуч кругом. Вправи для корекції плоскостопості: Ходьба на носочках; Ходьба на пятках; Ходьба на внутрішній стороні стопи; Ходьба на зовнішній стороні стопи. Вправи для відновлення дихання: Очищаюче дихання: зробити повільний повний вдих ненадовго затримати повітря...