22519

Расчет быстровращающегося диска

Лекция

Производство и промышленные технологии

Расчет быстровращающегося диска Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска. Рассмотрим наиболее простую задачу о расчете диска постоянной толщины.

Русский

2013-08-04

100.5 KB

16 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 41. Расчет быстровращающегося диска

   Значительный интерес представляет задача о напряжениях и деформациях в быстро вращающихся валах и дисках. Высокие скорости вращения валов паровых турбин обусловливают появление в валах и дисках значительных центробежных усилий. Вызванные ими напряжения распределяются симметрично относительно оси вращения диска.

   Рассмотрим наиболее простую задачу о расчете диска постоянной толщины. Расчет такого диска положен в основу некоторых приближенных способов расчета дисков любого профиля. Воспользуемся некоторыми результатами, полученными при выводе формул для расчета толстостенных цилиндров. Предположим, что по толщине диска, принимаемой равной единице, напряжения и не меняются; осевое напряжение будем считать равным нулю.

   Составим условия равновесия элемента АВ, выделенного из диска двумя меридиональными сечениями и двумя концентрическими цилиндрическими поверхностями (фиг. 586). В данном случае, кроме сил, действующих по граням элемента АВ, необходимо принять во внимание также и силу инерции



Рис.1. Расчетная схема вращающегося диска.

направленную вдоль радиуса от центра к внешнему контуру диска. Вместо ранее полученного уравнения равновесия получим:

(1)

Уравнение условий совместности деформаций также остаются в силе и для данной задачи, т. е.

(1)

Подставляя в это уравнение значение разности из (35.4), находим:

(2)

   Дифференцируя уравнение (1) по r и подставляя в него вместо его значение из формулы (2), получаем линейное дифференциальное уравнение

или

Интегрируя это уравнение, находим:

(4)

Из (1) и (4) следует, что

(5)

   В формулах (4) и (5) А и В — постоянные интегрирования, которые должны быть определены из условий на контуре диска. При определении постоянных рассмотрим два случая: 1) диск с отверстием в центре и 2) сплошной диск. При этом вначале предположим, что края диска свободны от внешних усилий.

   Для диска с центральным отверстием напряжение должно быть равно нулю как при, так и при (рис.1). Эти условия на контуре при подстановке их в формулу (4) приводят к уравнениям:

и

откуда

и

Подставляя значения А и В в формулы (35.7) и (35.8), получаем:

Полагая для краткости можем написать:

и

можем написать:

   Замечаем, что напряжение обращается в нуль при и , т. е. на внутреннем и наружном контурах диска; при значениях между 1 и напряжение положительно и, как нетрудно убедиться, достигает наибольшей величины при При этом

(6)

   Напряжение при всех значениях также положительно и наибольшей величины достигает у внутреннего края диска, где :

(7)

   Сравнивая выражения (6) и (7), убеждаемся, что всегда больше Поэтому при проверке прочности диска как по теории наибольших касательных напряжений, так и по энергетической теории условие прочности должно быть написано в таком виде:

 

Диск равного сопротивления.

   Получено, что, изменение напряжений и вдоль радиуса диска постоянной толщины весьма значительно. Наиболее неравномерное распределение напряжений имеет место в дисках постоянной толщины с отверстием в центре. При расчете подобных дисков приходится ориентироваться на наибольшее напряжение у внутреннего края диска, что сильно ограничивает возможность повышения предельных скоростей. Для достижения высоких скоростей вращения диски приходится делать с переменной толщиной, уменьшающейся от центра к окружности диска. Наиболее выгодным является такой профиль диска, в котором напряжения во всех точках диска сохраняют постоянное значение. Подобные диски называются дисками равного сопротивления. При расчете этих дисков исходят из предположения, что по толщине диска напряжения не меняются, что обычно влечет за собой небольшие погрешности в величинах напряжений.

   Основные формулы для расчета дисков переменной толщины по прежнему могут быть выведены из рассмотрения условий равновесия элемента диска abcd.



Рис.2. Равновесие элемента диска равного сопротивления.

 

   Переменную толщину диска, являющуюся некоторой функцией радиуса r, обозначим через z. На элемент abcd по меридиональным сечениям ad и bc действуют две силы , составляющие между собой угол ; по грани dc на этот элемент действует радиальное усилие , направленное к центру диска, а по грани ab — радиальное усилие , направленное от центра к наружной поверхности диска. К этим усилиям должна быть присоединена еще и сила инерции массы элемента

направленная от центра к окружности диска.

   Проектируя все перечисленные выше усилия на направление радиуса, получаем такое дифференциальное уравнение равновесия диска переменной толщины:

или

При z = const, это уравнение обращается в известное для диска постоянной толщины.

   В случае диска равного сопротивления напряжения и всюду постоянны и равны между собой. Приравнивая их величине допускаемого напряжения [], можем так переписать уравнение равновесия:

или

где

Интегрируя это уравнение, находим:

где С — постоянная интегрирования. Если диск не имеет отверстия в центре, то из условия, что при r = 0 z = z0, следует: С = z0. Толщина диска в центре (z0) определяется из условий на контуре диска.

   Сплошной диск равного сопротивления может быть применен даже при очень высоких окружных скоростях. Однако по конструктивным соображениям на практике обычно применяются диски переменной толщины с отверстием в центре, профиль которых, близкий к профилю диска равного сопротивления, обеспечивает наиболее выгодное распределение напряжений вдоль радиуса. Методы расчета таких дисков рассматриваются в специальных курсах.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

28886. Социально-экономическое и политическое развитие страны в пореформенный период (60–80 гг. XIX в.) 33 KB
  В пореформенный период в России был начат масштабный переход к индустриальному обществу в целом того же типа который сложился в странах Западной Европы. Основная черта пореформенной эволюции сельского хозяйства в России проявлялась в том что оно принимало все более торговый предпринимательский характер. Огромное значение в индустриализации России имело развитие транспорт главным образом железнодорожного. Быстрое развитие капитализма приводило к тому что для возникновения привилегированных прослоек типа рабочей аристократии Запада в...
28887. Во внешней политике России второй половины XIX века выделяют два этапа 26 KB
  Это означало что Россия должна использовать возникающие между европейскими государствами противоречия в свою пользу. После поражения Франции в 1870 году во франкоавстрийской войне Россия освободила себя от решений Парижского конгресса и начала активно вмешиваться в европейские дела. В 1873 году Россия заключила союз с Германией и Австрией но этот союз не удержал Германию от новой войны с Францией. С 1875 года Россия начинает сближаться с Францией и в 1891 году был заключен союзный договор.
28888. Место XX века во всемирно-иторическом процессе 25 KB
  В целом можно сказать что в результате первой мировой войны западная цивилизация попала в ситуацию глубокого кризиса. В период этого кризиса мировое производство товаров упало на 44 разорилось тысячи банков более 100 тыс. В США в период пика кризиса насчитывалось 17 млн. В капиталистических странах Европы и США были выработаны различные модели выхода из кризиса.
28890. Общественно-политические силы на рубеже 19-20вв. Революция 1905-1907 гг. в России и ее особенности 68 KB
  в России и ее особенности. Задачи революции: свержение самодержавия; созыв Учредительного собрания для установления демократического строя; ликвидация сословного неравноправия; введение свободы слова собраний партий и объединений; уничтожение помещичьего землевладения и наделение крестьян землей; сокращение продолжительности рабочего дня до 8 часов; признание права рабочих на стачки и создание профсоюзов; достижение равноправия народов России. В январе 1905г в России началась революция. Характеризуется ослаблением борьбы началом...
28891. Образование политических партий в России (конец XIX—начало XX в.) 48.5 KB
  Канун первой российской революции явился тем историческим моментом когда политические партии в России проходили 1й или 2й этапы своего становления. В зависимости от социальноклассовой основы программных и тактических установок все политические партии образовавшиеся до и в годы революции можно разделить на 4 большие группы: пролетарские большевики; революционнодемократические социалдемократического и левонароднического направлений; буржуазные с выделением двух разновидностей: либеральных и консервативных;...
28892. Предмет и задачи вузовского курса Отечественной истории 22 KB
  Предмет и задачи вузовского курса Отечественной истории. Содержанием истории как науки является исторический процесс. Предметом курса отечественной истории является российский исторический процесс от древности до современности. В процессе изучения истории у человека формируется историческое сознание в содержание которого входит ряд элементов: знание фактов истории; способность рассматривать реальную действительность во всех трех временных измерениях: в прошлом настоящем будущем; обобщенный исторический опыт и вытекающие из него уроки...
28893. Первобытная эпоха человечества 24 KB
  Лет назад до образования классовых обществ в различных регионах планеты примерно в IV тыс. В соответствии с ней в древнейшей эпохе выделяются три периода: каменный век от возникновения человека до III тыс. бронзовый век с конца IV до начала 1 тыс. железный век с 1 тыс.
28894. Древние народы на территории России. Ранние башкиры 22 KB
  С востока из-за Дона устремилась новая волна кочевников – сарматов. В 3-7 вв. н.э. в эпоху Великого Переселения народов на территории Северного Причерноморья, а позднее – между Волгой и Дунаем, хлынули гуннские племена или гунны, вышедшие из степей Забайкалья и Монголии.