22521

Анализ формулы Эйлера

Лекция

Производство и промышленные технологии

1: 1 Таким образом чем больше точек перегиба будет иметь синусоидальноискривленная ось стержня тем большей должна быть критическая сила.1 Таким образом поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой а изогнутая ось представляет синусоиду Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится если в уравнении синусоиды положить ; тогда т. посредине длины стержня получит значение: Значит а это прогиб стержня в сечении посредине его...

Русский

2013-08-04

80 KB

2 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 43. Анализ формулы Эйлера

   Значениям критической силы высших порядков соответствуют искривления по синусоидам с двумя, тремя и т. д. полуволнами (Рис.1):

(1)

   Таким образом, чем больше точек перегиба будет иметь синусоидально-искривленная ось стержня, тем большей должна быть критическая сила. Более полные исследования показывают, что формы равновесия, определяемые формулами (1), неустойчивы; они переходят в устойчивые формы лишь при наличии промежуточных опор в точках В и С (рис.1).



Рис.1

 

   Таким образом, поставленная задача решена; для нашего стержня наименьшая критическая сила определяется формулой

а изогнутая ось представляет синусоиду

   Величина постоянной интегрирования а осталась неопределенной; физическое значение ее выяснится, если в уравнении синусоиды положить ; тогда (т. е. посредине длины стержня) получит значение:

   Значит, а — это прогиб стержня в сечении посредине его длины. Так как при критическом значении силы Р равновесие изогнутого стержня возможно при различных отклонениях его от прямолинейной формы, лишь бы эти отклонения были малыми, то естественно, что прогиб f остался неопределенным.

   Он должен быть при этом настолько малым, чтобы мы имели право применять приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси, т. е. чтобы было по прежнему мало по сравнению с единицей.

   Получив значение критической силы, мы можем сейчас же найти и величину критического напряжения , разделив силу на площадь сечения стержня F; так как величина критической силы определялась из рассмотрения деформаций стержня, на которых местные ослабления площади сечения сказываются крайне слабо, то в формулу для входит момент инерции поэтому принято при вычислении критических напряжений, а также при составлении условия устойчивости вводить в расчет полную, а не ослабленную, площадь поперечного сечения стержня . Тогда

   Таким образом, критическое напряжение для стержней данного материала обратно пропорционально квадрату отношения длины стержня к наименьшему радиусу инерции его поперечного сечения. Это отношение называется гибкостью стержня и играет весьма важную роль во всех проверках сжатых стержней на устойчивость.

   Из последнего выражения видно видно, что критическое напряжение при тонких и длинных стержнях может быть весьма малым, ниже основного допускаемого напряжения на прочность . Так, для стали 3 с пределом прочности допускаемое напряжение может быть принято ; критическое же напряжение для стержня с гибкостью при модуле упругости материала будет равно

   Таким образом, если бы площадь сжатого стержня с такой гибкостью была подобрана лишь по условию прочности, то стержень разрушился бы от потери устойчивости прямолинейной формы.

 

Влияние способа закрепления концов стержня.

   Формула Эйлера была получена путем интегрирования приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси стержня при определенном закреплении его концов (шарнирно-опертых). Значит, найденное выражение критической силы справедливо лишь для стержня с шарнирно-опертыми концами и изменится при изменении условий закрепления концов стержня.

   Закрепление сжатого стержня с шарнирно-опертыми концами мы будем называть основным случаем закрепления. Другие виды закрепления будем приводить' к основному случаю.

   Если повторить весь ход вывода для стержня, жестко защемленного одним концом и нагруженного осевой сжимающей силой на другом конце (Рис.2), то мы получим другое выражение для критической силы, а следовательно, и для критических напряжений.



Рис.2. Расчетная схема стержня с жесткозакрепленным одним концом.

 

   Предоставляя право студентам проделать это во всех подробностях самостоятельно, подойдем к выяснению критической силы для этого случая путем следующих простых рассуждений.

   Пусть при достижении силой Р критического значения колонна будет сохранять равновесие при слабом выпучивании по кривой АВ. Сравнивая два варианта изгиба видим, что изогнутая ось стержня, защемленного одним концом, находится совершенно в тех же условиях, что и верхняя часть стержня двойной длины с шарнирно-закрепленными концами.

   Значит, критическая сила для стойки длиной с одним защемленным, а другим свободным концами будет та,же, что для стойки с шарнирно-опертыми концами при длине :

   Если мы обратимся к случаю стойки, у которой оба конца защемлены и не могут поворачиваться (Рис.3), то заметим, что при выпучивании, по симметрии, средняя часть стержня, длиной , будет работать в тех же условиях, что и стержень при шарнирно-опертых концах (так как в точках перегиба С и D изгибающие моменты равны нулю, то эти точки можно рассматривать как шарниры).



Рис.3. Расчетная схема с жесткозакреплеными торцами.

 

   Поэтому критическая сила для стержня с защемленными концами, длиной , равна критической силе для стержня основного случая длиной :

Полученные выражения можно объединить с формулой для критической силы основного случая и записать:

здесь — так называемый коэффициент длины, равный:

  •  при шарнирных концах (основной случай) ,
  •  одном свободном, другом защемленном ,
  •  обоих защемленных концах .

   Для стержня, изображенного на рис.4, с одним защемленным, а другим шарнирно-опертым концами, коэффициент оказывается примерно равным , а критическая сила:



Рис.4. Потеря устойчивости стержня с одним жесткозакрепленным и другим шарнирно-опорным торцом

 

   Величина называется приведенной (свободной) длиной, при помощи коэффициента длины любой случай устройства опор стержня можно свести к основному; надо лишь при вычислении гибкости вместо действительной длины стержня ввести в расчет приведенную длину . Понятие о приведенной длине было впервые введено профессором Петербургского института инженеров путей сообщения Ф. Ясинским).

   На практике, однако, почти никогда не встречаются в чистом виде те закрепления концов стержня, которые мы имеем на наших расчетных схемах.

   Вместо шаровых опор обычно применяются цилиндрические шарниры. Подобные стержни следует считать шарнирно-опертыми при выпучивании их в плоскости, перпендикулярной к оси шарниров; при искривлении же в плоскости этих осей концы стержней следует считать защемленными (с учетом оговорок, приведенных ниже для защемленных концов).

   В конструкциях очень часто встречаются сжатые стержни, концы которых приклепаны или приварены к другим элементам, часто еще с добавлением в месте прикрепления фасонных листов. Такое закрепление, однако, трудно считать защемлением, так как части конструкции, к которым прикреплены эти стержни, не являются абсолютно жесткими.

   Между тем, достаточно возможности уже небольшого поворота опорного сечения в защемлении, чтобы оно оказалось в условиях, очень близких к шарнирному опиранию. Поэтому на практике недопустимо рассчитывать такие стержни, как стойки с абсолютно защемленными концами. Лишь в тех случаях, Когда имеет место очень надежное защемление концов, допускается небольшое (процентов на 10—20) уменьшение свободной длины стержня.

   Наконец, на практике встречаются стержни, опирающиеся на соседние элементы по всей плоскости опорных поперечных сечений. Сюда относятся деревянные стойки, отдельно стоящие металлические колонны, притянутые болтами к фундаменту, и т. д. При тщательном конструировании опорного башмака и соединения его с фундаментом можно считать эти стержни имеющими защемленный конец. Сюда же относятся мощные колонны с цилиндрическим шарниром при расчете их на выпучивание в плоскости оси шарнира. Обычно же трудно рассчитывать на надежное и равномерное прилегание плоского концевого сечения сжатого стержня к опоре. Поэтому грузоподъемность таких стоек обычно мало превышает грузоподъемность стержней с шарнирно-опертыми концами.

   Значения критических нагрузок могут быть получены в виде формул типа эйлеровой и для стержней переменного сечения, а также при действии нескольких сжимающих сил.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22371. Режимы работы усилительных устройств 626.5 KB
  Рабочую точку выбирают в середине проходной динамической характеристики каскада рис. Рис. Характеристики и сигналы в усилителе работающем в режиме А Режим используют в предварительных каскадах усиления. Рабочую точку задаем в начале проходной характеристики рис.
22372. Усилители постоянного тока (УПТ) 209.5 KB
  Благодаря этому при входных сигналах равных нулю достигается баланс моста напряжения на коллекторах обоих транзисторов равны и выходное напряжение снимаемое с диагонали Uвых = Uвых 1 – Uвых 2 = 0. Uвх1 = Uвх2 = 0 Uвых = Uк1 – Uк2 = 0. Ек1 Iк1 Iк2 Rк2 Rк1 Uвых 1 Uвых Uвых 2 ...
22373. Неинвертирующее и инвертирующее включение ОУ 368 KB
  На практике UСМ лежит в пределах от нескольких микровольт до десятков милливольт; максимальное выходное напряжение UВЫХ.МАКС Различают максимальное положительное напряжение UВЫХ.МАКС и максимальное отрицательное напряжение –UВЫХ. Напряжения UВЫХ.
22374. Операционные усилители (ОУ) 510 KB
  Схема усилителя со следящей связью С делителя R4 R5 снимаем напряжение  Ua т. Напряжение на сопротивлению R стремится к нулю. От источника положительного напряжения через на диоде VD1 создается опорное напряжение которое вместе с напряжением обратной связи подается на неинвертирующий вход операционного усилителя. Если входное напряжение равно нулю то напряжение на входе усилителя равное разности напряжений на его зажимах равно напряжению в точке А: Даже без положительной обратной связи при таком напряжении напряжение на выходе...
22375. Усилитель переменного тока на ОУ с одним источником питания 1.29 MB
  Усилитель переменного тока на ОУ с одним источником питания рис.1 Рис. Рис. ОУ в выходном каскаде бустерная схема рис.
22376. ПРИМЕНЕНИЕ ОУ 806 KB
  Усилители с возрастающим и убывающим коэффициентами передачи. Суть метода заключается в том что коэффициент передачи цепи ООС ОУ должен иметь несколько дискретных значений каждое из которых соответствует определенному диапазону изменения входного сигнала. Коэффициент передачи этих делителей аппроксимирует требуемую нелинейную зависимость причем чем больше число дискретных значений может принимать коэффициент передачи ООС ОУ тем ближе получаемая зависимость выходного напряжения от входного к заданной. Усилитель с возрастающим коэффициентом...
22377. ГЕНЕРАТОРЫ ИМПУЛЬСОВ 584 KB
  Если напряжение передаваемое с выхода на вход по цепи ОС окажется в фазе с вызвавшим его входным напряжением и по значению будет не меньше его то усилитель возбудится. Физически это означает что в цепи ОС не происходит затухания сигнала. Цепи коррекции уменьшают усиление ОУ так чтобы при сдвиге 130 К было меньше 1 либо уменьшением коэффициента усиления.3 С1 перезаряжается по цепи UП – R1 – C1 – VT1 – корпус С2 заряжается по цепи UП – RК2 – C2 – VT1 –корпус.
22378. ГЕНЕРАТОРЫ ПИЛООБРАЗНОГО НАПРЯЖЕНИЯ (ГПН) 352.5 KB
  Принципы построения ГПН. ГПН в ждущем режиме. ГПН в автоколебательном режиме.
22379. АНАЛОГО-ЦИФРОВЫЕ И ЦИФРО-АНАЛОГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ (ЦАП И АЦП) 315 KB
  ЦАП с двоичновзвешенными резисторами. ЦАП с резистивной матрицей R2R.АНАЛОГОЦИФРОВЫЕ И ЦИФРОАНАЛОГОВЫЕ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛИ ЦАП И АЦП 15.