22522

Пределы применимости формулы Эйлера

Лекция

Производство и промышленные технологии

Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным поэтому для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости т. Теоретическое решение полученное Эйлером оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней а именно тонких и длинных с большой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам да и опыты над сжатием стержней показывают что...

Русский

2013-08-04

141 KB

6 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 44. Пределы применимости формулы Эйлера

   Казалось бы, что полученные в предыдущих параграфах результаты решают задачу проверки сжатого стержня на устойчивость; остается выбрать лишь коэффициент запаса . Однако это далеко не так. Ближайшее же изучение числовых величин, получаемых по формуле Эйлера, показывает, что она дает правильные результаты лишь в известных пределах.

   На рис.1 приведена зависимость величины критических напряжений, вычисленных при различных значениях гибкости для стали 3, обычно применяемой в металлических конструкциях. Эта зависимость представляется гиперболической кривой, так называемой «гиперболой Эйлеpa»:

   При пользовании этой кривой надо вспомнить, что представляемая ею формула получена при помощи интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси, т. е. в предположении, что напряжения в стержне в момент потери устойчивости не превосходят предела пропорциональности.



Рис.1. Гиперболическая зависимость критического напряжения от гибкости стержня

 

   Следовательно, мы не имеем права пользоваться величинами критических напряжений, вычисленных по формуле Эйлера, если они получаются выше этого предела для данного материала. Иначе говоря, формула Эйлера применима лишь при соблюдении условия:

или

Если из этого неравенства выразить гибкость , то условие применимости формул Эйлера получит иной вид:

   Подставляя соответствующие значения модуля упругости и предела пропорциональности для данного материала, находим наименьшее значение гибкости, при которой еще можно пользоваться формулой Эйлера. Для стали 3 предел пропорциональности может быть принят равным , поэтому, для стержней из этого материала можно пользоваться формулой Эйлера лишь при гибкости

т. е. большей, чем 100 %

   Для стали 5 при формула Эйлера применима при гибкости ; для чугуна — при , для сосны — при и т. д. Если мы на Рис.1 проведем горизонтальную линию с ординатой, равной , то она рассечет гиперболу Эйлера на две части; пользоваться можно лишь нижней частью графика, относящейся к сравнительно тонким и длинным стержням, потеря устойчивости которых происходит при напряжениях, лежащих не выше предела пропорциональности.

   Теоретическое решение, полученное Эйлером, оказалось применимым на практике лишь для очень ограниченной категории стержней, а именно, тонких и длинных, с большой гибкостью. Между тем, в конструкциях очень часто встречаются стержни с малой гибкостью. Попытки использовать формулу Эйлера для вычисления критических напряжений и проверки устойчивости при малых гибкостях вели иногда к весьма серьезным катастрофам, да и опыты над сжатием стержней показывают, что при критических напряжениях, больших предела пропорциональности, действительные критические силы значительно ниже определенных по формуле Эйлера.

   Таким образом, надо найти способ вычисления критических напряжений и для тех случаев, когда они превышают предел пропорциональности материалов, например, для стержней из мягкой стали при гибкостях от 0 до 100.

   Необходимо сразу же отметить, что в настоящее время важнейшим источником для установления критических напряжений за пределом пропорциональности, т. е. при малых и средних гибкостях, являются результаты экспериментов. Имеются попытки и теоретического решения этой задачи, но они скорее указывают путь к дальнейшим исследованиям, чем дают основания для практических расчетов.

   Прежде всего надо выделить стержни с малой гибкостью, от 0 примерно до 30—40; у них длина сравнительно невелика по отношению к размерам поперечного сечения. Например, для стержня круглого сечения гибкости 20 соответствует отношение длины к диаметру, равное 5. Для таких стержней трудно говорить о явлении потери устойчивости прямолинейной формы всего стержня в целом в том смысле, как это имеет место для тонких и длинных стержней.

   Эти короткие стержни будут выходить из строя главным образом за счет того, что напряжения сжатия в них будут достигать предела текучести (при пластичном материале) или предела прочности (при хрупких материалах). Поэтому для коротких стержней, до гибкости примерно 3040, критические напряжения «будут равны, или немного ниже (за счет наблюдающегося все же некоторого искривления оси стержня), соответственно или (сталь), или (чугун, дерево).

   Таким образом, мы имеем два предельных случая работы сжатых стержней: короткие стержни, которые теряют грузоподъемность в основном за счет разрушения материала от сжатия, и длинные, для которых потеря грузоподъемности вызывается нарушением устойчивости прямолинейной формы стержня. Количественное изменение соотношения длины и поперечных размеров стержня меняет и весь характер явления разрушения. Общим остается лишь внезапность наступления критического состояния в смысле внезапного резкого возрастания деформаций.

   В сжатых стержнях большой гибкости, для которых применима формула Эйлера, после достижения силой Р критического значения обычно наблюдается резкий рост деформаций. До этого момента прогибы, как правило, растут с ростом нагрузки, но остаются незначительными. Теоретически можно было бы ожидать, что до критической силы стержень будет оставаться прямым; однако ряд неизбежных на практике обстоятельств — начальная кривизна стержня, некоторый эксцентриситет приложения нагрузки, местные перенапряжения, неоднородность материала — вызывают небольшие прогибы и при сжимающих силах, меньших критических.

   Подобный же характер имеет и зависимость укорочений от напряжения при сжатии коротких стержней; мы имеет ту же внезапность роста деформаций при определенной величине напряжений (когда ).

   Нам остается теперь рассмотреть поведение сжатых стержней при средних величинах гибкости, например для стальных стержней при гибкостях от 40 до 100; с подобными значениями гибкостей инженер чаще всего встречается на практике.

   По характеру разрушения эти стержни приближаются к категории ^ тонких и длинных стержней; они теряют свою прямолинейную форму и разрушаются при явлениях значительного бокового выпучивания. При опытах для них можно отметить наличие ясно выраженной критической силы в «эйлеровом» смысле; критические напряжения получаются выше предела пропорциональности и ниже предела текучести для пластичных и предела прочности для хрупких материалов.

   Однако потеря прямолинейной формы и понижение критических напряжений по сравнению с короткими стержнями для этих стержней «средней» гибкости связаны с такими же явлениями нарушения прочности материала, какие вызывают потерю грузоподъемности в коротких стержнях. Здесь комбинируются и влияние длины, понижающее величину критических напряжений, и влияние значительного роста деформаций материала при напряжениях за пределом пропорциональности.

   Экспериментальное определение критических сил для сжатых стержней производилось неоднократно как у нас, так и заграницей. Особенно обширный опытный материал собрал проф. Ф. Ясинский, составивший таблицу критических («ломающих») напряжений в. зависимости от гибкости для целого ряда материалов и положивший начало современным методам расчета сжатых стержней на устойчивость.

   На основании полученного опытного материала можно считать, что при критических напряжениях, меньших предела пропорциональности, все эксперименты подтверждают формулу Эйлера для любого материала.

   Для стержней средней и малой гибкости были предложены различные эмпирические формулы, показывающие, что критические напряжения при таких гибкостях меняются по закону, близкому к линейному:

где а и b — коэффициенты, зависящие от материала, a — гибкость стержня. Для литого железа Ясинский получил: а = 338,7МПа, b = 1,483 МПа. Для стали 3 при гибкостях от = 40 до = 100 коэффициенты а и b могут быть приняты: а = 336 МПа; b = 1,47МПа. Для дерева (сосна): а = 29,3 МПа; b = 0,194 МПа.

   Иногда удобны эмпирические формулы, дающие для неупругой области изменение критических напряжений по закону квадратной параболы; к ним относится формула

   Здесь при = 0 считают для пластичного и для хрупкого материала; коэффициент а, подобранный из условия плавного сопряжения с гиперболой Эйлера, имеет значение:

для стали с пределом текучести = 280 МПа а = 0,009 МПа

  •  сосны прочности = 30; а = 0,0008 »
  •  чугуна = 420; а = 0,044 »

   При наличии приведенных здесь данных может быть построен полный график критических напряжений (в зависимости от гибкости) для любого материала. На Рис.2 приведен такой график для строительной стали с пределом текучести и пределом пропорциональности .



Рис.2. Полный график критических напряжений для строительной стали.

 

   График состоит из трех частей: гиперболы Эйлера при, наклонной прямой при и горизонтальной, или слабо наклонной, прямой при . Подобные же графики можно построить, комбинируя формулу Эйлера с результатами экспериментов, и для других материалов.

   Таким образом, можно считать, что задача определения критических напряжений для стержней любой гибкости решена с достаточной для практических целей точностью.

 

Проверка сжатых стержней на устойчивость.

Ранее было отмечено, что для сжатых стержней должны быть произведены две проверки:

на прочность

на устойчивость

где

   Для установления допускаемого напряжения на устойчивость нам остается теперь выбрать только коэффициент запаса k.

   На практике этот коэффициент колеблется для стали в пределах от 1,8 до 3,0. Коэффициент запаса на устойчивость выбирается выше коэффициента запаса на прочность, равного для стали 1,5 — 1,6.

   Это объясняется наличием ряда обстоятельств, неизбежных на практике (начальная кривизна, эксцентриситет действия, нагрузки, неоднородность материала и т. д.) и почти не отражающихся на работе конструкции при других видах деформации (кручение, изгиб, растяжение).

   Для сжатых же стержней, ввиду возможности потери устойчивости, эти обстоятельства могут сильно снизить грузоподъемность стержня. Для чугуна коэффициент запаса колеблется от 5,0 до 5,5, для дерева — от 2,8 до 3,2.

   Чтобы установить связь между допускаемым напряжением на устойчивость [] и допускаемым напряжением на прочность [], возьмем их отношение:

или<

Обозначая

получим:

здесь — коэффициент уменьшения основного допускаемого напряжения для сжатых стержней.

   Имея график зависимости от для данного материала, зная или и выбрав коэффициенты запаса на прочность и на устойчивость , можно составить таблицы значений коэффициента в функции от гибкости. Такие данные приводятся в наших технических условиях на проектирование сооружений; они сведены в таблицу.

   Пользуясь этой таблицей, можно произвести подбор сечения сжатого стержня. Так как величина площади сечения зависит от [], а это напряжение в свою очередь через коэффициент связано с гибкостью стержня , т. е. с формой и размерами его сечения, то подбор приходится осуществлять путем последовательных приближений в таком, например, порядке.

   Выбираем форму сечения и задаемся его размерами; вычисляем наименьший радиус инерции и гибкость; находим по таблице коэффициент и вычисляем допускаемое напряжение на устойчивость ; сравниваем действительное напряжение с величиной []; если условие устойчивости

не удовлетворено, или удовлетворено с большим запасом, меняем размеры сечения и повторяем расчет. Конечно, окончательно выбранное сечение должно удовлетворять и условию прочности

В практических расчетах условие устойчивости иногда записывается так:

В левой части представляет собой расчетное (условное) напряжение.

Таблица.

Пример.

Подобрать двутавровое сечение стойки с одним защемленным концом, сжатой силами Р = 400 кН; длина стойки l=1,5 м. Основное допускаемое напряжение (Рис.3).



Рис.3. Расчетная схема сжатой стойки.

 

   Так как в условии устойчивости нам не известно ни , ни , одной из этих величин необходимо задаться. Примем для первого приближения . В этом случае необходимая площадь поперечного сечения стержня будет равна

или

   По сортаменту выбираем двутавр No 24, b с площадью . Наименьший радиус инерции сечения . Соответствующая гибкость стойки

Коэффициент по интерполяции между значениями его из таблицы для и равен . Расчетным напряжением будет:

   Перенапряжение составляет. Подбираем двутавр No 27, а. ; ; наибольшая его гибкость . Так как коэффициент , то расчетное напряжение

Перенапряжение составляет теперь что допустимо.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

35616. ШКОЛА ТВОРЧЕСКОЙ ЖИЗНИ. ПРОЕКТ 221 KB
  По его вине Древо Жизни утратило крону. ПРОЕКТ ШКОЛА ТВОРЧЕСКОЙ ЖИЗНИ Принцип устойчивости экодеревни Проблемы экодеревень ПУТИ РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТА: Экономическая деятельность в поселении Природные виды деятельности Виды деятельности связанные с информационными технологиями Научная деятельность Искусство Народные ремёсла Медицина Туризм Строительство Малые производства Культура Образование Безопасная интеграция в природную среду Топология экологического поселения Проект...
35617. Шарлотка. Творческий проект 68.02 KB
  Тема: Шарлотка. Но от салата я отказалась И решила приготовить пирог шарлотка. Шарлотка фр. Классическая шарлотка это французское сладкое блюдо приготовленное из белого хлеба заварного крема фруктов и ликёра.
35618. Мой выбор. Творческий проект 33.32 KB
  Правильный выбор профессии позволит мне так построить свою будущую карьеру чтобы достичь выдающихся успехов. Можно выделить следующие подпроблемы: Проблемное поле анализа профессиональной деятельности Изучение алгоритма выбора профессии Выявление и анализ личностных и психофизиологических характеристик Изучение требований...
35619. Акустическая система. Творческий проект по технологии 570.93 KB
  ТБ при работе Правила техники безопасности при выполнении ручных работ: Быть внимательной Аккуратно пользоваться ножом и ножницами чтобы не порезаться Технология выполнения изделия Последовательность изготовления звуковой колонки: Приготовить 2 бутылки и картонный рулон Аккуратно разрезать ножом бутылки оставив только донышки Вырезать ножницами входы для картонного рулона Вырезать ножницами в картонном рулоне вход для телефона Раскрасить картонный рулон черной краской добавляя надписи чтобы украсить звуковую колонку Вставить...
35620. Творческий проект «Оформление рамок» 1.29 MB
  Рамка с повторяющимися узорами подчеркивала картину являясь зачастую не только украшением но и идейным продолжением сюжета картины. Аналоговые работы Материалы инструменты приспособления Малика: Рамка с вязаным цветком: Готовая рамка 2 шт. Пряжа синяя Крючок Бисер стеклярус синий Клей Ножницы Нелли: Рамка с розочками из лент: Лента 2 шт.
35621. Композиция Маки. Творческий проект 516.11 KB
  Так как мои цветы должны быть плотными красивыми и немаркими то я буду использовать шерсть красивого цвета и притом она должна иметь низкую себестоимость. Шерсть овец падала на пол пропитывалась влагой а они еще и топтались по ней копытами. Для изготовления маков понадобится шерсть мыльная вода. Так как я решила что мои цветы должны быть немаркими и плотными то я выбрала шерсть красного цвета.
35622. Ночная сорочка. Творческий проект 24.2 KB
  Задачи 1 Провести исследование и разработать эскиз моего проектного изделия. 4 Изготовить выкройку швейного изделия. 5 Подобрать ткань для изделия. Критерии выбора идеи изделия 1 Технология изготовления соответствует программе 7 класса.
35623. ИЗГОТОВЛЕНИЕ полки для цветов. ТВОРЧЕСКИЙ ПРОЕКТ 48.09 KB
  РАЗДЕЛЫ ПРОЕКТА 1. Обоснование выбора данного проекта 2. Описание собственной работы над проектом разработка эскизов шаблонов ознакомление с литературой подготовка материалов инструментов выполнение теоретической части проекта выполнение практической части проекта оформление проекта защита проекта 5. Достоинства проекта 6.