22529

Метод сечений для определения внутренних усилий

Лекция

Производство и промышленные технологии

Метод сечений для определения внутренних усилий Деформации рассматриваемого тела элементов конструкции возникают от приложения внешней силы. Внутренние усилия это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Здесь {S} и {S } внутренние усилия возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий. Используя общую методологию теоремы Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и...

Русский

2013-08-04

92.5 KB

2 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 2. Метод сечений для определения внутренних усилий

   Деформации рассматриваемого тела (элементов конструкции) возникают от приложения внешней силы. При этом изменяются расстояния между частицами тела, что в свою очередь приводит к изменению сил взаимного притяжения между ними. Отсюда, как следствие, возникают внутренние усилия. При этом внутренние усилия определяются универсальным методом сечений (или метод разреза).

   Известно, что различают силы внешние и силы внутренние. Внешние усилия (нагрузки) – это количественная мера взаимодействия двух различных тел. К ним относятся и реакции в связях. Внутренние усилия – это количественная мера взаимодействия двух частей одного тела, расположенных по разные стороны сечения и вызванные действием внешних усилий. Внутренние усилия возникают непосредственно в деформируемом теле.

На рис.1 приведена расчетная схема бруса с произвольной комбинацией внешней нагрузки образующую равновесную систему сил:

(1)



Сверху вниз: упругое тело, левая отсеченная часть, правая отсеченная часть
Рис.1. Метод сечений.

При этом, реакции связей определяются из известных уравнений равновесия статики твердого тела:

(2)

 

 

где х0, у0, z0 — базовая система координат осей.

Мысленное разрезание бруса на две части произвольным сечением А (рис.1 a), приводит к условиям равновесия каждой из двух отсеченных частей (рис.1 б,в). Здесь {S’} и {S"}- внутренние усилия, возникающих соответственно в левой и правой отсеченных частях вследствие действия внешних усилий.

При составлении мысленно отсеченных частей, условие равновесия тела обеспечивается соотношением:

Так как исходная система внешних сил (1) эквивалентна нулю, получаем:

{S} = – {S} (3)

Это условие соответствует четвертой аксиоме статики о равенстве сил действия и противодействия.

Используя общую методологию теоремы Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру и выбрав за полюс приведения центр масс, сечения А', точку С', систему внутренних усилий для левой части {S} сводим к главному вектору и главному моменту внутренних усилий. Аналогично делается для правой отсеченной части, где положение центра масс сечения А”; определяется, соответственно, точкой С" (рис.1 б,в).

{S} ~ {R,L0}; {S"} ~ { R,L0},

(4)

Здесь в соответствие с четвертой аксиомой статики по-прежнему имеют место следующие соотношения:

R = – R

(5)

L0 = – L0

 

Таким образом главный вектор и главный момент системы внутренних усилий, возникающие в левой, условно отсеченной части бруса, равны по величине и противоположны по направлению главному вектору и главному моменту системы внутренних усилий, возникающих в правой условно отсеченной части.

График (эпюра) распределения численных значений главного вектора и главного момента вдоль продольной оси бруса и предопределяют, прежде всего, конкретные вопросы прочности, жесткости и надежности конструкций.

Определим механизм формирования компонент внутренних усилий, которые характеризуют простые виды сопротивлений: растяжение-сжатие, сдвиг, кручение и изгиб.

В центрах масс исследуемых сечений С' или С" зададимся соответственно левой (с', х', у', z') или правой (с", х", у", z”) системами координатных осей (рис.1 б, в), которые в отличие от базовой системы координат x, у, z будем называть "следящими". Термин обусловлен их функциональным назначением. А именно: отслеживание изменения положения сечения А (рис.1 а) при условном смещении его вдоль продольной оси бруса, например при: 0 х’1 а, а x’2 b и т.д., где а и b — линейные размеры границ исследуемых участков бруса.

Зададимся положительными направлениями проекций главного вектора или и главного момента или на координатные оси следящей системы (рис.1 б, в):

{N, Qy, Qz} {Mx, My, Mz}

(6)

{N, Qy, Qz} {Mx, My, Mz}

 

При этом положительные направления проекций главного вектора и главного момента внутренних усилий на оси следящей системы координат соответствуют правилам статики в теоретической механике: для силы — вдоль положительного направления оси, для момента — против вращения часовой стрелки при наблюдении со стороны конца оси. Они классифицируются следующим образом:

Nx — нормальная сила, признак центрального растяжения или сжатия;

Мxвнутренний крутящий момент, возникает при кручении;

Qz, Qу — поперечные или перерезывающие силы – признак сдвиговых деформаций,

Му, Мz — внутренние изгибающие моменты, соответствуют изгибу.

Соединение левой и правой мысленно отсеченных частей бруса приводит к известному (3) принципу равенства по модулю и противоположной направленности всех одноименных компонент внутренних усилий, а условие равновесии бруса определяется в виде:

{P1, P2, P3, …, N, N, Qy, Qy, Qz, Qz, Mx, Mx,

 

My, My, Mz, Mz, …, Pn-1, Pn} ~ 0

(7)

С учетом эквивалентности нулю исходной системы сил (1) имеет место:

{N, N, Qy, Qy, Qz, Qz, Мx, Mx, My, My, Мz, Mz}~0

(8)

Как естественное следствие из соотношений 3,4,5 полученное условие является необходимым для того, чтобы одноименные компоненты внутренних усилий попарно образовали подсистемы сил эквивалентные нулю:

1. {N, N} ~ 0 > N = – N

(9)

2. {Qy, Qy} ~ 0 > Qy = – Qy

 

3. {Qz, Qz} ~ 0 > Qz = – Qz

 

4. {Мx, Mx} ~ 0 > Мx = – Mx

 

5. {My, My} ~ 0 > My = – My

 

6. {Мz, Mz} ~ 0 > Мz = – Mz

 

Общее число внутренних усилий (шесть) в статически определимых задачах совпадает с количеством уравнений равновесия для пространственной системы сил и связано с числом возможных взаимных перемещений одной условно отсеченной части тела по отношению к другой.

Искомые усилия определяются из соответствующих уравнений для любой из отсеченных частей в следящей системе координатных осей. Так, для любой отсеченной части соответствующие уравнения равновесия приобретают вид;

1. ix = N + P1x + P2x + … + Pkx = 0 > N

(10)

2. iy = Qy + P1y + P2y + … + Pky = 0 > Qy

 

3. iz = Q + P1z + P2z + … + Pkz = 0 > Qz

 

4. x (Pi) = Mx + Mx(Pi) + … + Mx(Pk) = 0 > Mx

 

5. y (Pi) = My + My(Pi) + … + My(Pk) = 0 > My

 

6. z (Pi) = Mz + Mz(Pi) + … + Mz(Pk) = 0 > Mz

 

Здесь для простоты обозначений системы координат с' х' у' z' и с" х" у" т" заменены единой оxуz.

Уважаемые коллеги! Таким образом, предлагаемый автором метод построения эпюр внутренних усилий, освобождающий Вас от механического запоминания "правил знаков" при построении эпюр внутренних усилий, заключается в следующем:

  1.  Определите реакции в связях по величине и направлению в базовой системе координат.
  2.  Определите количество участков бруса для использования метода сечений.
  3.  Мысленно рассеките брус в пределах исследуемого участка и изобразите на Ваше усмотрение левую или правую условно отсеченную часть.
  4.  Укажите пределы изменения положения сечения вдоль продольной оси в базовой системе координат на этом участке.
  5.  Введите в искомом сечении соответственно левую или правую следящую систему координатных осей.
  6.  Задайтесь положительными направлениями внутренних усилий в следящей системе координат.
  7.  Составьте уравнения равновесия для рассматриваемой условно отсеченной части бруса в следящей системе координат.
  8.  Определите из уравнений равновесия искомые внутренние усилия.
  9.  Вычислите искомые внутренние усилия на границах участков и при необходимости, — их экстремальные значения.
  10.  Выбрав масштаб усилий, выполните построение эпюры в соответствие с полученными их модульными значениями и знаками.

   Указанная последовательность действий (кроме п.1) составляет суть метода сечений (разреза), единственного метода для определения внутренних усилий.
   Не забываем, что при распределенной нагрузке в соответствие с теоремой
Вариньона векторный момент равнодействующей рассматриваемой системы сил относительно любой точки равен сумме векторных моментов всех сил этой системы относительно той же точки.
   Эпюры внутренних усилий позволяет визуально найти положение опасного сечения, где действуют наибольшие по модулю внутренние усилия. В этом сечении при прочих равных условиях наиболее вероятно разрушение конструкции при предельных нагрузках.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

79698. Развитие математики 37.52 KB
  История развития математики это не только история развития математических идей понятий и направлений но это и история взаимосвязи математики с человеческой деятельностью социально-экономическими условиями различных эпох.Становление и развитие математики как науки возникновение ее новых разделов тесно связано с развитием потребностей общества в измерениях контроле особенно в областях аграрной промышленной и налогообложения. Первые области применения математики были связаны с созерцанием звезд и земледелием.
79699. Андрей Николаевич Колмогоров - историк математики 29.4 KB
  В случае с историей математики это выглядит даже более естественно чем с физикой: напомню что свою научную карьеру в самом начале 20х гг. Статья начинается с определения математики данного Ф. Согласно Колмогорову история эта распадается на четыре этапа: 1 период зарождения математики на протяжении которого был накоплен достаточно большой фактический материал 2 период элементарной математики начинающийся в VIV вв.
79700. Нормативно-правовой акт и его виды 41.5 KB
  Обозначенные отличия нормативно-правового акта от иных источников права являются и выражением основных признаков нормативно-правового акта. Что касается видов, тот требуется более четкого рассмотрения каждого в по отдельности, как закона так и подзаконного акта.
79701. Правотворчество и систематизация законодательства 61 KB
  К способам правотворчества относят: Принятие нормативноправовых актов органами государства Принятие нормативных актов народом путем референдума Заключение различного рода нормативных договоров Признание юридических прецедентов Санкционирование обычаев или норм выработанных негосударственными организациями. В юриспруденции выработан ряд принципов правотворчества выражающихся в следующих закрепленных принципах: Принцип демократизма население должно привлекаться к участию в правотворчестве а его мнение учитываться при разработке и...
79702. ТИПЫ ПРАВА 42.5 KB
  В теории права существуют два подхода к типологии: формационный и цивилизационный. Основное место в классификации подходов отдано рассмотрению типов права, выделяемых в рамках первого - формационного подхода.
79703. ПРАВОВЫЕ СЕМЬИ СОВРЕМЕННОСТИ 65.5 KB
  Современная юридическая наука изучая теорию права предпочитает оперировать не понятием тип права а такими научными категориями как правовая система и правовая семья. Соответственно выделяют следующие основные правовые семьи: романогерманскую континентальную; англосаксонскую семью общего права; семью социалистического права; мусульманскую; африканскую. Строгая иерархия источников форм права среди которых безусловно главным является закон. Деление права на частное и публичное.
79704. Система права и система законодательства 60.5 KB
  Различия, существующие между понятиями «система права» и «правовая система» позволяет отделять два объекта изучения друг от друга: система права представляет собой лишь один из элементов правовой системы государства, наряду с правоотношениями, правосознанием, юридическими принципами и институтами, правовой культурой общества и др
79705. ПРАВОВАЯ НОРМА. ВИДЫ НОРМ ПРАВА. СТРУКТУРА НОРМЫ ПРАВА 104 KB
  Поскольку норма права представляет собой одну из разновидностей социальных норм, целесообразно вспомнить определение понятия «социальная норма» и перечислить уже известные виды социальных норм. Основываясь на знаниях можно определить, что под нормой права
79706. Реализация права. Пробелы в праве и юридические коллизии. Акт применения права 133 KB
  Начиная рассмотрение вопроса о реализации права, следует обратить внимание на то, что издание правовых норм не является самоцелью. Нормы права издаются для того, чтобы они реализовывались, претворялись в жизнь.