22532

Понятие о напряжениях и деформациях

Лекция

Производство и промышленные технологии

а вектор полного напряжения б вектор нормального и касательного напряжений уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил причем главный момент уменьшается в большей степени. Введенный таким образом вектор рn называется вектором напряжений в точке. Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора п определяет напряженное состояние в этой точке. В общем случае направление вектора напряжений рn не совпадает с направлением вектора нормали п.

Русский

2013-08-04

80.5 KB

17 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 5. Понятие о напряжениях и деформациях

   Как отмечалось выше, внутренние силы, действующие в некотором сечении со стороны отброшенной части тела, можно привести к главному вектору и главному моменту. Зафиксируем точку М в рассматриваемом сечении с единичным вектором нормали n. В окрестности этой точки выделим малую площадку F. Главный вектор внутренних сил, действующих на этой площадке, обозначим через P (рис. 1 а). При уменьшении размеров площадки соответственно



Рис.1. Композиция вектора напряжения.
а) вектор полного напряжения б) вектор нормального и касательного напряжений

 

уменьшаются главный вектор и главный момент внутренних сил, причем главный момент уменьшается в большей степени. В пределе при получим

   Аналогичный предел для главного момента равен нулю. Введенный таким образом вектор рn называется вектором напряжений в точке. Этот вектор зависит не только от действующих на тело внешних сил и координат рассматриваемой точки, но и от ориентации в пространстве площадки F, характеризуемой вектором п. Совокупность всех векторов напряжений в точке М для всевозможных направлений вектора п определяет напряженное состояние в этой точке.

   В общем случае направление вектора напряжений рn не совпадает с направлением вектора нормали п. Проекция вектора рn на направление вектора п называется нормальным напряжением , а проекция на плоскость, проходящую через точку М и ортогональную вектору n, — касательным напряжением (рис. 1 б).

Размерность напряжений равна отношению размерности силы к размерности площади. В международной системе единиц СИ напряжения измеряются в паскалях: 1 Па=1 Н/м2.

   При действии внешних сил наряду с возникновением напряжений происходит изменение объема тела и его формы, т. е. тело деформируется. При этом различают начальное (недеформированное) и конечное (деформированное) состояния тела.

   Отнесем недеформированное тело к декартовой системе координат Oxyz (рис. 2). Положение некоторой точки М в этой системе координат определяется радиус-вектором r(х, у, z). В деформированном состоянии точка М займет новое положение М/ , характеризуемое радиус-вектором r' (х, у, z). Вектор u=r'—r называется вектором, перемещений точки М. Проекции вектора u на координатные оси определяют компоненты вектора перемещений и(х, у, z), v(х, у, z), w(х, у, z), равные разности декартовых координат точки тела после и до деформации.

   Перемещение, при котором взаимное расположение точек тела не меняется, не сопровождается деформациями. В этом случае говорят, что тело перемещается как жесткое целое (линейное перемещение в пространстве или поворот относительно некоторой точки). С другой стороны, деформация, связанная с изменением формы тела и его объема, невозможна без перемещения его точек.



Рис.2. Композиция вектора перемещения

 

   Деформации тела характеризуются изменением взаимного расположения точек тела до и после деформации. Рассмотрим, например, точку М и близкую к ней точку N, расстояние между которыми в недеформированном состоянии вдоль направления вектора s обозначим через (рис. 2). В деформированном состоянии точки М и N переместятся в новое положение (точки М' и N’), расстояние между которыми обозначим через s'. Предел отношения

называется относительной линейной деформацией в точке М в направлении вектора s, рис.3. Рассматривая три взаимно перпендикулярных направления, например, вдоль координатных осей Ох, Оу и Oz, получим три компоненты относительных линейных деформаций характеризующих изменение объема тела в процессе деформации.

Для описания деформаций, связанных с изменением формы тела, рассмотрим точку М и две близкие к ней точки N и Р, расположенные в недеформированном состоянии в направлении двух взаимно ортогональных векторов s1 и s2. Расстояния между точками обозначим через и (рис. 4). В деформированном состоянии положение точек обозначим через М', N' и Р'. Угол между отрезками M'N' и М'Р' в общем случае будет отличным от прямого. При , изменение угла между двумя ортогональными до деформации направлениями называется угловой деформацией. Как видно из рис. 4, угловая деформация складывается из двух углов и , связанных с поворотами отрезков M’N' и М'Р' 'в.плоскости, образованной векторами s1 и s2, относительно этих векторов. Если заданы три взаимно ортогональных вектора, направленных вдоль координатных осей, то имеются три угловые деформации , и , которые вместе с тремя линейными деформациями , и полностью определяют деформированное состояние в точке.



Рис.3. Композиция линейной деформации

 



Рис. 4. Композиция угловой деформации

 

НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ В ТОЧКЕ. ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

   Вектор напряжений pn является физическим объектом, имеющим длину, направление и точку приложения. В этом смысле он обладает векторными свойствами. Однако этому объекту присущи некоторые свойства, не характерные для векторов. В частности, величина и направление вектора напряжений зависят от ориентации вектора n нормали бесконечно малого элемента поверхности dF. Совокупность всех возможных пар векторов п, рn в точке определяет напряженное состояние в данной точке. Однако для полного описания напряженного состояния в точке нет необходимости задавать бесконечное множество направлений вектора n, достаточно определить векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных элементарных площадках. Напряжения на произвольно ориентированных площадках могут быть выражены через эти три вектора напряжений. В дальнейшем лектор умышленно меняет ориентацию координат. Так, что ось Z – продольная ось бруса, а X и Y – координаты любой точки его поперечного сечения.

   Проведем через точку М три взаимно перпендикулярных плоскости с векторами нормалей, направления которых совпадают с направлениями координатных осей. Элементарные площадки образуем дополнительными сечениями, параллельными исходным плоскостям и отстоящими от них на бесконечно малые расстояния dx, dy, dz. В результате в окрестности точки М получим бесконечно малый параллелепипед, поверхность которого образована элементарными площадками dFх=dydz, dFн==dxdz, dFя=dxdy. Векторы напряжений px, py, pz, действующие на элементарных площадках, показаны на рис. 5.

   Разложим каждый вектор напряжений на составляющие вдоль координатных осей (рис. 6). На каждой площадке действует одно нормальное напряжение , , , где индекс обозначает направление вектора нормали к площадке и два касательных напряжения с двумя индексами, из которых первый указывает направление действия компоненты напряжения, второй—направление вектора нормали к площадке.



Рис. 5. Равновесное состояние бесконечно-малого параллелепипеда

 



Рис.6. Компоненты тензора напряженного состояния

 

   Совокупность девяти компонент напряжений (по три на каждой из трех взаимно перпендикулярных площадок) представляет собой некоторый физический объект, называемый тензором напряжений в точке. Тензор можно представить в виде матрицы, соответствующим образом упорядочив девять компонент:

   Для компонент тензора напряжений общепринятым является следующее правило знаков: компонента считается положительной, если на площадке с положительной внешней нормалью (т. е. направленной вдоль одной из координатных осей) эта компонента направлена в сторону положительного направления соответствующей оси. На рис. 6 все компоненты тензора напряжений изображены положительными. На площадках с отрицательной внешней нормалью (грани параллелепипеда, не видимые на рис. 5 и 6) положительная компонента направлена в противоположном направлении. Напряжения на трех взаимно ортогональных площадках с отрицательными направлениями нормалей также характеризуют напряженное состояние в точке. Эти напряжения, являющиеся компонентами тензора напряжений, определяются аналогично напряжениям на площадках с положительной нормалью. Они обозначаются теми же символами и имеют положительное направление, обратное изображенному на рис. 6.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78252. Почечная недостаточность у детей 144.5 KB
  В соответствии с рекомендациями IV Европейского конгресса педиатров-нефрологов диагностировать ХПН следует при сохранении у детей в течение не менее 36 месяцев клиренса эндогенного креатинина ниже 20 мл мин увеличении сывороточного креатинина выше 0177 ммоль л концентрации азота мочевины выше 03 ммоль л. В отличие от ОПН для ХПН характерно неуклонное прогрессирование и необратимость склеротических изменений в почках нарушение их регуляторной экскреторной и биосинтетической функции. Известно свыше 50 заболеваний которые проявляются...
78253. Острая ревматическая лихорадка у детей 146 KB
  Рекомендации по изменению термина ревматизм на ОРЛ в последнем X пересмотре МКБ имеют определенную цель и логику так как в большей степени привлекают работников здравоохранения к инфекционному фактору который лежит в основе заболевания которое характеризуется преимущественным поражением сердца и сосудов. Хроническая ревматическая болезнь сердца это заболевание характеризующееся поражением сердечных клапанов в виде поствоспалительного краевого фиброза клапанных структур и порока сердца недостаточности или стеноза сформировавшихся...
78254. Ювенильный ревматоидный артрит у детей 156 KB
  В группу коллагеновых заболеваний входит значительное количество патологических состояний, общим признаком которых является системная прогрессирующая дезорганизация...
78255. Другие коллагенозы у детей 128.5 KB
  Изучение роли очаговой латентной инфекции при СКВ показало что ангины и хронический тонзиллит при этом заболевании встречаются не так уж часто а терапия антибиотиками не только уменьшала количество больных а наоборот нередко выявляла латентно протекающее заболевание....
78256. Неотложные состояния у детей 141.5 KB
  У детей, особенно первого года жизни, многие заболевания, такие как пневмония, вирусные, кишечные инфекции, сепсис, сахарный диабет часто сопровождаются нарушением микроциркуляции, обменных процессов, развитием тяжелой интоксикации с возникновением состояний
78257. Периоды детского возраста 91 KB
  Ребенок - это не взрослый в миниатюре, его организм обладает своеобразными анатомо-физиологическими, биохимическими и иммунологическими особенностями, претерпевающими характерные возрастные изменения в течение всего периода детства. Для дифференцированного подхода к ребенку все детство разделено на периоды.
78258. Естественное вскармливание 128 KB
  Рациональное питание отвечающее физиологическим потребностям растущего организма обеспечивает гармоничное развитие ребенка повышает его иммунитет выносливость при воздействии неблагоприятных факторов. Для обеспечения ребенка рациональным питанием в его рацион должны входить все основные пищевые вещества: белки жиры углеводы витамины минеральные вещества и вода в необходимом количестве и правильном соотношении. Органы пищеварения ребенка характеризуются незавершенностью морфологического строения и функционального состояния.
78259. Смешанное и искусственное вскармливание 197.5 KB
  Эти затруднения могут происходить как со стороны матери так и со стороны ребенка. Существуют абсолютные и относительные противопоказания к кормлению ребенка грудью. Установлено что ВИЧинфицированная женщина с вероятностью 15 заражает ребенка через грудное молоко поэтому в Российской Федерации ребенка рожденного от ВИЧинфицированной матери рекомендуется кормить адаптированными молочными смесями. Не должны кормить ребенка матери страдающие алкогольной и наркотической зависимостью.
78260. Дистрофии у детей 123 KB
  Строится с учетом происхождения типа степени тяжести и этиологии заболевания: По времени возникновения: врожденные дистрофии пренатальные приобретенные дистрофии постнатальные смешанного происхождения. В зависимости от соотношения массы и длины тела то есть по типу: гипотрофия 123 степени паратрофия. Выделяют 3 степени тяжести гипотрофии: 1 степень легкая 2 степень среднетяжелая 3 степень тяжелая. Клиническим выражением степени нарушений при дистрофии является состояние аппетита.