22533

Свойства тензора напряжений. Главные напряжения

Лекция

Производство и промышленные технологии

Свойства тензора напряжений. Главные напряжения Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Отличные от нуля моменты создают компоненты верхняя грань и права грань: После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим Аналогично приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог получим еще два соотношения Эти условия симметрии и тензора напряжений...

Русский

2013-08-04

95 KB

13 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 6. Свойства тензора напряжений. Главные напряжения

   Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

   Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

   Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали



Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

 

п с компонентами nx, ny, nz. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений pn на наклонной площадке разложен па составляющие рx, рy, рz вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dFx, dFy, dFz, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

dFx=dFnx, dFy=dFny, dFz=dFnz

(1)

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

   Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

   С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию рx вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

(2)

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

полное напряжение

(3)

нормальное напряжение

(4)

и касательное напряжение

(5)

   Среди всех возможных направлений вектора нормали n существуют такие направления, для которых вектор напряжений pn параллелен вектору п. На соответствующих площадках действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Условия коллинеарности векторов pn и n есть условия пропорциональности их компонент:

С учетом формул Коши получим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных компонент nx, ny, nz вектора нормали к главной площадке

Эта система уравнений имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль:

(6)

Раскрывая определитель, приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения

(7)

Здесь введены обозначения

(8)

(9)

 

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для тензора напряжений. Коэффициенты (9) этого уравнения называются инвариантами тензора напряжений. Решение кубического уравнения (8) имеет три вещественных корня которые обычно упорядочиваются .

   Каждому значению (j=1, 2, 3) соответствует вектор n j, характеризующий положение j-й главной площадки, с компонентами n j1, n j2, n j3. Для нахождения этих компонент достаточно в уравнения подставить найденное значение и решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки

   Главные напряжения обладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Для доказательства этого свойства достаточно исследовать на экстремум нормальное напряжение как функцию nx, ny, nz при дополнительном ограничении. Можно показать, что три главные площадки, соответствующие главным напряжениям , взаимно перпендикулярны или, что то же самое, векторы nj и nk, соответствующие различным значениям j и k —; ортогональны. Условие ортогональности имеет вид

(10)

Кубическое уравнение (8) можно переписать в виде

(11)

Приводя это уравнение к виду (8), получим следующие выражения для инвариантов (9) через главные напряжения:

(12)

Термин «инвариантность» обозначает независимость некоторой величины от выбора системы координат.

Введем среднее напряжение по формуле

(13)

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров , где

(14)

   Первый тензор называется шаровым, он характеризует изменение объема тела без изменения его формы. Второй тензор, называемый девиатором, характеризует изменение формы. Особенностью девиатора напряжений является равенство нулю его первого инварианта:

(15)

   Найдем положение площадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Для этого нужно отыскать экстремумы касательного напряжения. Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, параллельных одной из главных осей и образующих с двумя другими осями угол . По величине эти напряжения равны

(16)

При этом на площадках с экспериментальными касательными напряжениями присутствуют нормальные напряжения, которые равны

   Фигура, которую образуют площадки с экстремальными касательными напряжениями, изображена на рис. 2. Она принадлежит к классу параллелоэдров и представляет собой 12-гранник с гранями в виде ромбов, отношение диагоналей которых равно .



Рис.2. Параллепоэдр распределения экстремальных касательных напряжений

 

Таким образом, общая теория напряженного состояния позволяет охватывать, в целом, весь комплекс видов сопротивлений, как простого, так и сложного характера.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

69703. Спеціальні функції 35 KB
  Ми вже знайомі з технологією Cookies тому знаємо як зберегти поточний номер питання починаючи з якого тест буде продовжений. А як запам’ятати номери питань масив які згенерували для студента Зберегти масив в Cookies ми не можемо зате можна зберегти рядок.
69704. Математичні функції 47.5 KB
  Функція mах() повертає максимальний з переданих їй п аргументів. Наприклад, echo max(7,10, 3,1 $а, $b) виведе 10, якщо значення $а і $Ь менше або рівні 10. Якщо функції переданий один параметр, то він повинен бути масивом, в якому буде вироблений пошук максимального елементу.
69705. Читання і запис в бінарному режимі 53.5 KB
  Для кожного відкритого файлу система зберігає величину яка називається покажчиком поточної позиції файлу. При відкритті файлу цей покажчик встановлюється на початок файлу. З кожним викликом функції читання файлу покажчик поточної позиції зрушується...
69706. Функції для роботи з файлами 102 KB
  Всі функції можна розділити на такі групи: Функції маніпулювання файлами. Функції для роботи з іменами файлів. Функції визначення типа і параметрів файлу.
69707. Перевантаження функцій 27.5 KB
  Перевантаження функцій — це використання одного імені для декількох функцій. Секрет перевантаження полягає в тому, що кожне перевизначення функції повинне використовувати або інші типи параметрів, або іншу їх кількість. Тільки ці відмінності дозволяють компілятору визначати...
69708. Перевантаження конструкторів 27.5 KB
  Для перевантаження конструктора існують три причини: гнучкість, можливість створення ініціалізованих (не ініціалізованих) об’єктів і конструкторів копіювання. Досить часто об’єкти класу можна створити декількома способами.
69709. Параметри по замовчуванню 24.5 KB
  Значення за замовчанням задається за допомогою синтаксичної конструкції яка дуже схожа на ініціалізацію змінної. Наприклад наступний оператор оголошує що функція myfunc отримує один аргумент типу double що за замовчанням приймає значення...
69710. Перевантаження операторів за допомогою дружніх функцій 23 KB
  Оператори можна перенавантажувати за допомогою дружніх функцій, які не являються членами класу. Це означає, що дружні функції не отримують неявно покажчик this. Отже, перевантажена операторна функція отримує параметри явно. Таким чином, при перевантаженні бінарного оператора дружня...
69711. Конструктори 34 KB
  Конструктор призначений для ініціалізації об’єкту і викликається автоматично при його створенні. Основні властивості конструкторів. Конструктор не повертає значення, навіть типу void. Не можна отримати покажчик на конструктор.