22533

Свойства тензора напряжений. Главные напряжения

Лекция

Производство и промышленные технологии

Свойства тензора напряжений. Главные напряжения Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Отличные от нуля моменты создают компоненты верхняя грань и права грань: После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим Аналогично приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог получим еще два соотношения Эти условия симметрии и тензора напряжений...

Русский

2013-08-04

95 KB

13 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 6. Свойства тензора напряжений. Главные напряжения

   Тензор напряжений обладает свойством симметрии. Для доказательства этого свойства рассмотрим приведенный в лекции 5 элементарный параллелепипед с действующими на его площадках компонентами тензора напряжений. Так как тело находится в равновесии, следовательно, находится в равновесии любая его часть, в том числе и элементарный объем. Запишем одно из шести уравнений равновесия этого объема, а именно — сумму моментов всех сил относительно оси Ох. Все силы, кроме двух, либо не создают момента относительно ocи Ох, либо взаимно уничтожаются. Отличные от нуля моменты создают компоненты (верхняя грань) и (права грань):

После сокращения на элемент объема dV=dxdydz получим

Аналогично, приравнивая нулю сумму моментов всех сил относительно осей Оу и Ог, получим еще два соотношения

   Эти условия симметрии и тензора напряжений называются также условиями парности касательных напряжений: касательные напряжения, действующие по двум взаимно перпендикулярным площадкам в направлениях, ортогональных ребру, образованному пересечением этих площадок, равны по величине. С учетом этих свойств из девяти компонент тензора напряжений независимыми оказываются шесть компонент.

   Покажем теперь, что компоненты тензора напряжений определенные для трех взаимно перпендикулярных площадок, полностью характеризуют напряженное состояние в точке, т. е. позволяют вычислить компоненты вектора напряжений на площадках, произвольно ориентированных относительно выбранной системы координат. Для этого рассмотрим элементарный объем, образованный сечением параллелепипеда, изображенного на рис. 1, плоскостью, пересекающей координатные оси и имеющей единичный вектор нормали



Рис.1. Элементарный четырехгранник с компонентами напряженного состояния.

 

п с компонентами nx, ny, nz. На гранях полученного таким образом бесконечно малого тетраэдра действуют напряжения, показанные на рис. 1. При этом вектор напряжений pn на наклонной площадке разложен па составляющие рx, рy, рz вдоль координатных осей. Площади граней, ортогональных координатным осям и вектору нормали, обозначим соответственно dFx, dFy, dFz, dF. Эти площади связаны между собой соотношениями

dFx=dFnx, dFy=dFny, dFz=dFnz

(1)

вытекающими из того, что грани, ортогональные координатным осям, есть проекции наклонной площадки на соответствующую координатную плоскость.

   Проектируя силы, действующие на гранях элементарного тетраэдра, на координатные оси, получим уравнения равновесия для рассматриваемого объема. Например, проекции всех поверхностных сил на ось Ох дают

   С учетом соотношений (1) после сокращения на dF получим уравнение, связывающее проекцию рx вектора напряжений с соответствующими компонентами тензора напряжений. Объединяя это уравнение с двумя аналогичными уравнениями, полученными проектированием сил на оси Оy и Оz, приходим к следующим соотношениям

(2)

носящим название формул Коши. Эти формулы определяют вектор напряжений на произвольно выбранной площадке с вектором п через компоненты тензора напряжений.

Формулы (2) позволяют вычислить через компоненты тензора напряжений

полное напряжение

(3)

нормальное напряжение

(4)

и касательное напряжение

(5)

   Среди всех возможных направлений вектора нормали n существуют такие направления, для которых вектор напряжений pn параллелен вектору п. На соответствующих площадках действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения отсутствуют. Такие площадки называются главными, а нормальные напряжения на этих площадках называются главными напряжениями. Пусть площадка с единичным вектором нормали является главной. Условия коллинеарности векторов pn и n есть условия пропорциональности их компонент:

С учетом формул Коши получим систему линейных однородных уравнений относительно неизвестных компонент nx, ny, nz вектора нормали к главной площадке

Эта система уравнений имеет ненулевое решение, если определитель, составленный из коэффициентов уравнений, обращается в нуль:

(6)

Раскрывая определитель, приходим к кубическому уравнению относительно главного напряжения

(7)

Здесь введены обозначения

(8)

(9)

 

Уравнение (7) называется характеристическим уравнением для тензора напряжений. Коэффициенты (9) этого уравнения называются инвариантами тензора напряжений. Решение кубического уравнения (8) имеет три вещественных корня которые обычно упорядочиваются .

   Каждому значению (j=1, 2, 3) соответствует вектор n j, характеризующий положение j-й главной площадки, с компонентами n j1, n j2, n j3. Для нахождения этих компонент достаточно в уравнения подставить найденное значение и решить любые два из этих уравнений совместно с условием нормировки

   Главные напряжения обладают важным свойством: по сравнению со всеми другими площадками нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Для доказательства этого свойства достаточно исследовать на экстремум нормальное напряжение как функцию nx, ny, nz при дополнительном ограничении. Можно показать, что три главные площадки, соответствующие главным напряжениям , взаимно перпендикулярны или, что то же самое, векторы nj и nk, соответствующие различным значениям j и k —; ортогональны. Условие ортогональности имеет вид

(10)

Кубическое уравнение (8) можно переписать в виде

(11)

Приводя это уравнение к виду (8), получим следующие выражения для инвариантов (9) через главные напряжения:

(12)

Термин «инвариантность» обозначает независимость некоторой величины от выбора системы координат.

Введем среднее напряжение по формуле

(13)

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров , где

(14)

   Первый тензор называется шаровым, он характеризует изменение объема тела без изменения его формы. Второй тензор, называемый девиатором, характеризует изменение формы. Особенностью девиатора напряжений является равенство нулю его первого инварианта:

(15)

   Найдем положение площадок, на которых касательные напряжения принимают экстремальные значения. Для этого нужно отыскать экстремумы касательного напряжения. Экстремальные касательные напряжения действуют на площадках, параллельных одной из главных осей и образующих с двумя другими осями угол . По величине эти напряжения равны

(16)

При этом на площадках с экспериментальными касательными напряжениями присутствуют нормальные напряжения, которые равны

   Фигура, которую образуют площадки с экстремальными касательными напряжениями, изображена на рис. 2. Она принадлежит к классу параллелоэдров и представляет собой 12-гранник с гранями в виде ромбов, отношение диагоналей которых равно .



Рис.2. Параллепоэдр распределения экстремальных касательных напряжений

 

Таким образом, общая теория напряженного состояния позволяет охватывать, в целом, весь комплекс видов сопротивлений, как простого, так и сложного характера.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21288. Методологія IDEF 387 KB
  Методологія IDEF Сімейство стандарту IDEF На даний момент до сімейства IDEF [ІДЕФ] можна віднести такі стандарти: IDEF0 методологія функціонального моделювання. За допомогою наочного графічного мови IDEF0 що розробляється система постає перед проектувальниками у вигляді набору взаємозалежних функцій функціональних блоків у термінах IDEF0. Як правило моделювання засобами IDEF0 є першим етапом вивчення будьякої системи; IDEF1 методологія моделювання інформаційних потоків усередині системи що дозволяє відображати і аналізувати їх...
21289. Відношення між класами 407 KB
  Відношення між класами Вступ Крім внутрішнього пристрою або структури класів на відповідній діаграмі вказуються різні відносини між класами. Базовими відносинами або зв'язками в мові UML є: Відношення залежності dependency relationship Ставлення асоціації association relationship Відношення узагальнення generalization relationship Ставлення реалізації realization relationship Кожне з цих відносин має власне графічне подання на діаграмі яке відображає взаємозв'язки між об'єктами відповідних класів. На діаграмі класів дане...
21290. Діаграма станів 479.5 KB
  Діаграма станів Вступ Розглянута в попередній лекції діаграма класів є логічний модель статичного подання модельованої системи. Справа в тому що характеристика станів системи не залежить або слабко залежить від логічної структури зафіксованої в діаграмі класів. Тому при розгляді станів системи припадає на час відволіктися від особливостей її об'єктної структури і мислити зовсім іншими категоріями які утворюють динамічний контекст поведінки модельованої системи. Тому при побудові діаграм станів необхідно використовувати спеціальні...
21291. Діаграма діяльності 625.5 KB
  Діаграма діяльності Вступ При моделюванні поведінки проектованої або аналізованої системи виникає необхідність не тільки уявити процес зміни її станів але і деталізувати особливості алгоритмічної та логічної реалізації виконуваних системою операцій. Для моделювання процесу виконання операцій в мові UML використовуються так звані діаграми діяльності. Застосовувана в них графічного багато в чому схожа на нотацію діаграми станів оскільки на діаграмах діяльності також присутні позначення станів і переходів. Кожен стан на діаграмі діяльності...
21292. Діаграма послідовності 571.5 KB
  Іншими словами хоча повідомлення і має інформаційний зміст воно набуває додаткове властивість надавати направлений вплив на свого одержувача. Повідомлення зображуються у вигляді горизонтальних стрілок з ім'ям повідомлення і також утворюють порядок за часом свого виникнення. Іншими словами повідомлення розташовані на діаграмі послідовності вище ініціюються раніше тих що розташовані нижче. Графічне зображення актора рекурсії та рефлексивного повідомлення на діаграмі послідовності 2.
21293. Методологія обєктно-орієнтованого аналізу і проектування ПЗ. Мова UML 72.5 KB
  Мова UML Зіставлення і взаємозв'язок структурного та об'єктноорієнтованого підходів Граді Буч сформулював головне достоїнство об'єктноорієнтованого підходу ООП наступним чином: об'єктноорієнтовані системи більш відкриті і легше піддаються внесенню змін оскільки їх конструкція базується на стійких формах. Буч відзначив також ряд наступних переваг ООП: об'єктна декомпозиція дає можливість створювати програмні системи меншого розміру шляхом використання загальних механізмів що забезпечують необхідну економію виразних засобів. Системи...
21294. Структурний підхід до проектування інформаційних систем 477 KB
  Основними з цих принципів є наступні: принцип абстрагування полягає у виділенні істотних аспектів системи і відволікання від несуттєвих; принцип формалізації полягає в необхідності суворого методичного підходу до вирішення проблеми; принцип несуперечності полягає в обгрунтованості та узгодженості елементів; принцип структурування даних полягає в тому що дані повинні бути структуровані і ієрархічно організовані. Кожній групі засобів відповідають певні види моделей діаграм найбільш поширеними серед яких є наступні: SADT...