22535

Упругость и пластичность. Закон Гука

Лекция

Производство и промышленные технологии

При высоких уровнях нагружения когда в теле возникают значительные деформации материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими. Твердые тела выполненные из различных материалов разрушаются при разной величине деформации. Соответствующие деформации обозначим через и причем эти деформации...

Русский

2013-08-04

156 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 8. Упругость и пластичность. Закон Гука

   Действие внешних сил на твердое тело приводит к возникновению в точках его объема напряжений и деформаций. При этом напряженное состояние в точке, связь между напряжениями на различных площадках, проходящих через эту точку, определяются уравнениями статики и не зависят от физических свойств материала. Деформированное состояние, связь между перемещениями и деформациями устанавливаются с привлечением геометрических или кинематических соображений и также не зависят от свойств материала. Для того чтобы установить связь между напряжениями и деформациями, необходимо учитывать реальные свойства материала и условия нагружения. Математические модели, описывающие соотношения между напряжениями и деформациями, разрабатываются на основе экспериментальных данных. Эти модели должны с достаточной степенью точности отражать реальные свойства материалов и условия нагружения.

   Наиболее распространенными для конструкционных материалов являются модели упругости и пластичности. Упругость — это свойство тела изменять форму и размеры под действием внешних нагрузок и восстанавливать исходную конфигурацию при снятии нагрузок. Математически свойство упругости выражается в установлении взаимно однозначной функциональной зависимости между.компонентами тензора напряжений и тензора деформаций. Свойство упругости отражает не только свойства материалов, но и условия нагружения. Для большинства конструкционных материалов свойство упругости проявляется при умеренных значениях внешних сил, приводящих к малым деформациям, и при малых скоростях нагружения, когда потери энергии за счет температурных эффектов пренебрежимо малы. Материал называется линейно-упругим, если компоненты тензора напряжений и тензора деформаций связаны линейными соотношениями.

   При высоких уровнях нагружения, когда в теле возникают значительные деформации, материал частично теряет упругие свойства: при разгрузке его первоначальные размеры и форма полностью не восстанавливаются, а при полном снятии внешних нагрузок фиксируются остаточные деформации. В этом случае зависимость между напряжениями и деформациями перестает быть однозначной. Это свойство материала называется пластичностью. Накапливаемые в процессе пластического деформирования остаточные деформации называются пластическими.

   Высокий уровень нагружения может вызвать разрушение, т. е. разделение тела на части. Твердые тела, выполненные из различных материалов, разрушаются при разной величине деформации. Разрушение носит хрупкий характер при малых деформациях и происходит, как правило, без заметных пластических деформаций. Такое разрушение характерно для чугуна, легированных сталей, бетона, стекла, керамики и некоторых других конструкционных материалов. Для малоуглеродистых сталей, цветных металлов, пластмасс характерен пластический тип разрушения при наличии значительных остаточных деформаций. Однако подразделение материалов по характеру разрушения на хрупкие и пластичные весьма условно, оно обычно относится к некоторым стандартным условиям эксплуатации. Один и тот же материал может вести себя в зависимости от условий (температура, характер нагружены я, технология изготовления и др.) как хрупкий или как пластичный. Например, пластичные при нормальной температуре материалы разрушаются как хрупкие при низких температурах. Поэтому правильнее говорить не о хрупких и пластичных материалах, а о хрупком или пластическом состоянии материала.

   Пусть материал является линейно-упругим и изотропным. Рассмотрим элементарный объем, находящийся в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1), так что тензор напряжений имеет вид

   При таком нагружении происходит увеличение размеров в направлении оси Ох, характеризуемое линейной деформацией , которая пропорциональна величине напряжения

(1)



Рис.1. Одноосное напряженное состояние

 

   Это соотношение является математической записью закона Гука, устанавливающего пропорциональную зависимость между напряжением и соответствующей линейной деформацией при одноосном напряженном состоянии. Коэффициент пропорциональности E называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он имеет размерность напряжений.

   Наряду с увеличением размеров в направлении действия; же напряжения происходит уменьшение размеров в двух ортогональных направлениях (рис. 1). Соответствующие деформации обозначим через и , причем эти деформации отрицательны при положительных и пропорциональны :

(2)

   Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом Пуассона, который в силу изотропности материала одинаков для обоих ортогональных направлений.

Соотношения, аналогичные (1) и (2), в случае одноосного нагружения в направлении осей Оу, Ог напряжением , , соответственно имеют вид

(3)

(4)

   При одновременном действии напряжений по трем ортогональным осям, когда отсутствуют касательные напряжения, для линейно-упругого материала справедлив принцип суперпозиции (наложения решений):

С учетом формул (1 — 4) получим

(5)

   Касательные напряжения вызывают угловые деформации, причем при малых деформациях они не влияют на изменение линейных размеров, и следовательно, на линейные деформации. Поэтому они справедливы также в случае произвольного напряженного состояния и выражают так называемый обобщенный закон Гука.

   Угловая деформация обусловлена касательным напряжением , а деформации и — соответственно напряжениями и . Между соответствующими касательными напряжениями и угловыми деформациями для линейно-упругого изотропного тела существуют пропорциональные зависимости

(6)

которые выражают закон Гука при сдвиге. Коэффициент пропорциональности G называется модулем сдвига. Существенно, что нормальное напряжение не влияет на угловые деформации, так как при этом изменяются только линейные размеры отрезков, а не углы между ними (рис. 1).

   Линейная зависимость существует также между средним напряжением (2.18), пропорциональным первому инварианту тензора напряжений, и объемной деформацией (2.32), совпадающей с первым инвариантом тензора деформаций:

(7)


Рис.2. Плоская деформация сдвига

 

Соответствующий коэффициент пропорциональности К называется объемным модулем упругости.

   В формулы (1 — 7) входят упругие характеристики материала Е, , G и К, определяющие его упругие свойства. Однако эти характеристики не являются независимыми. Для изотропного материала независимыми упругими характеристиками являются две, в качестве которых обычно выбираются модуль упругости Е и коэффициент Пуассона . Чтобы выразить модуль сдвига G через Е и , рассмотрим плоскую деформацию сдвига под действием касательных напряжений (рис. 2). Для упрощения выкладок используем квадратный элемент со стороной а. Вычислим главные напряжения , . Эти напряжения действуют на площадках, расположенных под углом к исходным площадкам. Из рис. 2 найдем связь между линейной деформацией в направлении действия напряжения и угловой деформацией . Большая диагональ ромба, характеризующая деформацию , равна

Для малых деформаций

С учетом этих соотношений

До деформации эта диагональ имела размер . Тогда будем иметь

Из обобщенного закона Гука (5) получим

откуда

Сравнение полученной формулы с записью закона Гука при сдвиге (6) дает

(8)

Сложим три соотношения упругости (5)

(9)

В итоге получим

Сравнивая это выражение с объемным законом Гука (7), приходим к результату

   Механические характеристики Е, , G и К находятся после обработки экспериментальных данных испытаний образцов на различные виды нагрузок. Из физического смысла все эти характеристики не могут быть отрицательными. Кроме того, из последнего выражения следует, что коэффициент Пуассона для изотропного материала не превышает значения 1/2. Таким образом, получаем следующие ограничения для упругих постоянных изотропного материала:

   Предельное значение приводит к предельному значению , что соответствует несжимаемому материалу ( при ). В заключение выразим из соотношений упругости (5) напряжения через деформации. Запишем первое из соотношений (5) в виде

С использованием равенства (9) будем иметь

откуда

Аналогичные соотношения можно вывести для и . В результате получим

(10)

Здесь использовано соотношение (8) для модуля сдвига. Кроме того, введено обозначение

 

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ УПРУГОЙ ДЕФОРМАЦИИ

   Рассмотрим вначале элементарный объем dV=dxdydz в условиях одноосного напряженного состояния (рис. 1). Мысленно закрепим площадку х=0 (рис. 3). На противоположную площадку действует сила . Эта сила совершает работу на перемещении . При увеличении напряжения от нулевого уровня до значения соответствующая деформация в силу закона Гука также увеличивается от нуля до значения , а работа пропорциональна заштрихованной на рис. 4 площади: . Если пренебречь кинетической энергией и потерями, связанными с тепловыми, электромагнитными и другими явлениями, то в силу закона сохранения энергии совершаемая работа перейдет в потенциальную энергию, накапливаемую в процессе деформирования: . Величина Ф=dU / dV называется удельной потенциальной энергией деформации, имеющей смысл потенциальной энергии, накопленной в единице объема тела. В случае одноосного напряженного состояния



Рис.3. Расчетная схема энергии деформации

 



Рис.4. Линейный закон сопротивления

 

   При одновременном действии напряжений , и на главных площадках (т. е. при отсутствии касательных напряжений) потенциальная энергия равна сумме работ, совершаемых силами на соответствующих перемещениях . Удельная потенциальная энергия равна

.



Рис.5. Расчетная схема сдвигаемой энергии

 

   В частном случае чистого сдвига в плоскости Оху, изображенном на рис. 5, сила совершает работу на перемещении . Соответствующая этому случаю удельная потенциальная энергия деформации равна

Подобные соотношения будут иметь место при сдвиге в других плоскостях.

В общем случае напряженно-деформированного состояния будем иметь

(11)

   Если деформации выразить через напряжения с помощью соотношений упругости (5) и (6), то получим эквивалентную (11) форму записи через компоненты тензора напряжений

(12)

   Выразив напряжения через деформации с использованием соотношений (6) и (10), получим еще одну форму записи для Ф — через компоненты тензора деформаций

   Еще одну форму записи для удельной потенциальной энергии деформации получим, разложив тензоры напряжений и деформаций на шаровые тензоры и девиаторы. В результате (11) можно привести к одной из форм

(13)

   Здесь введены обозначения для — интенсивности касательных напряжений и — интенсивности деформаций сдвига, которые выражаются через вторые инварианты и девиаторов тензора напряжений и тензора деформаций следующим образом:

   Первые слагаемые в (13) соответствуют произведению шаровых составляющих тензоров напряжений и деформаций, а вторые — произведению девиаторных составляющих. Так как шаровой тензор характеризует изменение объема, а девиатор — изменение формы, то соотношения (13) можно интерпретировать как разложение удельной потенциальной энергии на две составляющие: Ф=Ф0ф, где Ф0 соответствует изменению объема без изменения формы, а Фф — изменению формы без изменения объема. Первая составляющая будет вычисляться через компоненты тензора напряжений следующим образом:

(14)

   Удельную потенциальную энергию изменения формы проще найти не через интенсивность касательных напряжений, а как разность Ф — Ф0. Вычитая (14) из (12), после преобразований получим


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80815. Понятие и система источников экологического права 35.28 KB
  В российской системе права они представлены нормативными актами и нормативными договорами. к Конституции России земельное водное лесное законодательство законодательство о недрах об охране окружающей среды находятся в совместном ведении Российской Федерации и субъектов Российской Федерации. По предметам совместного ведения Российской Федерации и субъектов Российской Федерации как это предусмотрено ст. 2 Конституции России издаются федеральные законы и принимаемые в соответствии с ними законы и иные нормативные правовые акты субъектов...
80816. Общая характеристика Федерального закона «Об охране окружающей среды» 37.01 KB
  Основы управления в области охраны окружающей среды; глава III. Права и обязанности граждан общественных и иных некоммерческих объединений в области охраны окружающей среды; глава IV. Экономическое регулирование в области охраны окружающей среды; глава V.
80817. Природоресурсное законодательство как источник экологического права 27.65 KB
  В отличие от законодательства об окружающей среде в собственном смысле природоресурсное законодательство более развито поскольку как подчеркивалось ранее экологическое законодательство в России развивалось применительно к использованию и охране отдельных природных ресурсов. Природоресурсное законодательство это совокупность законов регулирующих отношения по использованию и охране отдельных природных объектов. Оно включает: Земельный кодекс Российской Федерации; Федеральный закон Об обороте земель сельскохозяйственного назначения...
80818. Понятие экологических правоотношений. Виды, содержание, объекты, субъекты 31.59 KB
  В соответствии с функциями норм права экологические правоотношения формируемые на их основании подразделяются на регулятивные и охранительные. Регулятивные экологические правоотношения направлены на обеспечение развития общественных отношений по природопользованию и охране окружающей среды. Это правоотношения по поводу экологического нормирования экспертизы лицензирования сертификации аудита ведения государственных кадастров природных ресурсов и комплексов мониторинга и др. К охранительным правоотношениям относятся правоотношения по...
80819. МЕХАНИЗМ УПРАВЛЕНИЯ И МЕТОДЫ УПРАВЛЕНЧЕСКОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ 44.01 KB
  Механизм управления – это совокупность средств и методов воздействия на деятельность людей коллективов. Особенность механизма управления состоит в возможности усиливать или ослаблять влияние средств управления выбирать средства воздействия. Механизм управления: средства управления то с помощью чего можно управлять; методы управления способы приведения рычагов в действие.
80820. СУЩНОСТЬ, ФУНКЦИИ И ПРОЦЕСС УПРАВЛЕНИЯ 45.39 KB
  Успех управления определяется искусством выбора вида воздействия. Рассмотрим подробнее структурносодержательный аспект управления. Сюда относятся: предвидение планирование либо прогнозирование грядущего состояния объекта управления; организация распределение меж работниками функций и задач предоставление им всего нужного для выполнения рабочих заданий; активизация побуждение людей к работе; координирование согласование усилий работников в процессе выполнения работы; регулирование устранение нежелательных отклонений в...
80821. УПРАВЛЕНИЕ ЧЕЛОВЕЧЕСКИМИ РЕСУРСАМИ: СУЩНОСТЬ И СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ 44.2 KB
  Анализ рынка труда и управление занятостью. Обеспечение рациональных условий труда в том числе благоприятной для каждого человека социальнопсихологической атмосферы. Управление производительностью труда. Объем работ по каждому из перечисленных видов деятельности зависит от следующих факторов: размеры предприятия; характеристики производимой продукции; ситуация на рынке труда; квалификация персонала; степень автоматизации производства; социальнопсихологическая обстановка на предприятии и за его пределами.
80822. МЕТОДЫ И ТЕХНОЛОГИИ ОЦЕНКИ ПЕРСОНАЛА 45.33 KB
  Оценка персонала имеет своей целью изучить степень подготовленности работника к выполнению именно того вида деятельности которым он занимается а также выявить уровень его потенциальных возможностей с целью оценки перспектив роста а также разработки кадровых мероприятий необходимых для достижения целей кадровой политики. Основным требованием при проведении аттестации являются: отделение критики от самой процедуры оценки. Методы оценки по их направленности: 1.
80823. ОСНОВЫ ПЛАНИРОВАНИЯ ЧЕЛОВЕЧЕСКИХ РЕСУРСОВ 46.28 KB
  Кадровое планирование планирование персонала это целенаправленная деятельность по подготовке кадров обеспечению пропорционального и динамичного развития персонала расчету его профессионально-квалификационной структуры определению общей и дополнительной потребности контролю за его использованием. Сущность кадрового планирования заключается в создании условий для предоставления людям рабочих мест в нужный момент времени и в необходимом количестве в соответствии с их способностями склонностями и требованиями бизнеса Основные задачи...