22543

Моменты инерции относительно параллельных осей

Лекция

Производство и промышленные технологии

Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей параллельных друг другу то оказывается что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей зная ее момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Русский

2013-08-04

119.5 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей.

   Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.



Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

 

   Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

и

Из рис.1 имеем:

   Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

   Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

   Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

   Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

   Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

   Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

   Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).



Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

 

   Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

(3)

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или

(4)

Аналогично:

или

(5)

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний — центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:

(6)

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

   Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

   Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

   Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

   Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

   Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30151. Описание технологического процесса приготовления салата фирменного «Пикантный», стейка из свинины 227.67 KB
  Правильно организованный, подготовленный и проведённый на научной основе технологический процесс приготовления блюд и кулинарных изделий позволит полностью исключить присутствие в готовых блюдах вредных веществ и соединений, сохранить в них полезные для человека вещества.
30152. Направления повышения финансовой устойчивости и платежеспособности ОАО Дека 222.19 KB
  1 Теоретические и методологические основы анализа финансовой устойчивости и платежеспособности предприятия 1.1 Понятие и сущность финансовой устойчивости предприятия.3 Методологические основы анализа финансовой устойчивости и платежеспособности 2 Анализ финансовой устойчивости и платежеспособности предприятия на примере ОАО Дека . При этом увеличение значимости финансов и выдвижение роли финансовых аспектов деятельности предприятия на первый план в современном обществе – это...
30154. Сущность и задачи ВЭД организации и определение понятия экспорта 357 KB
  1 Сущность и задачи ВЭД организации и определение понятия экспорта Внешнеэкономическая деятельность предприятий это сфера хозяйственной деятельности связанная с международной производственной и научнотехнической кооперацией экспортом и импортом продукции выходом предприятия на внешний рынок. Экспорт продажа иностранному партнеру товаров в материальновещественной форме с вывозом их за границу продажа услуг и научнотехнической продукции. Эффективность такого механизма во многом зависит от номенклатуры импортируемых товаров спроса на...
30155. Изучение дистанционного банковского обслуживания, как одного из самых перспективных направлений развития банковской системы, а также изучение степени развитости данного вида услуг на примере ЗАО МКБ Москомприватбанк 472.79 KB
  Первые получают возможность совершать широкий спектр операций в любое время суток в любом месте с помощью доступных средств компьютера с выходом в интернет мобильного или стационарного телефона банкоматов и киосков самообслуживания и др. С технической стороны подобные системы существуют достаточно давно но только с массовым распространением Интернета они смогли получить всеобщее признание поскольку появилась возможность осуществлять операции со счетом из любой точки земного шара где есть доступ в Сеть. Все больше операций совершается с...
30158. Формирование и анализ фирменного стиля туристской фирмы «Астрагал» в городе Орехово-Зуево 147 KB
  Дата государственной регистрации ОАО Гостиница Обь : 21. Основные товарные позиции ОАО Гостиница Обь на рынке г. Основной хозяйственной деятельностью ОАО Гостиница Обь являются гостиничные услуги. Доля доходов ОАО Гостиница Обь от оказания гостиничных услуг в общих доходах по состоянию 01.