22543

Моменты инерции относительно параллельных осей

Лекция

Производство и промышленные технологии

Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей параллельных друг другу то оказывается что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей зная ее момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Русский

2013-08-04

119.5 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей.

   Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.



Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

 

   Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

и

Из рис.1 имеем:

   Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

   Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

   Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

   Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

   Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

   Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

   Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).



Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

 

   Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

(3)

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или

(4)

Аналогично:

или

(5)

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний — центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:

(6)

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

   Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

   Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

   Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

   Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

   Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32327. Органы государства: понятие, признаки и виды органов государства 37 KB
  Органы государства: понятие признаки и виды органов государства Анализ государства с позиций его механизма позволяет выявить место и роль каждого элемента в системе государственного властвования определить его оптимальную структуру иерархические связи с иными элементами и т. Признаки органа государства: 1 представляет собой самостоятельный элемент механизма государства выступая неотъемлемой частью единого государственного организма; 2 действует от имени государства и по его поручению; 3 образован и функционирует на основе...
32328. Основные положения теории разделения властей и ее значение в современных условиях 47.5 KB
  Основные положения теории разделения властей и ее значение в современных условиях. В современном мире разделение властей характерная черта признанный атрибут правового демократического государства. Сама же теория разделения властей итог многовекового развития государственности поиска наиболее действенных механизмов предохраняющих общество от деспотизма. Теория разделения властей была создана несколькими исследователями политики: идея высказывалась Аристотелем теоретически была развита и обоснована Джоном Локком 16321704 гг.
32329. Форма правления государства. Понятие, виды, характеристика отдельных видов форм правления 39.5 KB
  Форма правления государства. Понятие виды характеристика отдельных видов форм правления. Форма государства это способ организации политической власти охватывающий форму правления форму государственного устройства и политический режим. Форма государственного правления это элемент формы государства характеризующий организацию верховной государственной власти порядок образования ее органов и их взаимоотношения с населением.
32330. Форма государственного устройства как элемент формы государства. Понятие, виды, характеристика отдельных видов 33.5 KB
  Форма государственного устройства как элемент формы государства. Форма государственного устройства это элемент формы государства характеризующий внутреннюю структуру государства способ его политического и территориального деления обусловливающий определенные взаимоотношения органов всего государства с органами его составных частей. Взимание местных налогов как правило допускается с санкции государства. Территории в отличие от государства не вправе по своему усмотрению устанавливать и взимать налоги.
32331. Политический режим как элемент формы государства. Понятие режима. Виды режимов. Демократия как режим государства. Ее значение и виды. Антидемократические режимы и их виды 62 KB
  Политический государственный режим это система методов способов и средств осуществления политической власти. По мнению других авторов понятие политический режим более широкое чем понятие государственный режим поскольку включает в себя методы и приемы осуществления политической власти не только со стороны государства но и со стороны политических партий и движений общественных объединений организаций и т. Если первая показывает весь комплекс институтов участвующих в политической жизни общества и в осуществлении политической...
32332. Политическая система общества. Ее понятие, структура, типы. Характеристика отдельных типов политических систем 46.5 KB
  Выделяют следующие компоненты политической системы: 1 политическая организация общества включающая в себя государство политические партии и движения общественные организации и объединения трудовые коллективы и т.; 2 политическое сознание характеризующее психологические и идеологические стороны политической власти и политической системы; 3 социальнополитические и правовые нормы регулирующие политическую жизнь общества и процесс осуществления политической власти; 4 политические отношения складывающиеся между элементами системы...
32333. Место и роль государства и права в политической системе общества 33.5 KB
  Место и роль государства и права в политической системе общества Понятия государство и политическая система общества соотносятся как часть и целое. Государство концентрирует в себе все многообразие политических интересов регулируя явления политической жизни через призму общеобязательности. Именно в этом качестве государство играет особую роль в политической системе придавая ей своего рода целостность и устойчивость. Государство занимает центральное ведущее положение в политической системе общества так как оно: 1 выступает в качестве...
32334. Понятие и роль социальных норм. Деление их на обычаи, нравственные, правовые, корпоративные. Взаимосвязь правовых и иных социальных норм. Другие основания классификации социальных норм 55 KB
  Важнейшим средством организации общественных отношений являются социальные нормы: нормы права нормы морали нормы общественных организаций нормы традиций обычаев и ритуалов. Эти нормы обеспечивают наиболее целесообразное и гармоничное функционирование общества в соответствии с потребностями его развития. Социальные нормы это правила регулирующие поведение людей и деятельность организаций в их взаимоотношениях. Социальные нормы характеризуются рядом признаков: 1.
32335. Сущность права, признаки права и определение его понятия на основе нормативного подхода. Иные подходы к определению понятия права 43.5 KB
  Сущность права признаки права и определение его понятия на основе нормативного подхода. Иные подходы к определению понятия права. Специфика права проявляется в его признаках которые содержатся в приведенном выше определении. Эти признаки заключаются в следующем: 1 право носило волевой характер ибо оно есть проявление воли и сознания людей но не любой воли а прежде всего государственно выраженной воли классов социальных групп элит большинства членов общества; 2 общеобязательность в чем воплощается суверенитет государства...