22543

Моменты инерции относительно параллельных осей

Лекция

Производство и промышленные технологии

Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей параллельных друг другу то оказывается что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей зная ее момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Русский

2013-08-04

119.5 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей.

   Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.



Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

 

   Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

и

Из рис.1 имеем:

   Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

   Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

   Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

   Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

   Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

   Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

   Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).



Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

 

   Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

(3)

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или

(4)

Аналогично:

или

(5)

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний — центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:

(6)

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

   Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

   Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

   Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

   Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

   Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30722. «Новый курс» Результата и его историческое значение 24.5 KB
  Его основная цель состояла в оздоровлении экономики и восстановления доверия граждан к государству. Политика Рузвельта получила название Новый курс который он восстановил государственное регулирование экономики и социальных отношений. Законом об оздоровлении национальной экономики вся промышленность была разделена на 17 групп по отраслям и регулировалась нормативными актами кодексами чести определявшими объем выпуска товаров уровня заработной платы распределение рынков сбыта продолжительность рабочего времени и др....
30723. Эволюция и крах бюрократических режимов в стране ЦЮВЕ 26.5 KB
  было сформировано коалиционное правительство в ГДР. Чехословакия и ГДР несколько условно могут быть отнесены к государствам с довольно высоким уровнем развития Польша Венгрия Хорватия и Словения – страны среднего развития а Болгария Румыния четыре другие республики бывшей Югославии Сербия Черногория Македония Босния и Герцеговина Албания – низкого. По решению парламентов ГДР и ФРГ с 1 июля 1990 г. ГДР прекратила свое существование вместо нее появились пять новых федеральных земель ФРГ.
30724. Изоляционизм США термин использовавшийся с середины 19 в. 25 KB
  Изоляционизм США термин использовавшийся с середины 19 в. для обозначения направления во внешней политике США в основе которого лежит идея невмешательства в европейские дела и вообще в вооруженные конфликты вне американского континента. складывались под влиянием ряда факторов: географическая обособленность Американского континента создание в США ёмкого внутреннего рынка способствовавшего тому что значительная часть буржуазии мало интересовалась заокеанской экспансией расширение за счет др.
30725. Великобритания выбор новой модели развития в условиях кризиса и распада колониальной империи 28.5 KB
  Черчилль предложил емкую формулировку такого мировидения концепцию трех великих кругов центром пересечения которых считалась Британия. Чем глубже пускала корни биполярная система мира тем активнее Британия искала себе место в условиях противостояния двух сверхдержав. в 1940–1950е годы Британия все еще ощущала себя империей однородным государством и державой глобального масштаба.
30726. Ялтинская и Потсдамская конференции глав правительств СССР, США и Великобритании. (1945) 22.5 KB
  Участвовали: Сталин СССР Черчилль Великобритания Рузвельт США. Основные решения: 1 Германия делилась на 4 оккупационные зоны СССР Франция Англия США. 3 Согласия СССР вступить в войну с Японией через 3 месяца после капитуляции Германии.
30727. Кризис неолиберализма в США. Переход к неконсервативной модели развития ГМК 26 KB
  Главный замысел неолиберализма – снижение регулирующей роли государства в экономике При общем экономическом подъеме неолиберальный курс обусловил неустойчивость и нестабильность развития США Причиной экономического роста в США стали специфические внутренние и внешние факторы конца ХХ в. Экономическое развитие США последнего десятилетия окончательно подтверждает: неолиберальная перестройка – это путь к строительству эффективной капиталистической экономики. Неолиберальный режим вызвал крайне нестабильный экономический рост в США в 90е...
30728. Политика «невмешательства» (1935 – 1937 гг.). Мюнхенское соглашение 1938 г. и его значение для судеб мира 24.5 KB
  СССР готово было прийти на помощь Чехословакии в 1935 г у СССР и Чехословакии был договор о взаимопомощи при поддержке Франции у которой с СССР был такой же договор. Но французское правительство не поддержало СССР т. Попытки англофранцузской дипломатии умиротворить нацистов без участи СССР оказались тщетными и тогда Англия и Франция вынуждены были предоставить гарантии безопасности возможным жертвам агрессии – Польше Румынии Греции и начали секретные переговоры с Советским союзом. провалились изза недоверия...
30729. Внутренняя политика британских консерваторов в 1930-е гг 23 KB
  Консерваторы – выдвигали идею отказа от свободной торговли и перехода к политике протекционизма поддержка национальной экономики и защита от иностранных конкурентов требовали активизаций колониальной политики беспомощного подавления национальноосвободительного движения ирландского народа. В период утверждения капитализма на Западе консерваторы противостояли либерализму и социализму они то приходили к власти то теряли ее. Консерваторы же упорно настаивали на своих методах регулирования экономики основываясь на рыночных отношениях и в...
30730. Причины, основные этапы и итоги гражданской войны в Испании (1936 – 1939) 25.5 KB
  в Испании на всеобщих выборах побеждают левые силы – партия Народный фронт республиканцы коммунисты которые возобновили аграрную реформу амнистируют политических заключенных поощряют требования забастовщиков снижение налогов и т. испанские войска в Марокко колония Испании под командованием генерала Франко против республики Народного Фронта. мятеж с колонии перекидывается на территорию Испании Франко поддерживают сухопутные войска.