22543

Моменты инерции относительно параллельных осей

Лекция

Производство и промышленные технологии

Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей параллельных друг другу то оказывается что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей зная ее момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Русский

2013-08-04

119.5 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей.

   Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.



Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

 

   Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

и

Из рис.1 имеем:

   Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

   Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

   Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

   Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

   Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

   Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

   Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).



Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

 

   Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

(3)

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или

(4)

Аналогично:

или

(5)

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний — центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:

(6)

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

   Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

   Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

   Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

   Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

   Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8753. Государство и экономика 62 KB
  Государство и экономика. Современный рынок не регулируется только с помощью механизма свободного ценообразования. Действуя стихийно, законы рынка не только дают положительный эффект, но и порождают негативные тенденции в экономике, такие, как монопо...
8754. Нации и межнациональные отношения 43.5 KB
  Нации и межнациональные отношения Этносы - большие группы людей, выделяемые на основе общности культуры, языка, сознания нерасторжимости исторической судьбы. Социальные общности, выделяемые по этническому признаку, многообразны. Прежде всего, э...
8755. Государство. Три ветви власти 39.5 KB
  Государство. Три ветви власти Государство - важнейший институт политической системы общества. В политической науке до сих пор не достигнут консенсус по вопросу об определении понятия государства. Различные теории выдвигают на первый план один из асп...
8756. Роль права в жизни общества. Правовое государство 44.5 KB
  Роль права в жизни общества. Правовое государство Право - система общеобязательных норм (правил) поведения установленных или санкционированные государством и обеспеченных его принудительной силой. Но наряду с подобным нормативным по...
8757. Демократия и парламентаризм. Политические реформы в России 56.5 KB
  Демократия и парламентаризм. Политические реформы в России Термин демократия появился в Древней Греции и в буквальном переводе означает власть народа. В современной политической науке под демократией понимается политический режим (иногда говорят о п...
8758. Политический статус личности 42 KB
  Политический статус личности Политический статус личности - положение человека в политической системе общества, совокупность его политических прав и обязанностей, возможностей оказать влияние на политическую жизнь страны. Все граждане демократ...
8759. Права человека. Их закрепление в Конституции Российской Федерации 36.5 KB
  Права человека. Их закрепление в Конституции Российской Федерации Правовой статус личности характеризуется совокупностью прав и свобод, которые принадлежат ей по закону. Права человека - гарантируемая законом мера возможного поведения индивида. Эти ...
8760. Понятие и виды юридической ответственности 44 KB
  Понятие и виды юридической ответственности Юридическая ответственность -возникшее из правонарушений правовое отношение между государством в лице его специальных органов и правонарушителем, на которого возлагается обязанность претерпевать...
8761. Система права. Отрасли права 52 KB
  Вариант 1 Система права. Отрасли права. Методы правового регулирования позволяют ответить на вопрос как, каким образом осуществляется правовое регулирование? Императивный (повелительный, обязательный) - предполагает властные предписания...