22543

Моменты инерции относительно параллельных осей

Лекция

Производство и промышленные технологии

Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей параллельных друг другу то оказывается что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей зная ее момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Русский

2013-08-04

119.5 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей.

   Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.



Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

 

   Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

и

Из рис.1 имеем:

   Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

   Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

   Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

   Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

   Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

   Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

   Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).



Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

 

   Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

(3)

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или

(4)

Аналогично:

или

(5)

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний — центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:

(6)

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

   Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

   Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

   Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

   Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

   Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49397. Протокол SNMP и его применение 188.57 KB
  Архитектурная модель SNMP представляет собой набор станций сетевого управления и управляемых сетевых элементов. Протокол SNMP используется для обмена информацией между станциями сетевого управления и сетевыми элементами. На станциях сетевого управления выполняются программы, которые обеспечивают мониторинг, и управление сетевыми элементами - так называемые менеджеры. В сетевых элементах реализуется программный агент...
49398. Расчет ходовых частей железнодорожного подвижного состава 4.69 MB
  ХОДОВЫЕ ЧАСТИ ПОДВИЖНОГО СОСТАВА Особенностями ходовых частей железнодорожного подвижного состава влияющими на конструктивное оформление рельсовой колеи являются: наличие реборд гребней у бандажей колес; глухая насадка колес; параллелизм осей в пределах жесткой базы; поперечные разбеги осей подвижного состава а также наличие у некоторых экипажей поворотной оси или тележки; коничность бандажей. Колесная пара железнодорожного экипажа состоит из оси и двух наглухо насаженных колес с бандажами...
49399. Устройство сбора телеметрической информации с оценкой измеряемой величины с порогом 239.5 KB
  МикроЭВМ цифровая ЭВМ с интерфейсом ввода вывода состоящая из МП памяти и при необходимости пульта управления и источников питания объединенных в единой несущей конструкции. ША предназначена для передачи адресов от МП к блоку памяти и внешних устройств. Программа обработки с распределением команд по ячейкам памяти. Адрес памяти Метка Команда мнемоника код Число тактов Время выпол Комментарий 8000h LXI D 8037h 10 10 Запись адреса ячейки памяти предназначенную для данных с датчиков в регистр D 80030h M0 MVI B Fh 06 7 35 Записываем...
49400. Проектирования газотурбинного двигателя мощностью 16 МВт для привода нагнетателя природного газа, на базе конвертированного авиационного двигателя НК-16-СТ 955.65 KB
  Кратко даны обоснование и описание конструкции газотурбинного привода, технология эксплуатации, рассмотрены вопросы безопасности и экологичности проекта, стандартизации и метрологии, определена экономическая эффективность инвестиций замены ГТД. В качестве иллюстрации полученных результатов выполнен ряд графических работ.
49401. Расчет одномерных систем автоматического управления 1.09 MB
  Такие системы управления называются следящими. Самонастройка системы на оптимум какоголибо из показателей объекта или системы. Это может быть обеспечение и экстремального значения управляемой величины и максимального быстродействия системы управления путем подстройки её параметров и режима работы объекта оптимального в определенном заданном смысле. Системы управления разделяются на разомкнутые и замкнутые.
49402. Устройство сбора телеметрической информации c оценкой измеряемой величины 247 KB
  Конструктивная реализация устройства включает в себя ряд коммутаторов с подключенными к ним дешифраторами аналоговоцифровой преобразователь АЦП и микропроцессорный блок включающий в себя сам микропроцессор тактовый генератор и память ПЗУ и ОЗУ. Описание работы схемы Чтобы считать с определенного датчика сигнал необходимо выбрать коммутатор его канал и запустить АЦП. Из ША разряды А1 А2 А3 и А4 поступают на коммутаторы К1К63 которые снимают показания датчиков затем сигнал поступает на коммутаторы К64К67 которые выбирают какой из...
49403. Устройство селекции ВИК 170 KB
  В работе выполнена разработка структурной схемы алгоритма работы устройства программного обеспечения а также приведен расчет требуемой памяти. Задачи решаемые современными устройствами постоянно усложняются. Перспективными представляются селектирующие устройства на микропроцессорах. Преимуществами таких устройств является возможность накопления информации от различных источников в регистрах общего назначения РОНАХ и их анализа согласно выбранным критериям осуществление оперативной настройки на различные коды без существенного...