22543

Моменты инерции относительно параллельных осей

Лекция

Производство и промышленные технологии

Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей параллельных друг другу то оказывается что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей зная ее момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Русский

2013-08-04

119.5 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей.

   Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.



Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

 

   Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

и

Из рис.1 имеем:

   Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

   Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

   Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

   Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

   Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

   Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

   Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).



Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

 

   Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

(3)

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или

(4)

Аналогично:

или

(5)

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний — центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:

(6)

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

   Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

   Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

   Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

   Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

   Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

1651. Способы определения концентрации спермиев в эякуляте: подсчет в счетной камере при помощи ФЭК по стандартам 20.59 KB
  Концентрацию спермиев определяют с помощью фотоэлектроколориметров (ФЭК), калибровочную кривую для которых составляют по результатам подсчета спермиев в камере Горяева.
1652. Способы искусственного осеменения кобыл 20.49 KB
  При осеменении кобыл сперму вводят в матку (маточный метод осеменения). В практике применяют два способа введения спермы: мануальный и визуальный.
1653. Способы искусственного осеменения коров и телок 20.59 KB
  Для осеменения коров и телок используется цервикальный метод осеменения, т. е. в шейку матки. Существуют три принципиально различающихся по технике исполнения способа введения спермы в цервикальный канал.
1654. Способы искусственного осеменения свиноматок 20.5 KB
  При искусственном осеменении свиней сперма вводится в матку. В практике применяется два способа осеменения: фракционный и нефракционный.
1655. Способы получения спермы от производителей, их преимущества и недостатки 20.33 KB
  Получать сперму от самцов для использования и искусственного осеменения самок можно уретральным и вагинальным методами.
1656. Способы хранения спермы быка 21.29 KB
  Способы хранения спермы вне организма основаны на физиологических свойствах спермиев переходить в состояние анабиоза. Кратковременное хранение спермы и хранение в полном анабиозе.
1657. Сроки наступления половой зрелости у различных видов самок и самцов. 20.73 KB
  Половая зрелость - способность животных производить потомство. Она характеризуется образованием яйцеклетки и проявлением половых циклов у самок, выделением спермиев у самцов, выработкой половых гормонов, обуславливающих развитие вторичных признаков.
1658. Стадии родов: подготовительная, выведения плода, последовая 20.49 KB
  Роды - это сложный физиологический процесс, заключается в выведении зрелого жизнеспособного плода и его плодных оболочек из полости матки через родовые пути.
1659. Сущность искусственного осеменения и его значения в животноводстве 20.44 KB
  И.И. Иванов - основоположник методов искусственного осеменения с/х животных. Самое крупное открытие в области животноводства после приручения и одомашнивания животных.