22543

Моменты инерции относительно параллельных осей

Лекция

Производство и промышленные технологии

Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей параллельных друг другу то оказывается что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей зная ее момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Русский

2013-08-04

119.5 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей.

   Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.



Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

 

   Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

и

Из рис.1 имеем:

   Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

   Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

   Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

   Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

   Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

   Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

   Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).



Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

 

   Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

(3)

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или

(4)

Аналогично:

или

(5)

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний — центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:

(6)

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

   Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

   Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

   Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

   Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

   Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27383. Алгоритмы: 1. Письменного сложения и вычитания 2. Письменного умножения 3. Письменного деления 20.18 KB
  Письменного деления ЗУНы для сложения и вычитания: Нумерация многозначных чисел Разрядный состав многозначных чисел Десятичный состав числа Навык сложения и вычитания чисел в пределах 20 Знание переместительного и сочетательного закона сложения Как и другие алгоритмы письменного вычисления в и – рассматриваются поэтапно: Актуализация ЗУН подготовка к изучению алгоритма подготовка и изучение алгоритма Введение самого алгоритма Усвоение алгоритма Продуктивное повторение новой темы включать новые знания в систему имеющихся Основная...
27384. Функции текстовых задач 17.29 KB
  Любое математическое задание можно рассматривать как задачу выделив в нем условие т. Функции текстовых задач. Ведущие методисты отмечают что решение текстовых задач в начальной школе преследует двойную цель: с одной стороны – научить решать текстовые задачи различных видов с другой стороны – сами текстовые задачи выступают как средство обучения воспитания и развития школьников.
27385. Математическое развитие младших школьников невозможно без приобщения их к геометрии 19.38 KB
  Эта особенность находит свое выражение и в начальных классах где формирование представлений о геометрических фигурах связано с изучением таких величин как длина и площадь. Основой формирования у детей представлений о геометрических фигурах является способность их к восприятию формы. В развитии представлений о геометрических фигурах учащиеся начальных классов проходят два этапа. Формируя у них целостное представление о геометрических фигурах следует идти от реальных предметов к их моделям геометрическим фигурам и наоборот: от...
27386. Различные подходы к построению урока математики 19.44 KB
  Основные этапы подготовки учителя к уроку математики: общий способ деятельности связанный с планированием урока можно представить в виде следующей последовательности вопросов. Какова функция учебных заданий данного урока обучающая развивающая контролирующая Какие знания умения навыки и приемы умственных действий формируются в процессе их выполнения 5. Какова дидактическая цель данного урока 6.
27387. Анализ и синтез 18.71 KB
  Способность к аналитикосинтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта его различные признаки или соединять элементы в единое целое но и в умении включать их в новые связи увидеть их новые функции. Так как работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше начать с первых уроков математики то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением предметов хорошо им знакомых в которых они могут выделить те или иные признаки опираясь...
27388. Методика преподавания русского языка 36 KB
  Как и любая другая наука методика русского языка имеет свой предмет. Методика русского языка призвана изучить закономерности формирования умений и навыков в области языка усвоения систем научных понятий по грамматике и по другим разделам науки о языке. Методика русского языка изучает уровни знаний умений и навыков учащихся на разных ступенях обучения выясняет причины успехов или неудач в обучении исследует типичные ошибки речевые орфографические и пр.
27389. Место курса «Русский язык» в учебном плане 76 KB
  Это обусловлено тем что русский язык является государственным языком Российской Федерации родным языком русского народа средством межнационального общения. Осознание единства звукового состава слова и его значения. Установление числа и последовательности звуков в слове. Сопоставление слов различающихся одним или несколькими звуками.
27390. Коммуникативно-познавательная основа русского языка 80 KB
  Коммуникативный принцип предусматривает: осмысление и реализацию основной функции языка быть средством общения; развитие умения ориентироваться в ситуациях общения понимать цель и результат общения собеседников контролировать и корректировать свою речь в зависимости от ситуации общения; знакомство с различными системами общения устными и письменными речевыми и неречевыми; формирование представления о тексте как результате продукте речевой деятельности; развитие у учащихся желания потребности создавать собственные тексты...
27391. Психолого-педагогические основы методики обучения грамоте 69 KB
  Что же собой представляет метод обучения В литературе существуют различные подходы к определению этого понятия: 1это способ деятельности учителя и учащихся; 2совокупность приемов работы; 3путь по которому учитель ведет учащихся от незнания к знанию; 4 система действий учителя и учащихся и т.Овладение грамотой – первый этап школьного обучения детей в течение которого у них должны быть сформированы начальные навыки чтения и письма. Перекодировка о которой сказано выше является главным предметом методики обучения грамоте поэтому...