22543

Моменты инерции относительно параллельных осей

Лекция

Производство и промышленные технологии

Моменты инерции относительно параллельных осей. Задачу получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей параллельных друг другу то оказывается что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей зная ее момент инерции относительно оси проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

Русский

2013-08-04

119.5 KB

9 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 17. Моменты инерции относительно параллельных осей.

   Задачу — получить наиболее простые формулы для вычисления момента инерции любой фигуры относительно любой оси — будем решать в несколько приемов. Если взять серию осей, параллельных друг другу, то оказывается, что можно легко вычислить моменты инерции фигуры относительно любой из этих осей, зная ее момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры параллельно выбранным осям.



Рис.1. Расчетная модель определения моментов инерции для параллельных осей.

 

   Оси, проходящие через центр тяжести, мы будем называть центральными осями. Возьмем (Рис.1) произвольную фигуру. Проведем центральную ось Оу, момент инерции относительно этой оси назовем . Проведем в плоскости фигуры ось параллельно оси у на расстоянии от нее. Найдем зависимость между и — моментом инерции относительно оси . Для этого напишем выражения для и . Разобьем площадь фигуры на площадки ; расстояния каждой такой площадки до осей у и назовем и . Тогда

и

Из рис.1 имеем:

   Первый из этих трех интегралов — момент инерции относительно центральной оси Оу. Второй — статический момент относительно той же оси; он равен нулю, так как ось у проходит через центр тяжести фигуры. Наконец, третий интеграл равен площади фигуры F. Таким образом,

(1)

т. е. момент инерции относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, проведенной параллельно у данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между осями.

   Значит, наша задача теперь свелась к вычислению только центральных моментов инерции; если мы их будем знать, то сможем вычислить момент инерции относительно любой другой оси. Из формулы (1) следует, что центральный момент инерции является наименьшим среди моментов инерции относительно параллельных осей и для него мы получаем:

Найдем также центробежный момент инерции относительно осей , параллельных центральным, если известен (Рис.1). Так как по определению

где: , то отсюда следует

   Так как два последних интеграла представляют собой статические моменты площади относительно центральных осей Оу и Oz то они обращаются в нуль и, следовательно:

(2)

   Центробежный момент инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей, параллельных центральным, равен центробежному моменту инерции относительно этих центральных осей плюс произведение из площади фигуры, на координаты ее центра тяжести относительно новых осей.

   Зависимость между моментами инерции при повороте осей.

   Центральных осей можно провести сколько угодно. Является вопрос, нельзя ли выразить момент инерции относительно любой центральной оси в зависимости от момента инерции относительно одной или двух определенных осей. Для этого посмотрим, как будут меняться моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте их на угол .

   Возьмем какую-либо фигуру и проведем через ее центр тяжести О две взаимно перпендикулярные оси Оу и Oz (Рис.2).



Рис.2. Расчетная модель для определения моментов инерции для повернутых осей.

 

   Пусть нам известны осевые моменты инерции относительно этих осей , , а также центробежный момент инерции .Начертим вторую систему координатных осей и наклоненных к первым под углом ; положительное направление этого угла будем считать при повороте осей вокруг точки О против часовой стрелки. Начало координат О сохраняем. Выразим моменты относительно второй системы координатных осей и, через известные моменты инерции и .

Напишем выражения для моментов инерции относительно этих осей:

(3)

Из чертежа видно, что координаты площадки dF в системе повернутых осей будут:

Подставляя эти значения и в формулы (14.9), получим:

или

(4)

Аналогично:

или

(5)

Первые два интеграла выражений (4) и (5) представляют собой осевые моменты инерции и , а последний — центробежный момент инерции площади относительно этих осей . Тогда:

(6)

Для решения задач могут понадобиться формулы перехода от одних осей к другим для центробежного момента инерции. При повороте осей (Рис.2) имеем:

где и вычисляются по формулам (14.10); тогда

После преобразований получим:

(7)

   Таким образом, для того чтобы вычислить момент инерции относительно любой центральной оси , надо знать моменты инерции и относительно системы каких-нибудь двух взаимно перпендикулярных центральных осей Оу и Oz, центробежный момент инерции относительно тех же осей и угол наклона оси к оси у.

   Для вычисления же величин > , приходится так выбирать оси у и z и разбивать площадь фигуры на такие составные части, чтобы иметь возможность произвести это вычисление, пользуясь только формулами перехода от центральных осей каждой из составных частей к осям, им параллельным. Как это сделать на практике, будет показано ниже на примере. Заметим, что при этом вычислении сложные фигуры надо разбивать на такие элементарные части, для которых по возможности известны величины центральных моментов инерции относительно системы взаимно перпендикулярных осей.

   Заметим, что ход вывода и полученные результаты не изменились бы, если бы начало координат было взято не в центре тяжести сечения, а в любой другой точке О. Таким образом, формулы (6) и (7) являются формулами перехода от одной системы взаимно-перпендикулярных осей к другой, повернутой на некоторый угол , независимо от того, центральные это оси или нет.

   Из формул (6) можно получить еще одну зависимость между моментами инерции при повороте осей. Сложив выражения для и получим

т. е. сумма моментов инерции относительно любых взаимно перпендикулярных осей у и z не меняется при их повороте. Подставляя последнее выражение вместо и их значения, получим:

где — расстояние площадок dF от точки О. Величина является, как уже известно, полярным моментом инерции сечения относительно точки О.

   Таким образом, полярный момент инерции сечения относительно какой-либо точки равен сумме осевых моментов инерции относительно взаимно перпендикулярных осей, проходящих через эту точку. Поэтому эта сумма и остается постоянной при повороте осей. Этой зависимостью (14.16) можно пользоваться для упрощения вычисления моментов инерции. Так, для круга:

Так как по симметрии для круга то

что было получено выше путем интегрирования.

Точно также для тонкостенного кольцевого сечения можно получить:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84698. Венская конвенция о дипломатических сношениях и ее значение 16.05 KB
  Так в соответствии со статьей 3 Конвенции функции дипломатического представительства состоят в частности: в представительстве аккредитующего государства в государстве пребывания; в защите в государстве пребывания интересов аккредитующего государства и его граждан в пределах допускаемых международным правом; в ведении переговоров с правительством государства пребывания; в выяснении всеми законными средствами условий и событий в государстве пребывания и сообщении о них правительству аккредитующего...
84699. Новые тенденции в развитии современной дипломатии 17.23 KB
  Новые тенденции в развитии современной дипломатии. решение международных проблем объективно стало главной функцией дипломатии. разнообразнее стали формы многосторонней дипломатии. Глобализация и взаимозависимость мира привели также к увеличению значимости дипломатии осуществляемой на высоком и высшем уровне.
84700. Основные участники внешнеполитического процесса с учетом внутреннего законодательства различных государств. Сложившаяся система государственных органов внешних сложений Российской Федерации 19.14 KB
  Деятельность органов внешней сношений первой группы носит дипломатический характер второго типа нет и исходит из той сферы какой занимается это представительство. Решающее слово в выработке внешней политики все равно остается за высшими органами управления главы государств и правительств. Во всех государствах с республиканским правлением высшим органом решения основных вопросов внешней политики являются высшие законодательные органы. В задачи функционального департамент информации и печати входит оповещение СМИ о прошедших или...
84701. Центральные органы внешних сношений ведущих иностранных государств 16.22 KB
  Органы внешних сношений США Конституция США принятая еще в 18 веке 17 сентября 1787 г. В конституции можно увидеть и такие уже ставшие архаичными полномочия Конгресса как ведение торговли с индейскими племенами но тут надо взять во внимание время принятия конституции США. II Конституции США говорится о полномочиях Президента. Если проанализировать существующую практику то можно прийти к заключению что главную роль в области внешних сношений в США играют два лица: Президент США и Государственный секретарь.
84702. Центральные органы внешних сношений России 16.09 KB
  В международном праве госорганы внешних сношений это национальные государственные органы и должностные лица правомочные представлять интересы соответствующего государства и его граждан в международных отношениях. Деятельность органов внешних сношений регулируется национальным законодательством и нормами международного права содержащимися главным образом в многосторонних и двусторонних международных договорах. учреждение постоянное представительство постоянное представительство при международной межправительственной организации или...
84703. Порядок разработки, принятия и реализации решений по вопросам внешней политики в Российской Федерации 13.75 KB
  Однако разработкой практически всех документов и решений по внешней политики РФ занимается МИД России как орган координирующий всю внешнюю политику России. Основные задачи МИД: разработка основных положений стратегии внешней стратегии РФ и подготовка соответствующих предложений президенту и правительству реализация внешней политики РФ координация внешнеполитической деятельности федеральных и региональных органов исполнительной власти в целях проведения единой внешнеполитической линии РФ на международной арене обеспечение дипломатическими...
84704. Место дипломатической службы в системах государственной власти мира 14.19 KB
  В одних из ведущих стран мира например США и Великобритании дипломатическая служба имеет следующее место: она выделена в особый вид государственной службы со своими правилами набора кадров рангирования продвижения по служебной лестнице и другими собственно кадровыми характеристиками; прием на службу производится практически исключительно через открытый конкурс с обязательной сдачей претендентами специальных квалификационных экзаменов; несмотря на провозглашенный принцип...
84705. Роль МИДа в выработке внешнеполитического курса 15 KB
  Обеспечивает дипломатические и консульские сношения РФ с иностранными государствами международными организациями представительство и защиту за рубежом интересов РФ прав и интересов российских физических и юридических лиц; Для успешной деятельности МИД РФ наделен следующими правамив соответствии с Положением о нем: Аполучение от органов государственной власти Российской Федерации и ее субъектов органов местного самоуправления предприятий учреждений и организаций независимо от их организационноправовых форм и ведомственной...
84706. Правовая основа деятельности МИД РФ 11.83 KB
  Положение о МИДе 14 марта 1995 г. утвержденное указом Президента РФ; Федеральные и федеральные конституционные законы; Постановления правительства РФ; указ президента о координирующей роли МИДа; положение о посольстве и после; положение о консульском учреждении РФ; положение о постоянном представительстве РФ при международной организации; указ о порядке присвоения и сохранения дипломатических рангов и об установлении ежемесячной надбавки к должностному окладу за дипломатический ранг; положение о порядке присвоения...