22544

Главные оси инерции и главные моменты инерции

Лекция

Производство и промышленные технологии

Главные оси инерции и главные моменты инерции. Как уже известно зная для данной фигуры центральные моменты инерции и можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси. Именно можно найти систему координатных осей для которых центробежный момент инерции равен. В самом деле моменты инерции и всегда положительны как суммы положительных слагаемых центробежный же момент может быть и положительным и отрицательным так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки.

Русский

2013-08-04

157 KB

1 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 18. Главные оси инерции и главные моменты инерции.

   Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции , и , можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.

   При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции и всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент

может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.

   Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать и ; для них

Найдем, под каким углом наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.



Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.

 

   В известном выражении для перехода от осей yz к осям , для центробежного момента инерции дадим углу значение ; тогда оси и , совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:

или

откуда:

(1)

   Этому уравнению удовлетворяют два значения , отличающиеся на 180°, или два значения , отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси и , для которых .

   Пользуясь этой формулой, можно по известным , и получить формулы для главных моментов инерции и . Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения и если вместо подставить

(2)

   Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является , другим .

   Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения . Выражая и через и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену из формулы (1):

Заменяя здесь из формулы (1) дробь на

получаем

(3)

   К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).

   За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси и ; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции (). Обозначим угол, составленный осью , (Рис.2) с главной осью , через . Для вычисления , и , переходя от осей и нужно в ранее найденных выражениях для , и , заменить угол через , а , и — через , и . В результате получаем:

   По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных и касательных напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:

   Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты , и после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла и вычислить главные центральные моменты инерции и по формулам (14.18).



Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.

 

   Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси (Рис.2), наклоненной к под углом :

   Зная же центральный момент инерции , можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси , проходящей на расстоянии (рис.2) от центра тяжести:

   Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы мы уже имели дело с интегралом, представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.

   Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии — всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.

   Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей и и центробежный момент его относительно тех же осей.



Рис.3. Пример расчета моментов инерции.

 

   Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:

Центральные моменты относительно повернутых осей и равны:

Центробежный момент инерции относительно осей и равен:

Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей и равны:

Моменты инерции относительно осей и равны:

Центробежный момент инерции равен:

 

Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.

   Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.

   Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось , и начнем ее вращать, т. е. менять угол ; при этом будет изменяться величина

Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу , при котором производная обращается в нуль. Эта производная равна:

Подставляя в написанное выражение и приравнивая его нулю, получаем:

отсюда

   Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то

Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если

то

   Следовательно, главные центральные оси инерции — это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52470. Спільні властивості компонентів середовища програмування Delphi 212.5 KB
  Мета: ознайомити студентів з основними властивостями компонентів об’єктноорієнтованого середовища програмування Delphi особливостями їх застосування; порівняти методи застосування властивостей компонентів при створенні програмних продуктів; розвивати пізнавальний інтерес студентів вміння порівнювати аналізувати узагальнювати робити логічні висновки; виховувати інтерес до вивчення дисципліни як науки яка є основою для вивчення технологій розробки програмного забезпечення різного рівня здобуття умінь та навичок своєї професії...
52471. Шлях до демократії 106 KB
  З метою розвитку лідерського потенціалу учнівської молоді її громадянської ініціативи набуття нею досвіду активної та компетентної участі в громадському житті складовою частиною системи виховної роботи я вбачаю реалізацію проекту учнівського самоврядування “Шлях до демократіїâ€ результатом якого є створення “міні – республіка “Веселка†що сприяє об’єднанню зусиль для добрих і корисних справ розвитку здібностей і талантів вихованню компетентної й успішної особистості вихованню громадянина України – носія національних...
52472. З чого починається гарний день 47 KB
  Хід заняття Діти сьогодні ми здійснимо подорож у чарівний світ казок В. Як пахне казка Так дітки казка сьогодні пахне свіжістю хвойним лісом Дітисьогодні я прокинулася подивилася на сонечко та й замислилась: цікаво а з чого починається новий день Діти як ви думаєте: з чого починається новий день Все це вірно: із сонечка умивання сніданку Але давайте подумаємо якими словами ми визначаємо прихід нового дня Так ми бажаємо всім кого ми зустрічаємо доброго ранку Давайте пригадаємо якими словами зустрічає вас зранку...
52473. Чому існують день та ніч 277 KB
  Обладнання: картини з зображенням небесних світил та зоряного неба глобус атрибути до гри Сонце і місяць. Що настала вечірня пора Із настанням вечора сонечко опускається до обрію і заходить за нього надворі сутеніє стає темніше починають спалахувати зірки з'вляється Місяць. Тут зображено зоряне небо а на цій картині ми бачимо сонце далі ми бачимо Місяць та інші космічні пейзажі. Ви розглянули картини скажіть що ви побачили нове невідоме чи незрозуміле Якої форми Сонце Місяць та зорі Чи їхні розміри однакові Про що...
52474. Европейский день языков 61.5 KB
  Цель: привлечь внимание к богатому языковому и культурному разнообразию Европы которое следует поддерживать а также расширять диапазон языков которым люди учатся на протяжении всей своей жизни укреплять взаимопонимание между народами; воздать должное всем европейским языкам включая редкие и те на которых говорят мигранты. Приветствие на разных европейских языках вступительное слово ведущих. Выходит группа учеников в национальных костюмах европейских государств язык которых они представляют.
52475. Про що шепотіли дерева 99 KB
  вихователь м. Вихователь. Вихователь. Дідусь заблукав і прийшов до нас але це дідусь не простий а казковий з ним завжди трапляються якісь пригоди вихователь читає вірш: Жив у світі старий дідусь Маленького зросту І сміявся старий дідусь Надзвичайно просто.
52476. СИМВОЛЫ И ЗНАКИ В ДЕКОРАТИВНО-ПРИКЛАДНОМ ИСКУССТВЕ. «ДЕРЕВО ЖИЗНИ» 271 KB
  ДЕРЕВО ЖИЗНИ ЦЕЛЬ: О. Оформление доски: дерево из картона радуга название урока запись темы. Это – Дерево Жизни. Итак тема сегодняшнего урока – Дерево Жизни.
52477. Утворення Галицько-Волинської держави за Романа Мстиславича 87.5 KB
  Утворення Галицько-Волинської держави за Романа Мстиславича Мета уроку. –утворення ГалицькоВолинської держави 1199-1205 рр. визначати поняття і терміни: ГалицькоВолинська держава громадянська війна самодержавство; давати коротку характеристику князям Роману Мстиславичу; Данилу Романовичу; показувати на карті територію держави утвореної Романом Мстиславичем та її столицю; території сусідніх держав; називати історичні писемні джерела що стосуються утворення ГалицькоВолинської держави зокрема періоду правління Романа...
52478. Провідні держави світу в 20 - 30-х рр. ХХ ст 48 KB
  Бойка Тип уроку: Урок – узагальнення Вид уроку: урок змагання Мета: Повторити та узагальнити вивчений матеріал з теми; Розвивати вміння учнів працювати з підручником документами історичною картою додатковим матеріалом в групах парах логічне мислення шляхом аналізу історичних подій підвести учнів до самостійного визначення ролі політичних постатей в історії формувати вміння висловлювати та аргументувати власну думку; Формувати творчий підхід у вивченні історії демократичні погляди інтерес до історії; Обладнання: карта...