22545

Прямой чистый изгиб стержня

Лекция

Производство и промышленные технологии

Прямой чистый изгиб стержня При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор изгибающий момент Мх рис. Так как Qy=dMx dz=0 то Mx=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил приложенными в торцевых сечениях стержня. Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок...

Русский

2013-08-04

99.5 KB

6 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 19. Прямой чистый изгиб стержня

   При прямом чистом изгибе в поперечном сечении стержня возникает только один силовой фактор — изгибающий момент Мх (рис. 1). Так как Qy=dMx/dz=0, то Mx=const и чистый прямой изгиб может быть реализован при загружении стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях стержня. Поскольку изгибающий момент Mх по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно оси Ох с нормальными напряжениями его связывает выкающее из этого определения уравнение статики

.

   Сформулируем предпосылки теории чистого прямого изгиба призматического стержня. Для этого проанализируем деформации модели стержня из низкомодульного материала, на боковой поверхности которого нанесена сетка продольных и поперечных рисок (рис. 2). Поскольку поперечные риски при изгибе стержня парами сил, приложенными в торцевых сечениях, остаются прямыми и перпендикулярными к искривленным продольным рискам, это позволяет сделать вывод о выполнении гипотезы плоских сечений, которая, как показывает решение этой задачи методами теории упругости, перестает быть гипотезой, становясь точным фактом — законом плоских сечений. Замеряя изменение расстояний между продольными рисками, приходим к выводу о справедливости гипотезы о ненадавливании продольных волокон .

   Ортогональность продольных и поперечных рисок до и после деформирования (как отражение действия закона плоских сечений) указывает также на отсутствие сдвигов, касательных напряжений в поперечных и продольных сечениях стержня.



Рис.1. Связь внутреннего усилия и напряжения

 



Рис.2. Модель чистого изгиба

 

   Таким образом, чистый прямой изгиб призматического стержня сводится к одноосному растяжению или сжатию продольных волокон напряжениями (индекс г в дальнейшем опускаем). При этом часть волокон находится в зоне растяжения (на рис. 2 это—нижние волокна), а другая часть—в зоне сжатия (верхние волокна). Эти зоны разделены нейтральным слоем (п—п), не меняющим своей длины, напряжения в котором равны нулю. Учитывая сформулированные выше предпосылки и полагая, что материал стержня линейно-упругий, т. е. закон Гука в этом случае имеет вид: , выведем формулы для кривизны нейтрального слоя (—радиус кривизны) и нормальных напряжений . Предварительно отметим, что постоянство поперечного сечения призматического стержня и изгибающего момента (Mх=сonst), обеспечивает постоянство радиуса кривизны нейтрального слоя по длине стержня (рис. 3, а), нейтральный слой (п—п) описывается дугой окружности.

   Рассмотрим призматический стержень в условиях прямого чистого изгиба (рис. 3, а) с поперечным сечением, симметричным относительно вертикальной оси Оу. Это условие не отразится на конечном результате (чтобы прямой изгиб был возможен, необходимо совпадение оси Оу с главной осью инерции поперечного сечения, которая и является осью симметрии). Ось Ox поместим на нейтральном слое, положение которого заранее неизвестно.

а) расчетная схема, б) деформации и напряжения

Рис.3. Фрагмент чистого изгиба бруса

 

   Рассмотрим вырезанный из стержня элемент длиной dz, который в масштабе с искаженными в интересах наглядности пропорциями изображен на рис. 3, б. Поскольку интерес представляют деформации элемента, определяемые относительным смещением его точек, одно из торцевых сечений элемента можно считать неподвижным. Ввиду малости считаем, что точки поперечного сечения при повороте на этот угол перемещаются не по дугам, а по соответствующим касательным.

Вычислим относительную деформацию продольного волокна АВ, отстоящего от нейтрального слоя на у:

.

Из подобия треугольников С001 и 01ВВ1 следует, что

.

   Продольная деформация оказалась линейной функцией расстояния от нейтрального слоя, что является прямым следствием закона плоских сечений

(1)

Тогда нормальное напряжение, растягивающее волокно АВ, на основании закона Гука будет равно

(2)

   Эта формула не пригодна для практического использования, так как содержит две неизвестные: кривизну нейтрального слоя и положение нейтральной оси Ох, от которой отсчитывается координата у. Для определения этих неизвестных воспользуемся уравнениями равновесия статики. Первое выражает требование равенства нулю продольной силы

(3)

Подставляя в это уравнение выражение (2)

и учитывая, что , получаем, что

   Интеграл в левой части этого уравнения представляет собой статический момент поперечного сечения стержня относительно нейтральной оси Ох, который может быть равным нулю только относительно центральной оси. Поэтому нейтральная ось Ох проходит через центр тяжести поперечного сечения.

   Вторым уравнением равновесия статики является, связывающее нормальные напряжения с изгибающим моментом (который легко может быть выражен через внешние силы и поэтому считается заданной величиной). Подставляя в уравнение связки выражение для. напряжений, получим:

и учитывая, что где Jx—главный центральный момент инерции относительно оси Ох, для кривизны нейтрального слоя получаем формулу

(4)

   Кривизна нейтрального слоя является мерой деформации стержня при прямом чистом изгибе. тем меньше, чем больше величина EJх, называемая жесткостью поперечного сечения при изгибе (по аналогии с жесткостью поперечного сечения при растяжении EF).

Подставляя (4) в (2), получаем формулу для нормальных напряжений в виде

(5)



Рис.4. Распределение нормальных напряжений

 

которая была впервые получена Ш. Кулоном в 1773 году. Для согласования знаков изгибающего момента Мх и нормальных напряжений в правой части формулы (5) ставится знак минус, так как при Mх>0 нормальные напряжения при y>0 оказываются сжимающими. Однако в практических расчетах удобнее, не придерживаясь формального правила знаков, определять напряжения по модулю, а знак ставить по смыслу. Нормальные напряжения при чистом изгибе призматического стержня являются линейной функцией координаты у и достигают наибольших значений в волокнах, наиболее удаленных от нейтральной оси (рис. 4), т. е.

   Здесь введена геометрическая характеристика , имеющая размерность м3 и получившая название момента сопротивления при изгибе. Поскольку при заданном Mх напряжения max ? тем меньше, чем больше Wx, момент сопротивления является геометрической характеристикой прочности поперечного сечения изгибе. Приведем примеры вычисления моментов сопротивления для простейших форм поперечных сечений. Для прямоугольного поперечного сечения (рис. 5, а) имеем Jх=bh3/12,ymax = h/2 и Wx = Jx/ymax = bh2/6. Аналогично для круга (рис. 5,a Jx=d4/64, ymax=d/2) получаем Wx=d3/32, для кругового кольцевого сечения (рис. 5, в), у которого

получаем

Итак, максимальные нормальные напряжения в сечении с изгибающим моментом Mх определяются по формуле

(6)



Рис.5. Конфигурации поперечных сечений бруса

 

   Этой формулой удобно пользоваться для расчета балок пластичного материала в упругой области, одинаково работающего на растяжение и сжатие. Поскольку знак напряжения в этом случае не имеет значения, напряжения вычисляются по модулю, и условие прочности при изгибе балки в форме призматического стержня получает вид

где max Mхмаксимальное значение изгибающего момента (легко определяемое по его эпюре), — допускаемое напряжение на простое растяжение (сжатие). Напомним, что чистый изгиб балки сводится к растяжению и сжатию ее волокон (неравномерному в отличие от деформации растяжения (сжатия) призматического стержня, при котором ).



Рис.6. Модель изгиба хрупкого материала

 

   При расчете балок из хрупких материалов следует различать наибольшие растягивающие max и наибольшие сжимающие напряжения (рис. 6.), которые также определяются по модулю непосредственно и сравниваются с допускаемыми напряжениями на растяжение и сжатие . Условие прочности в этом случае будет иметь вид:

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67564. ВАРИАЦИОННЫЙ МЕТОД 239 KB
  Ищем функции доставляющие функционалу экстремум при дополнительном условии нормировки. Таким образом вместо того чтобы решать уравнение Шредингера можно искать функции которые доставляют экстремум функционалу J. Возьмем собственные функции гамильтониана...
67565. ОСНОВЫ КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ. УРАВНЕНИЕ КЛЕЙНА-ГОРДОНА 192 KB
  Видим, что трудность проистекает из-за того, что в уравнении - вторая производная по времени. Попытаемся получить релятивистское уравнение первого порядка по времени. Но в СТО время и координаты равноправны, поэтому уравнение должно быть первого порядка и по координатам. Общий вид такого уравнения...
67566. Каналы передачи данных 430 KB
  Основные типы линий передачи данных. Основные понятия В начале лекции определим основные понятия которые характеризуют канал передачи данных и его основные параметры. Среда передачи данных – это совокупность линий передачи и блоков взаимодействия т.
67567. Кодирование информации в информационно-вычислительных сетях 46 KB
  Поскольку в канале передачи данных по ряду причин (например, по причине электромагнитных волн) могут возникнут помехи, искажающие передаваемую информацию, используется специальное кодирование данных кодами, исправляющими ошибки.
67568. Локальные вычислительные сети. Методы доступа к моноканалу 153.5 KB
  Маркерный доступ в кольцевой сети. Маркерный доступ в сети с шинной топологией. В это множество входят станции сети ЭВМ ГЭВМ терминалы устройства предназначенные для усиления сигнала в линиях связи репитеры трансиверы концентраторы устройства расширения сетей мосты коммутаторы маршрутизаторы шлюзы.
67569. Протоколы локальных вычислительных сетей. Принципы построения протоколов локальных вычислительных сетей 109 KB
  Стандарты протоколов для взаимодействия ЛВС с сетями передачи данных разрабатывает МККТТ международный консультативный комитет по телеграфии и телефонии. Основные принципы взаимодействия объектов на уровнях модели ВОС При взаимодействии двух уровней сети в частности сетевых уровней все время...
67570. Протоколы подуровня управления логическим каналом 103 KB
  Протоколы ПУЛК без установления логического соединения. Протоколы ПУЛК с установлением логического соединения. Протоколы подуровня управления логическим каналом без установления логического соединения При таком типе связи подуровень УЛК предоставляет сетевому уровню услугу по передаче кадров.
67572. Понятие бинарной алгебраической операции 161 KB
  Примерами таких операций могут служить обычные операции сложения вычитания или умножения на множестве всех действительных или комплексных чисел операция умножения на множестве всех квадратных матриц данного порядка операция композиции на множестве всех перестановок из N элементов операция векторного...