22546

Прямой поперечный изгиб стержня

Лекция

Производство и промышленные технологии

Прямой поперечный изгиб стержня При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня возникает изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy рис. 1 которые связаны с нормальными и касательными напряжениями Рис. Связь усилий и напряжений а сосредоточенная сила б распределеннаяРис. Однако для балок с высотой сечения h l 4 рис.

Русский

2013-08-04

122 KB

5 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 20. Прямой поперечный изгиб стержня

   При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня возникает изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy рис. 1), которые связаны с нормальными и касательными напряжениями



Рис.1. Связь усилий и напряжений

 



а) сосредоточенная сила, б) распределенная
Рис.2. Модели прямого поперечного изгиба:

 

   Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для прямого поперечного изгиба, вообще говоря, неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными напряжениями , происходит депланация поперечных сечении (отклонение от закона плоских сечений). Однако для балок с высотой сечения h<l/4 (рис. 2) погрешность невелика и ее применяют для определения нормальных напряжений поперечного изгиба как приближенную. При выводе условия прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипотезы:

а) в местах приложения сосредоточенных сил. Под сосредоточенной силой напряжения поперечного взаимодействия могут быть достаточно велики и во много раз превышать продольные напряжения , убывая при этом, в соответствии с принципом Сен-Венана, по мере удаления от точки приложения силы;

б) в местах приложения распределенных нагрузок. Так, в случае, приведенном на рис. 2, б, напряжения от давления на верхние волокна балки . Сравнивая их с продольными напряжениями , имеющими порядок

,

приходим к выводу, что напряжения при условии, что h2 <<l2, так как .

   Получим формулу для касательных напряжений . Примем, методика расчета нормальных напряжений известна, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения (рис. 3). Эта предпосылка выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение стержня. Точное решение задачи для прямоугольного поперечного сечения показывает, что отклонение от равномерного распределения , зависит от отношения сторон b/h. При (b/h) =1,0 оно составляет 12,6%, при (b/h) =0,5 — только 3,3%.



Рис.3. Расчетная модель поперечного прямого изгиба

 

   Непосредственное определение напряжений затруднительно, поэтому находим равные им (вследствие закона парности) касательные напряжения , возникающие на продольной площадке с координатой у элемента длиной dz, вырезанного из балки, (рис. 3). Сам элемент показан на рис. 4. От этого элемента продольным сечением, отстоящим от нейтрального слоя на у, отсекаем верхнюю часть, заменяя действие отброшенной нижней части касательными напряжениями (индекс гу в дальнейшем опускаем), равнодействующая которых показана на рис. 5. Здесь, согласно второй предпосылке



Рис.4. Расчетный элемент бруса

 



Рис.5. Фрагмент расчетного элемента бруса

 

по ширине элемента b. Нормальные напряжения и , действующие на торцевых площадках элемента, также заменим их равнодействующими

,

.

   Согласно первой предпосылке нормальные напряжения определяются уже известным способом, , где статический момент отсеченной части площади поперечного сечения относительно оси Ох.

Рассмотрим условие равновесия элемента (рис. 5) составив для него уравнение статики :

откуда после несложных преобразований, учитывая, что

получаем формулу для касательных напряжений при нормальном поперечном изгибе призматического стержня которая называется формулой Журавского.

 



Рис.6. Распределение касательных напряжений по контуру прямоугольного сечения

 

   В этой формуле by ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения, а статический момент, подставляемый в эту формулу, может быть вычислен как для верхней, так и для нижней части (статические моменты этих частей сечения относительно его центральной оси Ох отличаются только знаком, так как статическим момент всего сечения равен нулю).

   В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.). Учитывая, что для этого сечения

получаем

где F=bh—площадь прямоугольника.

   Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратичеокой параболы, достигая максимума на нейтральной оси

   Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от простых видов деформации, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy (рис. 7), напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные и касательные напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо уже известного критерия прочности.

   Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис. 7), а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям



Рис.7 Распределение нормальных и касательных напряжений по контуру сечения

 



Рис.8. К сравнительной оценке модулей напряжения

 

   Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим порядок max и max на примере консольной балки, показанной на рис. 8:

так как

Тогда

откуда max <<max, а поскольку то доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным напряжениям и условие прочности, например, для балки из пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в случае чистого изгиба будет иметь вид:

 

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ

   Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равнопрочности растянутой и сжатой зон балки. Иными словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (max ) н наибольшие напряжения сжатия (max ) одновременно достигали допускаемых напряжений и .

   Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: ), условие равнопрочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение (рис. 9, а), при котором обеспечено условие равенства . Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра (рис. 9, б), у которого возможно большая часть материала сосредоточена на полках (горизонтальных массивных листах), соединенных стенкой (вертикальным листом), толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутаврому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 9, в).



Рис.9. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

 

   Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 10):

которое вытекает из требования



Рис.10. Распределение напряжений несимметричного профиля сечения балки.

 



а) двутавр, б ) швеллер, в) неравнобокий уголок, г) равнобокий уголок
Рис.11. Используемые профили сечений:

 

   Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис. 11: а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др. Употребляются также холодногнутые замкнутые сварные профили (рис. 12).



Рис.12. Замкнутые сварные профили

 

   Поскольку по соображениям технологии сортамент стандартных профилей по размерам ограничен (например, наибольший прокатный двутавр согласно ГОСТ 8239—72 имеет высоту 550 мм), то для больших пролетов приходится применять составные (сварные или клепаные) балки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83498. Порядок виконання в Україні рішень Європейського судуд з прав людини 34.98 KB
  Порядок виконання в Україні рішень Європейського суду з прав людини визначається Законом України від 23 лютого 2006 р. Про виконання рішень та застосування практики Європейського суду з прав людини. 7 цього Закону протягом трьох днів з моменту набуття рішенням Суду статусу остаточного Орган представництва України у Європейському суді з прав людини: надсилає стислий виклад рішення стягувачеві Уповноваженої Верховної Ради України з прав людини всім державним органам посадовим особам та іншим субєктам прямо причетним до справи за якою...
83499. Поняття та джерела міжнародних договорів 32.22 KB
  Право міжнародних договорів це система правових норм що регламентують порядок укладання дії та припинення міжнародних договорів. Основу джерел галузі складають: Віденська конвенція про право міжнародних договорів 1969 р. яка розглядає різноманітні питання права міжнародних договорів і є основним джерелом галузі.
83500. Поняття та види міжнародних договорів 35.05 KB
  В залежності від кількості учасників міжнародні договори поділяються на двосторонні та багатосторонні. За ступенем відкритості договори можуть бути відкритими та закритими. Закритими є договори участь в яких залежить від згоди їх учасників. За обєктом міжнародні договори можуть поділятися на політичні економічні науковотехнічні і т.
83501. Стадії укладання міжнародного договору 39.55 KB
  Можна виділити наступні стадії укладання міжнародного договору: прийняття тексту встановлення автентичності тексту вираження згоди на обовязковість. Для участі у будьякій з стадій укладення договору представник держави повинен мати повноваження. Повноваження оформлюються документом що видається компетентним органом держави і за допомогою якого одна чи кілька осіб призначаються представляти цю державу з метою ведення переговорів прийняття тексту договору або встановлення його автентичності вираження згоди держави на обовязковість ДЛЯ...
83502. Застереження до міжнародного договору 36.01 KB
  Застереження це одностороння заява в будьякому формулюванні і під будьякою назвою зроблена державою при підписанні ратифікації прийнятті чи затвердженні договору або приєднанні до нього за допомогою якої вона бажає виключити або змінити юридичну дію певних положень договору в їхньому застосуванні до цієї держави ст. Застереження не повинно суперечити цілям і принципам договору змінювати його головний зміст. Воно не може бути зроблене якщо такого роду застереження заборонені договором або якщо договір допускає лише певний вид...
83503. Депозитарій міжнародного договору. Реєстрація договорів 33.67 KB
  Депозитарій зберігач оригіналу багатостороннього договору і всіх документів що до нього відносяться. Депозитарієм договору може бути одна або кілька держав міжнародна організація або головна посадова особа організації. функції депозитарію серед іншого полягають у: зберіганні автентичного тексту договору і переданих депозитарієві повноважень; підготовці засвідчених копій з автентичного тексту; одержанні підписів під договором та одержанні і зберіганні документів оповіщень і повідомлень які його стосуються; інформуванні учасників і...
83504. Форма, найменування, структура міжнародного договору 36.79 KB
  Коли автентичність тексту договору було встановлено двома або кількома мовами його текст кожною мовою має однакову силу якщо договором не передбачено або учасники не домовились що в разі розходження між цими текстами переважну силу матиме якийсь один певний текст. Міжнародний договір може мати різні найменування використання яких визначається практикою і не впливає на юридичну природу договору. Такими частинами є: найменування або титул; преамбула вказує мотиви укладення договору його цілі та принципи; основна частина статті договору...
83505. Тлумачення міжнародного договору 36.3 KB
  Під тлумаченням договору розуміють зясування сенсу та змісту його положень а також справжнього наміру сторін договору. У міжнародній практиці застосовуються два види тлумачення: офіційне та неофіційне. Тлумачення договору державами або міжнародними органами вважається офіційним тлумаченням. У офіційному тлумаченні виділяють автентичне тлумачення яке здійснюється державами що є учасницями договору і має силу положень самого міжнародного договору.
83506. Набрання міжнародним договором чинності. Дія міжнародного договору 36.58 KB
  Дія міжнародного договору. При відсутності такого положення або домовленості договір набирає чинності як тільки буде виражено згоду всіх учасників переговорів на обовязковість для них договору. Учасник договору не може посилатись на положення свого внутрішнього права як на виправдання для невиконання ним договору. Однак за взаємною згодою сторони можуть поширити дію договору на події і факти що існували до набирання ним чинності.