22546

Прямой поперечный изгиб стержня

Лекция

Производство и промышленные технологии

Прямой поперечный изгиб стержня При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня возникает изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy рис. 1 которые связаны с нормальными и касательными напряжениями Рис. Связь усилий и напряжений а сосредоточенная сила б распределеннаяРис. Однако для балок с высотой сечения h l 4 рис.

Русский

2013-08-04

122 KB

5 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 20. Прямой поперечный изгиб стержня

   При прямом поперечном изгибе в сечениях стержня возникает изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy рис. 1), которые связаны с нормальными и касательными напряжениями



Рис.1. Связь усилий и напряжений

 



а) сосредоточенная сила, б) распределенная
Рис.2. Модели прямого поперечного изгиба:

 

   Выведенная в случае чистого изгиба стержня формула для прямого поперечного изгиба, вообще говоря, неприменима, поскольку из-за сдвигов, вызываемых касательными напряжениями , происходит депланация поперечных сечении (отклонение от закона плоских сечений). Однако для балок с высотой сечения h<l/4 (рис. 2) погрешность невелика и ее применяют для определения нормальных напряжений поперечного изгиба как приближенную. При выводе условия прочности при чистом изгибе использовалась гипотеза об отсутствии поперечного взаимодействия продольных волокон. При поперечном изгибе наблюдаются отклонения от этой гипотезы:

а) в местах приложения сосредоточенных сил. Под сосредоточенной силой напряжения поперечного взаимодействия могут быть достаточно велики и во много раз превышать продольные напряжения , убывая при этом, в соответствии с принципом Сен-Венана, по мере удаления от точки приложения силы;

б) в местах приложения распределенных нагрузок. Так, в случае, приведенном на рис. 2, б, напряжения от давления на верхние волокна балки . Сравнивая их с продольными напряжениями , имеющими порядок

,

приходим к выводу, что напряжения при условии, что h2 <<l2, так как .

   Получим формулу для касательных напряжений . Примем, методика расчета нормальных напряжений известна, что касательные напряжения равномерно распределены по ширине поперечного сечения (рис. 3). Эта предпосылка выполняется тем точнее, чем уже поперечное сечение стержня. Точное решение задачи для прямоугольного поперечного сечения показывает, что отклонение от равномерного распределения , зависит от отношения сторон b/h. При (b/h) =1,0 оно составляет 12,6%, при (b/h) =0,5 — только 3,3%.



Рис.3. Расчетная модель поперечного прямого изгиба

 

   Непосредственное определение напряжений затруднительно, поэтому находим равные им (вследствие закона парности) касательные напряжения , возникающие на продольной площадке с координатой у элемента длиной dz, вырезанного из балки, (рис. 3). Сам элемент показан на рис. 4. От этого элемента продольным сечением, отстоящим от нейтрального слоя на у, отсекаем верхнюю часть, заменяя действие отброшенной нижней части касательными напряжениями (индекс гу в дальнейшем опускаем), равнодействующая которых показана на рис. 5. Здесь, согласно второй предпосылке



Рис.4. Расчетный элемент бруса

 



Рис.5. Фрагмент расчетного элемента бруса

 

по ширине элемента b. Нормальные напряжения и , действующие на торцевых площадках элемента, также заменим их равнодействующими

,

.

   Согласно первой предпосылке нормальные напряжения определяются уже известным способом, , где статический момент отсеченной части площади поперечного сечения относительно оси Ох.

Рассмотрим условие равновесия элемента (рис. 5) составив для него уравнение статики :

откуда после несложных преобразований, учитывая, что

получаем формулу для касательных напряжений при нормальном поперечном изгибе призматического стержня которая называется формулой Журавского.

 



Рис.6. Распределение касательных напряжений по контуру прямоугольного сечения

 

   В этой формуле by ширина сечения в том месте, где определяются касательные напряжения, а статический момент, подставляемый в эту формулу, может быть вычислен как для верхней, так и для нижней части (статические моменты этих частей сечения относительно его центральной оси Ох отличаются только знаком, так как статическим момент всего сечения равен нулю).

   В качестве примера применения формулы Журавского построим эпюру касательных напряжений для случая прямоугольного поперечного сечения балки (рис. 6.). Учитывая, что для этого сечения

получаем

где F=bh—площадь прямоугольника.

   Как видно из формулы, касательные напряжения по высоте сечения меняются по закону квадратичеокой параболы, достигая максимума на нейтральной оси

   Сделаем несколько замечаний, касающихся расчетов на прочность при прямом поперечном изгибе. В отличие от простых видов деформации, когда в поперечных сечениях стержня возникает лишь один силовой фактор, к которым относятся и изученные выше растяжение (сжатие) и чистый изгиб, прямой поперечный изгиб должен быть отнесен к сложным видам деформации. В поперечных сечениях стержня при поперечном изгибе возникают два силовых фактора: изгибающий момент Мх и поперечная сила Qy (рис. 7), напряженное состояние является упрощенным плоским, при котором в окрестности произвольно выбранных точек поперечного сечения действуют нормальные и касательные напряжения. Поэтому условие прочности для таких точек должно быть сформулировано на основе какого-либо уже известного критерия прочности.

   Однако учитывая, что наибольшие нормальные напряжения возникают в крайних волокнах, где касательные напряжения отсутствуют (рис. 7), а наибольшие касательные напряжения во многих случаях имеют место в нейтральном слое, где нормальные напряжения равны нулю, условия прочности в этих случаях формулируются раздельно по нормальным и касательным напряжениям



Рис.7 Распределение нормальных и касательных напряжений по контуру сечения

 



Рис.8. К сравнительной оценке модулей напряжения

 

   Покажем, что доминирующая роль в расчетах на прочность балки, подвергнутой поперечному изгибу, будет принадлежать расчету по нормальным напряжениям. Для этого оценим порядок max и max на примере консольной балки, показанной на рис. 8:

так как

Тогда

откуда max <<max, а поскольку то доминирующим в этом случае будет расчет по нормальным напряжениям и условие прочности, например, для балки из пластичного материала, работающей на прямой изгиб, как и в случае чистого изгиба будет иметь вид:

 

РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ ПРИ ИЗГИБЕ

   Наиболее рациональным следует признать сечение, обладающее минимальной площадью при заданной нагрузке (изгибающем моменте) на балку. В этом случае расход материала на изготовление балки, будет минимальным. Для получения балки минимальной материалоемкости нужно стремиться к тому, чтобы по возможности наибольший объем материала работал при напряжениях, равных допускаемым или близким к ним. Прежде всего рациональное сечение балки при изгибе должно удовлетворять условию равнопрочности растянутой и сжатой зон балки. Иными словами необходимо, чтобы наибольшие напряжения растяжения (max ) н наибольшие напряжения сжатия (max ) одновременно достигали допускаемых напряжений и .

   Поэтому для балки из пластичного материала (одинаково работающего на растяжение и сжатие: ), условие равнопрочности выполняется для сечений, симметричных относительно нейтральной оси. К таким сечениям относится, например, прямоугольное сечение (рис. 9, а), при котором обеспечено условие равенства . Однако в этом случае материал, равномерно распределенный по высоте сечения, плохо используется в зоне нейтральной оси. Чтобы получить более рациональное сечение, необходимо возможно большую часть материала переместить в зоны, максимально удаленные от нейтральной оси. Таким образом, приходим к рациональному для пластичного материала сечению в форме симметричного двутавра (рис. 9, б), у которого возможно большая часть материала сосредоточена на полках (горизонтальных массивных листах), соединенных стенкой (вертикальным листом), толщина которой назначается из условий прочности стенки по касательным напряжениям, а также из соображений ее устойчивости. К двутаврому сечению близко по критерию рациональности так называемое коробчатое сечение (рис. 9, в).



Рис.9. Распределение нормальных напряжений в симметричных сечениях

 

   Рассуждая аналогично, приходим к выводу, что для балок из хрупкого материала наиболее рациональным будет сечение в форме несимметричного двутавра, удовлетворяющего условию равнопрочности на растяжение и сжатие (рис. 10):

которое вытекает из требования



Рис.10. Распределение напряжений несимметричного профиля сечения балки.

 



а) двутавр, б ) швеллер, в) неравнобокий уголок, г) равнобокий уголок
Рис.11. Используемые профили сечений:

 

   Идея рациональности поперечного сечения стержней при изгибе реализована в стандартных тонкостенных профилях, получаемых методами горячего прессования или прокатки из рядовых и легированных конструкционных высококачественных сталей, а также алюминия и алюминиевых сплавов, получивших широкое распространение в строительстве, машиностроении, авиационном машиностроении. Широко распространены показанные на рис. 11: а—двутавр, б— швеллер, в — неравнобокий уголок, г—равнобокий уголок. Реже встречаются тавр, таврошвеллер, зетовый профиль и др. Употребляются также холодногнутые замкнутые сварные профили (рис. 12).



Рис.12. Замкнутые сварные профили

 

   Поскольку по соображениям технологии сортамент стандартных профилей по размерам ограничен (например, наибольший прокатный двутавр согласно ГОСТ 8239—72 имеет высоту 550 мм), то для больших пролетов приходится применять составные (сварные или клепаные) балки.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20280. КИТАЙСКАЯ модель развития 19.78 KB
  СССР признал КНР и в феврале 1950 г. в КНР был восстановлен довоенный уровень экономики. Маоисты решили подавить оппозицию внутри КНР и установить военнобюрократическую диктатуру.
20281. ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЙ ЭТАП ВТОРОЙ МИРОВОЙ ВОЙНЫ. РАЗГРОМ ФАШИСТСКОГО БЛОКА (1944—1945 гг.) 33.37 KB
  повлияли на ход войны Освобождение Красной Армией территории СССР и европейских стран и народов в 1944 1945 гг. народы СССР встретили с надеждой на полное изгнание врага с советской земли. Красная Армия полностью освободила территорию СССР и перенесла боевые действия на территорию оккупированных европейских стран где провела ряд успешных наступательных операций 1. В ходе наступления были освобождены Румыния с которой СССР подписал перемирие как с бывшей союзницей Германии и Болгария где произошло антифашистское восстание в...
20282. ОКТЯБРЬСКАЯ РЕВОЛЮЦИЯ И УСТАНОВЛЕНИЕ СОВЕТСКОЙ ВЛАСТИ В РОССИИ 39.52 KB
  Тогда СНК принял решение всячески затягивать переговоры рассчитывая на революцию в Германии. В ходе переговоров немцы предъявили ультиматум требуя передачи Германии территории в 150 тыс. ФЕДЕРАТИВНАЯ РЕСПУБЛИКА ГЕРМАНИИ Раскол Германии. война для Германии закончилась но трагедия германского народа продолжалась.
20283. Сущность и значение новой экономической политики 14.2 KB
  Крутой поворот в экономической политике был сделан на 10 съезде партии состоявшемся в марте 1921 г. съезда большевистской партии политика военного коммунизма заменялась новой экономической политикой нэпом и самой главной мерой которой стала замена продразверстки продналогом.
20284. Образование СССР 16.29 KB
  В ходе гражданской войны возник военнополитический союз советских республик который после войны был дополнен двухсторонними хозяйственными договорами. Однако со временем среди советских республик постепенно начало нарастать стремление к созданию федерации . Сталин предложил план автономизации это значит вхождения самостоятельных республик в состав РСФСР. Ленин который стоял за федеративное строительство это значит вхождение советских республик в Союз на равноправных и добровольных началах.
20285. Основные черты внутренней и внешней политики СССР в 30-е гг.20 в 51.58 KB
  Основные черты внутренней и внешней политики СССР в 30е гг. была принята Конституция СССР которая получила в истории название Конституции победившего социализма. Внешняя политика СССР и мероприятия по укреплению его обороноспособности. Одновременно она стала на путь всевозможных провокаций на границах с СССР и Монгольской Народной Республикой.
20286. ГОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ В СССР 25.09 KB
  ГОДЫ ПЕРЕСТРОЙКИ В СССР Вспомните. Андропов Юрий Владимирович 1914 1984 человек незаурядного ума председатель Комитета государственной безопасности СССР а ранее посол СССР в Венгрии во время Будапештской осени с 1982 г.РАСПАД СССР. Горбачева стала авария на Чернобыльской АЭС 26 апреля 1986 К Руководство КПСС некоторое время скрывало масштабы катастрофы и ее последствия что имело роковое значение для судьбы многих сотен тысяч людей и экологии большой территории СССР.
20287. Сценические эффекты в современном театре 97.5 KB
  ИЗВЕКОВ СВЕТ НА СЦЕНЕ ОЧЕРКИ ПО ИСТОРИИ ОСВЕЩЕНИЯ СЦЕНЫ 1. ИСТОКИ ТЕХНИКИ ОСВЕЩЕНИЯ СОВРЕМЕННОЙ СЦЕНЫ Взаимоотношения между техникой сцены и художественным построением спектакля были подробно рассмотрены в первой части нашей работы Сцена где уже говорилось о том что сценическое освещение являясь одним из технических средств при постановке спектакля одновременно выполняет функцию раскрытия идейного замысла спектакля. Исходным этапом в данном случае должно служить зарождение кулисной сценыкоробки которая во многом продолжает еще...
20288. Художественные искания в западной культуре второй половины XX века 75.5 KB
  Отвергнув возможность преобразования жизни с помощью искусства представители постмодернизма приняли бытие таким какое оно есть сделав искусство предельно открытым наполнили его фрагментами реального жизненного процесса.Хеппенинг Перерастая в искусство постмодернизма €œискусство действия€ приобретает более выраженные формы. ПопАрт В 50ые в США возникло новое крупнейшее направление в современном искусстве – ПОПАРТ – популярное искусство. Бодиарт Бодиарт это искусство тела авангардное направление возникшее в 60х годах.