22548

Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения

Лекция

Производство и промышленные технологии

Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения Кручением называется такой вид деформации при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. С силами лежащими в плоскости поперечного сечения стержня интенсивности этих сил касательные напряжения и Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики рис. 1 Условимся считать Mz...

Русский

2013-08-04

130.5 KB

5 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 22. Напряжения и деформации при кручении стержней кругового поперечного сечения

   Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор — крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил — касательные напряжения и ) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)

   Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент Мz принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Ог.



Рис.1. Связь крутящего момента с касательными напряжениями

 



Рис.2. Иллюстрация положительного и отрицательного крутящего момента

 

   Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:

  1.  поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);
  2.  расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно ;
  3.  контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Ог. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и ;
  4.  материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что , из обобщенного закона Гука в форме получаем . Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня — чистый сдвиг.



Рис.3. Иллюстрация кручения: а) исходное и б) деформированное состояния

 

   Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели.

   Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 5). При повороте правого сечения на угол в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB1, вызывая поворот волокна на угол сдвига

   Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 5 и рис. 6, а сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига

(1)



Рис.5. Расчетная модель определения касательных напряжений

 



а) ортогональность и
Рис.6. Распределение касательных напряжений при кручении:

 

   Здесь — погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 6, a)

(2)

Подставляя (1) в (2) и учитывая, что

где Jp—; полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d ), получаем

(3)



Рис.7. Распределение напряжений для кольцевого сечения

 



а) разрушение дерева, б) разрушение чугуна
Рис.8. Распределение исходных касательных и главных напряжений:

 

   Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения

(4)

   Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.

   Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (Mz через нее выражается) тем меньше, чем больше DJp, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.

Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz

найдем полный угол закручивания стержня длиной l

(5)

В случае, если по длине стержня Мz и DJp постоянны, получаем

когда эти величины кусочно-постоянны, то:

(6)

Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.

Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при

где Wр — момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления

.

   Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид

(7)

где — допускаемое напряжение на кручение.

   Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 7). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d

где , а момент сопротивления определяется по формуле

   Учитывая линейный характер изменения касательных напряжений по радиусу (рис. 7) и связанное с этим лучшее использование материала, кольцевое сечение следует признать наиболее рациональным при кручении стержня. Коэффициент использования материала тем выше, чем меньше относительная толщина трубы.

   Как отмечено ранее, напряженное состояние при кручении стержня — чистый сдвиг, являющийся частным случаем плоского напряженного состояния. На площадках, совпадающих с плоскостью поперечного сечения и на парных им площадках продольных сечений возникают экстремальные касательные напряжения max-min , а главные напряжения действуют на площадках, наклоненных.коси стержня под углами ; главное напряжение .

   Особенности напряженного состояния при кручении нашли отражение в характере разрушения стержней. Так, разрушение стержня из дерева, плохо работающего на скалывание вдоль волокон, происходит от продольных трещин (рис. 8, a). Разрушение стержня из хрупкого металла (например, чугуна) происходит по винтовой линии, наклоненной к образующим под углом 45o, т. е. по траектории главного напряжения (рис. 8,б).

 

РАСЧЕТ ВАЛОВ

   Рассмотрим расчет вала на прочность и жесткость. Пусть известна мощность W (кВт), передаваемая вращающимся с заданным числом оборотов в минуту (n) валом от источника мощности (например, двигателя) к ее потребителю (например, станку), а момент т, передаваемый валом, требуется найти, так как численно равный этому моменту крутящий момент необходим для расчета вала.

   Если число оборотов вала в минуту п и соответствующая угловая скорость (с-1) постоянны, а Ф — угол поворота вала в данный момент времени t, то работа вращательного движения А=тФ. Тогда передаваемая валом мощность будет равна

Отсюда

кНм,

где учтено, что .

   Если мощность подается на вал через ведущий шкив, а раздается потребителям через несколько ведомых шкивов, то соответственно определяются моменты на шкивах, а затем строится эпюра крутящих моментов. Расчет вала на прочность и жесткость ведется, очевидно, по max Mz.

   Определение диаметра вала из условия прочности. Условие прочности при кручении вала имеет вид (7), где допускаемые напряжения принимаются пониженными по сравнению с допускаемыми напряжениями обычного статического расчета в связи с необходимостью учета наличия концентраторов напряжений (например, шпоночных канавок), переменного характера нагрузки и наличия наряду с кручением и изгиба вала.

Требуемое значение Wp=dз/16 получаем из условия (7), принимая в нем знак равенства

,

откуда получаем формулу для диаметра вала кругового сечения

(8)

   Определение диаметра вала из условия жесткости. Условие жесткости состоит в наложении ограничения на погонный угол закручивания вала , так как недостаточно жесткие валы не обеспечивают устойчивой передачи мощности и подвержены сильным колебаниям:

(9)

Тогда, учитывая, что , для диаметра вала из условия жесткости имеем

(10)

Аналогично проводятся расчеты и для вала кольцевого поперечного сечения.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80367. Капітал: процес виробництва і нагромадження. Наймана праця і заробітна плата 133 KB
  Наймана праця і заробітна плата Вступ до теми Сучасна економічна наука трактує капітал як складну багатоаспектну категорію еволюція якої відобразила історичний процес розвитку природи форм руху динаміки та структури товарного виробництва. Метою сьогоднішнього заняття є дослідити капітал як економічну категорію первісне нагромадження капіталу перетворення грошей у капітал. Капітал як економічна категорія.
80368. Витрати виробництва і прибуток 134 KB
  Витрати виробництва і прибуток Вступ до теми Актуальність Метою сьогоднішнього заняття є дослідити суть та економічне значення витрат класифікацію витрат прибуток як економічна категорія види прибутку. У процесі виробництва здійснюються витрати ресурсів більшість яких купується на ринках і має вартісну форму. Тому витрати це не просто витрати а витрати ресурсів що набувають на ринку вартісної форми. Поперше з точки зору всього суспільного виробництва витрати виробництва поділяються на витрати суспільства і витрати його первинних...
80369. Ринок, його суть і функції. Моделі ринку. Конкуренція і ціноутворення 502.5 KB
  Моделі ринку. Кожен має право чинити на ринку так як йому заманеться. Пол Самуельсон Метою сьогоднішнього заняття є розглянути суть ринку класифікацію ринків; зясувати умови виникнення та необхідність функціонування ринку; охарактеризувати роль та види конкуренції; сутність антимонопольної політики держави. Функції ринку.
80370. ФІНАНСИ ЖИТЛОВО-КОМУНАЛЬНОГО ГОСПОДАРСТВА 226 KB
  Сутність види та галузева структура житловокомунального господарства. Сутність та особливості організації фінансів житловоексплуатаційних підприємств. Необхідність і зміст реформи житловокомунального господарства в Україні. Сутність види та галузева структура житловокомунального господарства.
80371. Домогосподарство в системі економічних відносин 159.5 KB
  Мета заняття: розглянути сутність і функції домогосподарств; визначити походження доходів та витрат домогосподарств; означити та зясувати сутність диференціації доходів населення а також поняття Крива Лоренца. На самостійне опрацювання виносяться такі питання: Місце домогосподарства в кругообігу продуктів ресурсів і доходів. Диференціація доходів населення. Щоб домогосподарства успішно виконували свої функції вони повинні отримувати певний обсяг доходів.
80372. Підприємство як товаровиробник. Валовий дохід і прибуток 112 KB
  Види підприємницької діяльності. їх можна класифікувати за різними критеріями: 1 формами власності; 2 формами організації; 3 розмірами; 4 сферами діяльності. Розрізняють такі види партнерства: повне товариство товариство з необмеженою відповідальністю; товариство з обмеженою відповідальністю; змішане командитне товариство; асоціації об\'єднання створені з метою постійної координації господарської діяльності вони не повинні втручатися у виробничу або комерційну діяльність будького з учасників; корпорації акціонерні...
80373. Галузеві особливості виробництва і функціонування капіталу. Форми прибутку, процент і рента 110 KB
  Галузеві особливості виробництва і функціонування капіталу. Форми прибутку процент і рента Вступ до теми Метою заняття є визначити сутність понять господарський комплекс галузь сектори економіки господарська одиниця також національне господарство; охарактеризувати особливості функціонування капіталу у виробничій сфері торгівлі та сфері послуг; означити поняття прибуток та рентабельність; зясувати стан розвитку кредитних відносин в Україні. Особливості функціонування капіталу у виробничій сфері торгівлі та сфері послуг. На самостійне...
80374. Суспільне відтворення. Суспільний продукт і його основні форми 154.5 KB
  Будьякий процес виробництва має бути безперервним тобто повинен періодично проходити одні й ті самі стадії. Відтворення постійне відновлення та повторення процесу виробництва. Вищим інтересом підприємства є максимізація прибутку а суспільного виробництва максимізація добробуту населення Підприємство орієнтується на ринковий попит а суспільне виробництво на сукупний попит і т. Суспільне економічне відтворення основане на органічній єдності всіх частин що його утворюють: виробництва розподілу обміну споживання; домогосподарств...