22553

Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия

Лекция

Производство и промышленные технологии

Предположим что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки. Применяя способ сложения действия сил мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму напряжений вызванных силами Р и нагрузкой q. Сжимающие напряжения от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех...

Русский

2013-08-04

134.5 KB

3 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 27. Совместное действие изгиба и растяжения или сжатия.

Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.

   На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними продольными силами.

   Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.



Рис.1. Совместное действие изгиба и сжатия.

 

   Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.

   Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.

   Сжимающие напряжения от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех сечений:

нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в сечении с абсциссой х, которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой

Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной оси) для этого сечения равно

   На Рис.2 изображены эпюры распределения напряжений в рассматриваемом сечении от сил Р, нагрузки q и суммарная эпюра.

   Наибольшее напряжение в этом сечении будет в верхних волокнах, где оба вида деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может быть или сжатие или растяжение в зависимости от числовых величин напряжений и . Для составления условия прочности найдем наибольшее нормальное напряжение.



Рис.2. Сложение напряжений сжатия и изгиба

 

   Так как напряжения от сил Р во всех сечениях одинаковы и равномерно распределены, то опасными будут волокна, наиболее напряженные от изгиба. Такими являются крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них

Таким образом, напряжения в крайних волокнах 1 и 2 среднего сечения балки выражаются формулой

,

и расчетное напряжение будет равно

Если бы силы Р были растягивающими, то знак первого слагаемого изменился бы, опасными были бы нижние волокна балки.

Обозначая буквой N сжимающую или растягивающую силу, можем написать общую формулу для проверки прочности:

(27.1)

Описанный ход расчета применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую.

 

Внецентренное сжатие или растяжение.

   Вторым практически важным случаем сложения деформаций от изгиба и от продольных сил является так называемое внецентренное сжатие или растяжение, вызываемое одними продольными силами. Этот вид деформации получается при действии на стержень двух равных и прямопротивоположных сил Р, направленных по прямой АА, параллельной оси стержня (Рис.3 а). Расстояние точки А от центра тяжести сечения ОА=е называется эксцентриситетом.

Рассмотрим сначала случай внецентренного сжатия, как имеющий большее практическое значение.

   Нашей задачей явится нахождение наибольших напряжений, материале стержня и проверка прочности. Для решения этой задачи приложим в точках О по две равные и противоположные силы Р (Рис.3 б). Это не нарушит равновесия стержня в целом и не изменит напряжений в его сечениях.

   Силы Р, зачеркнутые один раз, вызовут осевое сжатие, а пары сил Р, зачеркнутые дважды, вызовут чистый изгиб моментами . Расчетная схема стержня показана на Рис.3 в. Так как плоскость действия изгибающих пар ОА может не совпадать ни с одной из главных плоскостей инерции стержня, то в общем случае имеет место комбинация продольного сжатия и чистого косого изгиба.

   Так как при осевом сжатии и чистом изгибе напряжения во всех сечениях одинаковы, то проверку прочности можно произвести для любого сечения, хотя бы С—С (Рис.3 б, в).

   Отбросим верхнюю часть стержня и оставим нижнюю (Рис.3 г). Пусть оси Оу и Oz будут главными осями инерции сечения.



Рис.3. а) расчетная схема б) преобразование нагрузок в)приведенная расчетная схема г) механизм исследования напряжений

 

   Координаты точки А, — точки пересечения линии действия сил Р с плоскостью сечения, — пусть будут и . Условимся выбирать положительные направления осей Оу и Oz таким образом, чтобы точка А оказалась в первом квадранте. Тогда и будут положительны.

   Для того чтобы отыскать наиболее опасную точку в выбранном сечении, найдем нормальное напряжение в любой точке В с координатами z и у. Напряжения в сечении С — С будут складываться из напряжений осевого сжатия силой Р и напряжений от чистого косого изгиба парами с моментом Ре, где . Сжимающие напряжения от осевых сил Р в любой точке равны , где — площадь поперечного сечения стержня; что касается косого изгиба, то заменим его действием изгибающих моментов в главных плоскостях. Изгиб в плоскости х Оу вокруг нейтральной оси Oz будет вызываться моментом и даст в точке В нормальное сжимающее напряжение

Точно так же нормальное напряжение в точке В от изгиба в главной плоскости х Oz, вызванное моментом , будет сжимающим и выразится формулой.

Суммируя напряжения от осевого сжатия и двух плоских изгибов и считая сжимающие напряжения отрицательными, получаем такую формулу для напряжения в точке В:

(1)

   Эта формула годится для вычисления напряжений в любой точке любого сечения стержня, стоит только вместо у и z подставить координаты точки относительно главных осей с их знаками.

   В случае внецентренного растяжения знаки всех составляющих нормального напряжения в точке В изменятся на обратные. Поэтому для того, чтобы получать правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном растяжении, нужно, кроме знаков координат у и z, учитывать также и знак силы Р; при растяжении перед выражением

должен стоять знак плюс, при сжатии — минус.

Полученной формуле можно придать несколько иной вид; вынесем за скобку множитель ; получим:

(2)

Здесь и — радиусы инерции сечения относительно главных осей (вспомним, что и ).

   Для отыскания точек с наибольшими напряжениями следует так выбирать у и z, чтобы достигло наибольшей величины. Переменными в формулах (1) и (2) являются два последних слагаемых, отражающих влияние изгиба. А так как при изгибе наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси, то здесь, как и при косом изгибе, надо отыскать положение нейтральной оси.

   Обозначим координаты точек этой линии через и ; так как в точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, то после подстановки в формулу (2) значений и получаем:

или

(3)

Это и будет уравнение нейтральной оси. Очевидно, мы получили уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

Чтобы построить эту прямую, проще всего вычислить отрезки, отсекаемые ею на осях координат. Обозначим эти отрезки и . Чтобы найти отрезок , отсекаемый на оси Оу, надо в уравнении (3) положить

;

тогда мы получаем:

и

(4)

подобным же образом, полагая

;

получаем:

(5)

   Если величины и положительны, то отрезки и будут отрицательны, т. е. нейтральная ось будет расположена по другую сторону центра тяжести сечения, чем точка А (Рис.3 г).

   Нейтральная ось делит сечение на две части — сжатую и растянутую; на Рис.3 г растянутая часть сечения заштрихована. Проводя к контуру сечения касательные, параллельные нейтральной оси, получаем две точки и , в которых будут наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.

   Измеряя координаты у и z этих точек и подставляя их значения в формулу (1), вычисляем величины наибольших напряжений в точках и :

Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности получает такой вид:

   Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр и др.) и Поэтому формула упрощается, и мы имеем

   Если же материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо проверить прочность стержня как в растянутой, так и в сжатой зонах.

   Однако может случиться, что и для таких материалов будет достаточно одной проверки прочности. Из формул (4) и (5) видно, что положение точки А приложения силы и положение нейтральной оси связаны: чем ближе подходит точка А к центру сечения, тем меньше величины и и тем больше отрезки и . Таким образом, с приближением точки А к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и наоборот. Поэтому при некоторых положениях точки А нейтральная ось будет проходить вне сечения и все сечение будет работать на напряжения одного знака. Очевидно в этом случае всегда достаточно проверить прочность материала в точке .

   Разберем практически.важный случай, когда к стержню прямоугольного сечения (Рис. 4) приложена внецентренно сила Р в точке А, лежащей на главной оси сечения Оу. Эксцентриситет ОА равен е, размеры сечения b и d. Применяя полученные выше формулы, имеем:



Рис.4. Расчетная схема бруса прямоугольного сечения.

 

Напряжение в любой точке В равно

так как

Напряжения во всех точках линии, параллельной оси Oz, одинаковы. Положение нейтральной оси определяется отрезками

Нейтральная ось параллельна оси Oz; точки с наибольшими растягивающими и сжимающими напряжениями расположены на сторонах 1—1 и 3—3.

Значения и получатся, если подставить вместо у его значения . Тогда


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25305. Стресс 33.5 KB
  0004 ГОМЕОСТАЗ Внутренняя среда организма в которой живут все его клетки это кровь лимфа межтканевая жидкость. Ее характеризует относительное постоянство гомеостаз различных показателей так как любые ее изменения приводят к нарушению функций клеток и тканей организма особенно высокоспециализированных клеток центральной нервной системы. Способность сохранять гомеостаз в условиях постоянного обмена веществ и значительных колебаний факторов внешней среды обеспечивается комплексом регуляторных функций организма. существовать и двигаться...
25306. Адаптация 28 KB
  У человека адаптация выступает как свойство организма которое обеспечивается автоматизированными самонастраивающимися саморегулирующимися системами сердечнососудистой дыхательной выделительной и др. Адаптация это эффективная и экономная адекватная приспособительная деятельность организма к воздействию факторов внешней среды. Чем выше уровень интеграции координированности сложных регуляторных процессов тем эффективнее адаптация.
25307. Природа потенциала покоя 28.5 KB
  Согласно этой теории биоэлектрические потенциалы обусловлены неодинаковой концентрацией ионов К' N3' СГ внутри и вне клетки и различной проницаемостью для них поверхностной мембраны. Протоплазма нервных и мышечных клеток содержит в 3050 раз больше ионов калия в 810 раз меньше ионов натрия и в 50 раз меньше ионов хлора чем внеклеточная жидкость. На структурных элементах мембраны фиксируются различные ионы что придает стенкам ее пор тот или иной заряд и тем самым затрудняет или облегчает прохождение через них ионов. Так предполагается...
25308. Потенциал действия 37.5 KB
  Потенциал действия может быть зарегистрирован двояким способом: с помощью электродов приложенных к внешней поверхности волокна внеклеточное отведение и с помощью микроэлектрода введенного внутрь протоплазмы внутриклеточное отведение. Долгое время физиологи полагали что потенциал действия представляет собой лишь результат кратковременного исчезновения той разности потенциалов которая существует в покое между наружной и внутренней сторонами мембраны. Однако точные измерения проведенные с помощью внутриклеточных микроэлектродов...
25309. Законы раздражения 44 KB
  Механизм раздражающего действия тока при всех видах стимулов в принципе одинаков однако в наиболее отчетливой форме он выявляется при использовании постоянного тока прямоугольной формы. При использовании в качестве раздражителя электрического тока порог выражается в единицах силы тока или напряжения. Существует два способа подведения электрического тока к ткани: внеклеточный и внутриклеточный. Недостаток этого метода заключается в значительном ветвлении тока: только часть его проходит через мембраны клеток часть же ответвляется в...
25310. Строение и классификация нейронов 35.5 KB
  Место отхождения аксона от тела нервной клетки называют аксонным холмиком. Дендриты это многочисленные ветвящиеся отростки функция которых состоит в восприятии импульсов приходящих от других нейронов и проведении возбуждения к телу нервной клетки. В центральной нервной системе тела нейронов сосредоточены в сером веществе больших полушарий головного мозга подкорковых образований мозжечка мозгового ствола и спинного мозга.
25311. Строение и работа синапсов 28 KB
  Они образуются концевыми разветвлениями нейрона на теле или отростках другого нейрона. В структуре синапса различают три элемента: 1пресинаптическую мембрану образованную утолщением мембраны конечной веточки аксона; 2синаптическую щель между нейронами; 3постсинаптическую мембрану утолщение прилегающей поверхности следующего нейрона. В большинстве случаев передача влияния одного нейрона на другой осуществляется химическим путем.Для возбуждения нейрона необходимо чтобы ВПСП достиг порогового уровня.
25312. Рефлекс. Рефлекторный процесс 63.5 KB
  У животных обладающих нервной системой развился особый тип реакций рефлексы. Рефлексы это реакции организма происходящие при обязательном участии нервной системы в ответ на раздражение воспринимающих нервных окончаний рецепторов. Павлова делят на две большие группы: на рефлексы безусловные и условные. Безусловные рефлексы это врожденные наследственно передающиеся реакции организма.
25313. Свойства нервных центров 39 KB
  Проведение волны возбуждения от одного нейрона к другому через синапс происходит в большинстве нервных клеток химическим путем с помощью медиатора а медиатор содержится лишь в пресинаптической части синапса и отсутствует в постсинаптической мембране. В связи с этим поток нервных импульсов в рефлекторной дуге имеет определенное направление от афферентных нейронов к вставочным и затем к эфферентным мотонейронам или вегетативным нейронам. Суммация возбуждения В ответ на одиночную афферентную волну идущую от рецепторов к нейронам в...