22557

Расчет балки на упругом основании

Лекция

Производство и промышленные технологии

Расчет балки на упругом основании.1 на упругое основание оказывающее в каждой точке на балку реакцию пропорциональную у прогибу балки в этой точке. Расчетная схема балки на упругом основании. Будем считать что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз так и вверх.

Русский

2013-08-04

78.5 KB

30 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 31. Расчет балки на упругом основании.

Общие понятия.

   К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k.

   Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.



Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.

 

   Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый «коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз, так и вверх.

   На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве — фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт.

   Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики— сумма нагрузок равна всей реакции основания — не дает возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы.

   Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси , а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному.

   Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенными силами ... (Рис.1). Начало координат возьмем в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение изгиба

   Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:

(1)

где q(x)—интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой х.

   Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:

Тогда

(2)

(3)

Если обозначить , то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид: (25.4)

   Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и длины балки. Величина имеет измерение обратное длине.

 

Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной силой Р.

   Наиболее просто решается задача об изгибе бесконечно длинной балки, нагруженной одной сосредоточенной силой (Рис.2). Помимо непосредственного практического значения решение этой задачи позволит путем последовательных приближений рассчитывать и балки конечной длины.



Рис.2. Расчетная схема балки бесконечной длины.

 

   Начало координат расположим в точке приложения силы Р. Определим постоянные А, В, С и D. Так как вся реакция основания, равная силе Р должна быть конечной величиной, то прогибы балки в точках, бесконечно удаленных от точки приложения силы, должны обращаться в нуль:

(5)

   При бесконечно больших значениях х два вторых слагаемых в правой части формулы (4) обращаются в нуль благодаря множителю , два же первых могут обратиться в нуль лишь при

и

таким образом,

(6)

   Далее, по симметрии нагрузки и реакции основания, касательная к изогнутой оси в точке приложения силы должна идти параллельно оси абсцисс:

Дифференцируя (6), получаем:

Подставляя в это выражение и приравнивая результат нулю, находим:

D — С = 0 и C=D;

таким образом, уравнения будут:

(7)

(8)

   Для определения последней постоянной С имеем еще одно уравнение: нам известна величина поперечной силы в начале координат.

   Разрезав балку сечением в точке О справа от силы Р и рассматривая правую часть балки, видим, что поперечная сита в этом сечении равна реакции основания, действующей на правую половину балки со знаком минус; так как реакция направлена вверх (для правой половины) и вся реакция основания равна Р, значит, поперечная сила в сечении при х = 0 равна

Но, с другой стороны

(9)

Таким образом,

(10)

Вычисляем, пользуясь (8), и :

(11)

(12)

Подставляя (12) в (10) и приравнивая х нулю, получаем:

и

Теперь значения у и ее производных получают вид

   Таким образом, напряженное состояние и деформации балки на упругом основании всецело определяются нагрузкой и коэффициентом , зависящим от соотношения жесткостей балки и упругого основания.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47379. Установление типа производства 49 KB
  Тип производства и соответствующая ему форма организации работы определяют характер ТП и его построение. Поэтому прежде чем приступить к проектированию ТП механической обработки деталей, необходимо исходя из заданной производственной программы
47380. Маркетинг підприємства «Бастардо» на ринку алкогольної продукції 1.87 MB
  Основна мета даної дипломної роботи полягає у дослідженні особливостей складання та реалізації маркетингової програми на діючому підприємстві оптової торговлі, що здійснює діяльність у галузі торгівлі безалкогольними напоями та пивом
47381. Кризис банковской системы Российской Федерации 197 KB
  В этой ситуации Правительство и Банк России посчитали необходимым и правильным принять комплекс мер направленный на нормализацию финансовой и бюджетной политики. С 17 августа 1998 года Банк России перешел к проведению политики плавающего курса рубля в рамках новых границ валютного коридора которые были определены на уровне от 6 до 95 руб. В соответствии с положениями Устава МВФ Правительство и Банк России ввели временные ограничения для резидентов Российской Федерации на осуществление валютных операций капитального характера....
47382. Исследование организации оплаты и стимулирования труда и направления ее совершенствования на предприятии (на примере УКП « Полоцк – торг, г. Полоцк) 232.01 KB
  ДИПЛОМНАЯ РАБОТА Исследование организации оплаты и стимулирования труда и направления ее совершенствования на предприятии на примере УКП Полоцк – торг г. ЗАРАБОТНАЯ ПЛАТА СИСТЕМА ОПЛАТЫ ТРУДА РЕГУЛИРОВАНИЕ ЗАРАБОТНОЙ ПЛАТЫ МОТИВАЦИЯ ТРУДА ОРГАНИЗАЦИЯ ОПЛАТЫ И СТИМУЛИРОВАНИЯ ТРУДА Объектом исследования выступает УКП Полоцк торг предметом исследования организации оплаты и стимулирования труда. Целью данной дипломной работы является анализ организации оплаты и стимулирования труда на УКП Полоцк торг и разработка направлений ее...
47383. Разработка рекомендаций по эффективному использованию денежных средств на примере ООО «Вахрушевец» 967 KB
  На расчетном счете сосредотачиваются свободные денежные средства и поступления за реализованную продукцию, выполненные работы и услуги, краткосрочные и долгосрочные ссуды, получаемые от банка, и прочие зачисления
47384. Организация логистических процессов распределения товаров (на примере ОАО "Полоцкий молочный комбинат") 331.39 KB
  Предмет исследования: распределительная логистика Цель работы: обоснование актуальности создания распределительного центра продукции ОАО Полоцкий молочный комбинат в городе Риге обоснование актуальности использования услуг дистрибьютора в городе Пскове и актуальность внедрения логистического программного обеспечения на предприятии и оценка экономической эффективность предложенных мероприятий. Исследование и разработки: изучены основные аспекты логистических процессов распределения товаров проанализирована организация логистической...
47385. Разработка маркетинговой стратегии развития организации на примере ООО “Антарес” 170.01 KB
  Раздел 1 Маркетинг как философия производства Содержит анализ литературных источников посвященных рассмотрению теоретических аспектов маркетинга классификации услуг анализ потребителей и их потребностей сегментации рынка услуг по пошиву одежды особенностям стимулирования сбыта в данной отраслевой группе влияние рекламы как основного элемента коммуникационного воздействия на потребителя.1 Понятие маркетинга особенности маркетинга услуг.2 Эффективность внедряемой услуги 655 Правовая часть...
47386. Влияние самооценки на успешность обучения в младшем школьном возрасте 383.5 KB
  Широкое распространение феномена оценки в учебновоспитательном процессе школы послужило причиной того что оценивание учителем результатов учебной деятельности учащихся и самооценивание выделилось в последние годы в самостоятельное направление. Согласно теории учебной деятельности оценочная деятельность порождает потребность ученика или учителя получить информацию о том соответствует или нет качество знаний и умений учащихся по предмету требованиям программы. Целью оценочной деятельности является таким образом контроль успеваемости...