22557

Расчет балки на упругом основании

Лекция

Производство и промышленные технологии

Расчет балки на упругом основании.1 на упругое основание оказывающее в каждой точке на балку реакцию пропорциональную у прогибу балки в этой точке. Расчетная схема балки на упругом основании. Будем считать что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз так и вверх.

Русский

2013-08-04

78.5 KB

30 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 31. Расчет балки на упругом основании.

Общие понятия.

   К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k.

   Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.



Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.

 

   Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый «коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз, так и вверх.

   На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве — фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт.

   Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики— сумма нагрузок равна всей реакции основания — не дает возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы.

   Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси , а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному.

   Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенными силами ... (Рис.1). Начало координат возьмем в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение изгиба

   Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:

(1)

где q(x)—интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой х.

   Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:

Тогда

(2)

(3)

Если обозначить , то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид: (25.4)

   Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и длины балки. Величина имеет измерение обратное длине.

 

Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной силой Р.

   Наиболее просто решается задача об изгибе бесконечно длинной балки, нагруженной одной сосредоточенной силой (Рис.2). Помимо непосредственного практического значения решение этой задачи позволит путем последовательных приближений рассчитывать и балки конечной длины.



Рис.2. Расчетная схема балки бесконечной длины.

 

   Начало координат расположим в точке приложения силы Р. Определим постоянные А, В, С и D. Так как вся реакция основания, равная силе Р должна быть конечной величиной, то прогибы балки в точках, бесконечно удаленных от точки приложения силы, должны обращаться в нуль:

(5)

   При бесконечно больших значениях х два вторых слагаемых в правой части формулы (4) обращаются в нуль благодаря множителю , два же первых могут обратиться в нуль лишь при

и

таким образом,

(6)

   Далее, по симметрии нагрузки и реакции основания, касательная к изогнутой оси в точке приложения силы должна идти параллельно оси абсцисс:

Дифференцируя (6), получаем:

Подставляя в это выражение и приравнивая результат нулю, находим:

D — С = 0 и C=D;

таким образом, уравнения будут:

(7)

(8)

   Для определения последней постоянной С имеем еще одно уравнение: нам известна величина поперечной силы в начале координат.

   Разрезав балку сечением в точке О справа от силы Р и рассматривая правую часть балки, видим, что поперечная сита в этом сечении равна реакции основания, действующей на правую половину балки со знаком минус; так как реакция направлена вверх (для правой половины) и вся реакция основания равна Р, значит, поперечная сила в сечении при х = 0 равна

Но, с другой стороны

(9)

Таким образом,

(10)

Вычисляем, пользуясь (8), и :

(11)

(12)

Подставляя (12) в (10) и приравнивая х нулю, получаем:

и

Теперь значения у и ее производных получают вид

   Таким образом, напряженное состояние и деформации балки на упругом основании всецело определяются нагрузкой и коэффициентом , зависящим от соотношения жесткостей балки и упругого основания.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25992. Научные открытия э похи Ренессанса Н. Коперник, Д. Бруно, Г. Галилей 20.66 KB
  Исходя из этого положения Коперник весьма просто объяснил всю кажущуюся запутанность движений планет но не зная ещё истинных путей планет и считая их окружностями он был ещё вынужден сохранить эпициклы и деференты древних для объяснения неравномерности движений. В первой части говорится о шарообразности мира и Земли а вместо положения о неподвижности Земли помещена иная аксиома Земля и другие планеты вращаются вокруг оси и обращаются вокруг Солнца. С гелиоцентрических позиций он без труда объясняет возвратное движение планет.Во второй...
25993. Социально-утопические учения Томаса Мора 22.4 KB
  Гуманистическое мировоззрение автора Утопии привело его к выводам большой социальной остроты и значимости особенно в первой части этого произведения. Уже эти глубокие констатации подсказали Мору основное направление проектов и мечтаний во второй части Утопии . Многие гуманисты начиная с Эразма видели в Утопии долгожданную соперницу этого величайшего творения политической мысли произведения существовавшего к тому времени почти два тысячелетия. Если ли не самую характерную определяющую черту социальнофилософской доктрины лежащую в...
25994. Социально - политические учения Никколо Макиавелли 16.88 KB
  Монтень Мишель Монтень является французским философом эпохи Возрождения. В историю Монтень вошел как основатель скептицизма как продолжатель античного скептицизма Пиррона.Отвергая религиозное учение о бессмертии души Монтень подходит к пониманию сознания как свойства материи.В отличие от агностиков Монтень не отрицает познаваемости мира.
25995. Философия, ее предмет и функции. Философия и естествознание 16.08 KB
  Философия ее предмет и функции. Философия и естествознание Философия с греч. Философия вырабатывает обобщенную систему взглядов на мир место человека в нем; она исследует познавательные ценности социальнополитическое нравственное и эстетическое отношение человека к миру. Философия всегда в той или иной степени выполняла по отношению к науке функции методологии познания и мировоззренческой интерпретации ее результатов.
25996. Основной вопрос философии 16.33 KB
  Основной вопрос философии вопрос об отношении сознания к бытию мышления к материи природе рассматриваемый с двух сторон: вопервых что является первичным дух или природа материя или сознание и вовторых как относится знание о мире к самому миру или иначе соответствует ли сознание бытию способно ли оно верно отражать мир. Первичность материи она видит в том что: 1 материя является источником сознания а сознание отражает материи; 2 сознание результат длительного процесса развития материального мира; 3 сознание есть...
25997. Картина мира: мифологическая, религиозная, философская, научная 28.61 KB
  Картина мира: мифологическая религиозная философская научная 1.Мифологическая картина мира Мифологическое мировоззрение представляет собой исторически первый тип мировоззрения или способ оформления мировоззренческих представлений и возникает на этапе становления человеческого общества. Следующей важнейшей особенностью мифологии является генетизм суть которого состояла в выяснении природы мира происхождения рода различных природных и социальных явлений.Таким образом мифология это целостное миропонимание в котором различные...
25998. Философия и медицина 15.18 KB
  Чаадаев о России Петр Яковлевич [27. Высочайшим повелением Чаадаев Петр Яковлевич был объявлен сумасшедшим. Написанная Чаадаев Петр Яковлевич в ответ на обвинения в недостатке патриотизма Апология сумасшедшего 1837 где Чаадаев Петр Яковлевич говоря о России утверждал что мы призваны решить большую часть проблем социального порядка.227 при жизни Чаадаев Петр Яковлевич Напечатана не была.
25999. Философские традиции Древней Индии. Веды 30.37 KB
  Содержанием философии в Упанишадах становится обсуждение таких фундаментальных проблем как место и назначение человека в системе окружающего бытия природа внешнего мира и человека характер его жизни и психики границы и возможности его познавательных способностей нормы его поведения и т. Не удивительно поэтому что при таком отношении господствующей в Упанишадах религиозноидеалистической философии к оппозиционным ей учениям последние получили здесь крайне скупое освещение: чаще всего они представлены лишь в виде простого упоминания без...
26000. Буддизм: религия и философия 19.58 KB
  Основатель буддизма индийский принц Сиддхартха Гаутама получивший впоследствии имя Будды что значит пробуждённый просветлённый а также ШакьяМуни что значит мудрец из рода Шакьи. Вероучение и обрядность раннего Буддизма изложены в Трип Итаке €œтройной корзине€ своде произведений основанных на откровениях Будды. Душа распадается по учению Буддизма на отдельные элементы сканды но чтобы в новом рождении оказалась воплотившейся та же личность необходимо чтобы сканды соединились тем образом как они были соединены в прежнем...