22557

Расчет балки на упругом основании

Лекция

Производство и промышленные технологии

Расчет балки на упругом основании.1 на упругое основание оказывающее в каждой точке на балку реакцию пропорциональную у прогибу балки в этой точке. Расчетная схема балки на упругом основании. Будем считать что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз так и вверх.

Русский

2013-08-04

78.5 KB

29 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 31. Расчет балки на упругом основании.

Общие понятия.

   К числу статически неопределимых балок может быть отнесена балка на упругом основании. Так называется балка, опирающаяся по всей своей длине (Рис.1) на упругое основание, оказывающее в каждой точке на балку реакцию, пропорциональную у — прогибу балки в этой точке. Коэффициент пропорциональности обозначается буквой k.

   Введение предположения о пропорциональности реакций прогибу является приближением, хотя и достаточно близким к действительным условиям.



Рис.1. Расчетная схема балки на упругом основании.

 

   Предложение ввести в расчет коэффициент пропорциональности к, именуемый «коэффициентом постели», было впервые сделано русским академиком Николаем Ивановичем Фуссом в 1801 году. Принимая это предположение, получаем, что интенсивность реакции основания в каждой точке сила равна ky и измеряется в единицах силы и длины; размерность коэффициента k при этом будет сила и квадрат длины. Будем считать, что основание оказывает реакцию при прогибах балки как вниз, так и вверх.

   На практике задачи о расчете балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве — фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт.

   Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики— сумма нагрузок равна всей реакции основания — не дает возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы.

   Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси , а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному.

   Найдем уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании и нагруженной сосредоточенными силами ... (Рис.1). Начало координат возьмем в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение изгиба

   Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:

(1)

где q(x)—интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой х.

   Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность ей пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:

Тогда

(2)

(3)

Если обозначить , то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид: (25.4)

   Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном случае нагрузки и длины балки. Величина имеет измерение обратное длине.

 

Расчет бесконечно длинной балки на упругом основании, загруженной одной силой Р.

   Наиболее просто решается задача об изгибе бесконечно длинной балки, нагруженной одной сосредоточенной силой (Рис.2). Помимо непосредственного практического значения решение этой задачи позволит путем последовательных приближений рассчитывать и балки конечной длины.



Рис.2. Расчетная схема балки бесконечной длины.

 

   Начало координат расположим в точке приложения силы Р. Определим постоянные А, В, С и D. Так как вся реакция основания, равная силе Р должна быть конечной величиной, то прогибы балки в точках, бесконечно удаленных от точки приложения силы, должны обращаться в нуль:

(5)

   При бесконечно больших значениях х два вторых слагаемых в правой части формулы (4) обращаются в нуль благодаря множителю , два же первых могут обратиться в нуль лишь при

и

таким образом,

(6)

   Далее, по симметрии нагрузки и реакции основания, касательная к изогнутой оси в точке приложения силы должна идти параллельно оси абсцисс:

Дифференцируя (6), получаем:

Подставляя в это выражение и приравнивая результат нулю, находим:

D — С = 0 и C=D;

таким образом, уравнения будут:

(7)

(8)

   Для определения последней постоянной С имеем еще одно уравнение: нам известна величина поперечной силы в начале координат.

   Разрезав балку сечением в точке О справа от силы Р и рассматривая правую часть балки, видим, что поперечная сита в этом сечении равна реакции основания, действующей на правую половину балки со знаком минус; так как реакция направлена вверх (для правой половины) и вся реакция основания равна Р, значит, поперечная сила в сечении при х = 0 равна

Но, с другой стороны

(9)

Таким образом,

(10)

Вычисляем, пользуясь (8), и :

(11)

(12)

Подставляя (12) в (10) и приравнивая х нулю, получаем:

и

Теперь значения у и ее производных получают вид

   Таким образом, напряженное состояние и деформации балки на упругом основании всецело определяются нагрузкой и коэффициентом , зависящим от соотношения жесткостей балки и упругого основания.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14930. Қазақстан Республикасының халқы 45.5 KB
  Қазақстан Республикасының халқы Қазақстан Республикасында 1989 жылғы халық санағында 161992 мың адам тiркелдi. 1999 жылғы санаққа дейiнгi аралықта Қазақстан халқы 12461 мың адамға кемiген. Мұның басты себебi бұрын қуғынсүргiнге ұшырап Қазақстан жерiне көшiрiлiп қоныстандырылғ
14931. Қазақстанның ғылымы және ғылыми мекемелері 79.5 KB
  Қазақстанның ғылымы және ғылыми мекемелері Ғылым және ғылыми мекемелерi. Қазақстанда ғылыми ойпiкiрдiң тууы ежелгi замандардан бастау алады. Археол. зерттеулер мен жазба деректер бiзге Жетiсуда Орт. және Шығ. Қазақстанда 6 8 9 11 ғлардаақ болған ежелгi қалалар ме
14932. Қазақстанның оқу-ағарту және денсаулық сақтау жүйесі 67.5 KB
  Қазақстанның оқуағарту жүйесі Оқуағарту жүйесi. Қазақстан жерiнде әсiресе оның отырықшы аудандарында орта ғлардың ерте кезеңiндеақ 7 8 ғ. көптеген мектептер мұсылманша бастауыш оқу орны мен медреселер дiни бiлiм беретiн ортадан жоғары оқу орындары жұмыс iсте
14933. Қазақстанның тәуелсіздігі Түркияның қоғамдық пікірінде 77.5 KB
  Қазақстанның тәуелсіздігі Түркияның қоғамдық пікірінде Абдуллах Гүндоғду Жафер Гүлер Кеңес Одағының ыдырау үрдісінің бастамасы деп саналатын Қазақстандағы 1986 жылғы желтоқсан оқиғаларының орын алуы Түркиядағы толқыныстардың тууына негіз болған еді. Түркия үшін ...
14934. Қырғызстандағы Қазақтар 56.5 KB
  Серікқұл Қосақов Баласағұн атындағы Қырғыз ұлттық университетінің конституциялық құқық кафедрасының меңгерушісі профессор Қырғыз Республикасы Конституциясын жазған авторлардың бірі ҚЫРҒЫЗСТАНДАҒЫ ҚАЗАҚТАР Қазақтар әлемнің қайсы бөлігінде өмір с...
14935. Қытайдың батыс бөлікті игеру стратегиясы және оның Қазақстан-Қытай қатынасына әсері 64.5 KB
  Қытайдың батыс бөлікті игеру стратегиясы және оның ҚазақстанҚытай қатынасына әсері Н.Мұқаметханұлы Қазақстан Республикасының Президенті Нұрсұлтан Назарбаевтің Қазақстан экономикалық әлеуметтік және саяси жедел жаңғыру жолында атты 2005 жылғы Қазақстан халқ
14936. Махатма Ганди 110.5 KB
  МАХАТМА ГАНДИ Қысқаша өмірбаяны Мохандас Карамчанд ГАНДИ 02.10.186930.01.1948 ж.ж. Үндістан ұлтазаттық қозғалысының қайраткері. М.Ганди Оңтүстік Африкада жүргенде бейбіт жолмен қарсыласудың теориясы мен тактикасын белгілеп оны сатьяграха Шындық үшін тайсалма деп...
14937. Монғолия Қазақтары 62 KB
  Айнагүл Сарайқызы Моңғолия қазақ әйелдері Арулар одағының төрайымы Аруларжұлдыз журналының бас редакторы Моңғолия УЛАНБАТАР МЕН МОҢҒОЛИЯНЫҢ БАСҚА АЙМАҚТАРЫН МЕКЕНДЕЙТІН ҚАЗАҚТАРДЫҢ РУХАНИ ЖАҒДАЙЫ ТІЛ МӘДЕНИЕТ ЖАЙЛЫ ОЙТОЛҒАМ Армысыздар құр
14938. Мұса Жәлел 55 KB
  АСАУ ЖҮРЕК Өгей ұлың болдым ғой мен өз елім. Өлім күтіп шетте өртендіау өзегім. Өлсем қызыл гүлдер өссін қаныма Көз жасымды қабылдасынөзенің. Мұса Жәлел Берлинде Осыдан он жылдай бұрын Алматыда Ғалымдар үйінде атақты ақын Мұса Жәлелдің туғаны