22558

Энергетические методы расчета деформаций

Лекция

Производство и промышленные технологии

Он основан на применении закона сохранения энергии. При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня. Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину преобразующую один вид потенциальной энергии в другой. При этих условиях...

Русский

2013-08-04

75.5 KB

4 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 32. Энергетические методы расчета деформаций.

Постановка задачи.

   Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии.

   При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень путем постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP, то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится и ее потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится.

   Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобразную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой.

   Мы условились называть «статической» такую нагрузку, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения, этих частей, т. е. их скорость остается постоянной и ускорение отсутствует.

   При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере.

   Так как характер движения всех элементов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжения в ее частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.

   Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведенной силами, действующими на конструкцию.

   Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через U, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок . Тогда величина измеряется положительной работой этих нагрузок , с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил А, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

заменяя в этой формуле величины и U численно равными им значениями работ и —А, получаем иную формулировку этого закона:

или

   Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так зазываемым «началом» возможных перемещений в применении к упругим системам. Последнее равенство выражает, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю.

Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии.

Таким образом, потенциальная энергия деформации численно равна работе внешних сил , проделанной ими этой деформации:

 

Вычисление потенциальной энергии.

   При вычислении потенциальной энергии будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними.

   Известно, что при статическом растяжении или сжатии стержня силами Р величина работы , а следовательно, и величина энергии U равняется:

В случае сдвига

При кручении

Так же как и при кручении, может быть вычислена потенциальная энергия при чистом изгибе.

   Концевые сечения балки под действием изгибающих моментов(Рис.1) повернутся на угол , где — центральный угол изогнувшейся по дуге радиусом р оси балки.



Рис.1. Модель расчета потенциальной энергии при чистом изгибе.

 

Тогда

так как из общей теории изгиба а

   Из полученных выражений следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по ее направлению того сечения, где эта сила приложена. Условимся называть термином «обобщенная сила» всякую нагрузку, вызывающую соответствующее нагрузке перемещение, т. е. и сосредоточенную силу, и пару сил, и т. п.; перемещение же, соответствующее этой силе, будем называть «обобщенной координатой».

   «Соответствие» заключается в том, что речь идет о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причем о таком перемещении, что произведение его на эту силу дает нам величину работы; для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы — прогиб, удлинение; для пары сил — это угол поворота сечения по направлению действия пары.

Иначе: потенциальная энергия деформации численно равна половине произведения обобщенной силы на соответствующую ей координату.

,

где Р—обобщенная сила, — обобщенная координата.

   Полученные соотношения также показывают, что потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних сил, так как в эти формулы не входят реакции, зависящие от приложенных к элементу сил и связанные с ними уравнениями равновесия. Из тех же формул видно, что величина потенциальной энергии деформации является функцией второй степени от «обобщенных координат» системы и вполне ими определяется. Таким образом, порядок приложения нагрузок в этом отношении безразличен, важна лишь окончательная форма деформированного элемента. Поэтому, хотя результаты этого параграфа получены в предположении, что нагрузка возрастает статически, при сохранении равновесия в течение всего процесса нагружения, однако выведенные формулы сохраняют силу и при любом способе приложения нагрузок, лишь бы значения сил и деформаций были связаны линейной зависимостью и относились к тому моменту, когда установится равновесие конструкции.

   Известно также, что в общем случае изгиба изгибающий момент М(х) является величиной переменной. В любом сечении ему будет сопутствовать поперечная сила Q(х). Поэтому рассматривать следует уже,не всю балку в целом, а лишь бесконечно малый элемент балки длиной dx.



Рис.2. Энергетическая модель поперечного изгиба

 

   Под действием изгибающих усилий сечения элемента (рис.2, а) поворачиваются и образуют между собой угол (Рис.2, б). Касательные же усилия стремятся вызвать (Рис.2, в) перекос элемента; таким образом перемещения от нормальных напряжений идут перпендикулярно к направлению касательных напряжений, и наоборот.

Это позволяет независимо вычислять работу изгибающих и касательных усилий.

   Обычно работа касательных усилий оказывается малой по сравнению с работой нормальных, поэтому мы пока ею будем пренебрегать. Элементарная работа нормальных усилий (как и в случае чистого изгиба) равна:

или



Рис.3. Расчетная схема примера расчета потенциальной энергии при поперечном изгибе.

 

Вся потенциальная энергия изгиба получится суммированием по длине балки

   Знак предела интегрирования условно указывает, что интегрирование должно охватить всю балку; в тех случаях, когда для М(х) мы имеем несколько участков, то интеграл приходится разбивать на сумму интегралов.

   Вычислим потенциальную энергию балки на двух опорах, нагруженной силой Р (Рис.3). Эпюра моментов имеет два участка; поэтому


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45544. Политический имидж 43.5 KB
  Политический имидж Структурная модель политического лидера ЕгороваГантман Пятичленная модель Персональные характеристики психофизические активность агрессивность сила мощь; характер тип личности стиль принятия решений; локус контроля психологическая интенция индивида на восприятие им ситуации контроля значимых для него ситуаций внутренний сам всё контролирует; внешний фаталист; личные коммуникативные характеристики Социальные характеристики модель ролевого поведения по Берну человеческие качества социальный и...
45545. Имидж организации 39 KB
  Имидж организации Имидж целенаправленно сформированный образ субъекта ПР персоны корпорации выделющий определённые ценностные характеристики призванный оказать эмоциональнопсихололгическое воздействие на определённую группу ЦО. Имидж форма. Конечным результатом PRдеятельности является формирование стойкого социальнопсихологического стереотипа под названием ИМИДЖ. Образ непроизвольный и имидж конструируется специально и целенаправленно.
45546. Консалтинг в PR-деятельности: виды и технологии 44 KB
  Мнение консультанта должно носить свободный и объективный характер. Опыта консультанта. Самая важная характеристика в консалтинге КОМПЕТЕНТНОСТЬ консультанта в области бизнеса клиента и самое главное связей с общественностью. И может быть охарактеризована следующими позициями: Неосязаемость услуги Непостоянство качества Неотделимость от источника Несохраняемость Главные критерии оценки труда консультанта: Прозрачность труда консультанта степень открытости к.
45547. Понятийный аппарат 70 KB
  Потенциалом навредить компании или разрушить ее.Регресс Негативизация имиджа падение авторитета Последствия кризисов: необходимость уплаты штрафных санкций; смена руководства компании; массовые увольнения сотрудников; отзыв продукции с рынка; остановка производства; ликвидация предприятия; поглощение конкурентами Особенности эффективного давления на кризис: репутация компании; признание вины; открытость и обеспечение информацией; аргументы и факты; поддержка общественных групп; гибкость стратегии Кризисный PR В каких же...
45548. PR в системе интегрированных маркетинговых коммуникаций 33.5 KB
  ИМК это технология т. ИМК новый способ понимания целого состоящего из отдельных видов МКPR это группы общественности Маркетинг потребиели а реклама целевая аудитория . ИМК перестраивают МК с целью увидеть их так как и потребитель единым потоком инфи из одного источника. Что входит в состав ИМК Несколько точек зрения: 1.
45549. Использование современных интернет-технологий в ПР-деятельности 42 KB
  Использование современных интернеттехнологий в ПРдеятельности. PR в Интернете это коммуникативная деятельность в сети Интернет направленная на формирование и поддержание взаимопонимания и сотрудничества между субъектом PR Интернетпредставительством компании Интернетпроектом отдельным сайтом и сетевой общественностью; а также на обеспечение стабильной двусторонней коммуникации и получение обратной связи от целевых групп субъекта PR. Под PRкоммуникацией в сети Интернет можно понимать следующие: PR коммуникация в Интернете...
45550. Маркетинговые исследования в PR 41.5 KB
  Маркетинговое исследование состоит из 5 основных этапов: Выявление проблемы возможности и формулировка целей Отбор источников информации Сбор информации Анализ полученной информации Подготовка отчета Главные цели маркетингового исследования: Поисковые разведдовательные сбор предварительной информации которая поможет определить проблему и выдвинуть гипотезу. Каузеальные причинноследственные Эксперимент проверка гипотезы На этапе отбора источников информации важно помнить что выделяют ПЕРВИЧНЫЕ собираем под цели...
45551. Ситуационный анализ в PR 26.5 KB
  Ситуационный анализ в PR. Компоненты ситуационного анализа: анализ сильных и слабых сторон компании SWOT; анализ стратегической позиции компании; анализ конкуренции; позиционный анализ. Технология ситуационного анализа: 1. Исследовательский этап анализ ситуации.
45552. Оценка эффективности PR-деятельности: подходы, методы, методики 42 KB
  Оценка эффективности PRкампании систематическое измерение результатов проекта с т. Виды исследования оценки эффективности: только после используется часто легко проводится оценивается только результат подходит не для всех целей. Методы оценки эффективности Упрощенный подход измерение СМИ Н.