22559

Теорема Кастильяно

Лекция

Производство и промышленные технологии

Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай Рис. Мы представим себе что для перехода к смежному деформированному состоянию к силе сделана бесконечно малая добавка Рис. Предположим что мы сначала нагрузили нашу балку грузом ; балка очень немного прогнется Рис. Рис.

Русский

2013-08-04

133 KB

4 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 33. Теорема Кастильяно.

   Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим задачу нахождения перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил.

   Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенные силы , )... и т. д. Под действием этих сил балка прогнется по кривой и останется в равновесии.

   Прогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силы , , ,..., обозначим ,, ,... и т. д. Найдем один из этих прогибов, например — прогиб сечения, в котором приложена сила .

   Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения в смежное положение , показанное на фиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами: добавить новую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.

   Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию к силе сделана бесконечно малая добавка (Рис.1); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е. возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.

 

Расчетная модель к теореме Кастильяно.

   При переходе от состояния балки к состоянию все нагрузки Р опустятся, значит, их потенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то уменьшение, энергии нагрузок целиком преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформаций балки dU. Величина измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения в положение II:

   Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил , , ,..., произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных , поэтому дифференциал такой сложной функции равен:

Что касается величины , то эта работа в свою очередь является разностью работы нагрузок Р для положений и :

Работа при одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:

   При вычислении работы учтем, что ее величина всецело определяется окончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в котором производилась нагрузка.

   Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом ; балка очень немного прогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут . Работа статически приложенной нагрузки будет равна . После этого начнем постепенно нагружать балку одновременно возрастающими грузами , , .



Рис.2. Расчетная модель к теореме Кастильяно.

 

   К первоначальным прогибам добавятся прогибы (Рис.2). При этой стадии нагружения силы , , произведут работу , кроме этого, произведет работу уже находившийся на балке груз ; он пройдет путь , и так как при втором этапе нагружения он оставался постоянным, то его работа равна Балка займет положение , показанное на Рис.2 пунктиром.

   Таким образом, полная работа, проделанная внешними нагрузками при переходе балки из недеформированного состояния в положение, будет равна.

Теперь вычислим

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем:

Подставляя полученные значения dU и в исходное уравнение, находим

или

   Таким образом, в рассмотренном случае прогиб точки приложения сосредоточенной силы , равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе.

   Полученный результат можно обобщить. Пусть на балку помимо сосредоточенных сил Р действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис.3). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения в положение путем добавки к паре . Весь ход рассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментов , ... умножать их не на прогибы, а на углы поворота , ,... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно станет , и в итоге получим:



Рис.3. Обобщенная расчетная модель к теореме Кастильяно.

 

   Так как — это перемещение, соответствующее силе , a — перемещение, соответствующее силе то полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г.

   Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенных сил.

   Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

   Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U с изгибающими моментами:

Изгибающий момент является линейной функцией нагрузок , …, , ,..., q, приложенных к балке:

в этом легко убедиться, просмотрев формулы для вычисления изгибающих моментов при построении эпюр. Следовательно, потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних нагрузок.

Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например . Получаем:

   Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного интеграла по параметру, так как М(х)— функция и и х, интегрирование производится по х, а дифференцирование по параметру . Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует просто дифференцировать подинтегральную функцию.

Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы равен:

а угол поворота сечения с парой

Напомним, что знак предела l условно показывает, что интеграл должен охватить всю балку.

 

Примеры приложения теоремы Кастильяно.

   Определим (Рис.4) прогиб свободного конца В балки, защемленной другим концом А. Балка нагружена сосредоточенной силой, приложенной в точке В. В данном случае возможно непосредственное применение теоремы Кастильяно, так как отыскивается прогиб сечения, где приложена сосредоточенная сила Р



Рис.4. Пример расчетной схемы для расчета перемещений.

 

   Начало отсчета абсциссы х сечения можно выбирать произвольно, лишь бы формула для М (х) была возможно проще. Отсчитывая х от точки В, получаем для момента в любом сечении балки

и

Подставляя эти значения в формулу для и интегрируя, чтобы охватить всю длину балки от 0 до l, получаем:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53833. Косметичні проблеми підлітків 51 KB
  Три групи обговорюють між собою завдання а четвертауважно слухає відповіді та аналізує їх Слово вчителя: Як бачимо в описі кожного портрету звучали словаздорова шкіра здорове волосся. Шкіра людини має складну будову: зовнішній середній і внутрішній шар. Шкіра виконує захисну видільну дихальну терморегуляторну та тактильну функції. Шкіра нормальна.
53834. Тематична композиція «Космічні світи» 43.5 KB
  Мета: ознайомити учнів з космічним живописом, навчити зображувальних прийомів передачі простору, повітряної перспективи; розвивати творчу уяву,фантазію; виховувати космополітичні почуття.
53835. Урок узагальнення та систематизації знань “Освоєння космосу” 5.55 MB
  Розвиток космонавтики; формувати знання про умови руху тіла по навколоземній і навколосонячній орбітах; розвивати логічне мислення учнів: уміння критично оцінювати і використовувати різноманітну інформацію; прагнення до вдосконалення знань; вміння застосовувати знання в нових ситуаціях робити самостійно висновки приймати активну участь в суспільному житті. Теорія космічних знань з космонавтики. Історія розвитку космонавтики. Застосування знань з космонавтики в земних умовах.
53836. Сценарий утренника «Дорога к звездам» 65.5 KB
  1й ученик: Взлетят ракеты к звездам в небеса. 2й ученик: Простой земной наш человек Пройдет Венеру к Марсу путь направит И на Луне сомненья в этом нет Он первым из людей свой след оставит. 3й ученик: Рассвет. 4й ученик: Живем мы на нашей планете В такой замечательный век И первый из первых в ракете...
53837. Сценарій виховного заходу для учнів 3-4 класів „Краса Космосу” 191 KB
  Вони помітили що Сонце світить набагато яскравіше ніж Місяць що зміна дня й ночі має ритмічний характер. Уранці Сонце підіймається в певному місці проходячи при цьому визначений шлях. Запитання для бесіди: Чи розглядали ви колинебудь зоряне небо Чи бачили як падають зорі Чи розглядали як світить місяць на небі Як світить сонце Які почуття вас охоплюють коли ви дивитися у небо Чому на вашу думку люди іноді надовго затримують свій погляд у небі Що вони там бачать Про що мріють І учень. Я пропоную вам доповнитит це...
53838. Космический рейс. Посвящается 50-летию полета в космос Ю.А. Гагарина 1.86 MB
  Почему люди тянутся к звездам Почему в наших песнях герой – это сокол Почему все прекрасное что он создал Человек помолчав называет Высоким Ведущий 2 Так кто же такой Юрий Гагарин – первый космонавт планеты Земля бесстрашный рацарь космоса. Взгляд материнский устремляя к сини Не сомневаясь в стойкости его Следила благодарная Земля За яркой трассой сына своего. Оно во все врывается края Во все сердца как ласточка влетает И мать-земля дыханье затая Полет героя-сына наблюдает.
53839. Космічна мандрівка. Відкритий урок у початковій школі. Інтегрований урок з природознавства і математики (4 клас) 63.5 KB
  Це найближча до Сонця планета її відстань до Сонця змінюється від 46 до 70 млн. Це найшвидша планета адже за рік вона оббігає навколо Сонця аж 4рази. А дізнатися що ближче до Сонця: Земля чи Меркурій і на скільки ви зможете розв’язавши задачу: Відстань від Сонця до Землі в средньому 150 млн.км а від Сонця до Меркурія 58 млн.
53840. Закрепление изученного материала. Сложение и вычитание в пределах 100 43.5 KB
  Оборудование: Интерактивная доска презентация учебник цепочка чисел. 9 7 = 16 о 30 4 = 34 а 60 20 = 80 у 70 – 1 = 69 б 12 – 7 = 5 р 28 – 20 = 8 и 96 1 = 97 т 8 6 = 14 н Чему равна сумма чисел 9 и 7 16 Чему равна сумма чисел 60 и 20 80 Чему равна разность чисел 12 и 7 5 Чему равна сумма чисел 96 и 1 97...
53841. Адресовані людям вірші – найщиріший у світі лист, присвяченої творчості Ліни Костенко 108.5 KB
  Обладнання: мультимедійна апаратура портрет Ліни Костенко виставка книг поетеси плакати з висловами: Не забувайте незабутнє І не знецінюйте коштовне Не загубіться у юрбі. Костенко Не бійся прикрого рядка Прозрінь не бійсябо вони як піки Не бійся правди хоч яка гірка Не бійся смутків хоч вони як ріки. Костенко Творчість Ліни Костенко – приклад шляхетного служіння поезії.