22559

Теорема Кастильяно

Лекция

Производство и промышленные технологии

Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай Рис. Мы представим себе что для перехода к смежному деформированному состоянию к силе сделана бесконечно малая добавка Рис. Предположим что мы сначала нагрузили нашу балку грузом ; балка очень немного прогнется Рис. Рис.

Русский

2013-08-04

133 KB

4 чел.

Сопротивление материалов Сагадеев В.В.

Лекция № 33. Теорема Кастильяно.

   Установим теперь метод определения перемещений, основанный на вычислении потенциальной энергии деформации. Поставим задачу нахождения перемещений точек упругой системы по направлению действия приложенных к этой системе внешних сил.

   Будем решать эту задачу в несколько приемов; сначала рассмотрим более простой случай (Рис.1), когда на балку в сечениях 1, 2, 3,... действуют только сосредоточенные силы , )... и т. д. Под действием этих сил балка прогнется по кривой и останется в равновесии.

   Прогибы сечений 1, 2, 3,..., в которых приложены силы , , ,..., обозначим ,, ,... и т. д. Найдем один из этих прогибов, например — прогиб сечения, в котором приложена сила .

   Переведем балку, не нарушая равновесия, из положения в смежное положение , показанное на фиг. 328 пунктиром. Это можно сделать различными приемами: добавить новую нагрузку, увеличить уже приложенные и т. д.

   Мы представим себе, что для перехода к смежному деформированному состоянию к силе сделана бесконечно малая добавка (Рис.1); чтобы при этом переходе не нарушать равновесия, будем считать, что эта добавка прикладывается статически, т. е. возрастает от нуля до окончательного значения медленно и постепенно.

 

Расчетная модель к теореме Кастильяно.

   При переходе от состояния балки к состоянию все нагрузки Р опустятся, значит, их потенциальная энергия уменьшится. Так как равновесие не нарушалось, то уменьшение, энергии нагрузок целиком преобразовалось в увеличение потенциальной энергии деформаций балки dU. Величина измеряется работой внешних сил при переходе балки из положения в положение II:

   Изменение dU потенциальной энергии деформации, являющейся функцией сил , , ,..., произошло за счет очень малого приращения одной из этих независимых переменных , поэтому дифференциал такой сложной функции равен:

Что касается величины , то эта работа в свою очередь является разностью работы нагрузок Р для положений и :

Работа при одновременном и постепенном возрастании сил Р равна:

   При вычислении работы учтем, что ее величина всецело определяется окончательной формой деформированной балки и не зависит от порядка, в котором производилась нагрузка.

   Предположим, что мы сначала нагрузили нашу балку грузом ; балка очень немного прогнется (Рис.2, положение III), и прогибы ее в точках 1, 2, 3 будут . Работа статически приложенной нагрузки будет равна . После этого начнем постепенно нагружать балку одновременно возрастающими грузами , , .



Рис.2. Расчетная модель к теореме Кастильяно.

 

   К первоначальным прогибам добавятся прогибы (Рис.2). При этой стадии нагружения силы , , произведут работу , кроме этого, произведет работу уже находившийся на балке груз ; он пройдет путь , и так как при втором этапе нагружения он оставался постоянным, то его работа равна Балка займет положение , показанное на Рис.2 пунктиром.

   Таким образом, полная работа, проделанная внешними нагрузками при переходе балки из недеформированного состояния в положение, будет равна.

Теперь вычислим

Пренебрегая слагаемым второго порядка малости, получаем:

Подставляя полученные значения dU и в исходное уравнение, находим

или

   Таким образом, в рассмотренном случае прогиб точки приложения сосредоточенной силы , равен частной производной потенциальной энергии деформации по этой силе.

   Полученный результат можно обобщить. Пусть на балку помимо сосредоточенных сил Р действуют в разных сечениях еще пары сил М (Рис.3). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения в положение путем добавки к паре . Весь ход рассуждений остается без изменений, надо будет лишь при вычислении работы моментов , ... умножать их не на прогибы, а на углы поворота , ,... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно станет , и в итоге получим:



Рис.3. Обобщенная расчетная модель к теореме Кастильяно.

 

   Так как — это перемещение, соответствующее силе , a — перемещение, соответствующее силе то полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г.

   Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенных сил.

   Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

   Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U с изгибающими моментами:

Изгибающий момент является линейной функцией нагрузок , …, , ,..., q, приложенных к балке:

в этом легко убедиться, просмотрев формулы для вычисления изгибающих моментов при построении эпюр. Следовательно, потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних нагрузок.

Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например . Получаем:

   Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определенного интеграла по параметру, так как М(х)— функция и и х, интегрирование производится по х, а дифференцирование по параметру . Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует просто дифференцировать подинтегральную функцию.

Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы равен:

а угол поворота сечения с парой

Напомним, что знак предела l условно показывает, что интеграл должен охватить всю балку.

 

Примеры приложения теоремы Кастильяно.

   Определим (Рис.4) прогиб свободного конца В балки, защемленной другим концом А. Балка нагружена сосредоточенной силой, приложенной в точке В. В данном случае возможно непосредственное применение теоремы Кастильяно, так как отыскивается прогиб сечения, где приложена сосредоточенная сила Р



Рис.4. Пример расчетной схемы для расчета перемещений.

 

   Начало отсчета абсциссы х сечения можно выбирать произвольно, лишь бы формула для М (х) была возможно проще. Отсчитывая х от точки В, получаем для момента в любом сечении балки

и

Подставляя эти значения в формулу для и интегрируя, чтобы охватить всю длину балки от 0 до l, получаем:


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81534. Патогенез поздних осложнений сахарного диабета (макро- и микроангиопатии, нефропатия, ретинопатия, катаракта). Диабетическая кома 108.17 KB
  Диабетическая кома. Диабетическая ретинопатия поражение сетчатки глаза в виде микроаневризм точечных и пятнистых кровоизлияний твёрдых экссудатов отёка образования новых сосудов. Диабетическая микро и макроангиопатия нарушение проницаемости сосудов повышение их ломкости склонность к тромбозам и развитию атеросклероза возникает рано поражаются преимущественно мелкие сосуды. Диабетическая полинейропатия чаще всего в виде двусторонней периферической нейропатии по типу перчаток и чулок начинающаяся в нижних частях конечностей.
81535. Регуляция водно-солевого обмена. Строение и функции альдостерона и вазопрессина 199.48 KB
  Основные гормоны участвующие в тонкой регуляции водносолевого баланса и действующие на дистальные извитые канальцы и собирательные трубочки почек: антидиуретический гормон АДГ альдостерон и предсердный натриуретический фактор ПНФ. Антидиуретический гормон Антидиуретический гормон АДГ или вазопрессин пептид с молекулярной массой около 1100 Д содержащий 9 аминокислот соединённых одним дисульфидным мостиком. АДГ синтезируется в нейронах гипоталамуса в виде предшественника препрогормона который поступает в аппарат Гольджи и...
81536. Система ренин-ангиотензин-альдостерон. Биохимические механизмы возникновения почечной гипертонии, отеков, дегидратации 105.02 KB
  Главным механизмом регуляции синтеза и секреции альдостерона служит система ренинангиотензин. Субстратом для ренина служит ангиотензиноген. Ангиотензиноген α2глобулин содержащий более чем 400 аминокислотных остатков.
81537. Роль гормонов в регуляции обмена кальция и фосфатов (паратгормон, кальцитонин). Причины и проявления гипо- и гиперпаратироидизма 106.8 KB
  Паратгормон Паратгормон ПТГ одноцепочечный полипептид состоящий из 84 аминокислотных остатков около 95 кД действие которого направлено на повышение концентрации ионов кальция и снижение концентрации фосфатов в плазме крови. Скорость распада гормона уменьшается при низкой концентрации ионов кальция и увеличивается если концентрация ионов кальция высока. Секреция ПТГ регулируется уровнем ионов кальция в плазме: гормон секретируется в ответ на снижение концентрации кальция в крови.
81538. Строение, биосинтез и механизм действия кальцитриола. Причины и проявление рахита 137.84 KB
  Действие гормона направлено на повышение концентрации кальция в плазме крови. Низкая концентрация фосфатов и ионов Са2 в крови также ускоряет синтез кальцитриола причём ионы кальция действуют опосредованно через паратгормон. Так например в клетках кишечника кальцитриол индуцирует синтез Са2переносящих белков которые обеспечивают всасывание ионов кальция и фосфатов из полости кишечника в эпителиальную клетку кишечника и далее транспорт из клетки в кровь благодаря чему концентрация ионов кальция во внеклеточной жидкости поддерживается на...
81539. Строение и секреция кортикостероидов. Изменения катаболизма при гипо- и гиперкортицизме 159.94 KB
  Гормоны коры надпочечников кортикостероиды. В коре надпочечников синтезируется более 40 различных стероидов различающихся по структуре и биологической активности. В коре надпочечников образуются предшественники андрогенов из которых наиболее активный дегидроэпиандростерон ДЭА и слабый андростендион. Самый мощный андроген надпочечников тестостерон синтезируется в надпочечниках в небольшом количестве.
81540. Регуляция синтезами секреции гормонов по принципу обратной связи 126.07 KB
  Поддержание уровня гормонов в организме обеспечивает механизм отрицательной обратной связи. Изменение концентрации метаболитов в клеткахмишенях по механизму отрицательной обратной связи подавляет синтез гормонов действуя либо на эндокринные железы либо на гипоталамус. Синтез и секреция тропных гормонов подавляется гормонами эндокринных периферических желёз.
81541. Половые гормоны: строение, влияние на обмен веществ и функции половых желез, матки и молочных желез 133.12 KB
  Биосинтез эстрогенов как биохимический процесс представляет собой ароматизацию С19стероидов катализируемую комплексом ферментов локализованных в микросомах. У женщин детородного возраста основная масса эстрогенов синтезируется в яичнике содержащем зреющий фолликул или желтое тело. Синтез эстрогенов в фолликуле определяется взаимодействием двух стероидпродуцирующих структур зернистого слоя и текаклеток. Синтез эстрогенов в зреющем фолликуле является одним из основных факторов определяющих функцию гипофизарноовариальной системы т.
81542. Гормон роста, строение, функции 102.09 KB
  Гормон роста соматотропин пептидный гормон образуется в соматотропных клетках аденогипофиза. Молекула СТГ состоит из 191 аминокислотного остатка на восемь остатков меньше чем в молекуле пролактина и в отличие от пролактина содержит не три а два внутримолекулярных дисульфидных мостика Гормоном роста соматотропин называют за то что у детей и подростков а также молодых людей с ещё не закрывшимися зонами роста в костях он вызывает выраженное ускорение линейного в длину роста в основном за счет роста длинных трубчатых костей...