22613

Вивчення коливань фізичного маятника

Лабораторная работа

Физика

Вивчення коливань фізичного маятника. Експериментальне вивчення коливального руху маятникастержня у гравітаційному полі Землі. Маятникстержень макетна установка для здійснення коливального руху маятника та вимірювання періоду його коливань. У випадку фізичного маятника мал.

Украинкский

2013-08-04

210.5 KB

3 чел.

6

Лабораторна робота.

Вивчення коливань фізичного маятника.

Мета роботи.

  1.  Експериментальне вивчення коливального руху маятника-стержня у гравітаційному полі Землі.
  2.  Визначення прискорення вільного падіння.

Прилади та матеріали.

Маятник-стержень, макетна установка для здійснення коливального руху маятника, та вимірювання періоду його коливань.

Вибіркові теоретичні відомості.

 Фізичним маятником може бути будь-яке тіло, спроможне здійснювати коливання у одній площині відносно точки підвісу, розташованій на відстані  від центру мас. Відомо, що рух твердого тіла, яке має нерухому вісь обертання, описується рівнянням моментів:

                                           ,                                          (1)

де момент інерції тіла відносно вісі обертання;

   кутова швидкість обертання;

  підсумковий момент діючих на тіло зовнішніх сил.

 У випадку фізичного маятника (мал.1) його можна подати як

                                                      L

                 0                                      

                                                                                      

                 φ                                                                                                  

                 a

                     

                                  

                                                 Мал.1

                                      ,                                 (2)

де - момент сили тяжіння ;

     маса тіла ;

      відстань від вісі обертання О до центра мас С ;

     кут відхилення центру мас від вертикальної вісі (положення рівноваги).

 Слід  зауважити, що рівняння (2) відтворює ідеалізований випадок руху, бо не враховує дію сил тертя. Але з його допомогою можна визначити як змінюється з плином часу кут відхилення  від положення рівноваги і проаналізувати характер руху фізичного маятника.

Будемо вважати, що у початковий момент часу  тіло проходить положення рівноваги  з відомою кутовою швидкістю . Помножимо обидві частини рівняння (2) на  :

Можна утворити такі еквіваленти останього виразу :

або                                      .                         (3)

Рівняння (3) – це закон збереження енергії під час руху фізичного маятника, відтворений у диференціальному вигляді. Результатом інтегрування цього співвідношення є рівняння:

                                ,                             (4)

у якому перший доданок – це кінетична енергія обертального руху, а другий – потенціальна енергія у полі сил тяжіння. Константа інтегрування В визначається з початкових умов (  ):

.

Тепер рівняння (4) можна подати у вигляді:

 

або                                      .                         (5)

Знаки “+” та “-“ відповідають руху маятника або праворуч, або ліворуч відносно положенню рівноваги. Характер руху маятника суттєво залежить від параметра   рівняння (5). Якщо кінетична енергія тіла у початковий момент часу більша за роботу, яка потрібна, щоб підняти центр мас маятника від найнижчого

положення (положення стійкої рівноваги) до найвищого (положення нестійкої рівноваги), тобто  або  , то підкорінний вираз у правій частині рівняння (5) завжди додатний і кут  з плином часу може необмежено збільшуватись. Іншими словами, якщо початкова кутова швидкість  більша за , то маятник здійснює обертальний рух навколо вісі підвісу із змінною кутовою швидкістю ( крива 1, мал.2 ) .

φ

                                1

π

                                                                             2

                                                                    

                                                           3

                                                                                                 t

                                                                    -

                                          Мал.2

Якщо ж  , тобто  , то підкорінний вираз правої частини рівняння (5) стає нескінченно малим при найвищому терміні . Це означає, що центр мас маятника, рухаючись за колом, нескінчено тривало наближується до найвищої точки своєї траєкторії (положення нестійкої рівноваги), але не доходить її у будь-який кінцевий час (крива 2, мал.2).

І, нарешті, якщо    або    , то підкорінний вираз рівняння (5) має додатний знак тільки тоді, коли значення кута повороту маятника межує у термінах  - , які визначаються рівнянням:

.

Під час руху маятника кут  збільшується до значення +, а потім зменшується до - , тобто маємо коливальний рух (крива 3, мал.2).

Інтегрування рівняння (5) дає змогу визначити залежність часу руху маятника від кута повороту :

                                                    (6)

та на цій підставі отримати формулу періоду його коливань (докладніше див. ,  ). У першому наближенні період нескінчено малих коливань не залежить від їх амплітуди  .

                                           .                                      (7)

Друге наближення дає наступну формулу періоду коливань:

,

а за умовою застосування наближення    маємо:

                                   .                              (8)

Застосувавши теорему Штейнера  , де  момент інерції маятника відносно центра мас, вираз (7) можна перетворити:

                        ,                       (9)

де  радіус інерції маятника.

Для однорідного стержня, яким є маятник у лабораторній роботі, момент інерції вілносно центра мас    та   , де  довжина маятника.

Як свідчить вираз (9) період коливань фізичного маятника прямує до нескінченості у двох випадках: коли  прямує до 0 () та   прямує до нескінченості (). Графік залежності поданий на мал.3.

                                                                          T

                                                                      

                M                                                                                                         N

           -a                          -a2      -a0   -a1           0            a1      a0      a2                    a

                                                                Мал.3.

Це дві дзеркальні криві, кожна з яких належить своїй половині фізичного маятника (відносно цертра мас). Найменші значення періоду коливань отримуються в екстремальних точках, коли  . Якщо прокласти пряму лінію MN, то однакові значення періоду коливань отримуються у чотирьох точках підвісу маятника, відповідних відстанням   та  -. Кожному фізичному маятнику можна підібрати такий математичний маятник, який матиме однаковий з фізичним період коливань. Довжина цього математичного маятника відповідає, так званій, зведеній довжині фізичного маятника. За виразом (9) невжко визначити зведену довжину фізичного маятника:

.

Користуючись цим виразом, запишемо формули однакових періодів коливань у точках  та   (права частина графіка):

,

що дає рівняння

.

За його допомогою зведену довжину можна подати як

.

Отже, графік  дозволяє визначити не тільки період, але й відповідну періоду зведену довжину фізичного маятника. Зрозуміло, що будь-яка пряма, паралельна вісі абсцис, дає також дві пари точок перетину з двома кривими. Кожній прямій відповідатиме інше значення періоду коливань та інша величина зведеної довжини маятника. Існує достатньо значна кількість таких прямих. Точка фізичного маятника, розташована на відстані  від точки підвісу на прямій, яка проходить через центр мас, має назву центра коливань. Центр коливань та точка підвісу взаємно обернені, тобто якщо ці точки поміняти місцями, період коливань фізичного маятника не зміниться.

Опис макетної установки.

У даній лабораторній роботі фізичним мятником є довгий однорідний металевий стержень. До нього додається легка пересувна шайба з опорними призмами, яка може бути закріплена у будь-якому місці стержня. Щоб мати можливість визначити положення закріплення опорних призм, стержень поділений рисками шкали через 1 сантиметр. Опорні призми встановлюються в пази, пробиті у горизонтальній опорі, яка розташована на верхівці вертикального металевого стовпа. Стовп конструктивно поєднаний з важкою горизонтальною платформою, встановленою на регулюючих гвинтах, які дозволяють коректувати горизонтальність верхньої горизонтальної опори маятника. Уздовж стовпа у вертикальному напрямі пересувається пристрій, в якму розташований фотоелемент. З його допомогою та завдяки відповідному електронному устаткуванню вимірюється період коливань фізичного маятника. Інформація стосовно періоду подається у цифровому вигляді.

Загальна довжина маятника-стержня дорівнює :   см ;

координата цнтра мас становить :                          см ;

маса маятника дорівнює :                                        г .

Завдання та рекомендації до його виконання.

  1.  Ознайомтесь з описом лабораторної роботи та з будовою експериментальної установки, призначеної для вимірювання періоду коливань фізичного маятника.
  2.  Користуючись формулою (8) підрахуйте для яких кутів відхилення маятника від положення рівноваги, при фіксованому значенні  , можна вважати період коливань Т сталою величиною.
  3.  Зробіть вимірювання, необхідні для експериментального визначення залежності . Для цього розташуйте фотоелемент макету у крайньому нижньому положенні, призму закріплення маятника зафіксуйте на відповідній довжині так, щоб темний кінець стержня-маятника міг рухатись навпроти віконця фотоелементу. Виміряйте період коливань маятника. Далі, фіксуючи призму закріплення з кроком у 1 см, вимірюйте періоди коливань у кожному новому положенні. Фотоелемент при цьому треба пересувати та закріплювати на рівні темного кінця маятника. Вимірювання припиніть у положенні, яке відповідає координаті центра мас.Побудуйте грфік залежності .
  4.  Користуючись формулою (8) та деяким визначеним значенням кута відхилення  зробіть необхідні розрахунки для визначення аналітичної залежності . Нанесіть отримані аналітичні дані на графік експериментальної залежності. Поясніть особливості досліджуваної залежності, а також розбіжності результатів експерименту та розрахунків.
  5.  За експериментальним графіком залежності   визначіть декілька значень зведеної довжини маятника  та знайдіть його радіус інерції . Порівняйте останній з розрахунковим значенням ().
  6.  Для двох-трьох значень  обчисліть значення   і експериментально перевірте оберненість точки підвісу та центра коливань маятника.
  7.  За отриманими експериментальними результатами визначіть прискорення вільного падіння , застосовуючи  метод найменших квадратів. Для цього треба лінеаризувати залежність , побудувавши її у координатах (). Схема належних перетворень має наступний вигляд.

                                                     y   =   x   + A .

     Отже за такої лінеаризації коефіцієнти В та А безпосередньо                         дорівнюватимуть  та   відповідно.

  1.  Визначте похибки зроблених вимірювань . Проаналізуйте результати.

Контрольні запитання.

  1.  Який маятник називають фізичним ? Чим фізичний маятник відрізняється від математичного ?
  2.  Що називають зведеною довжиною фізичного маятника ? Як графічно визначити зведену довжину фізичного маятника ?
  3.  Яка точка фізичного маятника має назву центра коливань ? Яка її характерна властивість ?
  4.  Як формулюється теорема Штейнера та як вона застосовується до фізичного маятника ?
  5.  Який вигляд має рівняння моментів для матеріальної точки ? Для твердого тіла ?
  6.  Коли спостерігається обертання твердого тіла, яке має нерухому вісь обертання ? За яких умов виникає коливальний рух ?
  7.  Від яких параметрів злежить період коливань фізичного маятника ?
  8.  Як повинен змінитися аналітичний вираз періоду коливань фізичного маятника, якщо врахувати наявність сил тертя ?

Література.

  1.  Матвєєв А.В. Механіка і теорія відносності. Київ, Вища школа, 1993, гл.2, 6, 8, §§ 21,34.
  2.  Сивухін Д.В. Общий курс физики. Том 1, Механика, М., Наука, 1989, гл.5-7, § 41.
  3.  Хайкин С.Э. Физические основы механики, М., Наука, 1971, гл. 10,13, §§ 90,91.
  4.  Стрелков С.П. Механика, Наука, 1975, гл. 7, 8, 14, §§ 123,124.
  5.  Курс физики. Практикум. Под ред. проф. Городецкого Д.А. Киев, 1992, с. 30-40.  

                                                          


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

25099. Смысл жизни 33.5 KB
  Если смысл жизни это как бы объективная оценка значимости существования человека то счастье это сопровождающееся чувство глубокой моральной удовлетворенности личностное переживание полноты своего бытия результатов своей жизнедеятельности. Поэтому счастье всегда связано с ощущением необыкновенного подъема духовных и физических сил стремлением к переживанию всей многомерности бытия а состояние счастья прямо противоположно состоянию пассивности равнодушия инертности. Поэтому счастье это осуществление внутренней свободы процесс...
25100. Категорії естетики 38.5 KB
  Середньовічна естетика яка виробляла своє розуміння гармонії опинилася в складному і суперечливому становищі щодо античної спадщини. Необхідно було обґрунтовувати нову християнську космогонію аби замінити ідею космічної гармонії ієрархією земного і небесного людського і Божого. Нової ідеєю щодо гармонії було уявлення її як тотожності цілого і частини; за нею стояло вчення стоїків і неоплатонівців про єдність мікро і макрокосмосу. Категорії гармонії і міри широко використовувалися й у Новий час проте вони вже не були головними естетичними...
25101. Доба відродження 37 KB
  Кепаікзапсе відродження. Естетика Відродження як і філософія цього періоду зумовлена розвитком товарного виробництва торгівлі розквітом міської культури на межі XIVXV ст. Епоха Відродження починається в Італії а пізніше охоплює більшість країн Європи.
25103. Методы эстетического воспитания 47 KB
  На художественных занятиях педагог дает точные указания показывает или предлагает детям самим найти приемы исполнения и т. Эстетическое воспитание предусматривает специальные приемы для развития творческих способностей включающих качество восприятия и воспроизведения; различение сочетаний цвета формы объема; соотношение музыкальных звуков по их высоте длительности тембру динамике; музыкальный поэтический слух художественный вкус и т. Методические приемы поскольку они относятся к области художественного воспитания должны...
25104. Суррогатное материнство 39 KB
  Для многих семей сегодня не существует проблемы искусственного оплодотворения и с моральной точки зрения. Этический вопрос искусственного оплодотворения интересовал человечество ещё с конца XVII века. Первые попытки искусственного оплодотворения были совершены ещё в середине ХХ ст. Первый успех в области искусственного оплодотворения ученые смогли получить только в 1973 году.