22617

Вивчення коливань струни

Лабораторная работа

Физика

Якщо у iдеально гнучкої однорiдної струни що має нескiнчену довжину i знаходиться у станi рiвноваги вiдтягнути маленьку дiлянку та потiм вiдпустити її то виникає збурення яке пересувається вздовж струни у двох протилежних напрямках утворюючи двi бiжучi поперечнi хвилi. Якщо довжина струни скiнчена то бiжучi хвилi вiдбиваються вiд її кiнцiв. Фази та амплiтуди вiдбитих хвиль залежатимуть при цьому вiд положення та засобу закрiплення кiнцiв струни.

Украинкский

2013-08-04

63 KB

3 чел.

7

Лабораторна робота 

Вивчення коливань струни.

Мета роботи: 

             1.Експериментальне спостереження стоячих хвиль у струнi.

             2.Визначення швидкостi розповсюдження хвильовогопроцесу у струнi.

Прилади i матерiали:

дротяна струна, вимiрювальна лiнiйка, магнiт, шалька для розмiщення тягарцiв, набiр тягарцiв, звуковий генератор.

Короткі теоретичні відомості.

      Якщо у iдеально гнучкої однорiдної струни, що має нескiнчену довжину i знаходиться у станi рiвноваги, вiдтягнути маленьку дiлянку та потiм вiдпустити її, то виникає збурення, яке пересувається вздовж струни у двох протилежних напрямках, утворюючи двi бiжучi поперечнi хвилi. Якщо довжина струни скiнчена, то бiжучi хвилi вiдбиваються вiд її кiнцiв. Фази та амплiтуди вiдбитих хвиль залежатимуть при цьому вiд положення та засобу закрiплення кiнцiв струни. Вiдбитi та бiжучi хвилi iнтерферують, утворюючи складну нестацiонарну картину розподiлу змiщень уздовж струни. В зв'язку з енергетичними втратами, якi завжди мають мiсце, описаний процес згасає з плином часу.

       Щоб спостерiгати стацiонарну картину у роботi використовуються примусовi коливання струни, коли збурення у струнi викликається зовнiшньою перiодичною силою. За певних умов у струнi виникають стоячi хвилi - явище, яке називають резонансом струни.

       Розглянемо докладнiше цi умови для скiнченої струни довжиною L. Якщо струну, закрiплену у точках О та А ( мал.1), вiдтягнути вiд положення рiвноваги у напрямку, перпендикулярному осi ОХ, та вiдпустити, то струна буде коливатися. Для складання рiвняння, що описує цей рух, розглянемо сили, якi дiють на елемент струни довжиною dx, погонна густина якого (тобто маса одиницi довжини) дорiвнює    .

                                                                                         На  кiнцi  цього   елемен-

 Y                                                                                     та    дiють   сили  Т,  якi

                                                                                       обумовленi          натягом

           (x)             ( x+dx)                                            струни. Проекцiї цих сил

                                                                                          на   вiсь    ОY , визначенi

     dx                                                                                  вiдносно    точок   x    та

                                                                                           x+dx при малих кутах ,

T                                                                    X                   дорiвнюють:

O

T sin(x) T tg(x) = T dy/dx   ,

                                                                                          x

T sin(x+dx) T tg(x+dx) = Tdy/dx      .

                                                                                              x+dx

      Рiзниця проекцiй цих сил,що визначає динамiку руху струни в напрямку осi ОY, може бути вiдтворена у виглядi:

( T dy/dx          - T dy/dx    )  = T (d2y/dx2 )dx  .

                                              x+dx                 x        

Тодi, у погодженнi  з законом Ньютона, рух елемента струни масою dx у напрямку осi OY визначається рiвнянням:

dx( d2y / dt2 )   =  T( d2y  / dx2)dx

або:

                                             d2y / dt2    = T / ( d2y / dx2 )                                 (1)

Безпосередньою пiдстановкою неважко пересвiдчитись у тому, що розв'язком цього рiвняння є функцiя:

                                               y  =  y sin( kx )sin( t ).                                       (2)

Визначимо похiднi цiєї функцiї за x та за t:

dy/dx  =  kcos( kx )sin( t );       d2y / dx2  =  - k2 sin( kx )sin( t );

dy/dt  =  sin( kx )cos( t );       d2y / dt2  =  - 2 sin( kx )sin( t );

Пiдставляючи значення других похiдних до рiвняння (1), отримуємо спiввiдношення мiж константами k та :

                           =  k2 ( T /  )            або                  k =      / T             (3)

Вирази (1-3) дозволяють зробити декiлька зауважень щодо руху струни, закрiпленої у кiнцевих  її точках.

       1. Диференцiйне рiвняння (1) називається хвильовим рiвнянням. Розв'язок цього рiвняння вiдтворюється перiодичними функцiями двох незалежних змiнних x та t.

  1.  У розглянутому випадку розв'язок хвильового рiвння (1) має вигляд

стоячої хвилi (2). Її суттєвою властивiстю є те, що всi точки струни коливаються за одним і тим самим законом ( sin t ), а амплiтуда коливань перiодично змiнюється уздовж струни (y  sin kx), перетворюючись у нуль у точках, що називаються вузлами змiщення.

       3. Значення k, якi визначають перiод змiнювання амплiтуди коливань уздовж осi ОХ, не можна вибирати довiльно, тому що за початковими умовами задачi кiнцi струни жорстко закрiпленi: y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0, де L довжина струни. Тому коливання струни мають вiдбуватися тiльки так, як це показано на мал.2  (на цьому малюнку напрямок руху струни показаний стрiлками).

                                                                X          n = 1

                                                        A

                                        

                                                                X         n = 2

                                                        A

                                                              

                                                                 X          n = 3

                                                        A

                                                                X           n = 4

                                                         A

Мал.2.

        У загальному випадку мiж точками О та А повинно вкладатися цiле число напiвперiодiв просторового змiнювання амплiтуди коливань струни. Математично цю умову можна вiдтворити у наступному виглядi:

                                                  kL  =  n     ;    n = 1, 2, 3, ...                           (4)

Це умова виникнення резонансу струни. Значення n визначає кiлькiсть пучностей ( але не вузлiв ) струни, яка здiйснює коливання.

      4. У зв'язку з тим, що К та пов'язанi спiввiдношенням (3), значення частот , при яких розглянутий процесс коливань може мати мiсце, теж не можуть бути довiльними. Маючи на увазi спiввiдношення (4), умову (3) можна вiдтворити у такому виглядi:

n / L  =     / T    .

Звiдси

 =  n / L T /  ,   

або

                                              f  =   / 2  =  n / 2L T /   .                                (5)                                  

Частоти,на яких може вiдбутися виникнення стоячих хвиль у струнi, називаються власними частотами. Власну частоту, яка вiдповiдає n=1, називають основним тоном; частоти вiдповiднi n=2,3,4... , називають обертонами (або гармонiками). Зауважимо, що вiдповiдно з (5), власнi частоти коливань залежать тiльки вiд сили натягу струни T, її лiнiйної густини  довжини L та не залежать вiд модуля Юнга матерiалу, з якого зроблена струна.

      5. Отриманi нами вирази описують, власно кажучи, рух iдеально гнучкої струни у вакуумi. При коливаннях реальної струни завжди мають мiсце втрати енергiї. Частина енергiї втрачається внаслiдок тертя об повiтря, iнша частина уходить через кiнцi струни у точках закрiплення. Тому, розглянуту теорiю можна застосовувати для випадку, коли втрати енергiї за перiод коливань малi порiвняно з запасом енергiї у коливальнiй системi.

      Незалежнiсть власних частот коливань вiд модуля Юнга матерiала струни є наслiдком того, що ми знехтували змiнюванням натягу струни пiд час коливань.

      6. У теорiї розв'язку диференцiальних рiвнянь пояснюється, що у хвильових

рiвняннях типу (1) коефiцiєнт перед d2y/dx2 є квадратом швидкостi розповсюдження хвильового процесу:

C2  = T / ,

тобто, швидкiсть розповсюдження хвильових процесiв у струнi визначається формулою:

                                                            C  =   T /                                         (6)

Опис експериментальної установки.

      Схема експериментальної установки наведена на малюнку 3.

                     1                 3          Магніт                               1

            

        4

                               2                                       7     

                                         

                                                                          R           Генератор      6

           5

                                                              Мал. 3

На жорсткiй вертикальнiй основi закрiпленi упори 1, лiнiйка 2, сталий магнiт 3, блок 4. Один кiнець струни закрiплюється у правому упорi 1, а другий пропускається через отвiр у магнiтi 3, отвiр у лiвому  упорi 1, перекидається через блок 4 та поєднується з шалькою для розмiщення тягарцiв 5. За допомогою тягарцiв змiнюють натяг струни.

       Струна приводиться до руху силами, що дiють на електричний струм у магнiтному полi. Для цього на струну подається змiнна напруга вiд генератора. Частота зовнiшньої сили, яка розгойдує струну, дорiвнює частотi коливань струму у струнi, тобто частотi генератора. Опiр 7 обмежує величину струму, що проходить у струнi, та захищає вихiд генератора вiд перенавантаження.

Завдання та методика вимірювань .

            1. Ознайомтеся з конструкцiєю установки та з правилами користування генератором ГЗ-109.

            2. Поставте регулятор вихiдної напруги генератора "НАПРЯЖЕНИЕ" у кiнцеве лiве положення, перемикач "АТТЕНЮАТОР" - у положення "50   ". Включiть прилад та дайте йому прогрiтися 5-10 хвилин.

            3. Вiдрегулюйте вихiдну напругу генератора до максимального значення. Розташуйте магнiт навпроти середньої подiлки вимiрювальної лiнiйки. Повiльно обертаючи ручку змiнювання частоти генератора, знайдiть частоту основного тону, на якiй виникає стояча хвиля ( n=1, мал.2 ). У разi виникнення коливань з дуже великою амплiтудою зменшуйте вихiдну напругу генератора. Запишiть отримане значення частоти.

            4. Змiщуючи магнiт (тобто точку прикладання зовнiшньої сили) у мiсця передбачаємої пучностi коливань та збiльшуючи частоту генератора, визначте частоти обертонiв до n не менше 5. ( Для цього корисно зазделегiдь побудувати дiаграму розподiлу амплiтуд окремих точок струни з позначенням коордiнат магнiту вiдносно вимiрювальної лiнiйки ). Частота кожного наступного обертону повинна збiльшуватись у n разiв порiвняно з частотою основного тону.

          5. Повторити попереднi вимiрювання власних частот для рiзних навантажень струни (4 - 5 навантажень). Навантаження здiйснюються тягарцями. Загальна маса тягарцiв у шальцi не повинна перевищувати 10 г. Данi першого навантаження струни:

  m = 4,26 г - маса затискувача;

  m = 3,87 г - маса затискувача типу "крокодил";

  m = 13,32 г - маса шальки для тягарцiв.

          6. За результатами всiх вимiрювань зробiть графiки f = F (n) (з позначенням навантажень ).

          7. Методом найменших квадратiв знайдiть значення швидкостей розповсюдження хвильового процесу у струнi C:

                                        f  =  ( n / 2L )C  =  C / 2Ln  =  F( n ),

звiдси:                     

                                                  C  =  ( f / n )2L  = tg 2L  ,

де  Ф  - кут нахилу прямої лiнiї, яка графiчно вiдтворює функцiю f = F ( n ).

          8. Визначте похибки зроблених вимiрювань. Проаналiзуйте  результати.

                                                Контрольнi запитання.

             1. За яких умов виникають стоячi хвилi у струнi?

             2. Яка хвиля називається стоячею ? Чому вона має таку назву?

             3. Яким математичним рiвнянням вiдтворюється стояча хвиля? За яких умов воно отримується? Чи здатне воно описувати коливання, вiдповiднi поздовжнiй хвилi?

             4. Покажiть,  що швидкiсть розповсюдження хвилi вздовж струни дорiвнює C =   T / . Спробуйте за вашими експериментальними даними побудувати графiк залежностi швидкостi розповсюдження вiд натягу струни:

                                                              C = F (T).

             5. Як здiйснюється вiдбиття вiд незакрiпленого кiнця стержня (струни)? Який вигляд має умова резонансу у цьому випадку? Який вигляд має розподiл пучностей та узлiв змiщення?

                                                   Лiтература.

1. Д.В.Сивухин "Общий курс физики", т.1, "Механика",М, "Наука", 1989, стр. 459 - 462.

  2. С.П.Стрелков "Механика", М, "Наука", 1975, стр. 472 - 478.

  3. С.Э. Хайкин "Физические основы механики", М, "Наука", 1971, 150 - 154.

  4. "Лабораторные занятия по физике" под ред. Л.Л.Гольдина, M. "Наука", 1974, стр. 423 - 426.

  5. "Загальна фiзика. Лабораторний практикум" пiд загальн. ред.      I.Т.Горбачука, Київ, "Вища школа", 1992, ст. 137 - 140.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22055. Просвещение 36.5 KB
  Просвещение XVIII столетие вошло в историю культуры и литературы как век Просвещения. XVIII век часто называют веком Разума. Таким образом первое что отличает рационализм XVIII века от его предшественника – картезианского рационализма – эмпирический характер критика всякой физической спекулятивности. Дедуктивным гипотетическим системным построениям прежней науки мыслители XVIII века предпочитают индуктивное познание фактов.
22056. Движение «Бури и натиска» 32 KB
  Гёте 17491832 и Ф. Художественным открытием века явилась лирика молодого Гёте и его первая немецкая историческая драма Гёц фон Берлихинген 1773; мировую славу завоевал его сентиментальный роман Страдания юного Вертера 1774 выражающий протест против закрепощения личности сословноабсолютистским общественным строем. У Гёте в Прафаусте до 1776 речь идет о матереубийстве и детоубийстве однако у него эти проблемы поднимаются высоко над бытовым...
22057. Классицизм 37 KB
  При изучении классицизма необходимо проследить как преломляются в классицистической литературе XVII века традиции ренессансного классицизма обратить внимание на то как античность из объекта подражания и точного воссоздания возрождения превращается в пример правильного соблюдения вечных законов искусства и объект соревнования. Можно также встретить утверждения что философской основой классицизма явилась философия Декарта. В то же время заслуживают внимания несомненные декартовские принципы в поэтике классицизма разделение трудностей в...
22058. И. Гете, Ф. Шиллер 39 KB
  Гете Ф. Занятие юриспруденцией мало привлекало Гете гораздо более интересовавшегося медициной этот интерес привел его впоследствии к занятиям анатомией и остеологией и литературой. Писать Гете начал рано. Гете дает ряд тонких произведений не открывающих однако его самобытного творческого лица.
22059. Романтизм 41.5 KB
  Зыбкость текучесть составляла самую суть романтизма проводившего идею недостижимой цели вечно манящей поэта. Здесь будет уместно сказать несколько слов об идеалах романтизма поскольку художественноэстетическая система есть ни что иное как система художественных и эстетических идеалов. В основе романтизма лежит система идеальных ценностей т. Эта система ценностей вступает в противоречие с системой ценностей реального мира и тем самым вызывает к жизни второй постулат романтизма как художественноэстетической системы и романтизма как...
22060. Авторы и произведения эпохи Романтизма 36.5 KB
  Авторы и произведения эпохи Романтизма Историкохудожественное значение Романтизма исключительно велико. была причиной противоречивого характера всего немецкого Романтизма. Большое влияние на развитие прогрессивных тенденций немецкого Романтизма. Так выразитель позднего немецкого Романтизма Э.
22061. Бидермайер 31.5 KB
  Еще в первой половине века после краткого периода первых неуверенных поисков среди исторических стилей люди укрываются в убаюкивающем интиме мещанского бидермайера biedermeier. Творческий заряд бидермайера был достаточен для создания мелких предметов мещанского интерьера вазы картинки гравюрки и декоративные рамочки фарфоровые фигурки и мебель но не мог заметно повлиять на область художественной ковки а в архитектуре тем более не мог создать предпосылок для появления специфического стилевого ряда. В 1869 году появилось отдельное...
22062. «Молодая Германия» 30.5 KB
  Она сложилась в Германии в начале 30х гг. В деятельности Молодой Германии выражалась оппозиция немецкой буржуазии реакционному феодальномонархическому строю Германии. В декларациях Молодой Германии выражались абстрактные призывы к свободе и духовной революции критика религии мелкокняжеского абсолютизма и мещанской морали проповедь эмансипации. Вместе с другим известным немецким писателем критиком и публицистом Берне он был идейным вождем Молодой Германии и самым талантливым из писателей и поэтов...
22063. Поэтический реализм 43 KB
  Герои Граббе гибнут в столкновении с необузданными жестокими силами истории которые драматург представляет как непостижимые массы и величины Дон Жуан и Фауст 1829; Битва Германа 1836. Более позитивную концепцию истории дают произведения Р. Попытка Вагнера вновь оживить германскую мифологию ныне отошла в область истории и все же Вагнер как никто другой представил миру персонажи и легенды германского Средневековья в Тангейзере 1845 Кольце Нибелунга законч. Бюхнер вышел за пределы чистой истории подчеркивая безнадежное...