22617

Вивчення коливань струни

Лабораторная работа

Физика

Якщо у iдеально гнучкої однорiдної струни що має нескiнчену довжину i знаходиться у станi рiвноваги вiдтягнути маленьку дiлянку та потiм вiдпустити її то виникає збурення яке пересувається вздовж струни у двох протилежних напрямках утворюючи двi бiжучi поперечнi хвилi. Якщо довжина струни скiнчена то бiжучi хвилi вiдбиваються вiд її кiнцiв. Фази та амплiтуди вiдбитих хвиль залежатимуть при цьому вiд положення та засобу закрiплення кiнцiв струни.

Украинкский

2013-08-04

63 KB

3 чел.

7

Лабораторна робота 

Вивчення коливань струни.

Мета роботи: 

             1.Експериментальне спостереження стоячих хвиль у струнi.

             2.Визначення швидкостi розповсюдження хвильовогопроцесу у струнi.

Прилади i матерiали:

дротяна струна, вимiрювальна лiнiйка, магнiт, шалька для розмiщення тягарцiв, набiр тягарцiв, звуковий генератор.

Короткі теоретичні відомості.

      Якщо у iдеально гнучкої однорiдної струни, що має нескiнчену довжину i знаходиться у станi рiвноваги, вiдтягнути маленьку дiлянку та потiм вiдпустити її, то виникає збурення, яке пересувається вздовж струни у двох протилежних напрямках, утворюючи двi бiжучi поперечнi хвилi. Якщо довжина струни скiнчена, то бiжучi хвилi вiдбиваються вiд її кiнцiв. Фази та амплiтуди вiдбитих хвиль залежатимуть при цьому вiд положення та засобу закрiплення кiнцiв струни. Вiдбитi та бiжучi хвилi iнтерферують, утворюючи складну нестацiонарну картину розподiлу змiщень уздовж струни. В зв'язку з енергетичними втратами, якi завжди мають мiсце, описаний процес згасає з плином часу.

       Щоб спостерiгати стацiонарну картину у роботi використовуються примусовi коливання струни, коли збурення у струнi викликається зовнiшньою перiодичною силою. За певних умов у струнi виникають стоячi хвилi - явище, яке називають резонансом струни.

       Розглянемо докладнiше цi умови для скiнченої струни довжиною L. Якщо струну, закрiплену у точках О та А ( мал.1), вiдтягнути вiд положення рiвноваги у напрямку, перпендикулярному осi ОХ, та вiдпустити, то струна буде коливатися. Для складання рiвняння, що описує цей рух, розглянемо сили, якi дiють на елемент струни довжиною dx, погонна густина якого (тобто маса одиницi довжини) дорiвнює    .

                                                                                         На  кiнцi  цього   елемен-

 Y                                                                                     та    дiють   сили  Т,  якi

                                                                                       обумовленi          натягом

           (x)             ( x+dx)                                            струни. Проекцiї цих сил

                                                                                          на   вiсь    ОY , визначенi

     dx                                                                                  вiдносно    точок   x    та

                                                                                           x+dx при малих кутах ,

T                                                                    X                   дорiвнюють:

O

T sin(x) T tg(x) = T dy/dx   ,

                                                                                          x

T sin(x+dx) T tg(x+dx) = Tdy/dx      .

                                                                                              x+dx

      Рiзниця проекцiй цих сил,що визначає динамiку руху струни в напрямку осi ОY, може бути вiдтворена у виглядi:

( T dy/dx          - T dy/dx    )  = T (d2y/dx2 )dx  .

                                              x+dx                 x        

Тодi, у погодженнi  з законом Ньютона, рух елемента струни масою dx у напрямку осi OY визначається рiвнянням:

dx( d2y / dt2 )   =  T( d2y  / dx2)dx

або:

                                             d2y / dt2    = T / ( d2y / dx2 )                                 (1)

Безпосередньою пiдстановкою неважко пересвiдчитись у тому, що розв'язком цього рiвняння є функцiя:

                                               y  =  y sin( kx )sin( t ).                                       (2)

Визначимо похiднi цiєї функцiї за x та за t:

dy/dx  =  kcos( kx )sin( t );       d2y / dx2  =  - k2 sin( kx )sin( t );

dy/dt  =  sin( kx )cos( t );       d2y / dt2  =  - 2 sin( kx )sin( t );

Пiдставляючи значення других похiдних до рiвняння (1), отримуємо спiввiдношення мiж константами k та :

                           =  k2 ( T /  )            або                  k =      / T             (3)

Вирази (1-3) дозволяють зробити декiлька зауважень щодо руху струни, закрiпленої у кiнцевих  її точках.

       1. Диференцiйне рiвняння (1) називається хвильовим рiвнянням. Розв'язок цього рiвняння вiдтворюється перiодичними функцiями двох незалежних змiнних x та t.

  1.  У розглянутому випадку розв'язок хвильового рiвння (1) має вигляд

стоячої хвилi (2). Її суттєвою властивiстю є те, що всi точки струни коливаються за одним і тим самим законом ( sin t ), а амплiтуда коливань перiодично змiнюється уздовж струни (y  sin kx), перетворюючись у нуль у точках, що називаються вузлами змiщення.

       3. Значення k, якi визначають перiод змiнювання амплiтуди коливань уздовж осi ОХ, не можна вибирати довiльно, тому що за початковими умовами задачi кiнцi струни жорстко закрiпленi: y ( 0, t ) = y ( L, t ) = 0, де L довжина струни. Тому коливання струни мають вiдбуватися тiльки так, як це показано на мал.2  (на цьому малюнку напрямок руху струни показаний стрiлками).

                                                                X          n = 1

                                                        A

                                        

                                                                X         n = 2

                                                        A

                                                              

                                                                 X          n = 3

                                                        A

                                                                X           n = 4

                                                         A

Мал.2.

        У загальному випадку мiж точками О та А повинно вкладатися цiле число напiвперiодiв просторового змiнювання амплiтуди коливань струни. Математично цю умову можна вiдтворити у наступному виглядi:

                                                  kL  =  n     ;    n = 1, 2, 3, ...                           (4)

Це умова виникнення резонансу струни. Значення n визначає кiлькiсть пучностей ( але не вузлiв ) струни, яка здiйснює коливання.

      4. У зв'язку з тим, що К та пов'язанi спiввiдношенням (3), значення частот , при яких розглянутий процесс коливань може мати мiсце, теж не можуть бути довiльними. Маючи на увазi спiввiдношення (4), умову (3) можна вiдтворити у такому виглядi:

n / L  =     / T    .

Звiдси

 =  n / L T /  ,   

або

                                              f  =   / 2  =  n / 2L T /   .                                (5)                                  

Частоти,на яких може вiдбутися виникнення стоячих хвиль у струнi, називаються власними частотами. Власну частоту, яка вiдповiдає n=1, називають основним тоном; частоти вiдповiднi n=2,3,4... , називають обертонами (або гармонiками). Зауважимо, що вiдповiдно з (5), власнi частоти коливань залежать тiльки вiд сили натягу струни T, її лiнiйної густини  довжини L та не залежать вiд модуля Юнга матерiалу, з якого зроблена струна.

      5. Отриманi нами вирази описують, власно кажучи, рух iдеально гнучкої струни у вакуумi. При коливаннях реальної струни завжди мають мiсце втрати енергiї. Частина енергiї втрачається внаслiдок тертя об повiтря, iнша частина уходить через кiнцi струни у точках закрiплення. Тому, розглянуту теорiю можна застосовувати для випадку, коли втрати енергiї за перiод коливань малi порiвняно з запасом енергiї у коливальнiй системi.

      Незалежнiсть власних частот коливань вiд модуля Юнга матерiала струни є наслiдком того, що ми знехтували змiнюванням натягу струни пiд час коливань.

      6. У теорiї розв'язку диференцiальних рiвнянь пояснюється, що у хвильових

рiвняннях типу (1) коефiцiєнт перед d2y/dx2 є квадратом швидкостi розповсюдження хвильового процесу:

C2  = T / ,

тобто, швидкiсть розповсюдження хвильових процесiв у струнi визначається формулою:

                                                            C  =   T /                                         (6)

Опис експериментальної установки.

      Схема експериментальної установки наведена на малюнку 3.

                     1                 3          Магніт                               1

            

        4

                               2                                       7     

                                         

                                                                          R           Генератор      6

           5

                                                              Мал. 3

На жорсткiй вертикальнiй основi закрiпленi упори 1, лiнiйка 2, сталий магнiт 3, блок 4. Один кiнець струни закрiплюється у правому упорi 1, а другий пропускається через отвiр у магнiтi 3, отвiр у лiвому  упорi 1, перекидається через блок 4 та поєднується з шалькою для розмiщення тягарцiв 5. За допомогою тягарцiв змiнюють натяг струни.

       Струна приводиться до руху силами, що дiють на електричний струм у магнiтному полi. Для цього на струну подається змiнна напруга вiд генератора. Частота зовнiшньої сили, яка розгойдує струну, дорiвнює частотi коливань струму у струнi, тобто частотi генератора. Опiр 7 обмежує величину струму, що проходить у струнi, та захищає вихiд генератора вiд перенавантаження.

Завдання та методика вимірювань .

            1. Ознайомтеся з конструкцiєю установки та з правилами користування генератором ГЗ-109.

            2. Поставте регулятор вихiдної напруги генератора "НАПРЯЖЕНИЕ" у кiнцеве лiве положення, перемикач "АТТЕНЮАТОР" - у положення "50   ". Включiть прилад та дайте йому прогрiтися 5-10 хвилин.

            3. Вiдрегулюйте вихiдну напругу генератора до максимального значення. Розташуйте магнiт навпроти середньої подiлки вимiрювальної лiнiйки. Повiльно обертаючи ручку змiнювання частоти генератора, знайдiть частоту основного тону, на якiй виникає стояча хвиля ( n=1, мал.2 ). У разi виникнення коливань з дуже великою амплiтудою зменшуйте вихiдну напругу генератора. Запишiть отримане значення частоти.

            4. Змiщуючи магнiт (тобто точку прикладання зовнiшньої сили) у мiсця передбачаємої пучностi коливань та збiльшуючи частоту генератора, визначте частоти обертонiв до n не менше 5. ( Для цього корисно зазделегiдь побудувати дiаграму розподiлу амплiтуд окремих точок струни з позначенням коордiнат магнiту вiдносно вимiрювальної лiнiйки ). Частота кожного наступного обертону повинна збiльшуватись у n разiв порiвняно з частотою основного тону.

          5. Повторити попереднi вимiрювання власних частот для рiзних навантажень струни (4 - 5 навантажень). Навантаження здiйснюються тягарцями. Загальна маса тягарцiв у шальцi не повинна перевищувати 10 г. Данi першого навантаження струни:

  m = 4,26 г - маса затискувача;

  m = 3,87 г - маса затискувача типу "крокодил";

  m = 13,32 г - маса шальки для тягарцiв.

          6. За результатами всiх вимiрювань зробiть графiки f = F (n) (з позначенням навантажень ).

          7. Методом найменших квадратiв знайдiть значення швидкостей розповсюдження хвильового процесу у струнi C:

                                        f  =  ( n / 2L )C  =  C / 2Ln  =  F( n ),

звiдси:                     

                                                  C  =  ( f / n )2L  = tg 2L  ,

де  Ф  - кут нахилу прямої лiнiї, яка графiчно вiдтворює функцiю f = F ( n ).

          8. Визначте похибки зроблених вимiрювань. Проаналiзуйте  результати.

                                                Контрольнi запитання.

             1. За яких умов виникають стоячi хвилi у струнi?

             2. Яка хвиля називається стоячею ? Чому вона має таку назву?

             3. Яким математичним рiвнянням вiдтворюється стояча хвиля? За яких умов воно отримується? Чи здатне воно описувати коливання, вiдповiднi поздовжнiй хвилi?

             4. Покажiть,  що швидкiсть розповсюдження хвилi вздовж струни дорiвнює C =   T / . Спробуйте за вашими експериментальними даними побудувати графiк залежностi швидкостi розповсюдження вiд натягу струни:

                                                              C = F (T).

             5. Як здiйснюється вiдбиття вiд незакрiпленого кiнця стержня (струни)? Який вигляд має умова резонансу у цьому випадку? Який вигляд має розподiл пучностей та узлiв змiщення?

                                                   Лiтература.

1. Д.В.Сивухин "Общий курс физики", т.1, "Механика",М, "Наука", 1989, стр. 459 - 462.

  2. С.П.Стрелков "Механика", М, "Наука", 1975, стр. 472 - 478.

  3. С.Э. Хайкин "Физические основы механики", М, "Наука", 1971, 150 - 154.

  4. "Лабораторные занятия по физике" под ред. Л.Л.Гольдина, M. "Наука", 1974, стр. 423 - 426.

  5. "Загальна фiзика. Лабораторний практикум" пiд загальн. ред.      I.Т.Горбачука, Київ, "Вища школа", 1992, ст. 137 - 140.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68628. Вычисления в электронных таблицах в MS Excel 91.02 KB
  Все функции несмотря на их разнообразие имеют одинаковый стандартный формат: имя функции и находящийся в круглых скобках перечень аргументов разделенных точками с запятой. Регистр при вводе функции не учитывается. Excel автоматически запишет имя функции прописными буквами.
68629. Построение диаграмм и графиков функций в MS Excel 65.58 KB
  Диаграммы графически представляют данные числового типа широко используются для анализа и сравнения данных представления их в наглядном виде позволяют показать соотношение различных значений или динамику изменения ряда данных. Числовым данным рабочего листа соответствуют элементы диаграммы...
68630. Системы счисления и кодирования; двоичная арифметика 481.18 KB
  Во всех этих числах встречается символ I единица. В этой последовательности десятичная точка запятая отделяет целую часть числа от дробной если число целое точка опускается. Крайний левый разряд числа называется старшим разрядом а крайний правый – младшим разрядом этого числа.
68631. Логические основы ЭВМ 28.37 KB
  Данное практическое занятие содержит информацию об основных понятиях математической логики: логических выражениях и операциях над ними правилах построении таблицы истинности для логического выражения о законах логики приводятся правила преобразования логических выражений.
68632. Текстовый процессор Microsoft Word: основы издательской работы 124.17 KB
  Цель и содержание работы: научиться создавать колонтитулы многоколонный текст и различные стили оформления. Теоретическое обоснование Microsoft Word2007 профессиональный текстовый редактор по своим возможностям приближающийся к настольным редакционно-издательским системам.
68633. MSWord. Автоматизация работы с текстом 898.47 KB
  Цель и содержание работы: Изучить основы интерфейса Microsoft Word2007, основные технологические операции и приёмы работы в среде текстового редактора Microsoft Word2007 для создания разнообразных текстовых документов.
68634. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЛИЧЕСТВА ИНФОРМАЦИИ В СООБЩЕНИИ 40.59 KB
  Введение понятия количество информации В основе нашего мира лежат три составляющие вещество энергия и информация. А как много в мире вещества энергии и информации Можно измерить количество вещества например взвесив его.
68635. Оформление титульного листа 15.26 KB
  Оформление отчета Цель работы Научиться оформлять отчет о лабораторной работе в соответствии с правилами, принятыми в НГТУ. Изучить работу с автофигурами и основы построения блок-схем в Microsoft Word. Изучить работу со структурой документа в Microsoft Word.