22618

Прямі вимірювання

Лабораторная работа

Физика

Щоб отримати наближені значення похибки у формулу підставляють не істинне а так зване дійсне значення вимірюваної величини. Коли мова йде про похибки то їх звичайно підрозділяють на 3 категорії: промахи систематичні похибки та випадкові похибки. Промахи або грубі похибки виникають як результат неуважності експериментатора несправності приладів різких відхилень в умовах проведення експерименту стрибок напруги в електричній мережі та таке інше. Систематичні похибки відзначаються тим що не змінюються протягом часу.

Украинкский

2013-08-04

929.5 KB

5 чел.

18

             

Вступні лекції.

 Перша лекція. Добре відомо, що фізика це  наука, яка  не  може існувати та розвиватися без експериментальних досліджень. У теперішній час кількість фізичних експериментів, що проводяться як у всьому світі, так і в нашій країні, величезна. Всі вони різні за своєю суттю, технічною оснащеністю, вартістю та таке інше. Проте більшість з них підлягає низці загальних правил, обізнаність з якими дозволяє створити загальну структурну схему проведення експерименту та обробки його результатів. Ця схема містить  у  собі близько 10 — 12 пунктів (залежно від літературних джерел) і сьогодні вже сама є предметом науки по постановці, проведенню та автоматизації фізичного екперименту.

Незалежно від модифікації структурної схеми до неї обовязково входять наступні пункти:

  1.  обробка результатів вимірювань;
  2.  аналіз фізики явища, зіставлення отриманих результатів з теорією та результатами інших авторів;
  3.  узагальнення результатів вимірювань у підсумковому звіті.

Виконання саме цих пунктів перш за все потрібно під час проходження лабораторного практикуму. Два останні пункти ми будемо відпрацьовувати у висновках до кожної з лабораторних робіт практикуму. Що  стосується першого пункту, то саме він становить головну тему вступних лекцій. Не завжди вдаючись до класичних теоретичних визначень, дуже стисло ознайомимось з мінімальним об'ємом термінів та понять, необхідних на першому етапі виконання лабораторного практикуму. Маючи на увазі, що вимірювання можуть бути прямими та непрямими, що як ті, так і інші виконуються за допомогою засобів вимірювання (приладів) будемо дотримуватись наступного плану:

обробка результатів вимірювань

прямі вимі-                            непрямі вимі-                        засоби

рювання                               рювання                              вимірювання

Схема обробки                   Правила обробки           Правила визначення похибок              

                                                                                     засобів вимірювання

           

Отже, виходячи з плану, маємо ознайомитись з трьома методиками обробки результатів вимірювань. Схема плану може прислужитися також як алгоритм дій по обробці результатів вимірювань під час виконання лабораторних робіт. Тобто, достатньо визначити який тип вимірювань виконується та якими засобами, після чого скористатися відповідною методикою. Така ситуація є характерною для значної кількості вимірювань.

Прямі вимірювання.

Метою будь-якого вимірювання є визначення істинного значення вимірюваної величини. Обєктивно воно не залежить від засобів пізнання. Але це все, що нам вірогідно відомо про істинне значення будь-якої вимірюваної величини. На практиці ми зустрічаємось з такою кількістю похибок, що говорити про істинне значення можна тільки з визначеним ступенем наближення. Результатами вимірювань є наближені оцінки величин, які залежать від методу вимірювання та застосованих для цього технічних засобів.

Різницю між результатом вимірювання  та істинним значенням  вимірюваної величини називають похибкою вимірювання (абсолютною похибкою)

.

В ідеалі  повинна дорівнювати нулю. Проте, оскільки невідоме, то невідоме і . Звідси задача формулюється так: знаючи виміряне значення  оцінити похибку  (з використанням теорії імовірностей), після чого можна вести мову і про істинне значення .

Щоб отримати наближені значення похибки   у формулу підставляють не істинне, а так зване, дійсне значення вимірюваної величини. Це значення знаходять експериментально. При цьому вважається, що воно настільки наближується до істинного значення, що може бути використане замість нього. Це припущення, власне, і є визначенням дійсного значення вимірюваної величини.

Коли мова йде про похибки, то їх звичайно підрозділяють на 3 категорії: промахи, систематичні похибки та випадкові похибки.

Промахи або грубі похибки виникають як результат неуважності експериментатора, несправності приладів, різких відхилень в умовах проведення експерименту (стрибок напруги в електричній мережі та таке інше). Джерелом промахів у будь-якому випадку є людина або прилад . Промахи випадають з ряду вимірювань та легко виключаються з обробки за допомогою спеціальних методик або безпосереднім аналізом результату. ( Наприклад, розташування даних у зростаючому або спадньому порядку, визначення сталості інтервалу послідовності результатів вимірювань та інші ).

Систематичні похибки відзначаються тим, що не змінюються протягом часу. Їх джерелами можуть бути прилади, умови, у яких відбувається експерименнт, і т.д. Систематичні похибки зміщують дані в одному напрямку. Головною їх особливістю є те, що вони можуть бути передбачені та майже цілком усунуті введенням відповідних поправок ( поправка на виштовхувальну силу повітря під час дуже точного зважування, поправка на зміну опору магазина опорів внаслідок старіння дроту та т.і.). Особлива небезпека сталих систематичних похибок полягає в тому, що їх часом дуже важко виявити. Можна проводити вимірювання та не підозрювати про наявність систематичної похибки. Ефективний спосіб боротьби з виникненням систематичних похибок- це систематична перевірка, тобто повторна атестація приладів за зразковими мірами або сигналами.

 Випадкові похибки не передбачені ні за знаком, ні за величиною ( або недостатньо вивчені ). Вони визначаються сукупністю причин, які важко підлягають аналізу. Ці похибки легко виявляються підчас повторних вимірювань, кожне з яких називають спостереженням. Їх опис здійснюється на підставі теорії імовірностей та математичної статистики.

Далі будемо займатися, головним чином, випадковими похибками. Розглянемо деякі теретичні положення, необхідні для розуміння схеми обробки результатів прямих вимірювань ( згідно з планом ).

Досить часто результати спостережень (як випадковий процес) підпорядковуються якомусь закону розподілу. Є достатня кількість цих законів. Серед них є група, так званих, нормальних законів розподілу випадкових величин. Найбільш універсальним вважають нормальний закон розподілу Гауса. Аналітично цей закон виражають формулою:

.

Графічно формула має такий вигляд:

  

                                                    

                                                                       

                               

Цей закон характеризує імовірність появлення тих чи інших результатів у наших експериментах.Тут

- імовірність;

- істинне значення (дійсне значення);

- результати спостережень;

 стандартне відхилення;

(  часто називають дисперсією :  ).

Максимум кривої розподілу характеризує найбільш імовірне значення вимірюваної величини . Ширина кривої визначає ступінь розкиду результатів спостережень (розсіяння експериментальних даних ). Вона визначаєьтся параметром  у формулі.

Слід зауважити, що формула справджується для великої кількості спостережень          . При цьому робляться наступні припущення :

  1.  похибки спостережень можуть приймати неперервний ряд значень;
  2.  при великій кількості спостережень похибки, однакові за величиною, але різні за знаками зустрічаються однаково часто;
  3.  частота появлення похибок зменшується із збільшенням їх величини, тобто великі похибки рідкіші за малі.

Таким чином, якщо отримана група результатів спостережень ( вибірка мовою статистики ) :     

де n —кількість спостережнь, та ці результати розподілені за нормальним законом Гауса, то для істинного значення можна записати

                                                           

Зрозуміло, що абсолютна похибка пов'язана з стандартним відхиленням (як показано у запису). При цьому істинне значення приблизно дорівнює найбільш імовірному:

                                                 

Найкращим наближенням до найбільш імовірного значення є величина

                                                             ,                                

відома нам як середнє арифметичне.

Із збільшенням кількості спостережень  прямує до  при нормальному розподілі їх результатів (  для нормального розподілу ).

Найкращим наближенням до стандартного відхилення є:

                                       

На практиці, як правило, не має можливості багаторазово повторювати експеримент. Тому доводиться мати справу з обмеженою кількістю спостережень . У цьому випадку краще описує розкид експериментальних даних, так зване, середнє квадратичне відхилення ( обозначається також,як  та інші ):

                                      

При достатньо великому  (  ) одиниця значної ролі не відіграє, а  (для нормального розподілу ! ).

Ці формули отримані на підставі принципу максимальної правдоподібності, теоретично обгрунтованого американським вченим Р.Фішером.

Повернемось знову до розподілу Гауса та графічно розглянемо таку властивість цієї функції, як площина під кривою.

 

                              

 

                          

                                                                                    a

                          

            

Імовірність того, що результат вимірювання буде знаходитись у площині, обмеженій кривою, віссю , та ординатами до кінців кривої дорівнює одиниці. Позначимо на графіку найбільш імовірне значення та інтервал похибки . Відношення штрихованої та загальної площин —це імовірність  того, що у штриховану частину площини попадуть результати вимірювань з похибкою :

                                                     .

При цьому вони будуть характеризуватися стандартним відхиленням . Величина P називається довірчою імовірністю ( ступенем вірогідності , коефіцієнтом надійності ), а інтервал   — довірчим інтервалом.

Теоретично імовірність того, що істинне значення знаходиться в інтервалі з розкидом  (тобто у інтервалі ) дорівнює 0,67; з розкидом - дорівнює 0,95 та з розкидом - дорівнює  0,997. Це, так зване, правило “трьох сигм”. Воно записується так:

У загальному вигляді:

.

Тут  — істинне значення вимірюваної величини;

        — числове значення довірчої імовірності;

        або  — довірчий інтервал.

Таким чином, щоб характеризувати результат вимірювання треба задати два числа:

  1.  величину похибки (довірчий інтервал);
  2.  довірчу імовірність.

Резульат вимірювання при цьому можна записати так:

.                                        (1)

Проте цей запис справедливий, коли  прямує до нескінченості. Для обмеженої кількості спостережень  (  ) до нього треба ввести коефіцієнт Стюдента , який визначають за допомогою таблиць. Структурно для відомих вже нам імовірностей таблиця має такий вигляд:

      P

n

0,67

0,95

0,997

1

2

3

.

.

.

1

     2

3

 коефіцієнт Стюдента ( імовірність, кількість спостережень ).

Результат вимірювання записують як:

                                  .                                             (2)

При цьому доцільно замінити   на середнє арифметичне  та  — на середнє квадратичне відхилення :

.                                            (3)

Результат, записаний за формою (3), у багатьох літературних джерелах називають результатом спостережень. У ньому характеризується похибка вимірювальної установки. Щоб характеризувати роботу оператора визначають середнє квадратичне відхилення середнього арифметичного ( теж випадкова величина ) за формулою:

                                                         .

Поділивши середнє квадратичне відхилення  на  фактично звужують смугу розкиду експериментальних даних та отримують характеристику сумлінності дій оператора під час виконання вимірювань.

Результат записують так:

                                          (4)

та називають його результатом вимірювань. Саме цей запис ми будемо вважати кінцевим, відповідним формі

                                                                                                (5)

де

      — значення заданої довірчої імовірності.

Форма (5) рекомендована державними стандартами для запису результатів вимірювань як єдина та правильна. Якщо задана довірча імовірність дорівнює 0,95 (а саме вона вважається стандартною), то дужки та індекс  не використовуються для запису результату вимірювань.

Отже, маємо достатню кількість інформації, щоб ознайомитись з рекомедованою схемою обробки прямих вимірювань.

Зразкова схема обробки результатів прямих спостережень.

1. Одержати результати спостережень 

2. Обчислити найкраще наближення істинного значення ( середнє арифметичне значення):

.

3.Обчислити середню квадратичну похибку результату спостережень:

                                             

4.Задати бажану довірчу імовірність (відповідно до існуючих стандартів не менш за 0,95):                                        0,95.

5.За заданою довірчою імовірністю  та кількістю спостережень  знайти у таблиці коефіцієнт Стюдента .

6.Обчислити середню квадратичну похибку середнього арифметичного:

                                                  

7.Подати результат у вигляді:

                                                  ( або  для   )

Це кінцевий результат, який називають результатом вимірювань.

8.Визначити відносну точність результату вимірювань:

Зауваження.

1. Якщо треба характеризувати похибку вимірювальної установки, тобто результат спостережень, користуються наступною формою запису:

Точність вимірювальної установки, у цьому випадку, дорівнює:

2. Наведена зразкова схема рекомендована тільки для виконання лабораторних робіт. На практиці ( або в складних лабораторних роботах) застосуванню наведеної зразкової схеми повинні передувати 3 підготовчі пункти:

  1.  звільняють статистичний ряд даних від членів, що містять грубі похибки (промахи);
  2.   виключають з результатів спостережень відомі систематичні похибки;
  3.  перевіряють відповідність розподілу виправлених результатів спостережень нормальному розподілу і якщо вона є, користуються наведеною схемою.

Висновок 1. Визначення похибок прямих вимірювань здійснюється шляхом набирання статистичних даних (не менш за 5 спостережень, ) з наступною обробкою результатів спостережень за зразковою схемою.

Друга лекція. Непрямі вимірювання.

Непрямим називають вимірювання, під час якого шукане значення величини знаходять за відомою аналітичною залежністю цієї величини від величин, що піддаються прямим вимірюванням. Як визначити похибку у цьому випадку? Наприклад, необхідно знайти густину речовини за результатами прямих вимірювань маси та об'єму . Внаслідок прямих вимірювань отримали  та . Визначили . Треба визначити .

В більшості випадків обробка результатів непрямих вимірювань базується на визначенні середньої квадратичної похибки, для чого існує формула, яка фактично є законом додавання імовірностей. Якщо результат  отриманий підрахунком після вимірювання низки параметрів , то

                                 ( 6 )

Далі приймають, що , а  та одержують кінцеву формулу для розрахунку .

Математичний символ  у формулі (6) означає операцію частинного диференціювання. Частинне диференціювання функції кількох змінних виконується як звичайне диференціювання функції з однією змінною, але послідовно за кожною змінною окремо. При цьому інші змінні, за якими диференціювання не здійснюється (які “чекають” своєї черги), вважаються сталими та виносяться за знак диференціювання.

Розглянемо деякі приклади. Почнемо з густини речовини.

Приклад 1. Густина речовини – це функція двох змінних  та  :

Запишемо формулу (6) для  :

                                       .

Знайдемо частинні похідні функції  :

                            ;

                     .

Підставимо значення частинних похідних до початкової формули:

                                                                                                  

У багатьох випадках рекомендують виносити за дужки вираз для функції, що піддавалася частинному диференціюванню. Зокрема, у нашому прикладі це .  Виносимо цей вираз за дужки:

                                                        

Підставимо тепер відомі середні арифметичні значення:

                                          

Беручи квадратний корінь з лівої та правої частин виразу, і замінюючи також символи S на  отримуєм кінцеву формулу розрахунку :

                                     .

Результат вимірювання записується за загальноприйнятою формою:

Приклад 2. Одержали . Нехай , тобто вимірюємо  та маємо . Визначити  та , потім   та  .

Середні арифметичні значення визначаються за формулами:

та .

Формула, що визначає , отримана нами у Прикладі 1. Невистачає . Щоб визначити  запишемо:

 ;

                          .

Знайдемо частинні похідні від функції .

                                .

Підставимо ці значення до початкової формули:

                      

Далі як у Прикладі 1:

Запишемо результат вимірювання об'єму:  та підставимо  до формули  з Прикладу 1:

Зрозуміло, що з метою визначення  можна було розглянути функцію  та після частинного диференціювання отримати кінцеву формулу. Отримання повної формули  дозволяє порівняти вагу кожної складової у формуванні загальної похибки . Такий підхід у багатьох випадках сприяє кращій організації експерименту, підвищенню його якості.

Приклад 3. Міст Уітстона —це устрій, складений за наведеною електричною схемою.

                                       +

                     

          Г

                    

                                        -

Якщо опори, що входять до устрою пов'язані наступним співвідношенням

то струм через гальванометр Г не проходить, тобто дорівнює нулю. Ця властивість устрою використовується для визначення невідомих опорів. Замінивши опір  на невідомий  та підібравши опори  так, щоб струм у гальванометрі дорівнював нулю можна визначити  за формулою:

На одному з макетів лабораторного практикуму міст Уітстона складаєьтся з чотирьох однакових магазинів опорів. Один з магазинів замінюється на . За одним або кількома вимірюваннями визначається . Як визначити ?

Зрозуміло, що  Користуючись частинним диференціюванням, на підставі формули для складем формулу середнього квадратичного відхилення       

Далі            

Неважко побачити, що відношення  становить відносну похибку магазинів опорів. У даному випадку це є інструментальна похибка магазинів опорів або, так звана, зведена відносна похибка  (докладніше буде у третій лекції)  . Відношення  позначають літерою  (  ), та заносять до паспорту магазину опорів. Отже у нашому випадку всі чотири магазини мають однакове . Тому

                                 .               

Якщо робилося декілька вимірювань, то

                                       , а  .

Висновок 2 . Визначення похибок  непрямих вимірювань величини  здійснюється за допомогою формули середнього квадратичного відхилення, яка отримується частинним диференціюванням аналітичного виразу вимірюваної величини:

                                               

При цьому приймають, що  дорівнює .

З метою скорочення процедури отримання формули середнього квадратичного відхилення, розглянемо який вигляд вона має у деяких окремих випадках:

  1.  сума (різниця) двох випадкових величин  та :

                                                                    

2) добуток (частка) двох випадкових величин  та  :

  1.                          

                                                                      ;

б)                       

                                                           

  1.  сума випадкової величини  та сталої :

          ;                                                              .

  1.  добуток випадкової величини  та сталої :

          ;                                                               

  1.  натуральний логарифм випадкової величини :

           ;                                                                

  1.  показникова функція випадкової величини :

           ;                                                                  .

Похибки засобів вимірювання ( ЗВ ).

Приступаючи до питань, пов'язаних з визначенням похибок засобів вимірювання (приладів), слід перш за все зауважити, що похибки результатів вимірювань та похибки приладів —поняття не ідентичні.

Похибка результату вимірювання – це число, яке вказує на можливі межі невизначеності значення вимірюваної величини. Похибка ж приладу – це його визначена властивість, для опису якої доводиьтся використовувати цілу низку відповідних правил та термінів. Останніх десь близько 30. Історично склалося так, що частина термінів закріпилася за похибками засобів вимірювання, а інша частина —за похибками результатів вимірювань. Є терміни загальні, але не завжди співпадають їх значення. Познайомимось з цими термінами.

Інструментальні та методичні похибки.

 Інструментальними (апаратурними, похибками приладів) похибками звуться такі, що належать даному засобу вимірювання, можуть бути визначені під час його іспитів та вписані до його паспорту. Методичні похибки не можуть бути вписані до паспорту. До них відносяться похибки, пов'язані з зчитуванням зі шкал (похибки зчитування ); похибки, виникаючі під час заміни однієї вимірюваної величини іншою (у зв'язку з неможливістю її визначення та таке інше). Щоб усунути методичні похибки треба завжди чітко відрізняти фактично вимірювану величину від тієї, яку належить вимірювати.

Основна, додаткова та експлуатаційна похибки ЗВ.

 Похибку приладу, працюючого у нормальних (паспортних) умовах,  називають основною. В експлуатаційних умовах, які часто відрізняються від нормальних, виникають додаткові похибки. Вони нормуються за допомогою коефіцієнтів впливу. Наприклад,  де  —коефіцієнт впливу; відхилення від нормальних умов. Сумарна похибка приладу (основна та всі додаткові) у реальних умовах його експлуатації називається експлуатаційною похибкою.

Систематичні, випадкові та прогресуючі похибки.

Все, що вже було сказано про випадкові та систематичні похибки, залишається правомірним. Прогресуючими називають похибки, які змінюються з плином часу. Зберігається імовірнісний підхід до випадкових похибок ЗВ. Проте, слід зуважити, що поділ похибок на випадкові, систематичні та прогресуючі є дуже спрощеним засобом їх аналізу. У реальній дійсності ці складові похибок проявляються сумісно та утворюють єдиний нестаціонарний випадковий процес. Останнє стосується також і похибок результатів вимірювання.

Поняття смуги похибок, реальної та номінальної характеристик.

Розглянемо прилад зі стрілкою. Між полюсами магніту (магніто-електрична система) знаходиться рамка зі струмом, поєднана зі стрілкою. Під час проходження струму  стрілка відхиляється на кут . Має місце перетворення  в .

                                                             

                                                                                                      R

                                                                                                        

                                                                                                             N

  N                       S                                                                                                  I

Графік градуювання повинен мати вигляд прямої лінії, а шкала приладу повинна бути градуйована у одиницях вимірюваної величини . Але ціла низка причин випадкового характеру призводить до того, що неодноразові знімання характеристики приладу (або серії приладів) займають на графіку деяку смугу — смугу невизначеності або смугу похибок даного типу приладів (або даного екземпляру приладів). При цьому реальна характеристика ніколи не буває прямою лінією. Проте, деяка детермінована лінія  смуги похибок приймається за номінальну характеристику приладів цього типу, заноситься до паспорту та використовується для визначення результатів вимірювань.

Звідси похибка даного приладу є різниця між реальною та номінальною його характеристиками, тобто це не число, а функція вимірюваної величини.

Абсолютна, відносна та зведена похибки.

Повернемось до номінальної  та реальної  характеристик приладу. Нехай вони мають вигляд, показаний на графіку.

 Y

                                                    R

                                                               N

         x                                           y

    y

                                                                              x

                                             x   

Величини  будемо називати вхідними, а  — вихідними. Для заданого значення  величина  є абсолютною похибкою вихідної величини; та  є абсолютною похибкою вхідної величини для заданого . Знак абсолютної похибки приймається додатним,  коли реальна характеристика перевищує номінальну. Абсолютна похибка, проте, сама по собі не може бути показником точності вимірювань. Наприклад,  = 0,5 мм для  = 100 мм відповідає досить високій точності, а для  = 1 мм — низькій. Тому, щоб характеризувати точність результату вимірювань ми вдаємося до поняття відносної похибки  у відносних одиницях або у відсотках.

Проте, ця наочна характеристика точності результату вимірювань не придатна для нормування похибки приладів, тому що для приладів у виразі  знаменник - це не число, а вимірювана величина, яка може приймати будь-яке значення, що призводить до різних значень  аж до  коли . Тому для запису та нормування похибки приладів використовується різновидність відносної похибки, так звана, зведена похибка. Вона визначається як відношення абсолютної похибки вхідної  або вихідної  величин до довжини діапазону змінення   вхідної  або вихідної  величин:

                                                               

де  та  — кінцеві значення діапазонів змінення виімірюваних величин, властиві даному приладу. Головна перевага зведеної похибки полягає в тому, що  та  відносяться не до змінної текучої величини, а до сталої довжини діапазону. Зведена похибка особливо придатна для нормування похибок багатодіапазонних вимірювальних приладів (які мають декілька шкал вимірювання).

Існує дуже важлива характеристика засобів вимірювання, яка називається класом точності. Вона визначає гарантовані межі основних та додаткових похибок. Проте, бездумно використовувати цю характеристику для всіх приладів без винятку не можна. Треба ще знати форму смуги похибок приладів. Від цього залежить засіб нормування похибки даного приладу. Залежно від форми смуги похибок розрізняють 3 типи приладів: прилади з адитивною, мультиплікативною та комбінованою смугами похибок.

Прилади з адитивною смугою похибок.

Якщо смуга похибок приладів обмежена двома паралельними лініями (див.малюнок), тобто має сталу ширину  то такі прилади становлять прилади з адитивною смугою похибок (утвореною шляхом додавання) або похибкою нуля.

  y  

                                                         

 +Δ

                                                                                    x

 -Δ

Це майже всі прилади зі стрілкою ( навіть коли прилад має електронне устаткування ). У цих приладах нормувати абсолютне значення  незручно, тому що воно різне для різних діапазонів багатошкальних приладів. Нормують не абсолютне, а зведене значення цієї похибки:

                                                                  ,

де  якщо нуль знаходиться у лівій частині шкали на її початку; та  якщо нуль знаходиться посередині шкали (довжина шкали). Наприклад, для амперметра зі шкалою А  . З метою зменшення кількості записів будемо користуватись далі тільки наступною формулою зведеної похибки:

                                                  

Саме значення зведеної похибки , відображене у відсотках, і використовується для визначення класу точності адитивних приладів. Позначення класу точності здійснюється згідно з рекомендованим державними стандартами рядом значень. Наприклад: 6; 4; 2,5; 1; 0,5; 0,25; 0,1; 0,05; 0,025; 0,001 і т.д. (Зробити клас точності, скажімо, 0,3 — не можна). Цифра, що означає клас точності адитивного приладу, штампується на шкалі приладу та не наділяється додатковими позначками. Але вважати, що наприклад, вольтметр класу точності 1,0 дає результати з похибкою 1% - найгрубіша помилка.

Насправді текуче значення відносної похибки  дорівнює зведеному значенню (тобто класу точності)   тільки у кінці діапазону (див.малюнок).

                             D

                                                   

                                                                   

                                                                            x

Оскільки  то  змінюється та графічно є гіперболою. Якщо на графіку позначити  та  то  - це довжина діапазону вимірювань, а  — його робоча частина. З цього виходить, що не можна рекомендувати вимірювання на початкових ділянках шкали, бо похибка дуже велика, точність приладу гірша. У кінці шкали точність збільшуєьтся на 20- 30 відсотків. Остання третина шкали — це та її частина, яка рекомендована для вимірювань (правило однієї третини). Штрихова зона на графіку взагалі заборонена для вимірювань. Дуже часто  дорівнює відстані між поділками шкали. У цьому випадку частки відстані між поділками не дають належної інформації про вимірювану величину.

Розглянемо приклад.

Клас точності вольтметру 1,0. Шкала приладу розрахована                                   на 300 В, результат вимірювання дорівнює 100 В. Визначити точність вимірювання 

Клас точності приладу 1,0  без додаткових позначок означає, що вольтметр має адитивну смугу похибок. Тому

1)                            ;

2)  %    ( а не 1%) !

Головна особливість адитивних приладів полягає у тому, що абсолютна похибка для будь-якого вимірювання у даному діапазоні залишається сталою ( 3B у нашому прикладі). Змінюється тільки відносна похибка. Із зміною діапазону змінюється числове значення абсолютної похибки, але в межах діапазону вона знов таки залишиється сталою. Тому рекомендується фіксувати у записах результатів вимірювань діапазони приладу.

Третя лекція. Прилади з мультиплікативною смугою похибок.

Існують прилади, смуга похибок яких має вигляд ділянки між двома розбіжними прямими лініями.

 y

                                                                                   x

При цьому ширина смуги збільшується із збільшенням вимірюваної величини x:

де  — ширина смуги. Це прилади з мультиплікативною смугою похибок, тобто такою, що утворюється шляхом множення.

Для нормування похибок таких приладів використовують звичайну відносну похибку  Через те , що  зростає пропорційно  відносна похибка   залишається сталою:

                   

Значення  у відсотках записують до паспорту як клас точнності приладу, а відносну похибку позначають індексом s та називають її похибкою чутливості. Позначення класу точності мультиплікативних приладів (у відсотках) видповідає рекомендованому ряду чисел та окреслюється колом. Наприклад,  2,5  . Це найбільш зручний з погляду обробки результатів вимірювань, клас приладів. До нього відносяться: подільники напруги, шунти, вимірювальні трансформатори струму та напруги.

Абсолютна похибка вимірювання за допомогою мультиплікативного приладу визначається дуже просто – множенням текучого значення вимірюваної величини на клас точності приладу:

                       

Треба тільки не забути, що значенння класу точності  , вказане у відсотках, повинне бути перетвореним у звичайне число. На жаль не існує приладів, які не мають адитивної смуги похибок. Тому межі справедливості  додатково застерігаються.

Прилади з комбінованою смугою похибок.

Зрозуміло, що існує велика кількість приладів, які мають комбіновану смугу похибок.

y

                                                                                     x

Така смуга включає як адитивну, так і мультиплікативну складові та на графіку має трапецієподібну форму. Ширина смуги у цьому випадку дорівнює:

      ,

де — адитивна, — мультиплікативна складові абсолютної похибки. Часто цю формулу записують так:

                                           

Саме цією формою запису ми будемо користуватися далі.

Комбіновану смугу похибок мають складні радіотехнічні прилади, наприклад, лампові та цифрові вольтметри, вимірювальні генератори, аналізатори спектру та інші. Розглянемо як можна нормувати похибку таких приладів. Поки що нам відомі 2 методи нормування: адитивний та мультиплікативний. Застосуємо їх по черзі та проаналізуємо результат.

Спроба 1. Адитивний метод.

Зведена похибка:                             (*)

Підкреслену частину виразу завод міг би використати як точність приладу, та записати її до паспорту. Але виникає протиріччя: у розгорнутому виразі похибки є текуче значення , яке вимірює споживач. Завод не може гарантувати дії споживача.

Спроба 2. Мультиплікативний метод.

Виконаємо ділення  на текуче значення вимірюваної величини (як це ми робили з мультиплікативними приладами):

                                               

Неприємне протиріччя зберігається, бо і у розгорнутому виразі є текуче значення вимірюваної величини . Тому зупиняються все ж на адитивному варіанті (*). Але характеризують клас точності приладу не одним числом, а двома — через дріб. В чисельнику дробу вказується зведена похибка приладу  у кінці діапазону (у відсотках). У знаменнику — зведена похибка  на початку діапазону (теж у відсотках). Наприклад:                          .

Це означає, що прилад має комбіновану смугу похибок. Число у знаменнику 0,02 то є зведена похибка на початку діапазону у відсотках. Вона визначається як адитивна похибка:

                                                                      (1)

Чисельник (0,04) — це відтворена у відсотках зведена похибка у кінці діапазону:

                            .                        (2)

Формули (1), (2) отримуються після підставлення відповідно  та  до рівняння (*). При такому підході всі задоволені: і споживач , і завод. Текуче значення вимірюваної величини  відсутнє як у рівнянні (1), так і в (2).

Графічно рівняння (*) інтерпретують так. Розділимо обидві частини рівняння (*) на  :

                                              

Позначимо:

                                                 

Утворюєм пряму лінію , яку і показуєм на графіку у відповідних координатах з відповідними позначками.

                 

                                                                α

                                                                                    γ

         

                                                      

                                                                                       x

Таким чином, значення абсолютної похибки приладу з комбінованою смугою похибок визначається за виразом, що зветься двочленною формулою:

причому значення  та  визначаються з рівнянь (1) та (2).

Дуже часто до паспорту приладу (або до інструкції) заноситься видозмінена двочленна формула. Рівняння (1) та (2) вирішуються сумісно, щоб отримати не абсолютну, а відносну похибку. Виходить:

У цьому випадку за даною формулою розраховується текуче значення відносної похибки, потім за формулою  —  абсолютна похибка.

Розглянемо приклад.

Маємо вольтметр з діапазоном вимірювань 100 В.

На панелі приладу записаний клас точності . Визначити результуючу похибку .

Оскільки клас точності визначений дробом, то прилад має комбіновану смугу похибок.Це означає, що

              відповідає    .

  1.  Запишемо рівняння (1):

                                                   

2)  Запишемо рівняння (2):

3). Результуюча похибка:

  або  

Наприкінці слід зауважити, що оскільки комбіновані прилади містять адитивну складову похибки, то вони потребують фіксації у записах діапазону вимірювань, бо із зміною діапазону змінюється значення абсолютної похибки. Взагалі, щоб не зробити помилку рекомендують записувати діапазони роботи приладу незалежно від типу його смуги похибок.

Похибки приладів роблять суттєвий внесок в оцінку похибки вимірювань. У загальному випадку абсолютна похибка вимірювання дорівнює:

                                                   

   де  - систематична складова похибки, - випадкова складова похибки.

Виключення або зменшення систематичної складової похибок потребує від експериментатора певних знаннь та фахової майстерності. У даних лекціях ми не розглядали цього питання. Інструментальна похибка це така різновидність систематичної похибки, яку неможливо виключити. Тому інструментальна похибка (похибка приладу) має ще такі назви: “невиключена систематична похибка” або “невиключена складова залишків систематичної похибки”. Отже, стає питання про додавання випадкової та систематичної складових (зокрема, похибки приладу) для визначення результуючої похибки. Під час вирішення цього питання розглядають три варіанти.

1. Середнє квадратичне відхилення випадкової складової значно перевищує похибку приладу:

                   .

Це означає, що прилад точний, а розкид даних обумовлений вивчаємим процесом. У цьому випадку похибки приладів не повинні залучатися до обробки результатів спостережень.

2. Середнє квадратичне відхилення випадкової складової значно менше за похибку приладу:

                 .

Це означає, що прилад грубий. Вивчаємий процес проходить стаціонарно, але статистики розкиду немає. У цьому випадку треба скористатися похибкою приладу. Через те, що реальна характеристика приладу невідома (відома тільки номінальна), на похибки приладу дивимось як на випадкові та залучаємо їх до обробки результатів вимірювань. У цьому варіанті досить зробити одне вимірювання. Проте, для надійності рекомендують повторити вимірювання 3 — 4 рази.

3. Нарешті:

.

Це найнеприємніша ситуація. Література дає значну низку рекомендацій з цього приводу. Можна виділити такі:

                                            1)         ;

                                           2)        ;

                                           3)            .                         .

Найбільш поширений ужиток має перша рекомендація. Більш грамотною вважається друга з коефіцієнтом Стюдента 2  та довірчою імовірністю 0,95. Довірча імовірність третьої рекомендації дорівює 0,997.

Висновок 3. Для обрахунку похибки вимірювань, виконаних за допомогою приладів (засобів вимірювання), необхідно перш за все визначити до якого з трьох типів (за формою смуги похибок) належить даний прилад. Після цього слід застосувати відповідні кожному типу правила розрахунку похибки та здійснити розрахунок. Це найпростіші правила розрахунку. Прилади з комбінованою смугою похибок можуть мати деталізовану формулу обрахунку похибки. У будь-якому випадку слід уважно вивчати інструкцію до приладу та користуватись для обрахунків похибки рекомендованими там формулами.

Знаходження інтерполяційних кривих. Метод найменших квадратів.

Дуже часто розв'язання задачі вимірювань полягає у знаходженні функціональної залежності, яка найкращим чином описує закон змінення вивчаємої нами величини. Наприклад, дослідження залежності опору провідника або напівпровідника від температури, густини газу від тиску,  в'язкості рідини від температури тощо.

У загальному вигляді постановка задачі така. В результаті вимірювань отримуєм декілька значень вимірюваної величини, які можемо розглядати як координати точок на площині.

 y

                       

  

                       

                     

       

                                                          x

Після попереднього аналізу з метою графічного та функціонального зображення дослідження робиться вибір деякої інтерполюючої кривої  (моделі):                                

  .

Задача зводиться до того, щоб знайти найкращі значення параметрів моделі   Зрозуміло, що у кожній точці повинні існувати відхилення між розрахованими за моделлю значеннями  та отриманими у процесі вимірювань :

                                               

Найкращі значення параметрів  будуть отримані у тому випадку, якщо сума квадратів цих відхилень буде мінімальною:

                                                       .

(Квадрат усереднює як додатні, так і від'ємні відхилення).

Розв'язок задачі за цією схемою має назву “Метод найменших квадратів” (МНК). Цей метод також називається регресійним аналізом. Він був запропонований ще у 1795 - 1805 роках Лежандром та Гаусом. Через велику кількість розрахунків метод не отримав широкого розповсюдження. Проте у теперішній час, при наявності розвинутих обчислювальних засобів, переживає друге народження, бо фактично зводиться до введення в обчислювальні засоби відповідних пар даних та запису результату. Програму реалізації методу має більшість обчислювальних устроїв. Використання МНК значно підвищує якість та точність вимірювань.

Як приклад, розглянемо найбільш поширений на практиці випадок інтерполяції результатів вимірювань прямою лінією.

Після вимірювань отримали групу даних, зображених на площині.

    y

                                         

                   

                                       

                                                              x

Вважаємо, що  відомі з достатнім ступенем точності. Маємо набір . Для даного  виміряне значення — це , а  — значення, отримане з аналітичної залежності. Треба провести пряму лінію  найкращим чином. Це означає так, щоб:

Або:

Для цього треба спрямувати до нуля частинні похідні по  та по , потім визначити коефіцієнти  та .

Похідна по :

                           ( 1 )

Похідна по :

                                                               ( 2 )

Рівняння (1), (2) утворюють систему, вирішивши яку можна отримати коефіцієнти  та . Перетворюєм рівняння  (2) :

                                                           

Звідси:

                                  

Перетворюєм рівняння (1):

                                            

Підставимо у перетворене рівняння (1) вираз коефіцієнту  :

 

                                             

Вирази , отримані для  та , наочно демонструють необхідність використання для їх обчислення обчислювальних засобів. Відповідні програми складені. Тому експериментатору достатньо ввести до обчислювального устрою попарні дані , щоб отримати значення коефіцієнтів  та похибок їх визначення. Але, якщо обчислювальний устрій не видає графічної інформації ( наприклад, мікрокалькулятор), отримані значення коефіцієнтів  та  необхідно перевірити. Перевірка здійснюється шляхом ідентифікації аналітичного рівняння та дослідних даних. Для цього треба відобразити дослідні дані на площині у вигляді точок.

    y

   

                                                         

                              

                                       

            

                                                          x

Потім записати аналітичне рівняння з обчисленими цифровими коефіцієнтами 

та :                     .

Далі треба задати два числових значення  та  і за отриманим аналітичним рівнянням обчислити відповідні значення  та . На графіку позначити обраховані аналітичні точки та, щоб відрізнити від експериментальних, окреслити їх колами. Саме через ці дві точки проводиться пряма лінія, яка найкращим чином інтерполює закон змінення експериментальних даних,  і яка повинна “лягти” на дослідні дані. Проведення цієї лінії на графіку будь-яким іншим шляхом, як це часто роблять студенти, виключається.

Метод найменших квадратів дозволяє здійснювати інтерполяцію дослідних даних поліномами другого, третього та більш високих степенів. Але у багатьох випадках можна користуватися інтерполяцією прямою лінією нелінійних залежностей. Для цього робляться необхідні перетворення. Розглянемо два приклади з лабораторного практикуму.

1.Градуювання напіврповідникового датчика. Досліджується залежність опору датчика від температури, яка має експоненціальний характер:

                                                      

Методом найменших квадратів пропонується визначити коефіцієнти  та . Щоб скористатися МНК треба зробити “лінеаризацію” залежності:

      або                

У системі координат  — це пряма лінія:

          

                                                                   

Рівняння прямої лінії (  )  утворюється, якщо вважати, що:

                                             

До обчислювального устрою вводять пари значень  (як ) та  (як ), отримують значення коефіцієнтів  та , за якими визначають  та . 

2. Визначення  за формулою матетматичного маятника:

Вимірюються  та . Залежність між ними нелінійна. Перетворення:

                                                            

    1)     ;                                        2)     ;

                     .                                               .

            .                                                       .

                                                                                           

                                                                                                                                       

         

У другому випадку кутовий коефіцієнт прямої лінії  дорівнює . Значення коефіцієнта  в обох варіантах лінеаризації нас не цікавить.

На цьому можна закінчити знайомство з деякими питаннями, пов'язаними з обробкою результатів вимірювань. Слід сказати, що велика кількість проблем та понять залишилася поза увагою цих вступних лекцій. Поданий матеріал можна вважати лише першим кроком у справі оволодіння такою величезною галуззю наукових та технічних знань, як обробка результатів вимірювань. Докладніші відомості знаходяться у рекомендованому списку літератури, що поданий далі.

           Література.

  1.  А. Н. Зайдель “ Ошибки измерений физических величин “, Ленинград, 1974.
  2.  П. В. Новицкий, И. Л. Зограф “ Оценка погрешностей результатов измерений “, Ленинград, 1991.

Додаткова література.

  1.  Общий физический практикум, “ Механика “, под ред. А. Н. Матвеева, Москва, 1991.
  2.  Загальна фізика. Лабораторний практикум, за загальною редакцією І. Т. Горбачука, Київ, 1992.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65687. ПОВЕДІНКА СПОЖИВАЧА В СИСТЕМІ УПРАВЛІННЯ КОНКУРЕНТНОЮ СТРАТЕГІЄЮ ПІДПРИЄМСТВА 207.5 KB
  Вирішення питання удосконалення конкурентної стратегії підприємства з урахуванням поведінки споживача є актуальним для всіх складових елементів його системи управління. З огляду на це необхідним є забезпечення інтеграції особливостей поведінки споживача до розробки системи стратегічного управління...
65688. КАТЕГОРІЙНА СЕМАНТИКА КРАТНОСТІ В СИСТЕМІ МОВИ ТА ХУДОЖНЬОМУ ТЕКСТІ 164 KB
  На жаль українське мовознавство тривалий час стояло осторонь опрацювання цієї проблеми тому багато питань вже розв’язаних для багатьох інших слов’янських мов в україністиці ще перебувають у стадії дослідження. При цьому кратність тлумачать як аспектуальне значення що характеризує дієслова...
65689. ОПТИМІЗАЦІЯ ДИФЕРЕНЦІЙНОЇ ДІАГНОСТИКИ ДОБРОЯКІСНИХ ПУХЛИН ТА ПУХЛИНОПОДІБНИХ УТВОРЕНЬ ЯЄЧНИКІВ 266 KB
  Для досягнення мети поставлені такі задачі: Дати клінічну характеристику пацієнток із доброякісними новоутвореннями яєчників та оцінити діагностичну чутливість та специфічність ультразвукових методів трансабдомінальна трансвагінальна сонографія та допплерометрія...
65690. МОРФОГЕНЕТИЧНІ ПАРАЛЕЛІ РОЗВИТКУ СЕРЦЯ ТА ПЛАЦЕНТИ В ПРЕНАТАЛЬНОМУ ОНТОГЕНЕЗІ 4.49 MB
  Доведено що ембріон людини найбільш чутливий до будь-яких ушкоджувальних чинників у перші дні і тижні його внутрішньоутробного розвитку коли відбувається формування ранньої плаценти структурної основи взаємодії між матір’ю та ембріоном Петренко В.
65691. ГЕОЛОГО-ЕКОНОМІЧНИЙ АНАЛІЗ МІНЕРАЛЬНО-СИРОВИННОЇ БАЗИ БЕНТОНІТОВИХ ГЛИН УКРАЇНИ 1.86 MB
  Бентонітові глини мінеральна сировина багатоцільового призначення яка характеризується сукупністю корисних фізико-механічних і хімічних властивостей таких як пластичність здатність до набрякання висока сорбційна активність. Всі об’єкти мінерально-сировинної бази МСБ бентонітових глин України характеризуються різним ступенем вивченості.
65692. ВІК, ГЕОХІМІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ТА МОЖЛИВІ ДЖЕРЕЛА ПОХОДЖЕННЯ ДЕТРИТОВОГО МОНАЦИТУ ТЕРИТОРІЇ УКРАЇНИ 731 KB
  Однак до сьогоднішнього часу плутонічні породи такого віку на УЩ не знайдені а волинські трапи вулканіти ДніпровоДонецької западини ДДЗ і Донецького басейну дайки відповідного віку УЩ не могли дати такої кількості теригенного монациту оскільки представлені породами переважно основного складу в яких монацит практично відсутній.
65693. СОЦІАЛІЗАЦІЯ ПІДЛІТКІВ НА ОСНОВІ ХУДОЖНЬО-ЕСТЕТИЧНИХ ТРАДИЦІЙ ЕТНОКУЛЬТУРНОЇ СПІЛЬНОТИ ДОНБАСУ 178 KB
  Ринкові пріоритети сучасного суспільства визначають орієнтири соціальних якостей особистості які раніше не висувалися до неї – покладання на власні сили ініціативу розширення індивідуальної свободи та відповідальності значущість особистісного успіху що зумовлює змістовну зміну збагачення процесів соціалізації особистості.
65694. ФІЗИЧНА РЕАБІЛІТАЦІЯ ОСІБ З РОЗСІЯНИМ СКЛЕРОЗОМ У КОМПЛЕКСНІЙ ТЕРАПІЇ В УМОВАХ СТАЦІОНАРУ 287.5 KB
  У роботах попередніх років переважали рекомендації щодо обмеження працездатності хворих і встановлення інвалідності при перших проявах захворювання. У роботах останніх років звучать рекомендації щодо підтримки максимальної психо-емоційної...
65695. РОБОТА І РОЗРАХУНОК ЕЛЕМЕНТІВ КІЛЬЦЕВОГО ПЕРЕРІЗУ ЗІ СТАЛЕФІБРОБЕТОНУ ПРИ ПОВТОРНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ 1.99 MB
  Так практично не досліджена робота елементів кільцевого перерізу зі сталефібробетону. Відомо що переважна більшість конструкцій піддається дії повторних навантажень це також стосується і елементів кільцевого перерізу. З огляду на наведе дослідження особливостей роботи...