22624

Визначення моментів інерції твердого тіла

Лабораторная работа

Физика

Визначення моментів інерції твердого тіла.Експериментальне визначення параметрів еліпсоїда інерції твердого тіла. 3 Запишемо це векторне рівняння у проекціях на вісі координат з початком у точці беручи до уваги що : 4 З метою спрощення зробимо наступні позначення у рівняннях 4: 5 Вирази позначені однаковими подвійними індексами відтворюють моменти інерції тіла відносно відповідних осей наприклад ОХ ОУ ОZ тобто ті моменти інерції...

Украинкский

2013-08-04

246.5 KB

23 чел.

6

Лабораторна робота.

Визначення моментів інерції твердого тіла.

Мета роботи.

1.Експериментальне  визначення параметрів еліпсоїда інерції твердого тіла.

2.Експериментальна перевірка справедливості теоретичних висновків.

Прилади та матеріали.

Суцільний металевий  паралелепіпед, макетна установка з крутильним маятником та електронним устаткуванням для вимірювання  часу коливального руху маятника.

Головні теоретичні відомості.

Момент імпульсу матеріальної точки масою , яка рухається відносно довільно вибраної та нерухомої в інерціальній системі відліку точки , подається за наступним співвідношенням :

                                              ,

де  - момент імпульсу;

     - радіус-вектор, який зєднує точку   з матеріальною точкою масою ;

     - імпульс матеріальної точки;

     - швидкість матеріальної точки.

 Якщо розглядати тверде тіло як сукупність великої кількості частинок масою , відстань між якими не змінюється під час механічного руху, то його момент імпульсу відносно довільної точки  в інерціальній системі відліку буде дорівнювати геометричній сумі моментів імпульсу окремих частинок, що входять до складу тіла:

                                                                .                  (1)                                                                

При цьому, величина  залежить від розташування точки, відносно якої розглядається момент імпульсу як твердого тіла в цілому, так і окремої його частинки.  

Відомо, що будь-який плоский рух можна подати як обертання навколо миттєвої осі. Отже найзагальнішим типом руху є обертання. Тому розглянемо обертання твердого тіла навколо довільно вибраної осі . Оскільки точки тіла розташовані на різних відстанях від вісі обертання, то їх швидкості  різні. Тому краще скористатися співвідношенням, яке поєднує лінійні швидкості з вектором кутової швидкості обертання , та подати рівняння (1) у вигляді:

                                 .                                     (2)

Переписуючи подвійний векторний добуток як  маємо

                .                                            (3)

Запишемо це векторне рівняння у проекціях на вісі координат, з початком у точці, беручи до уваги, що  :

 

,        

         (4)

З метою спрощення зробимо наступні позначення у рівняннях (4):

  

                 (5)

   

Вирази, позначені однаковими  подвійними  індексами , відтворюють моменти інерції тіла відносно відповідних осей ( наприклад, ОХ, ОУ, ОZ ), тобто ті моменти інерції, які визначають міру інертності тіла при обертальному русі. Неоднакові подвійні індекси (  та інші ) застосовані для позначення відцентрових моментів інерції ( або добутків інерції ), які повинні враховувати ті асиметрії у розподілі мас, що можуть виникати при обертальному русі тіла.

Для суцільних тіл з неперервним розподілом мас у просторі знаки суми у формулах (5) замінюються на інтеграли:

  і т.д.,

де  - густина речовини, з якої зроблене тіло, у точці з координатами , а інтегрування здійснюється за усім об’ємом тіла .

У нових позначеннях рівняння (4) мають вигляд:

                                      

                                                            (6)   

                                  

Або користуючись матричною формою запису:

                                                    (7)

Моменти інерції ( їх ще називають інерціальними коефіцієнтами ) утворюють квадратну матрицю третього порядку.Ця матриця у довільно вибраній системі координат визначає тензор другого рангу, який називають тензором моментів інерції або просто тензором інерції, а саму матрицю – матрицею компонентів (або координат) тензора інерції.

Рівняння (4)-(7) фактично визначають  спосіб знаходження абсолютної величини та напрямку вектора , якщо відомі абсолютна величина та напрямок вектора . У найзагальнішому випадку ( тіло довільної форми з довільним розподілом маси, довільна орієнтація вісі обертання відносно довільно вибраної системи координат ) момент імпульсу  не співпадає за напрямком з вектором кутової швидкості і розв’язання цієї задачі є досить складною математичною процедурою. Одним з етапів цієї процедури є визначення моменту інерції тіла відносно осі обертання. Як свідчать рівняння (7), визначення моменту інерції тіла відносно довільної осі, що проходить через початок системи координат, можна зробити тільки за допомогою тензора інерції цього тіла. Цей тензор позначають символом  і записують як:

                                                                (8)

Користуючись рівняннями (5) неважко помітити, що симетрично відносно діагоналі тензора  розташовані компоненти, які дорівнюють одне одному:  та  Тензор, якому властива така симетрія, має назву симетричного тензора. Для його однозначного визначення достатньо замість дев’яти компонентів мати шість.

З тензорного числення відомо, що кожен тензор другого рангу має, взагалі кажучи, три взаємно перпендикулярні, так звані, головні напрямки  (власні вектори) та три головні значення (власні значення). Останні – це корені характеристичного рівняння тензора. Будь-який симетричний тензор другого рангу можна привести до діагонального вигляду відповідним вибором системи координат. Тензор називають діагональним, якщо всі його компоненти, за виключенням діагональних, дорівнють нулю.

Тензор інерції стає діагональним, якщо осі вибраної системи координат збігаються з головними напрямками тензора. Відповідні напрямки координатних осей у цьому випадку називаються головними осями інерції тіла, а головні значення тензора дорівнюють моментам інерції тіла відносно головних осей.  Ці моменти називають головними моментами інерції.

Симетричні тензори мають геометричну інтерпретацію, яка робиться за допомогою, так званої, характеристичної поверхні. Характеристичною поверхнею симетричного тензора другого рангу є центральна поверхня другого порядку, центр симетрії якої співпадає з початком системи координат О. Вигляд поверхні залежить від комбінації знаків, які мають головні значення тензора. У випадку, коли ці значення позитивні - характеристична поверхня є еліпсоїдом. Власні значення тензора інерції позитивні, тому його характеристична поверхня – це еліпсоїд, який прийнято називати еліпсоїдом інерції. Осі симетрії цього еліпсоїда співпадають з головними осями інерції тіла. Еліпсоїд інерції дозволяє геометрично знайти величину моменту інерції тіла відносно довільної осі, яка проходить через початок координат О.

 Момент інерції тіла  відносно довільної осі, що проходить через початок координат, дорівнює одиниці, поділеній на квадрат відстані  від точки О до тієї точки поверхні еліпсоїда інерції, в якій її перетинає довільно вибрана вісь обертання:           

                                                    

Тому еліпсоїд інерції зорієнтований так, що його найкоротша вісь направлена по осі, відносно якої момент інерції є максимальним.

Із зміщенням початку координат відносно тіла змінюється і еліпсоїд інерції. Якщо початок системи координат розташувати у центрі мас тіла, то відповідний еліпсоїд інерції, як кажуть фізики, стає ценральним ( у тому розумінні, що його центр симетрії збігається з центром мас тіла ).

Отже, якщо початок системи координат розташувати у ценрі мас тіла, а координатні осі направити вздовж головних напрямків тензора інерції  (діагональний тензор та ценральний еліпсоїд інерції), то визначення моменту інерції тіла  відносно будь-якої осі, що проходить через початок координат, є найпростішим і відбувається за формулою:

                                (9)       

де   та   - направляючі косинуси осі обертання.

Саме цей випадок досліджується у даній лабораторній роботі. Моменти інерції  визначаються експериментально за допомогою крутильного маятника, направляючі косинуси визначаються з геометричних міркувань, після чого порівнюються числові значення лівої та правої частин формули ( 9 ).

 Опис макетної установки.

Макетна установка змонтована на масивній горизонтальній платформі, оснащеній регулюючими гвинтами, які дають можливість вирівнювати макет. На платформі встановлена вертикальна колона, на якій розташований крутильний маятник. Він складається з двох вертикальних пружних сталевих дротин та рамки, яка може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі симетрії. Рамка має пересувний затискувач з гвинтами та шипом. Другий шип встановлений на нижній стороні рамки. Така конструкція рамки дозволяє закріпити в ній дсліджуване тіло. Макет споряджений електромагнітом, який фіксує рамку у відхиленому стані. Початковий кут відхилення рамки можна регулювати. До складу установки входять також електронний таймер та фотоелектрична система, яка реєструє кількість повних періодів коливань рамки.

Досліджуваним тілом є суцільний однорідний металевий паралелепіпед, що має належним чином налаштовані гнізда закріплення. Його маса дорівнює г, габаритні розміри у міліметрах подані на малюнку:

60                                                                                    

                                                                                       40

                                         100

                         Визначення моменту інерції твердого тіла

за періодом коливань крутильного маятника.

 

Рух тіла, закріпленого у рамці крутильного маятника, описуються основним рівнянням динаміки обертального руху:

                                              ,                                 (10)

де  момент інерції тіла ( якщо вважати рамку невагомою );

    кутова швидкість обертального руху;

    момент сил закручування ниток підвісу.

Вважаючи, що    та момент сил закручування є пропорційним куту закручування   ( знак “-“ враховує зворотний характер моментів сил кручення ), рівняння  (10)  можна подати у вигляді:

                                             

або

                                                                        (11)

де   - модуль кручення верхньої дротини,

      - модуль кручення нижньої дротини.

Отримане рівняння – це рівняння гармонічних коливань, розв’язком якого є функція  а коефіцієнт пред його другим доданком дорівнює квадрату власної частоти крутильних коливань:

                                                

У зв’язку з тим, що  ( період крутильних коливань ) останнє співвідношення можна подати у вигляді:

                                                         

та користуватись ним для обчислення моменту інерції твердого тіла:

                                                                      (12)

Модулі кручення дротів  та  можна відтворити через їх довжину підвісу  та , радіус  та модуль зсуву матеріалу дротин :

                                

З урахуванням цього формула (12) приймає вигляд:

                                                              (13)

Оскільки рамка маятника не є невагомою, то її момент інерції  підраховується окремо за формулою (13):

                                                                      (14)

де   період коливань порожньої рамки.

Отже, остаточна розрахункова формула обрахунку моменту інерції тіла відносно осі обертання має вигляд:

                                  

                                                               (15)

Якщо  формула спрощується:

                                                                              (16)

Технічні характеристики сталевих дротин крутильного маятника лабораторної установки такі:

 Н/м;

м ;

см.

Підготування макету до вимірювань.

  1.  Ознайомтесь з описом лабораторної роботи та з будовою макетної установки.
  2.  Підключіть макетну установку до освітлювальної мережі натисканням кнопки “СЕТЬ”.
  3.  Натисканням кнопки “СБРОС” обнуліть цифрові табло.
  4.  Відіжміть кнопку “ПУСК” , якщо вона знаходиться у натисненому стані.
  5.  За допомогою електромагніту зафіксуйте порожню рамку у початковому відхиленні  ( кут початкового відхилення приблизно дорівнює 90 - 100).

Макет готовий до роботи. Запуск крутильних коливань рамки здійснюється натискуванням кнопки “ПУСК”. Фіксація кількості періодів коливань та часу коливального руху робиться за допомогою кнопки “СТОП”.

Вимірювання.

  1.  Виміряйте період коливань порожньої рамки
  2.  Уявно поєднайте габаритні розміри паралелепіпеда з декартовою системою координат
  3.  Відповідним чином закріплюючи паралелепіпед у рамці, визначте по черзі періоди коливань крутильного маятника під час його обертання навколо головних осей:.
  4.  Розташуйте паралелепіпед у рамці так, щоб вісь обертання проходила через будь-яку з його просторових діагоналей, закріпіть тіло та виміряйте період коливань              

Завдання.

  1.  За результатами зроблених вимірювань, користуючись формулами (14,15,16) підрахуйте моменти інерції
  2.  Знайдіть косинуси направляючих кутів для діагоналі паралелепіпеда за формулами:

                                                  

                                                  

                                                  

де  лінійні розміри паралелепіпеда у вибраній вами координатній                                      системі головних осей обертання.

  1.  Підставляючи величини, обчислені на підставі результатів вимірювань, у формулу (9) перевірте її справедливість.
  2.  Зробіть оцінку похибок результатів вимірювань.
  3.  Користуючись формулою (16) та частинним диференціюванням виведіть формулу підрахунку похибки вимірювання моментів інерції та запишіть її до протоколу лабораторної роботи.

Контрольні запитання.

  1.  Що таке момент інерції твердого тіла? Які властивості тіла він характеризує?
  2.  Що називають тензором інерції?
  3.  Що називається еліпсоїдом інерції? Як з його допомогою визначити момент інерції твердого тіла?
  4.  Який устрій називають крутильним маятником? Які технічні характеристики необхідно знати, щоб визначити з його допомогою момент інерції твердого тіла?
  5.  Як визначити момент інерції твердого тіла довільної форми?

Література.

  1.  МатвеевА.Н. Механика и теория относительности, 2-е изд. М : Высшая школа, 1986, §§ 32, 33  ст. 173-179.
  2.  Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1 . Механика, 3-е изд. М: Наука, 1989, § 53  ст. 320-324.
  3.  Курс физики. Практикум. Под ред. проф.  Д.А. Городецкого  Киев, «Вища школа», 1992, ст. 21-29.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68423. Динамические процессы в экосистемах 196.5 KB
  Биоценоз экосистемы изменяется под воздействием факторов экотопа причем эти воздействия обладают различной интенсивностью и скоростью например биотические и геологические круговороты. Вместе с тем мы прекрасно знаем что подвижность экосистемы также относительна: экосистемы таежных лесов или целинных...
68424. Структура биосферы 46 KB
  Строение биосферы Биосфера охватывает нижнюю часть атмосферы всю гидросферу океаны моря поверхностные воды суши а также верхнюю часть литосферы. Верхней границей биосферы является озоновый слой 2030 км от земной поверхности а её нижняя граница не опускается в литосферу ниже 23 км.
68425. Экологические факторы 60 KB
  В числе факторов неживой природы присутствуют физические космические климатические орографические почвенные и химические компоненты воздуха воды кислотность и иные химические свойства почвы примеси промышленного происхождения. Содержание водяного пара в воздухе зависит от температуры...
68426. Экологические факторы окружающей среды. Абиотические факторы 282 KB
  В числе факторов неживой природы присутствуют физические космические климатические орографические почвенные и химические компоненты воздуха воды кислотность и иные химические свойства почвы примеси промышленного происхождения.
68427. Биотические и антропогенные факторы 46 KB
  Например в тканях дерева в древесине лубе коре развиваются многие грибы плодовые тела которых трутовики можно видеть на поверхности ствола; внутри листьев плодов стеблей травянистых и древесных растений живет множество насекомых и других беспозвоночных а дупла деревьев обычное место...
68428. Биотические факторы. Общие закономерности взаимодействия организмов и экологических факторов 283 KB
  Биотические факторы наземной и водной среды почв Биологически активные вещества живых организмов Антропогенные факторы Общие закономерности взаимодействия организмов и экологических факторов Понятие лимитирующего фактора.
68429. Виды и характер загрязнения окружающей среды 106.5 KB
  Источники загрязнения окружающей среды Загрязнение окружающей среды это поступление в среду любых веществ твердых жидких газообразных или видов энергии тепла шума радиоактивности в таких количествах которые оказывают вредное влияние на человека животных и растения...
68430. Экстремальные воздействия на биосферу 76 KB
  К экстремальным относят такие воздействия, которые создают неустойчивые и неблагоприятные условия существования человека и естественных экосистем и нередко приводят к их гибели. Экстремальные воздействия на природную окружающую среду могут иметь антропогенный...
68431. Виды природных ресурсов 30 KB
  Источниками энергии на нашей планете являются Солнце вода горючие полезные ископаемые тепло земной коры ветер. В середине 20 века эти природные источники энергии дополнились рукотворными расщепление атомных ядер. И хотя общее потребление энергии неуклонно возрастает участие в нём отдельных...