22624

Визначення моментів інерції твердого тіла

Лабораторная работа

Физика

Визначення моментів інерції твердого тіла.Експериментальне визначення параметрів еліпсоїда інерції твердого тіла. 3 Запишемо це векторне рівняння у проекціях на вісі координат з початком у точці беручи до уваги що : 4 З метою спрощення зробимо наступні позначення у рівняннях 4: 5 Вирази позначені однаковими подвійними індексами відтворюють моменти інерції тіла відносно відповідних осей наприклад ОХ ОУ ОZ тобто ті моменти інерції...

Украинкский

2013-08-04

246.5 KB

24 чел.

6

Лабораторна робота.

Визначення моментів інерції твердого тіла.

Мета роботи.

1.Експериментальне  визначення параметрів еліпсоїда інерції твердого тіла.

2.Експериментальна перевірка справедливості теоретичних висновків.

Прилади та матеріали.

Суцільний металевий  паралелепіпед, макетна установка з крутильним маятником та електронним устаткуванням для вимірювання  часу коливального руху маятника.

Головні теоретичні відомості.

Момент імпульсу матеріальної точки масою , яка рухається відносно довільно вибраної та нерухомої в інерціальній системі відліку точки , подається за наступним співвідношенням :

                                              ,

де  - момент імпульсу;

     - радіус-вектор, який зєднує точку   з матеріальною точкою масою ;

     - імпульс матеріальної точки;

     - швидкість матеріальної точки.

 Якщо розглядати тверде тіло як сукупність великої кількості частинок масою , відстань між якими не змінюється під час механічного руху, то його момент імпульсу відносно довільної точки  в інерціальній системі відліку буде дорівнювати геометричній сумі моментів імпульсу окремих частинок, що входять до складу тіла:

                                                                .                  (1)                                                                

При цьому, величина  залежить від розташування точки, відносно якої розглядається момент імпульсу як твердого тіла в цілому, так і окремої його частинки.  

Відомо, що будь-який плоский рух можна подати як обертання навколо миттєвої осі. Отже найзагальнішим типом руху є обертання. Тому розглянемо обертання твердого тіла навколо довільно вибраної осі . Оскільки точки тіла розташовані на різних відстанях від вісі обертання, то їх швидкості  різні. Тому краще скористатися співвідношенням, яке поєднує лінійні швидкості з вектором кутової швидкості обертання , та подати рівняння (1) у вигляді:

                                 .                                     (2)

Переписуючи подвійний векторний добуток як  маємо

                .                                            (3)

Запишемо це векторне рівняння у проекціях на вісі координат, з початком у точці, беручи до уваги, що  :

 

,        

         (4)

З метою спрощення зробимо наступні позначення у рівняннях (4):

  

                 (5)

   

Вирази, позначені однаковими  подвійними  індексами , відтворюють моменти інерції тіла відносно відповідних осей ( наприклад, ОХ, ОУ, ОZ ), тобто ті моменти інерції, які визначають міру інертності тіла при обертальному русі. Неоднакові подвійні індекси (  та інші ) застосовані для позначення відцентрових моментів інерції ( або добутків інерції ), які повинні враховувати ті асиметрії у розподілі мас, що можуть виникати при обертальному русі тіла.

Для суцільних тіл з неперервним розподілом мас у просторі знаки суми у формулах (5) замінюються на інтеграли:

  і т.д.,

де  - густина речовини, з якої зроблене тіло, у точці з координатами , а інтегрування здійснюється за усім об’ємом тіла .

У нових позначеннях рівняння (4) мають вигляд:

                                      

                                                            (6)   

                                  

Або користуючись матричною формою запису:

                                                    (7)

Моменти інерції ( їх ще називають інерціальними коефіцієнтами ) утворюють квадратну матрицю третього порядку.Ця матриця у довільно вибраній системі координат визначає тензор другого рангу, який називають тензором моментів інерції або просто тензором інерції, а саму матрицю – матрицею компонентів (або координат) тензора інерції.

Рівняння (4)-(7) фактично визначають  спосіб знаходження абсолютної величини та напрямку вектора , якщо відомі абсолютна величина та напрямок вектора . У найзагальнішому випадку ( тіло довільної форми з довільним розподілом маси, довільна орієнтація вісі обертання відносно довільно вибраної системи координат ) момент імпульсу  не співпадає за напрямком з вектором кутової швидкості і розв’язання цієї задачі є досить складною математичною процедурою. Одним з етапів цієї процедури є визначення моменту інерції тіла відносно осі обертання. Як свідчать рівняння (7), визначення моменту інерції тіла відносно довільної осі, що проходить через початок системи координат, можна зробити тільки за допомогою тензора інерції цього тіла. Цей тензор позначають символом  і записують як:

                                                                (8)

Користуючись рівняннями (5) неважко помітити, що симетрично відносно діагоналі тензора  розташовані компоненти, які дорівнюють одне одному:  та  Тензор, якому властива така симетрія, має назву симетричного тензора. Для його однозначного визначення достатньо замість дев’яти компонентів мати шість.

З тензорного числення відомо, що кожен тензор другого рангу має, взагалі кажучи, три взаємно перпендикулярні, так звані, головні напрямки  (власні вектори) та три головні значення (власні значення). Останні – це корені характеристичного рівняння тензора. Будь-який симетричний тензор другого рангу можна привести до діагонального вигляду відповідним вибором системи координат. Тензор називають діагональним, якщо всі його компоненти, за виключенням діагональних, дорівнють нулю.

Тензор інерції стає діагональним, якщо осі вибраної системи координат збігаються з головними напрямками тензора. Відповідні напрямки координатних осей у цьому випадку називаються головними осями інерції тіла, а головні значення тензора дорівнюють моментам інерції тіла відносно головних осей.  Ці моменти називають головними моментами інерції.

Симетричні тензори мають геометричну інтерпретацію, яка робиться за допомогою, так званої, характеристичної поверхні. Характеристичною поверхнею симетричного тензора другого рангу є центральна поверхня другого порядку, центр симетрії якої співпадає з початком системи координат О. Вигляд поверхні залежить від комбінації знаків, які мають головні значення тензора. У випадку, коли ці значення позитивні - характеристична поверхня є еліпсоїдом. Власні значення тензора інерції позитивні, тому його характеристична поверхня – це еліпсоїд, який прийнято називати еліпсоїдом інерції. Осі симетрії цього еліпсоїда співпадають з головними осями інерції тіла. Еліпсоїд інерції дозволяє геометрично знайти величину моменту інерції тіла відносно довільної осі, яка проходить через початок координат О.

 Момент інерції тіла  відносно довільної осі, що проходить через початок координат, дорівнює одиниці, поділеній на квадрат відстані  від точки О до тієї точки поверхні еліпсоїда інерції, в якій її перетинає довільно вибрана вісь обертання:           

                                                    

Тому еліпсоїд інерції зорієнтований так, що його найкоротша вісь направлена по осі, відносно якої момент інерції є максимальним.

Із зміщенням початку координат відносно тіла змінюється і еліпсоїд інерції. Якщо початок системи координат розташувати у центрі мас тіла, то відповідний еліпсоїд інерції, як кажуть фізики, стає ценральним ( у тому розумінні, що його центр симетрії збігається з центром мас тіла ).

Отже, якщо початок системи координат розташувати у ценрі мас тіла, а координатні осі направити вздовж головних напрямків тензора інерції  (діагональний тензор та ценральний еліпсоїд інерції), то визначення моменту інерції тіла  відносно будь-якої осі, що проходить через початок координат, є найпростішим і відбувається за формулою:

                                (9)       

де   та   - направляючі косинуси осі обертання.

Саме цей випадок досліджується у даній лабораторній роботі. Моменти інерції  визначаються експериментально за допомогою крутильного маятника, направляючі косинуси визначаються з геометричних міркувань, після чого порівнюються числові значення лівої та правої частин формули ( 9 ).

 Опис макетної установки.

Макетна установка змонтована на масивній горизонтальній платформі, оснащеній регулюючими гвинтами, які дають можливість вирівнювати макет. На платформі встановлена вертикальна колона, на якій розташований крутильний маятник. Він складається з двох вертикальних пружних сталевих дротин та рамки, яка може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної осі симетрії. Рамка має пересувний затискувач з гвинтами та шипом. Другий шип встановлений на нижній стороні рамки. Така конструкція рамки дозволяє закріпити в ній дсліджуване тіло. Макет споряджений електромагнітом, який фіксує рамку у відхиленому стані. Початковий кут відхилення рамки можна регулювати. До складу установки входять також електронний таймер та фотоелектрична система, яка реєструє кількість повних періодів коливань рамки.

Досліджуваним тілом є суцільний однорідний металевий паралелепіпед, що має належним чином налаштовані гнізда закріплення. Його маса дорівнює г, габаритні розміри у міліметрах подані на малюнку:

60                                                                                    

                                                                                       40

                                         100

                         Визначення моменту інерції твердого тіла

за періодом коливань крутильного маятника.

 

Рух тіла, закріпленого у рамці крутильного маятника, описуються основним рівнянням динаміки обертального руху:

                                              ,                                 (10)

де  момент інерції тіла ( якщо вважати рамку невагомою );

    кутова швидкість обертального руху;

    момент сил закручування ниток підвісу.

Вважаючи, що    та момент сил закручування є пропорційним куту закручування   ( знак “-“ враховує зворотний характер моментів сил кручення ), рівняння  (10)  можна подати у вигляді:

                                             

або

                                                                        (11)

де   - модуль кручення верхньої дротини,

      - модуль кручення нижньої дротини.

Отримане рівняння – це рівняння гармонічних коливань, розв’язком якого є функція  а коефіцієнт пред його другим доданком дорівнює квадрату власної частоти крутильних коливань:

                                                

У зв’язку з тим, що  ( період крутильних коливань ) останнє співвідношення можна подати у вигляді:

                                                         

та користуватись ним для обчислення моменту інерції твердого тіла:

                                                                      (12)

Модулі кручення дротів  та  можна відтворити через їх довжину підвісу  та , радіус  та модуль зсуву матеріалу дротин :

                                

З урахуванням цього формула (12) приймає вигляд:

                                                              (13)

Оскільки рамка маятника не є невагомою, то її момент інерції  підраховується окремо за формулою (13):

                                                                      (14)

де   період коливань порожньої рамки.

Отже, остаточна розрахункова формула обрахунку моменту інерції тіла відносно осі обертання має вигляд:

                                  

                                                               (15)

Якщо  формула спрощується:

                                                                              (16)

Технічні характеристики сталевих дротин крутильного маятника лабораторної установки такі:

 Н/м;

м ;

см.

Підготування макету до вимірювань.

  1.  Ознайомтесь з описом лабораторної роботи та з будовою макетної установки.
  2.  Підключіть макетну установку до освітлювальної мережі натисканням кнопки “СЕТЬ”.
  3.  Натисканням кнопки “СБРОС” обнуліть цифрові табло.
  4.  Відіжміть кнопку “ПУСК” , якщо вона знаходиться у натисненому стані.
  5.  За допомогою електромагніту зафіксуйте порожню рамку у початковому відхиленні  ( кут початкового відхилення приблизно дорівнює 90 - 100).

Макет готовий до роботи. Запуск крутильних коливань рамки здійснюється натискуванням кнопки “ПУСК”. Фіксація кількості періодів коливань та часу коливального руху робиться за допомогою кнопки “СТОП”.

Вимірювання.

  1.  Виміряйте період коливань порожньої рамки
  2.  Уявно поєднайте габаритні розміри паралелепіпеда з декартовою системою координат
  3.  Відповідним чином закріплюючи паралелепіпед у рамці, визначте по черзі періоди коливань крутильного маятника під час його обертання навколо головних осей:.
  4.  Розташуйте паралелепіпед у рамці так, щоб вісь обертання проходила через будь-яку з його просторових діагоналей, закріпіть тіло та виміряйте період коливань              

Завдання.

  1.  За результатами зроблених вимірювань, користуючись формулами (14,15,16) підрахуйте моменти інерції
  2.  Знайдіть косинуси направляючих кутів для діагоналі паралелепіпеда за формулами:

                                                  

                                                  

                                                  

де  лінійні розміри паралелепіпеда у вибраній вами координатній                                      системі головних осей обертання.

  1.  Підставляючи величини, обчислені на підставі результатів вимірювань, у формулу (9) перевірте її справедливість.
  2.  Зробіть оцінку похибок результатів вимірювань.
  3.  Користуючись формулою (16) та частинним диференціюванням виведіть формулу підрахунку похибки вимірювання моментів інерції та запишіть її до протоколу лабораторної роботи.

Контрольні запитання.

  1.  Що таке момент інерції твердого тіла? Які властивості тіла він характеризує?
  2.  Що називають тензором інерції?
  3.  Що називається еліпсоїдом інерції? Як з його допомогою визначити момент інерції твердого тіла?
  4.  Який устрій називають крутильним маятником? Які технічні характеристики необхідно знати, щоб визначити з його допомогою момент інерції твердого тіла?
  5.  Як визначити момент інерції твердого тіла довільної форми?

Література.

  1.  МатвеевА.Н. Механика и теория относительности, 2-е изд. М : Высшая школа, 1986, §§ 32, 33  ст. 173-179.
  2.  Сивухин Д.В. Общий курс физики. Том 1 . Механика, 3-е изд. М: Наука, 1989, § 53  ст. 320-324.
  3.  Курс физики. Практикум. Под ред. проф.  Д.А. Городецкого  Киев, «Вища школа», 1992, ст. 21-29.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40104. Синтез алгоритмов управления нестабильным объектом 449.5 KB
  Для достижения цели проекта необходимо решить следующие задачи: 1 составить нелинейную математическую модель объекта и провести анализ методом компьютерного моделирования; 2 провести анализ устойчивости управляемости и наблюдаемости объекта по линеаризованной модели; 3 синтезировать регулятор состояния методом размещения собственных значений [2]; 4 синтезировать наблюдатель состояний и динамический регулятор; 5 оценить размеры области притяжения положения равновесия нелинейной системы с непрерывным регулятором; 6 построить...
40105. Двойственный симплекс-метод, основные принципы, алгоритм. Случаи, когда удобно применять двойственный симплексный метод 178 KB
  ДСМ ДСМ как и СМ называется методом последовательного улучшения оценок и применяется для решения задачи: исходным пунктом этого метода является выбор такого базиса . Таким образом основные принципы ДСМ заключаются в том чтобы: каждый раз выполнялось 2 значения целевой функции убывало. Для этого воспользуемся 2м принципом ДСМ. Чтобы обеспечить это надо выбрать так что: 6 Алгоритм ДСМ формулируется так: Выбираем базис и строим I симплекстаблицу Если все то решение оптимально иначе переход к 3.
40106. Задача максимизации прибыли при заданных ценах на продукцию и ресурсы. Анализ оптимальных решений с помощью множителей Лагранжа 34.5 KB
  Требуется решить задачу максимизации прибыли при заданных P0 и p: mx P0fx p x 1 x  0 2 Исследование задачи будем проводить с помощью функции Лагранжа: балансовое соотношение В оптимальном плане x для любых используемых ресурсов отношение цены к предельной эффективности постоянно. Для этих же ресурсов показали что соотношение предельных эффективностей равно соотношению цен. Наибольшая отдача будет от тех ресурсов которые имеют самую большую предельную эффективность в текущей точке.
40107. Теорема о необходимых и достаточных условиях оптимальности смешанных стратегий 167.5 KB
  Пусть игра определена матрицей и ценой игры V. оптимальная стратегия 1 игрока х является первой координатой некоторой седловой точки фции выигрыша Мх у. СЛЕДСТВИЕ: Если для смешанных стратегий и числа V одновременно выполняются 1 и 2 то будут оптимальными стратегиями игроков а V цена игры. Докво: умножим 1 на y и просуммируем: умножим 2 на x и просуммируем: Получаем Тогда по следствию Т о седловой точке точка седловая и ...
40108. Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Смешанные и оптимальные смешанные стратегии. Метод сведения решения матричных игр к задаче линейного программирования 119.5 KB
  Функция выигрыша в матричных играх без седловой точки. Парная игра с нулевой суммой задается формально матрицей игры матрицей А = {ij} элементы которой определяют выигрыш первого игрока и проигрыш второго если первый игрок выберет iю стратегию а второй jю стратегию. Пара i0j0 называется седловой точкой матрицы решением игры если выполняются условия: mx по столбцу I игрок min по строке II игрок Значение функции выигрыша в седловой точке называется ценой игры. Тогда выигрыш первого игрока при условии что он выбирает...
40109. Методы штрафных функций и методы центров в выпуклом программировании 90 KB
  Методы штрафных функций и методы центров в выпуклом программировании Метод штрафных функций Постановка задачи Даны непрерывно дифференцируемые целевая функция fx = fx1 xn и функции ограничений gjx = 0 j = 1 m; gjx 0 j = m1 p определяющие множество допустимых решений D. Требуется найти локальный минимум целевой функции на множестве D т. Стратегия поиска Идея метода заключается в сведении задачи на условный минимум к решению последовательности задач поиска безусловного минимума вспомогательной функции: Fx Ck =...
40110. Методы наискорейшего и координатного спуска для минимизации выпуклой функции без ограничений. Их алгоритмы и геометрическая интерпретация 94.5 KB
  Все методы спуска решения задачи безусловной минимизации различаются либо выбором направления спуска, либо способом движения вдоль направления спуска. Решается задача минимизации функции f(x) на всём пространстве Rn. Методы спуска состоят в следующей процедуре построения последовательност
40111. Субградиент как обобщение понятия градиента. Субградиент для функции максимума. Субградиентный метод и его геометрическая интерпретация в R2 141 KB
  Субградиент для функции максимума. Градиентом дифференцируемой функции fx в точке называется вектор частных производных.x0 y0 а значение lim называется частной производной функции f по x в т. Вектор называется субградиентом опорным вектором функции fx в точке если выполняется: Таких с множество но это множество ограничено и замкнуто.
40112. Типичные производственные функции с несколькими ресурсами: линейная ПФ, степенная ПФ, ПФ с постоянными пропорциями. Коэффициенты эффективности использования ресурсов для этих типов функций 162 KB
  Коэффициенты эффективности использования ресурсов для этих типов функций. Производственные возможности н х в любой момент времени определяются 2мя группами факторов: технологические условия производства которые выражают зависимости между затратами разных ресурсов и выпуском продукции объем и качество используемых ресурсов fx производственная функция зависимость результата производства объема выпуска продукции от затрат ресурсов. X = х1 хm вектор затрат ресурсов. ПФ характеризует максимально возможный выпуск продукции при...