22635

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа

Доклад

Физика

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа. функцією Лагранжа системи. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Властивості функції Лагранжа: Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться; Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B з функціями Лагранжа та то система описується функцією Лагранжа .

Украинкский

2013-08-04

80.5 KB

4 чел.

7. Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа.

Згідно принципу найменшої дії (принцип Гамільтона) кожна система описується деякою функцією чи , де - набір координат. Функція  наз. функцією Лагранжа системи.

Нехай система в моменти часу  та  займає положення з набором координат  та . За принципом Гамільтона система рухається так, що інтеграл  (інтеграл дії) є мінімальним (взагалі екстремальним).

Нехай - функція, що дає мінімум .

При заміні  на , де - варіація (мала функція), функція  зростає.

З фіксованості початкової і кінцевої точки маємо граничні умови

З необхідної умови мінімуму  маємо умову, що перша варіація функціонала дії дорівнює нулю: . Розклавши перший інтеграл по степеням  і  та обмежившись лише першими степенями отримаємо умову .

Так як маємо: . Перший член дорівнює нулю в силу граничних умов. В силу довільності   маємо . При наявності ступеней вільності аналогічно отримуємо  рівнянь вигляду , де . Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Маємо систему  рівнянь другого порядку для  невідомих функцій . Для її повного визначення потрібно  констант, тобто значення усіх координат і швидкостей в певний момент часу.

Властивості функції Лагранжа:

  1.  Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться;
  2.  Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B, з функціями Лагранжа  та , то система описується функцією Лагранжа . Причому, при домноженні функції Лагранжа на константу, ці константи для частин системи мають бути однаковими.
  3.  Якщо додати до ф-ції Лагранжа системи повну похідну по часу довільної функції координат і часу то рівняння руху не зміняться. Тобто замінимо  на . Тоді інтеграл дії прийме вигляд: , тобто відмінний на число, що зникає при варіюванні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36008. Европейский и русский сентиментализм. Философские истоки и поэтика 29 KB
  Опирается на философское направление сенсуализм филос течение согласно которому основой чел существа явл чувчства они же лежат в основе чел деятельности и познания. Искусство сеет стремится воздействовать на сферу чувств эмоций человека и перестраивает худ. в лит сентимент меняется жанровая система на 1 план выходят те жанры в которых можно показать чел. Им становится обычный человек главная добродетель которого чувствительность боатая внутренняя жизнь способность сочувствовать отзываться другим людям.
36009. Сатиры А.Д.Кантемира. Проблематика, стиль (анализ Сатира I. На хулящих учение. К уму своему) 36 KB
  Антиох Дмитриевич Кантемир. В литературном наследии Кантемира главное место занимают сатиры. Вследствие своей злободневности сатиры Антиоха Кантемира не издавались при его жизни хотя хорошо были известны в списках. Построение сатир Кантемира обычно единообразно.
36010. Правовые основы природопользования. Российское природоохранное законодательство 36 KB
  Кодекс о недрах 2008 Водный кодекс 1998 в редакции 2009 г.; Кодекс о земле 1999 в редакции [2008 г.; Лесной кодекс 2000 в редакции 2008 г.; Налоговый кодекс 2009; законы: Об охране окружающей среды 1992 в редакции 2009 г.
36011. Понятие о современном русском литературном языке. Литературный язык и его признаки. Разновидности общенационародного языка, лежащие за границами литературного языка 36 KB
  Литературный язык и его признаки. Разновидности общенационародного языка лежащие за границами литературного языка. Понятие о современном русском литературном языке.
36012. Метод обучения 36 KB
  Пятая группа: исследовательские методы. Эти методы предполагали самостоятельную работу учеников направленную на познание информации при помощи индивидуального разрешения проблемы. Сюда входили и методы организации и осуществления познавательной деятельности учащихся через выполнение логических операций. Также сюда входили методы самоуправления учебной деятельности ребят организация их самостоятельной работы.
36013. Тепловые процессы и аппараты 4.31 MB
  Основы передачи тепла и основные закономерности. Перенос энергии в форме тепла, происходящей между телами, имеющими различную температуру, называется теплообменом. Движущей силой любого процесса теплообмена является разность температур более нагретого и менее нагретого тел
36014. Специфика строения и физиологии клеток растений 35.5 KB
  фотосинтез протекает при участии фотосинтезирующих пигментов обладающих уникальным свойством преобразования энергии солнечного света в энергию химической связи в виде аТФ. Строение хлоропласта: во внутренней мембране тилакоидов гран содержатся фотосинтетические пигменты а также белки цепи переноса электронов и молекулы фермента АТФсинтетазы. К ней относятся: поглощение хлорофиллом квантов света образование молекулы АТФ и фотолиз воды. При достижении критической величины разности потенциалов сила электрического поля начинает...
36015. Динамика экосистем. Экологические сукцессии 35.5 KB
  Экологические сукцессии. Затем по мере появления растений растущих более медленно скорость сукцессии снижается. Постепено по мере смыкания крон березы светолюбивые виды характерные для начальных стадий сукцессии начинают исчезать и уступают место теневыносливым. Антропогенные сукцессии сукцессии происходящими в результате воздействия человека на природные экосистемывыпас скота рубка лесов распашка земель.