22635

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа

Доклад

Физика

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа. функцією Лагранжа системи. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Властивості функції Лагранжа: Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться; Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B з функціями Лагранжа та то система описується функцією Лагранжа .

Украинкский

2013-08-04

80.5 KB

4 чел.

7. Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа.

Згідно принципу найменшої дії (принцип Гамільтона) кожна система описується деякою функцією чи , де - набір координат. Функція  наз. функцією Лагранжа системи.

Нехай система в моменти часу  та  займає положення з набором координат  та . За принципом Гамільтона система рухається так, що інтеграл  (інтеграл дії) є мінімальним (взагалі екстремальним).

Нехай - функція, що дає мінімум .

При заміні  на , де - варіація (мала функція), функція  зростає.

З фіксованості початкової і кінцевої точки маємо граничні умови

З необхідної умови мінімуму  маємо умову, що перша варіація функціонала дії дорівнює нулю: . Розклавши перший інтеграл по степеням  і  та обмежившись лише першими степенями отримаємо умову .

Так як маємо: . Перший член дорівнює нулю в силу граничних умов. В силу довільності   маємо . При наявності ступеней вільності аналогічно отримуємо  рівнянь вигляду , де . Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Маємо систему  рівнянь другого порядку для  невідомих функцій . Для її повного визначення потрібно  констант, тобто значення усіх координат і швидкостей в певний момент часу.

Властивості функції Лагранжа:

  1.  Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться;
  2.  Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B, з функціями Лагранжа  та , то система описується функцією Лагранжа . Причому, при домноженні функції Лагранжа на константу, ці константи для частин системи мають бути однаковими.
  3.  Якщо додати до ф-ції Лагранжа системи повну похідну по часу довільної функції координат і часу то рівняння руху не зміняться. Тобто замінимо  на . Тоді інтеграл дії прийме вигляд: , тобто відмінний на число, що зникає при варіюванні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17455. МЕТОДОЛОГИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ 157 KB
  ЛЕКЦИЯ №6. МЕТОДОЛОГИИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРЕДМЕТНОЙ ОБЛАСТИ Методологии моделирования предметной области. Структурная модель предметной области. Объектная структура. Функциональная структура. Структура управления. Организационная структура. Функциональноориентирован
17456. МОДЕЛИРОВАНИЕ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ СРЕДСТВАМИ BPWIN 772 KB
  ЛЕКЦИЯ7. МОДЕЛИРОВАНИЕ БИЗНЕСПРОЦЕССОВ СРЕДСТВАМИ BPWIN. Caseсредства для моделирования деловых процессов. Инструментальная среда BPwin. Принципы построения модели IDEF0: контекстная диаграмма субъект моделирования цель и точка зрения. Диаграммы IDEF0: контекстная диаграмма
17457. МОДЕЛИРОВАНИЕ БИЗНЕС-ПРОЦЕССОВ СРЕДСТВАМИ BPWIN. Стоимостный анализ 346 KB
  ЛЕКЦИЯ №8. МОДЕЛИРОВАНИЕ БИЗНЕСПРОЦЕССОВ СРЕДСТВАМИ BPWIN ЧАСТЬ 2. Стоимостный анализ: объект затрат двигатель затрат центр затрат. Свойства определяемые пользователем UDP. Диаграммы потоков данных Data Flow Diagramming: работы внешние сущности ссылки потоки работ хранилища...
17458. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИС 235.5 KB
  ЛЕКЦИЯ №9. ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ИС.Информационное обеспечение ИС. Внемашинное информационное обеспечение. Основные понятия классификации информации. Понятия и основные требования к системе кодирования информации. Состав и содержание операций проектирования кла
17459. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ 224.5 KB
  ЛЕКЦИЯ №10. МОДЕЛИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ. Моделирование данных. Метод IDEFI. Отображение модели данных в инструментальном средстве ERwin. Интерфейс ERwin. Уровни отображения модели. Создание логической модели данных: уровни логической модели; сущности и атрибуты; ...
17460. Унифицированный язык визуального моделирования Unified Modeling Language (UML) 204 KB
  Лекция №11. Унифицированный язык визуального моделирования Unified Modeling Language UML. Диаграммы в UML. Классы и стереотипы классов. Ассоциативные классы. Основные элементы диаграмм взаимодействия объекты сообщения. Диаграммы состояний: начального состояния конечного состояния...
17461. Этапы проектирования ИС с применением UML 347.5 KB
  Лекция №12 Этапы проектирования ИС с применением UML. Основные типы UMLдиаграмм используемые в проектировании информационных систем. Взаимосвязи между диаграммами. Поддержка UML итеративного процесса проектирования ИС. Этапы проектирования ИС: моделирование бизнеспреце...
17462. Информационное обеспечение (ИО) АИС 95.5 KB
  Информационное обеспечение ИО АИС Цели изучения темы общеобразовательная прочное усвоение знаний об информационном обеспечении ИО АИС; развивающая развитие логического мышления; воспитательная формирование представлений о значении информационного...
17463. История создания и развития автоматизированных информационных систем 87.5 KB
  История создания и развития автоматизированных информационных систем Цели изучения темы общеобразовательная прочное усвоение теоретических основ АИС; развивающая развитие логического мышления; воспитательная формирование представлений об основах АИ...