22635

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа

Доклад

Физика

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа. функцією Лагранжа системи. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Властивості функції Лагранжа: Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться; Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B з функціями Лагранжа та то система описується функцією Лагранжа .

Украинкский

2013-08-04

80.5 KB

7 чел.

7. Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа.

Згідно принципу найменшої дії (принцип Гамільтона) кожна система описується деякою функцією чи , де - набір координат. Функція  наз. функцією Лагранжа системи.

Нехай система в моменти часу  та  займає положення з набором координат  та . За принципом Гамільтона система рухається так, що інтеграл  (інтеграл дії) є мінімальним (взагалі екстремальним).

Нехай - функція, що дає мінімум .

При заміні  на , де - варіація (мала функція), функція  зростає.

З фіксованості початкової і кінцевої точки маємо граничні умови

З необхідної умови мінімуму  маємо умову, що перша варіація функціонала дії дорівнює нулю: . Розклавши перший інтеграл по степеням  і  та обмежившись лише першими степенями отримаємо умову .

Так як маємо: . Перший член дорівнює нулю в силу граничних умов. В силу довільності   маємо . При наявності ступеней вільності аналогічно отримуємо  рівнянь вигляду , де . Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Маємо систему  рівнянь другого порядку для  невідомих функцій . Для її повного визначення потрібно  констант, тобто значення усіх координат і швидкостей в певний момент часу.

Властивості функції Лагранжа:

  1.  Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться;
  2.  Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B, з функціями Лагранжа  та , то система описується функцією Лагранжа . Причому, при домноженні функції Лагранжа на константу, ці константи для частин системи мають бути однаковими.
  3.  Якщо додати до ф-ції Лагранжа системи повну похідну по часу довільної функції координат і часу то рівняння руху не зміняться. Тобто замінимо  на . Тоді інтеграл дії прийме вигляд: , тобто відмінний на число, що зникає при варіюванні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78339. Периодический закон 35.06 KB
  Опирающаяся на периодический закон классификация химических элементов которую Менделеев выразил в форме периодической системы сыграла очень важную роль в изучении свойств химических элементов и дальнейшем развитии учения о строении вещества. В отличие от своих предшественников Менделеев был глубоко убежден что между всеми химическими элементами должна существовать закономерная связь объединяющая их в единое целое и пришел к заключению что в основу систематики элементов должна Эта замечательная закономерность получила свое выражение в...
78340. Теория химического строения 94.09 KB
  При взаимодействии атомов между ними может возникать химическая связь, приводящая к образованию устойчивой многоатомной системы — молекулы, молекулярного нона, кристалла. Чем прочнее химическая связь, тем больше энергии нужно затратить для ее разрыва; поэтому энергия разрыва связи служит мерой ее прочности.
78342. Термохимия. Превращение энергии при химических реакциях 69.35 KB
  Химические реакции протекают с выделением или с поглощением энергии. Наоборот такие реакции как разложение карбоната кальция образование оксида азота II из азота и кислорода требуют для своего протекания непрерывного притока теплоты извне и тотчас же приостанавливаются если нагревание прекращается. Ясно что эти реакции протекают с поглощением теплоты. Выделение теплоты при взаимодействии различных веществ за ставляет признать что эти вещества еще до реакции в скрытой форме обладали определенной энергией.
78343. Кинетика химических реакций 45.02 KB
  Скорость реакции гетерогенных системах. Цепные реакции. Химические реакции протекают с различными скоростями. Некоторые из них полностью заканчиваются за малые доли секунды другие осуществляются за минуты часы дни; известны реакции требующие для своего протекания несколько лет десятилетий и еще более длительных отрезков времени.
78344. Химическое равновесие 36.98 KB
  Необратимые и обратимые химические реакции. Химические реакции можно разбить на две группы: необратимые и обратимые реакции. Необратимые реакции протекают до конца до полного израсходования одного из реагирующих веществ. Обратимые реакции протекают не до конца: при обратимой реакции ни одно из реагирующих веществ не расходуется полностью.
78345. Дисперсные системы. Коллоидные растворы 56.53 KB
  Таким образом одно и то же вещество может находиться в различной степени раздробленности: макроскопически видимые частицы 02 01 мм разрешающая способность глаза микроск пически видимые частицы от 02 01 мм до 400 300 нм разрешающая способность микроскопа при освещении белым светом и отдельные молекулы или ионы. Постепенно складывались представления о том что между миром молекул и микроскопически видимых частиц находится область раздробленности вещества с комплексом новых свойств присущих этой форме организации вещества. Если...
78346. Коррозия металлов. Определение и классификация коррозийных процессов 160.12 KB
  В случае с металлами говоря об их коррозии имеют ввиду нежелательный процесс взаимодействия металла со средой. Физико-химическая сущность изменений которые претерпевает металл при коррозии является окисление металла. Любой коррозионный процесс является многостадийным: Необходим подвод коррозионной среды или отдельных ее компонентов к поверхности металла. Полный или частичный отвод продуктов от поверхности металла в объем жидкости если среда жидкая.
78347. Химические связи. Метод валентных связей 169.26 KB
  Способы образования ковалентной связи. Направленность ковалентной связи. Химические связи химическая связь взаимное притяжение атомов приводящее к образованию молекул и кристаллов.