22635

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа

Доклад

Физика

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа. функцією Лагранжа системи. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Властивості функції Лагранжа: Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться; Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B з функціями Лагранжа та то система описується функцією Лагранжа .

Украинкский

2013-08-04

80.5 KB

3 чел.

7. Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа.

Згідно принципу найменшої дії (принцип Гамільтона) кожна система описується деякою функцією чи , де - набір координат. Функція  наз. функцією Лагранжа системи.

Нехай система в моменти часу  та  займає положення з набором координат  та . За принципом Гамільтона система рухається так, що інтеграл  (інтеграл дії) є мінімальним (взагалі екстремальним).

Нехай - функція, що дає мінімум .

При заміні  на , де - варіація (мала функція), функція  зростає.

З фіксованості початкової і кінцевої точки маємо граничні умови

З необхідної умови мінімуму  маємо умову, що перша варіація функціонала дії дорівнює нулю: . Розклавши перший інтеграл по степеням  і  та обмежившись лише першими степенями отримаємо умову .

Так як маємо: . Перший член дорівнює нулю в силу граничних умов. В силу довільності   маємо . При наявності ступеней вільності аналогічно отримуємо  рівнянь вигляду , де . Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Маємо систему  рівнянь другого порядку для  невідомих функцій . Для її повного визначення потрібно  констант, тобто значення усіх координат і швидкостей в певний момент часу.

Властивості функції Лагранжа:

  1.  Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться;
  2.  Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B, з функціями Лагранжа  та , то система описується функцією Лагранжа . Причому, при домноженні функції Лагранжа на константу, ці константи для частин системи мають бути однаковими.
  3.  Якщо додати до ф-ції Лагранжа системи повну похідну по часу довільної функції координат і часу то рівняння руху не зміняться. Тобто замінимо  на . Тоді інтеграл дії прийме вигляд: , тобто відмінний на число, що зникає при варіюванні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22787. Проведення сталінської політики воєнного-комуністичного штурму в Україні: результати, наслідки. 37.5 KB
  війська Директорії були витіснені і радянська влада встановилася на всій території України крім Західної України. На всій території України вводилася продовольча розкладка: усе зерно крім необхідного для прожиття мінімуму селяни повинні були здавати державі за встановленими державою цінами. Запровадження в Україні воєнного комунізму супроводжувалось різким звуженням суверенітету України. Щоб придушити опір України уряд запровадив політику червоного терору.
22788. Початки колективізації в 1928 р. 45 KB
  Сталін передбачав що реалізація плану зустріне певний опір особливо з боку селян яких мали позбавити землі. Сталін дійшов цього висновку ймовірно під час кризи зернозаготівель 1927 1928 рр. Розлючений непокірністю селян яку він назвав саботажем Сталін вирішує що для виконання п'ятирічки над селянством необхідно встановити як економічний так і політичний контроль. Сам Сталін заявляв: Ніхто не може заперечити того що загальний урожай зерна в 1932 р.
22789. Бюджетно-налоговая политика 175.5 KB
  Понятие фискальной политики. Ее формы и инструменты. Дискреционная фискальная политика. Мультипликатор государственных закупок и налоговый мультипликатор. Автоматическая фискальная политика. Стимулирующая и сдерживающая фискальная политика. Сбалансированный бюджет. Мультипликатор сбалансированного бюджета.
22790. Економічне становище західноукраїнських земель 30.5 KB
  Так 444 виробництва у деревообробній промисловості і 885 у нафтовій контролювали іноземні банки. У промисловості Західної України змінилося тільки те що місце австронімецького капіталу зайняв французький англійський американський. Зайнятість у фабричнозаводській промисловості зменшилася на 4050. У гірничодобувній промисловості й на лісорозробках чисельність робітників зросла але це не змінило загальної картини економічного застою західноукраїнських земель.
22791. Західна України у 1918р. 40.5 KB
  Проголошення Української Народньої Республіки 22 січня 1918 року знайшло гучний відгомін у Західній Україні хоч тоді не можна було думати про конкретне об'єднання всіх українських земель. Коли у вересні 1918 року скапітулювала Болгарія й коли було ясно що АвстроУгорщина захитусться в Галичині почали вживати заходів щоб перебрати владу на випадок розвалу АвстроУгорщини. З початку жовтня 1918 року почали підготовляти політичне управління Галичиною. Взагалі події що відбувалися у вересні жовтні того року в Галичині показують яка...
22792. Входження зх..Укр. земель 32 KB
  земель Перебування роз'єднаних укр. Западноукр. Гітлер розглядав У як майбутній плацдарм у завоюванні СРСР використовував укр. Радянському Союзу передавалися усе західноукр.
22793. Напад Німеччини на СРСР та окупація України 30.5 KB
  ОУН. Виникають 2 фракції: ОУНМ А. Мельник; ОУНБ С. ОУН з радістю зустріли німців бо вважали що німці допоможуть створити незалежну У.
22794. Німецько-фашистський окупаційний режим в Україні 37 KB
  На землях південної України між Дністром і Південним Бугом із центром в Одесі утворено Трансністрію яку разом із Північними Буковиною та Бессарабією передано Румунії. Найбільші підприємства України були поділені між німецькими промисловими магнатами. Жодних законів на захист населення окупованої України не існувало. Керівник рейхс комісаріату Україна Еріх Кох заявив своїм підлеглим у вересні 1941 року: Наше завдання полягає в тому щоб вилучити з України все до чого дійдуть наші руки і в цьому ми не звертатимемо жодної уваги на...
22795. Окупаційний режим та Рух Опору в Україні 30.5 KB
  польські організації; сили ОУН . До початку війни ОУН співробітничала з гітлерівцями у німецькій армії був створений Легіон укр. Прагнення ОУН знайти рівновагу між власними інтересами і цілями фашистів не дали результату. ОУНБ починає формувати армію до якої були включені сили ОУНМ та всі розрізнені загони.