22635

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа

Доклад

Физика

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа. функцією Лагранжа системи. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Властивості функції Лагранжа: Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться; Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B з функціями Лагранжа та то система описується функцією Лагранжа .

Украинкский

2013-08-04

80.5 KB

5 чел.

7. Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа.

Згідно принципу найменшої дії (принцип Гамільтона) кожна система описується деякою функцією чи , де - набір координат. Функція  наз. функцією Лагранжа системи.

Нехай система в моменти часу  та  займає положення з набором координат  та . За принципом Гамільтона система рухається так, що інтеграл  (інтеграл дії) є мінімальним (взагалі екстремальним).

Нехай - функція, що дає мінімум .

При заміні  на , де - варіація (мала функція), функція  зростає.

З фіксованості початкової і кінцевої точки маємо граничні умови

З необхідної умови мінімуму  маємо умову, що перша варіація функціонала дії дорівнює нулю: . Розклавши перший інтеграл по степеням  і  та обмежившись лише першими степенями отримаємо умову .

Так як маємо: . Перший член дорівнює нулю в силу граничних умов. В силу довільності   маємо . При наявності ступеней вільності аналогічно отримуємо  рівнянь вигляду , де . Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Маємо систему  рівнянь другого порядку для  невідомих функцій . Для її повного визначення потрібно  констант, тобто значення усіх координат і швидкостей в певний момент часу.

Властивості функції Лагранжа:

  1.  Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться;
  2.  Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B, з функціями Лагранжа  та , то система описується функцією Лагранжа . Причому, при домноженні функції Лагранжа на константу, ці константи для частин системи мають бути однаковими.
  3.  Якщо додати до ф-ції Лагранжа системи повну похідну по часу довільної функції координат і часу то рівняння руху не зміняться. Тобто замінимо  на . Тоді інтеграл дії прийме вигляд: , тобто відмінний на число, що зникає при варіюванні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42631. Доступ до спільних ресурсів в середовищі Windows XP 958 KB
  Створив папку давши їй назву своє прізвище Ілюстрація. Ілюстрація. Натиснув на кнопку Разрешенията дозволив всім повний доступ Ілюстрація. Встановив автоматичне кешування документівнатиснувши кнопку Кешированиеі в списку вибрав Автоматическое кэширование программ и документов Ілюстрація.
42632. Проект виконується групою, що складається з 3-5 осіб, згідно з варіантом (табл.1). Етапи виконання проекту 64.5 KB
  Завдання для робочих груп 1 Форматування тексту Дано текст що складається з речень розділених крапками. Дано текст. Дано текст. Дано рядок що складається зі слів розділених пробілами.
42634. СТВОРЕННЯ ТА РЕДАГУВАННЯ ПРОГРАМ В ІНТЕГРОВАНИХ СЕРЕДОВИЩАХ ПРОГРАМУВАННЯ 72 KB
  Сьогодні існує широкий набір інтегрованих середовищ програмування які обирає програміст в залежності від мови програмування що він використовує для створення програми. Основними командами даної опції є Open відкриття існуючого файлу New створеня нового файлу для редагування Sve Sve s Sve ll збереження файлу що знаходиться в редакторі на диску з поточною чи новою позначкою або збереження всіх відкритих файлів чи файлів програми та Quit вихід. Для редагування тексту програми використовуються наступні клавіші і комбінації...
42635. Арифметико-логічні основи функціонування компютера 106 KB
  Правила виконання арифметичних операцій над числами з фіксованою крапкою. Завдання 1 Згідно номера варіанта який співпадає з номером студента за списком запишіть десяткові числа 100№ зі знаком плюс та знаком мінус. Обчисліть двійковий код додатнього числа перетворіть отриманий код у вісімкову та шістнадцяткову системи числення виконайте перевірку. Зразок...
42636. Дослідження базових схем підсилюваньних каскадів на біполярних транзисторах 299.5 KB
  Re эмиттерное сопротивление Rl R2 резисторы делителя задающего режим каскада по постоянному току. Особенностью классической схемы каскада с ОБ рис. Для каскада с ОБ: Для каскада с ОЭ: Для каскада с ОК: Проектирование усилителя начинается с определения режима транзистора по постоянному току который называют статическим режимом. В зависимости от тока коллектора транзистора и величины падения напряжения на электродах транзистора усилительного каскада а также от амплитуды входного сигнала различают следующие режимы усиления: режим А;...
42637. ДОСЛİДЖЕННЯ СТАРТСТОПНОГО ТЕЛЕГРАФНОГО ЗВЯЗКУ КОДОМ МТК-2 254.5 KB
  Ознайомитися з особливостями стартстопних кодових комбінацій міжнародного телеграфного коду МТК2. 7 00111 Латиниця 31 11111 N Н 6 00110 Цифри 27 11011 O О 9 3 00011 Пробіл 4 00100 P П 0 13 01101 Кирилиця 0 00000 Символьне повідомлення передавання і приймання якого необхідно здійснити за допомогою стартстопного телеграфного звязку кодом МТК2 задане індивідуально кожному студенту і у табл.2 зазначено: порядковий номер студента № тривалості стартового...
42638. ДОСЛІДЖЕННЯ БІТОВИХ ОПЕРАЦІЙ, ЛОГІЧНИХ ТИПІВ, ЛОГІЧНИХ ОПЕРАЦІЙ ТА ОПЕРАЦІЙ ВІДНОШЕННЯ 163 KB
  Бітові операції дозволяють обробляти цілі дані за допомогою операцій з їх бітовою структурою. Будь-які дані представляються у пам’яті комп’ютеру як ланцюг бітів. Біт – це число, яке може мати тільки одне з двох значень – „0” або „1”.Таблиця 5 № варіанта Мова Операції Значення УЛО1 УЛО2 УЛО3 ОВ1 ОВ2 БЛО B C D Паскаль NOT NOT ND = 7 2 56 56 67 100 46 78 Ci ^ == = 6 2 7 14 7 7 24 1 Паскаль NOT NOT OR = = 3.12 Паскаль NOT ND = = 4 4 23.3 4 Паскаль NOT NOT XOR = 64 15.2 Паскаль NOT ND = = 55 55 12 45 6 10 12 59 Ci ^ = ^ 17.
42639. ДОСЛІДЖЕННЯ ВКАЗІВНИХ ТИПІВ ДАНИХ 71.5 KB
  Значення змінної покажчика може бути присвоєно іншому покажчикові якщо їх типи є ідентичними. Покажчикові може бути присвоєно пусте значення null яке вказує на абстрактний неіснуючий обєкт. Розіменування дозволяє отримати доступ до значення обєкту на якій вказує покажчик. Розмір значення змінної залежить від її типу.