22635

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа

Доклад

Физика

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа. функцією Лагранжа системи. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Властивості функції Лагранжа: Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться; Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B з функціями Лагранжа та то система описується функцією Лагранжа .

Украинкский

2013-08-04

80.5 KB

4 чел.

7. Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа.

Згідно принципу найменшої дії (принцип Гамільтона) кожна система описується деякою функцією чи , де - набір координат. Функція  наз. функцією Лагранжа системи.

Нехай система в моменти часу  та  займає положення з набором координат  та . За принципом Гамільтона система рухається так, що інтеграл  (інтеграл дії) є мінімальним (взагалі екстремальним).

Нехай - функція, що дає мінімум .

При заміні  на , де - варіація (мала функція), функція  зростає.

З фіксованості початкової і кінцевої точки маємо граничні умови

З необхідної умови мінімуму  маємо умову, що перша варіація функціонала дії дорівнює нулю: . Розклавши перший інтеграл по степеням  і  та обмежившись лише першими степенями отримаємо умову .

Так як маємо: . Перший член дорівнює нулю в силу граничних умов. В силу довільності   маємо . При наявності ступеней вільності аналогічно отримуємо  рівнянь вигляду , де . Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Маємо систему  рівнянь другого порядку для  невідомих функцій . Для її повного визначення потрібно  констант, тобто значення усіх координат і швидкостей в певний момент часу.

Властивості функції Лагранжа:

  1.  Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться;
  2.  Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B, з функціями Лагранжа  та , то система описується функцією Лагранжа . Причому, при домноженні функції Лагранжа на константу, ці константи для частин системи мають бути однаковими.
  3.  Якщо додати до ф-ції Лагранжа системи повну похідну по часу довільної функції координат і часу то рівняння руху не зміняться. Тобто замінимо  на . Тоді інтеграл дії прийме вигляд: , тобто відмінний на число, що зникає при варіюванні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6902. Правознавство. Основи державного (конституційного) права України 1.37 MB
  Лекція 1. Основи державного (конституційного) права України ПЛАН Загальна характеристика держави. Державний суверенітет. Поняття і риси правової держави. Форми держави. Загальна характеристика права. Поняття норм права. Джере...
6903. Економіка та організація виробництва. Опорні конспекти 618 KB
  Підприємство, як субєкт господарювання. Визначення, мета і напрямки діяльності підприємства. Вплив зовнішнього оточення на діяльність підприємств. Класифікація підприємств. Порядок створення і ліквідація підприємств. В...
6904. Суеверие голубя 59.5 KB
  Суевериеголубя Сказать, что подкрепление это стимул на ответные реакции, значит сказать ничего более чем то, что он следует за ответной реакцией. Он может следовать из-за некоторых механических связей или из-за посредничества другого механизма...
6905. Нужны ли теории научения 652.5 KB
  Нужны ли теории научения В своей работе 1950 г. Скиннер задался вопросом - Нужны ли теории научения? и предположил, что нет. Он определил понятие слова теория. Оно означало "любое объяснение наблюдаемого факта, апеллирующее к событиям, происх...
6906. Электромагнитное поле. Полная система уравнений электромагнитного поля в дифференциальной и интегральной форме. Волновое уравнение 28.22 KB
  Электромагнитное поле. Полная система уравнений электромагнитного поля в дифференциальной и интегральной форме. Волновое уравнение. Электромагнитное поле - это совокупность электрических и магнитных полей, которые могут переходить друг в друга...
6907. Визначення питомого заряду електрону методом магнетрону 276.5 KB
  Визначення питомого заряду електрону методом магнетрону Мета роботи - вивчення одного з методів визначення питомого заряду електрону, який базується на рухові заряджених частинок під дією однорідного магнітного і радіального електричного полів,...
6908. Дослідження електричних полів 279.5 KB
  Дослідження електричних полів Мета роботи: користуючись методом електролітичної ванни визначити еквіпотенціальні поверхні та силові лінії електричного поля між електродами різної конфігурації, розрахувати траєкторію руху пучка електронів. Зміст робо...
6909. Термоелектронна емісія 387 KB
  Термоелектронна емісія Мета роботи: дослідження явища термоелектронної емісії на основі циліндричного вакуумного діода та його вольт-амперних характеристик перевірка закону трьох других та визначення питомого заряду електрона визначення роботи ...
6910. Дослідження плазми газового розряду 410.5 KB
  Дослідження плазми газового розряду Мета роботи: визначення основних параметрів плазми (температури електронного газу і концентрації електронів) методом електричних зондів Ленгмюра. Зміст роботи і завдання 1. Для трьох - п’яти різних значе...