22635

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа

Доклад

Физика

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа. функцією Лагранжа системи. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Властивості функції Лагранжа: Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться; Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B з функціями Лагранжа та то система описується функцією Лагранжа .

Украинкский

2013-08-04

80.5 KB

3 чел.

7. Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа.

Згідно принципу найменшої дії (принцип Гамільтона) кожна система описується деякою функцією чи , де - набір координат. Функція  наз. функцією Лагранжа системи.

Нехай система в моменти часу  та  займає положення з набором координат  та . За принципом Гамільтона система рухається так, що інтеграл  (інтеграл дії) є мінімальним (взагалі екстремальним).

Нехай - функція, що дає мінімум .

При заміні  на , де - варіація (мала функція), функція  зростає.

З фіксованості початкової і кінцевої точки маємо граничні умови

З необхідної умови мінімуму  маємо умову, що перша варіація функціонала дії дорівнює нулю: . Розклавши перший інтеграл по степеням  і  та обмежившись лише першими степенями отримаємо умову .

Так як маємо: . Перший член дорівнює нулю в силу граничних умов. В силу довільності   маємо . При наявності ступеней вільності аналогічно отримуємо  рівнянь вигляду , де . Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Маємо систему  рівнянь другого порядку для  невідомих функцій . Для її повного визначення потрібно  констант, тобто значення усіх координат і швидкостей в певний момент часу.

Властивості функції Лагранжа:

  1.  Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться;
  2.  Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B, з функціями Лагранжа  та , то система описується функцією Лагранжа . Причому, при домноженні функції Лагранжа на константу, ці константи для частин системи мають бути однаковими.
  3.  Якщо додати до ф-ції Лагранжа системи повну похідну по часу довільної функції координат і часу то рівняння руху не зміняться. Тобто замінимо  на . Тоді інтеграл дії прийме вигляд: , тобто відмінний на число, що зникає при варіюванні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24991. Состав ядра атома. Изотопы. Энергия связи ядра атома. Цепная ядерная реакция, условия ее осуществления. Термоядерные реакции 26 KB
  Энергия связи ядра атома. Состав ядра атома. Энергия связи атомного ядра.
24992. Механическое движение Относительность движения, Система отсчета, Материальная точка, Траектория. Путь и перемещение. Мгновенная скорость. Ускорение. Равномерное и равноускоренное движение 33 KB
  Мгновенная скорость. Скорость векторная физическая величина характеризующая быстроту перемещения тела численно равная отношению перемещения за малый промежуток времени к величине этого промежутка. Промежуток времени считается достаточно малым если скорость в течении этого промежутка не менялась. Измеряют скорость спидометром.
24993. Взаимодействие тел. Сила. Второй закон Ньютона 39 KB
  Сила. Сила. В простейших случаях взаимодействия количественной характеристикой является сила. Сила причина ускорения тел по отношению к инерциальной системе отсчета или их деформации.
24994. Импульс тела. Закон сохранения импульса в природе и технике 137.5 KB
  Импульс тела. Простые наблюдения и опыты доказывают что покой и движение относительны скорость тела зависит от выбора системы отсчета; по второму закону Ньютона независимо от того находилось ли тело в покое или двигалось изменение скорости его движения может происходить только при действии силы т. в результате взаимодействия с другими телами.
24995. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести. Вес тела. Невесомость 52.5 KB
  Вес тела. Вес тела перегрузки. Исаак Ньютон выдвинул предположение что между любыми телами в природе существуют силы взаимного притяжения. гравитационная постоянная равна силе с которой притягиваются два тела по 1 кг на расстоянии 1 м.
24996. Превращение энергии при механических колебаниях. Свободные и вынужденные колебания. Резонанс 38.5 KB
  Свободные и вынужденные колебания. Свободные колебания. Вынужденные колебания.
24997. Основные этапы становления информационного общества. Информационные ресурсы государства, их структура. Образовательные информационные ресурсы 75.5 KB
  Информационные ресурсы государства их структура. Образовательные информационные ресурсы. Развитие новых информационных технологий и их быстрое проникновение во все сферы жизни породило новое направление в современной информатике социальная информатика включающее в себя следующую проблематику: информационные ресурсы как фактор социальноэкономического и культурного развития общества; закономерности и проблемы становления информационного общества; развитие личности в информационном обществе; информационная культура; информационная...
24998. Клавиатура (Keyboard) 31.69 KB
  Принцип действия клавиатуры Основным элементом клавиатуры являются клавиши. Сигнал при нажатии клавиши регистрируется контроллером клавиатуры и передается в виде так называемого скэнкода на материнскую плату. На материнской плате ПК для подключения клавиатуры также используется специальный контроллер. Когда скэнкод поступает в контроллер клавиатуры инициализируется аппаратное прерывание процессор прекращает свою работу и выполняет процедуру анализирующую скэнкод.
24999. Принцип работы модемов 62.47 KB
  Современные модемы обеспечивают гораздо большую скорость передачи данных. Применяемые в них протоколы передачи данных и коррекции ошибок обеспечивают надежную связь даже на не очень хороших телефонных линиях. В процессе передачи компьютерных данных по большинству линий связи выполняется двойное их ' преобразование: поток данных из компьютера побайтно преобразуется в последовательность отдельных бит которая далее превращается в сигнал при годный для передачи по телефонным линиям. Принимаемые данные претерпевают обратное преобразование: из...