22635

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа

Доклад

Физика

Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа. функцією Лагранжа системи. Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Властивості функції Лагранжа: Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться; Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B з функціями Лагранжа та то система описується функцією Лагранжа .

Украинкский

2013-08-04

80.5 KB

3 чел.

7. Принцип найменшої дії та рівняння Лагранжа.

Згідно принципу найменшої дії (принцип Гамільтона) кожна система описується деякою функцією чи , де - набір координат. Функція  наз. функцією Лагранжа системи.

Нехай система в моменти часу  та  займає положення з набором координат  та . За принципом Гамільтона система рухається так, що інтеграл  (інтеграл дії) є мінімальним (взагалі екстремальним).

Нехай - функція, що дає мінімум .

При заміні  на , де - варіація (мала функція), функція  зростає.

З фіксованості початкової і кінцевої точки маємо граничні умови

З необхідної умови мінімуму  маємо умову, що перша варіація функціонала дії дорівнює нулю: . Розклавши перший інтеграл по степеням  і  та обмежившись лише першими степенями отримаємо умову .

Так як маємо: . Перший член дорівнює нулю в силу граничних умов. В силу довільності   маємо . При наявності ступеней вільності аналогічно отримуємо  рівнянь вигляду , де . Ці рівняння називаються рівняннями Лагранжа. Маємо систему  рівнянь другого порядку для  невідомих функцій . Для її повного визначення потрібно  констант, тобто значення усіх координат і швидкостей в певний момент часу.

Властивості функції Лагранжа:

  1.  Якщо домножити функцію Лагранжа на деяку константу вигляд рівнянь руху не зміниться;
  2.  Якщо система складається з двох не взаємодіючих частин A і B, з функціями Лагранжа  та , то система описується функцією Лагранжа . Причому, при домноженні функції Лагранжа на константу, ці константи для частин системи мають бути однаковими.
  3.  Якщо додати до ф-ції Лагранжа системи повну похідну по часу довільної функції координат і часу то рівняння руху не зміняться. Тобто замінимо  на . Тоді інтеграл дії прийме вигляд: , тобто відмінний на число, що зникає при варіюванні.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

2245. Основы религиоведения 1.52 MB
  Религия как общественное явление. Происхождение религии и ее ранние формы. Социальное учение мировых религий. Государственно-церковные отношения. Эволюция религии в современном мире.
2246. Проектирование подстанции 1.29 MB
  Выбор аппаратуры и токоведущих частей подстанции. Расчет максимальных рабочих токов основных присоединений подстанции. Выбор и проверка аппаратуры и токоведущих частей. Расчетная схема подстанции. Проверка токоведущих частей, изоляторов и аппаратуры по результатам расчёта токов к.з.
2247. Расчет симметричных и несимметричных коротких замыканий в электроэнергетической системе 695.23 KB
  Расчет реактивных сопротивлений в именованных единицах приближенным методом. Расчет реактивных сопротивлений в относительных единицах точным методом. Построение векторных диаграмм токов и напряжений. Расчет симметричных КЗ в точке K4. Построение векторных диаграмм токов и напряжений
2248. Эффективность разработки электронного изделия 530.79 KB
  Определение затрат на материалы и комплектующие изделия. Определение основных показателей технологичности. Технико-экономические расчёты по определению ресурсов. Разработка сетевого графика технической подготовки производства нового изделия. Определение технико-экономических показателей производства.
2249. Разработка организационной структуры управления объектом сферы услуг, как целеустремленной системой на примере блинной Солнцепек 143.39 KB
  Теоретические основы методологии системного анализа. Системный анализ и моделирование объекта исследования. Предложения по совершенствованию устойчивости функционирования системы.
2250. Проектирование понизительной подстанции электроснабжения электрифицированной железной дороги. 1.13 MB
  Распределительное устройство 110 кВ промежуточной транзитной подстанции. Составление расчетной схемы и схемы замещения. Расчёт токов короткого замыкания. Выбор основного оборудования и токоведущих элементов подстанции. Выбор устройств защиты от перенапряжения.
2251. Сервисный центр по ремонту и обслуживанию офисной техники с использованием средств Microsoft Access 991.23 KB
  Описание бизнес-процесса при помощи методологии структурного анализа и проектирования (SADT). Создание форм с помощью конструктора. Структура таблицы и типы данных.
2252. Мероприятие: В стране невыученных уроков 19.84 KB
  Внеклассное мероприятие посвященное ко дню учителя, отображающее учеников которые не хотят учить уроки.
2253. Экономическая теория прав собственности 16.42 KB
  Современная экономическая теория получила развитие направление называемое неоинституционализм. Одним из важнейших направлений этого подхода является экономическая теория прав собственности. У истоков стоял такой известнейший экономист Рональд Коуз.