22848

ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТВЕРДОГО ТІЛА

Лабораторная работа

Физика

Дійсно сили що тримають атоми у вузлах ґратки малі і тому достатньо вже теплової енергії самих атомів аби змістити їх з положення рівноваги. До поняття про коливання атомів твердого тіла можна дійти шляхом аналізу природи міжатомних сил. Положення рівноваги атомів визначається з умови рівності сил притягання і відштовхування діючих на атом. Якщо змінюється відстань тільки відносно одного з атомів то енергію Wx треба...

Украинкский

2013-08-04

340.5 KB

2 чел.

РОБОТА №13

ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТВЕРДОГО ТІЛА

Вступ

В ідеальній кристалічній ґратці атоми повинні були б займати її вузли. Однак жоден кристал не є абсолютно жорстким, оскільки його можна деформувати. Дійсно, сили, що тримають атоми у вузлах ґратки, малі і, тому, достатньо вже теплової енергії самих атомів, аби змістити їх з положення рівноваги.  

                                            

Рис. 1. Залежність потенціальної енергії атома від відстані між атомами (У стані рівноваги в твердому тілі відстані між атомами відповідають мінімальній енергії).

Теоретичні відомості         

Теплові коливання кристалічної гратки.                                                                                                                 

До поняття про коливання атомів твердого тіла можна дійти шляхом аналізу природи міжатомних сил. Положення рівноваги атомів визначається з умови рівності сил притягання і відштовхування, діючих на атом.

В рівновазі потенціальна енергія твердого тіла повинна бути мінімальна. На рис. 1 показана залежність такого типу. При більших міжатомних відстанях (тобто при більшому об’ємі, в якому знаходяться атоми) потенціальна енергія умовно приймається рівною нулю, оскільки за цих умов атоми не взаємодіють один з одним. В міру зменшення відстані між атомами потенціальна енергія зменшується. Таке зменшення цілком очевидне, так як тверді тіла існують і за відсутності зовнішніх стискаючих сил, і такому стану повинен відповідати мінімум потенціальної енергії. При досягненні деякої відстані r0 потенціальна енергія швидко зростає із зменшенням r, що пов’язано з наявністю короткодіючих сил відштовхування і що приводить до кінцевого значення густини твердих тіл.

Найбільш важлива ділянка кривої W(r) знаходиться поблизу точки мінімуму, де результуюча сила взаємодії атома зі своїми сусідами дорівнює нулю. Нехай всі атоми жорстко закріплені на своїх місцях, а один єдиний атом зміщується відносно своїх сусідів в напрямку осі Х на відстань u, тоді вздовж осі Х виникнуть неврівноважені сили (вони відповідають стиску й розтягу “пружин” на рис. 2).

Крива рис.1 показує зміну енергії із зміною відстані між ним і всіма сусідніми атомами. Якщо змінюється відстань тільки відносно одного з атомів, то енергію W(x) треба розділити на z, де z – число найближчих сусідів (тут припускається, що взаємодія з не найближчими сусідами дуже мала). Зміна енергії  пов’язана із зміною координати атома від x0 до x рівна:

  (1),

де u=x-x0. Перший член цього рівняння характеризує енергію зв’язку з лівим сусідом, другий – з правим, третій – подвоєне значення енергії зв’язку в стані рівноваги.

           Функцію W(x) поблизу мінімуму можна розкласти в ряд Тейлора. Тоді загальна зміна енергії атома і його сусідів при малих зміщеннях складає:

                                                      (2) 

Виходячи з закону зміни потенціальної енергії, можна розглядати атом, що знаходиться у вузлі кристалічної гратки, як гармонічний осцилятор, тобто атом у вузлі ґратки здійснює гармонічні коливання. (Цей висновок правильний  тільки для першого наближення). Сила f, що діє на кожний атом є функцією його зміщення (згідно з законом Гука,  який тут можна розглядати тільки в першому наближенні).            

                  (3)

           Прискорення, отримане атомом під дією сили f :

         ,       

тоді                 ,                                                                 (4)

де m – маса атома. Розв’язок рівняння (4) має вигляд:

u=Acos(t)                                  (5)

Частоту E, означену в рівнянні (6), називають ейнштейнівською частотою. Значення цієї частоти для елементів середньої частини таблиці Менделєєва наближається до 1013 Гц.

Звичайно, зроблене вище припущення про непорушність всіх атомів, крім одного, неправдиве. При аналізі всіх можливих рухів атомів і атомних груп був отриманий цілий спектр значень , починаючихся з E і зменшуючихся впритул до основної частоти акустичних коливань в твердому тілі.

Ангармонійність теплових коливань. Теплове розширення.

Зміна розмірів твердих тіл пов’язана з відмінністю в законі сил притягання і відштовхування при зміщенні атомів з положення рівноваги. Крива потенціальної енергії має асиметричний вигляд (мал. 1), відносно вертикальної лінії, що проходить через положення рівноваги. При зближенні атомів енергія сил відштовхування звичайно зростає швидше, ніж енергія сил притягання за відповідного зміщення атомів. Із збільшенням амплітуди теплових коливань атомів в кристалі мінімальна відстань змінюється мало, а максимальна може досить сильно збільшитися. Таким чином при нагріванні відбувається збільшення середньої відстані між атомами, тобто розширення тіла.

В деяких тілах можна уявити зворотній хід асиметрії потенціальної енергії. Такі тіла при нагріванні будуть стискатися. В тому випадку, якщо крива W(r) симетрична поблизу мінімуму, зміна розмірів тіл при зміні температури не відбувається. Нижню частину кривої W(r) (поблизу r0) можна досить точно вважати симетричною параболою, тобто при малих зміщеннях атомів з положення рівноваги, що здійснюється поблизу температури абсолютного нуля, коефіцієнт теплового розширення прямує до нуля.

Розрахунок коефіцієнта теплового розширення.

За низьких температур коливання можна вважати гармонічними. Тобто силу, що повертає, силою гуковською, а потенційну енергію, залежну від координати – параболічною. При підвищенні температури коливання атомів стають ангармонічними і в законі Гука з’являються нелінійні члени. Якщо обмежитися двома членами, закон Гука матиме вигляд:

       f(u)=u-u2;   (>0, >0)            (7)

Тепер у виразі для потенціальної енергії з’явиться кубічний член

                                  (8)

Візьмемо лінійний ланцюжок зв’язаних осциляторів (рис. 2). Число атомів, що мають в середньому за час зміщення u, визначається розподілом Больцмана. Тобто, зміщення u в системі осциляторів має вигляд  

                   Uexp[-].

Середнє зміщення означимо так:

                             (9)

Розкладемо гармонічний член експоненціального множника в ряд:

   exp(

Враховуючи, що енергія ангармонічної поправки в порівнянні з тепловою енергією мала: , в знаменнику (9) обмежимось першим членом розкладу, а в чисельнику візьмемо два перших члена розкладу. Якщо в чисельнику обмежимось першим членом , то отримаємо непарну функцію u, для якої =0. Це показує, що в системі гармонічних осциляторів рівноважний стан між частинками не залежить вад температури і, як наслідок, термічний коефіцієнт розширення дорівнює нулю.

При зроблених наближеннях формула (9) набуває вигляду:

;    (10)

Для інтегрування скористаємося інтегралом Пуассона;                                                                (11)

після диференціювання обох частин якого по параметру  двічі, отримаємо вираз

                                      (12)

Після інтегрування (10), отримаємо

     (13)

Відносне видовження ланцюжка з розрахунку на одну міжатомну відстань x0 дорівнює:

;     (14)

Нагадаємо, що коефіцієнт лінійного термічного розширення вводять згідно з формулою

     (15)

Таким чином, коефіцієнт лінійного розширення, отриманий з мікроскопічних уявлень дорівнює

            (16)

Знак коефіцієнта визначається знаком . Це означає, що якщо асиметрія кривої потенціальної енергії така, що при зближенні частинок енергія зростає швидше, ніж при їх віддаленні, то >0 і нагрівання призводить до розширення. В протилежному випадку <0 і тіла стискаються.

Розкладемо потенціальну енергію взаємодії частинок в ряд Тейлора:

W(x)=W(                                                                            (17)

При рівновазі . Порівнюючи (8) і (17), знаходимо:

                     (18)

Параметр можна виразити на основі розгляду пружного розтягу, віднесеного до  однієї елементарної комірки:

           F= тобто =Ex0;           (19)

Тут Е – модуль Юнга. Підставляючи значення  з формули (18) і  з (19) в формулу (16), отримаємо вираз для коефіцієнта лінійного розширення:

,

де x0 - міжатомна відстань в ґратці, k – стала Больцмана, NA - число Авогадро, Vm=x03NA - об’єм, що має кіломоль речовини, R=kNA  - універсальна газова стала [R=8,31103Дж/кмольК].

Опис методу

Опис установки і методика проведення вимірювань.

Експериментальна установка складається з трубчастої печі, що знаходиться в корпусі, на яку з трансформатору подається напруга. На кронштейні  над піччю  закріплена кварцева трубка з мікрометром, в якій розташовані дослідний зразок відомих розмірів та кварцевий стрижень, один кінець якого впирається в зразок , а інший   – в щуп мікрометра. Визначення зміни довжини зразка проводиться за допомогою термопари з потенціометром сталого струму (градуювальний графік для термопари додається).

Порядок виконання роботи.

  1.  Вставити зразок (мідь, l0=10мм.) у піч.
  2.  Встановити нуль шкали мікрометра навпроти індикаторної стрілки. Ввімкнути трансформатор в електричну мережу. Встановити на трансформаторі напругу 100V для забезпечення рівноважного процесу досягнення певної температури  зразка і збільшувати напругу поступово до максимального значення 150V.
  3.  Записувати покази потенціометру (значення термо-е.р.с., яка  виникає в термопарі) при відхиленні стрілки мікрометра на одну поділку.(Ціна поділки мікрометра 0.01мм).
  4.  Нагрівати зразок до температури, при якій видовження зразка становитиме 0.06-0.07 мм (тобто стрілка мікрометра повинна відхилятися від нуля на 6-7 поділок відповідно).
  5.  Отримані дані занести до таблиці.

Δl 0.01мм

Е.р.с. сер. нагрів,

mV

, нагрів.

Е.р.с. сер. охолодження,

mV

, охолодж.

α

 

  1.  За отриманими експериментальними даними розрахувати температурну залежність коефіцієнта лінійного розширення за формулами:

;

                                          

……………………………………..

- покази мікрометра при температурі .

  1.  Побудувати графік залежності від середньої температури.
  2.  Знайти об’єм кіломоля досліджуваної речовини (міді) за формулою:        

                                          Vm, (модуль Юнга Е=1,11011 H/м2).

  1.  З формули Vm=NAx03, де x0 - сторона куба елементарної комірки (міжатомна відстань для речовин кубічної сингонії), знайти x0.
  2.  За формулою (19) визначити .
  3.  За формулою (18) визначити .
  4.  Побудувати графік залежності W від х.
  5.  Виконати аналіз точності методу та отриманих результатів.

Контрольні запитання

1. Яким треба вважати осцилятор – класичним чи квантовим при розгляді теплового розширення твердих тіл?

2.  Що таке фонон?

3.  Чим обумовлене теплове розширення твердих тіл?

4.  Як пояснити стисливість деяких (в деякому температурному інтервалі) при нагріванні?

Література

  1.  Г. И. Епифанов. Физика твёрдого тела. М. Высшая школа. 1977.
  2.  Ч. Киттель. Введение в физику твёрдого тела. М. Физматгиз 1963.
  3.  Г. С. Жданов. Физика твёрдого тела. М. Издат. Московского университета. 1962.

W

r0

Рис. 2. Коливання одного з атомів кристалічної гратки по відношенню до всіх інших атомів. u – зміщення атома з положення рівноваги.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

45553. Бренд и брендбилдинг 39.5 KB
  Брендинг – это процесс создания и продвижения бренда с пом.: создание усиление репозиционирование обновление и изменение стадии развития бренда его расширение и углубление. Основной метод формирования бренда: позиционирование товара на рынке – определение на основе марк. Бренд – это обещание на 4 уровнях: гарантия соотия обещанных и ожидаемых характеристик; обещание решить стоящую проблему; обещание предоставить ценность существенную для клиента; востребованный результат деятсти бренда – згачимые переживания.
45554. Ценности внутреннего PR-а 59.5 KB
  Правильно выстроенные коммуникации с целевыми группами общественности позволяют организации создать не только позитивный имидж компании но добиться максимального эффекта от деятельности. Рассматривая целевые группы общественности мы зачастую забываем что помимо таких важных групп как потребители клиенты акционеры конкуренты СМИ органы власти существует и еще одна общность чье отношение к деятельности компании может стать буквально решающим для успеха всей ее деятельности. Эта общность – сотрудники компании. Тем не менее в...
45555. Формирование корпоративной культуры 68 KB
  Формирование корпоративной культуры Формирование КК и философии организации Под корпорацией мы понимаем организацию или группу организаций объединенных общими и формализованными главным образом экономическими а также социальными политическими и иными интересами. Корпоративная культура специфическая характерная для данной организации система связей взаимодействий и отношений осуществляющихся в рамках конкретной предпринимательской деятельности способа постановки и ведения дела А. Понятие корпоративная культура включает комплекс...
45556. Корпоративная философия, миссия, видение и кредо организации 30 KB
  Корпоративная философия – комплекс принимаемых организаций и разделяемых её сотрудниками концептуальных и смысловых принципов доминирующих ценностей понятий и убеждений; методологические принципы лежащие в основе политики фирмы. Результат продуманной стратегии развития фирмы и фиксирся в виде основн.сввах фирмы оргции: виде деятсти особенностях полезности – соц.общсти; потребности клиентов удовлетворяемые продукцией фирмы; отличит.
45557. Инструменты внутрикорпоративного PR 42.5 KB
  Система внутрифирменной информации общественности: Кодекс Издания листовка газета бюллетень Аудивизуальные средства радио ТВ видеоролики Доски объявлений текущие новости Горящие линии Ящики обратной связи Собрания персонала Семинары конференции Каналы личной коммуникации неформальные слухи межличностное общение Командообразовательные программы: Мотивация Тренинги Традиции и символика Проведение специальных корпоративных мероприятий В современном менеджменте управление людьми осуществляется прежде всего...
45558. Репутационный менеджмент: понятие и технологии 37.5 KB
  Долгое время под стратегией компании понимались усилия менеджеров исключительно по управлению ресурсами. В условиях перенасыщения рынков обострилась конкурентная борьба одним из условий финансового успеха компании стала ее репутация в деловых кругах. И только когда мировые рынки насытились однотипными качественными товарами на первый план стали выходить так называемые нематериальные активы стоимости компании: деловая репутация репутация бренда репутация руководителей и топменеджеров качественная стратегия и система эффективных...
45559. Понятие PR-кампании 76 KB
  Понятие PRкампании PRкампания это целенаправленная системно организованная и завершенная совокупность PRопераций и обеспечивающих их мероприятий объединенных общим стратегическим замыслом направленная на решение конкретной проблемы организации базисного субъекта PR и осуществляемая технологическим субъектом субъектами PR на определенном этапе деятельности организации. Объектом PRкампании является сознание и поведение членов целевых аудиторий организации функционирующих в рамках конкретной проблемной ситуации. Роджерсу...
45560. Принципы планирования PR-кампании, основные этапы планирования: общая характеристика 50 KB
  Принципы планирования PRкампании основные этапы планирования: общая характеристика. PRкампания – это целенаправленная системно организованная и завершенная совокупность PRопераций и обеспечивающих их мероприятий объединенных общим стратегическим замыслом направленная на решение конкретной проблемы организации базисного субъекта PR Основные этапы PRкампании: Аналитический этап – Что делать Планирование – Как делать Реализация – Как делаем Оценка PRкампании – Как сделать Можно опустить 1 и 4 этап т. АНАЛИТИЧЕСКИЙ ЭТАП...
45561. Специальные PR-мероприятия: виды и специфика проведения 85 KB
  Специальные мероприятия Specil Event – это события проводимые компаниями в целях привлечения внимания общественности к самой компании ее деятельности продуктам и услугам. БРИФИНГ короткая сжатая во времени инструктивная встреча руководства компании с журналистами с приглашением представителей органов государственной власти. 1 по цели проведения события: рабочие обучающие семинары конгрессы; информативные облеченные при этом в развлекательную форму выпуск первой партии товара награждение миллионного покупателя день...