22848

ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТВЕРДОГО ТІЛА

Лабораторная работа

Физика

Дійсно сили що тримають атоми у вузлах ґратки малі і тому достатньо вже теплової енергії самих атомів аби змістити їх з положення рівноваги. До поняття про коливання атомів твердого тіла можна дійти шляхом аналізу природи міжатомних сил. Положення рівноваги атомів визначається з умови рівності сил притягання і відштовхування діючих на атом. Якщо змінюється відстань тільки відносно одного з атомів то енергію Wx треба...

Украинкский

2013-08-04

340.5 KB

2 чел.

РОБОТА №13

ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТВЕРДОГО ТІЛА

Вступ

В ідеальній кристалічній ґратці атоми повинні були б займати її вузли. Однак жоден кристал не є абсолютно жорстким, оскільки його можна деформувати. Дійсно, сили, що тримають атоми у вузлах ґратки, малі і, тому, достатньо вже теплової енергії самих атомів, аби змістити їх з положення рівноваги.  

                                            

Рис. 1. Залежність потенціальної енергії атома від відстані між атомами (У стані рівноваги в твердому тілі відстані між атомами відповідають мінімальній енергії).

Теоретичні відомості         

Теплові коливання кристалічної гратки.                                                                                                                 

До поняття про коливання атомів твердого тіла можна дійти шляхом аналізу природи міжатомних сил. Положення рівноваги атомів визначається з умови рівності сил притягання і відштовхування, діючих на атом.

В рівновазі потенціальна енергія твердого тіла повинна бути мінімальна. На рис. 1 показана залежність такого типу. При більших міжатомних відстанях (тобто при більшому об’ємі, в якому знаходяться атоми) потенціальна енергія умовно приймається рівною нулю, оскільки за цих умов атоми не взаємодіють один з одним. В міру зменшення відстані між атомами потенціальна енергія зменшується. Таке зменшення цілком очевидне, так як тверді тіла існують і за відсутності зовнішніх стискаючих сил, і такому стану повинен відповідати мінімум потенціальної енергії. При досягненні деякої відстані r0 потенціальна енергія швидко зростає із зменшенням r, що пов’язано з наявністю короткодіючих сил відштовхування і що приводить до кінцевого значення густини твердих тіл.

Найбільш важлива ділянка кривої W(r) знаходиться поблизу точки мінімуму, де результуюча сила взаємодії атома зі своїми сусідами дорівнює нулю. Нехай всі атоми жорстко закріплені на своїх місцях, а один єдиний атом зміщується відносно своїх сусідів в напрямку осі Х на відстань u, тоді вздовж осі Х виникнуть неврівноважені сили (вони відповідають стиску й розтягу “пружин” на рис. 2).

Крива рис.1 показує зміну енергії із зміною відстані між ним і всіма сусідніми атомами. Якщо змінюється відстань тільки відносно одного з атомів, то енергію W(x) треба розділити на z, де z – число найближчих сусідів (тут припускається, що взаємодія з не найближчими сусідами дуже мала). Зміна енергії  пов’язана із зміною координати атома від x0 до x рівна:

  (1),

де u=x-x0. Перший член цього рівняння характеризує енергію зв’язку з лівим сусідом, другий – з правим, третій – подвоєне значення енергії зв’язку в стані рівноваги.

           Функцію W(x) поблизу мінімуму можна розкласти в ряд Тейлора. Тоді загальна зміна енергії атома і його сусідів при малих зміщеннях складає:

                                                      (2) 

Виходячи з закону зміни потенціальної енергії, можна розглядати атом, що знаходиться у вузлі кристалічної гратки, як гармонічний осцилятор, тобто атом у вузлі ґратки здійснює гармонічні коливання. (Цей висновок правильний  тільки для першого наближення). Сила f, що діє на кожний атом є функцією його зміщення (згідно з законом Гука,  який тут можна розглядати тільки в першому наближенні).            

                  (3)

           Прискорення, отримане атомом під дією сили f :

         ,       

тоді                 ,                                                                 (4)

де m – маса атома. Розв’язок рівняння (4) має вигляд:

u=Acos(t)                                  (5)

Частоту E, означену в рівнянні (6), називають ейнштейнівською частотою. Значення цієї частоти для елементів середньої частини таблиці Менделєєва наближається до 1013 Гц.

Звичайно, зроблене вище припущення про непорушність всіх атомів, крім одного, неправдиве. При аналізі всіх можливих рухів атомів і атомних груп був отриманий цілий спектр значень , починаючихся з E і зменшуючихся впритул до основної частоти акустичних коливань в твердому тілі.

Ангармонійність теплових коливань. Теплове розширення.

Зміна розмірів твердих тіл пов’язана з відмінністю в законі сил притягання і відштовхування при зміщенні атомів з положення рівноваги. Крива потенціальної енергії має асиметричний вигляд (мал. 1), відносно вертикальної лінії, що проходить через положення рівноваги. При зближенні атомів енергія сил відштовхування звичайно зростає швидше, ніж енергія сил притягання за відповідного зміщення атомів. Із збільшенням амплітуди теплових коливань атомів в кристалі мінімальна відстань змінюється мало, а максимальна може досить сильно збільшитися. Таким чином при нагріванні відбувається збільшення середньої відстані між атомами, тобто розширення тіла.

В деяких тілах можна уявити зворотній хід асиметрії потенціальної енергії. Такі тіла при нагріванні будуть стискатися. В тому випадку, якщо крива W(r) симетрична поблизу мінімуму, зміна розмірів тіл при зміні температури не відбувається. Нижню частину кривої W(r) (поблизу r0) можна досить точно вважати симетричною параболою, тобто при малих зміщеннях атомів з положення рівноваги, що здійснюється поблизу температури абсолютного нуля, коефіцієнт теплового розширення прямує до нуля.

Розрахунок коефіцієнта теплового розширення.

За низьких температур коливання можна вважати гармонічними. Тобто силу, що повертає, силою гуковською, а потенційну енергію, залежну від координати – параболічною. При підвищенні температури коливання атомів стають ангармонічними і в законі Гука з’являються нелінійні члени. Якщо обмежитися двома членами, закон Гука матиме вигляд:

       f(u)=u-u2;   (>0, >0)            (7)

Тепер у виразі для потенціальної енергії з’явиться кубічний член

                                  (8)

Візьмемо лінійний ланцюжок зв’язаних осциляторів (рис. 2). Число атомів, що мають в середньому за час зміщення u, визначається розподілом Больцмана. Тобто, зміщення u в системі осциляторів має вигляд  

                   Uexp[-].

Середнє зміщення означимо так:

                             (9)

Розкладемо гармонічний член експоненціального множника в ряд:

   exp(

Враховуючи, що енергія ангармонічної поправки в порівнянні з тепловою енергією мала: , в знаменнику (9) обмежимось першим членом розкладу, а в чисельнику візьмемо два перших члена розкладу. Якщо в чисельнику обмежимось першим членом , то отримаємо непарну функцію u, для якої =0. Це показує, що в системі гармонічних осциляторів рівноважний стан між частинками не залежить вад температури і, як наслідок, термічний коефіцієнт розширення дорівнює нулю.

При зроблених наближеннях формула (9) набуває вигляду:

;    (10)

Для інтегрування скористаємося інтегралом Пуассона;                                                                (11)

після диференціювання обох частин якого по параметру  двічі, отримаємо вираз

                                      (12)

Після інтегрування (10), отримаємо

     (13)

Відносне видовження ланцюжка з розрахунку на одну міжатомну відстань x0 дорівнює:

;     (14)

Нагадаємо, що коефіцієнт лінійного термічного розширення вводять згідно з формулою

     (15)

Таким чином, коефіцієнт лінійного розширення, отриманий з мікроскопічних уявлень дорівнює

            (16)

Знак коефіцієнта визначається знаком . Це означає, що якщо асиметрія кривої потенціальної енергії така, що при зближенні частинок енергія зростає швидше, ніж при їх віддаленні, то >0 і нагрівання призводить до розширення. В протилежному випадку <0 і тіла стискаються.

Розкладемо потенціальну енергію взаємодії частинок в ряд Тейлора:

W(x)=W(                                                                            (17)

При рівновазі . Порівнюючи (8) і (17), знаходимо:

                     (18)

Параметр можна виразити на основі розгляду пружного розтягу, віднесеного до  однієї елементарної комірки:

           F= тобто =Ex0;           (19)

Тут Е – модуль Юнга. Підставляючи значення  з формули (18) і  з (19) в формулу (16), отримаємо вираз для коефіцієнта лінійного розширення:

,

де x0 - міжатомна відстань в ґратці, k – стала Больцмана, NA - число Авогадро, Vm=x03NA - об’єм, що має кіломоль речовини, R=kNA  - універсальна газова стала [R=8,31103Дж/кмольК].

Опис методу

Опис установки і методика проведення вимірювань.

Експериментальна установка складається з трубчастої печі, що знаходиться в корпусі, на яку з трансформатору подається напруга. На кронштейні  над піччю  закріплена кварцева трубка з мікрометром, в якій розташовані дослідний зразок відомих розмірів та кварцевий стрижень, один кінець якого впирається в зразок , а інший   – в щуп мікрометра. Визначення зміни довжини зразка проводиться за допомогою термопари з потенціометром сталого струму (градуювальний графік для термопари додається).

Порядок виконання роботи.

  1.  Вставити зразок (мідь, l0=10мм.) у піч.
  2.  Встановити нуль шкали мікрометра навпроти індикаторної стрілки. Ввімкнути трансформатор в електричну мережу. Встановити на трансформаторі напругу 100V для забезпечення рівноважного процесу досягнення певної температури  зразка і збільшувати напругу поступово до максимального значення 150V.
  3.  Записувати покази потенціометру (значення термо-е.р.с., яка  виникає в термопарі) при відхиленні стрілки мікрометра на одну поділку.(Ціна поділки мікрометра 0.01мм).
  4.  Нагрівати зразок до температури, при якій видовження зразка становитиме 0.06-0.07 мм (тобто стрілка мікрометра повинна відхилятися від нуля на 6-7 поділок відповідно).
  5.  Отримані дані занести до таблиці.

Δl 0.01мм

Е.р.с. сер. нагрів,

mV

, нагрів.

Е.р.с. сер. охолодження,

mV

, охолодж.

α

 

  1.  За отриманими експериментальними даними розрахувати температурну залежність коефіцієнта лінійного розширення за формулами:

;

                                          

……………………………………..

- покази мікрометра при температурі .

  1.  Побудувати графік залежності від середньої температури.
  2.  Знайти об’єм кіломоля досліджуваної речовини (міді) за формулою:        

                                          Vm, (модуль Юнга Е=1,11011 H/м2).

  1.  З формули Vm=NAx03, де x0 - сторона куба елементарної комірки (міжатомна відстань для речовин кубічної сингонії), знайти x0.
  2.  За формулою (19) визначити .
  3.  За формулою (18) визначити .
  4.  Побудувати графік залежності W від х.
  5.  Виконати аналіз точності методу та отриманих результатів.

Контрольні запитання

1. Яким треба вважати осцилятор – класичним чи квантовим при розгляді теплового розширення твердих тіл?

2.  Що таке фонон?

3.  Чим обумовлене теплове розширення твердих тіл?

4.  Як пояснити стисливість деяких (в деякому температурному інтервалі) при нагріванні?

Література

  1.  Г. И. Епифанов. Физика твёрдого тела. М. Высшая школа. 1977.
  2.  Ч. Киттель. Введение в физику твёрдого тела. М. Физматгиз 1963.
  3.  Г. С. Жданов. Физика твёрдого тела. М. Издат. Московского университета. 1962.

W

r0

Рис. 2. Коливання одного з атомів кристалічної гратки по відношенню до всіх інших атомів. u – зміщення атома з положення рівноваги.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83041. Визначення стану здоров’я для можливості заняття фізичними вправами різної інтенсивності 99.57 KB
  У поєднанні з визначенням функціонального стану визначається і оптимальне навантаження для даної конкретної особи що є основною умовою для досягнення оздоровчого ефекту а звідси і зростання спортивних результатів.
83042. Сущность налогов и налоговой системы в современных условиях 44.96 KB
  На данный момент существует масса всевозможной литературы по налогообложению в западных странах, накоплен огромный многолетний опыт по налогообложению. Но в связи с тем, что налоговая система России создается практически заново, сегодня очень мало монографий отечественных авторов...
83043. Зовнішня морфологія пагона 308.54 KB
  У пазухах розміщені пазушні бруньки. Первинний пагін бере початок із зародкової брунькию. Головний пагін є першим за походженням; його розвиток починається від початку формування зародку до відмирання його конусу наростання; бічний пагін пагін що утворився з бічної бруньки...
83044. Методы экспертных оценок в прогнозировании 72 KB
  Их использование позволяет получить продуктивные результаты за короткий период времени и вовлечь всех экспертов в активный творческий процесс. Дельфийский метод В последние два десятилетия созданы отдельные методики позволяющие в определенной мере организовать статистическую обработку мнений...
83045. РАЗРАБОТКА ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОЕКТА АВТОМАТИЧЕСКОГО СБОРОЧНОГО ОБОРУДОВАНИЯ 144 KB
  Разработчики изделий и создатели оборудования не имеют единой методологии, не достаточно освещены методы анализа степени подготовленности изделий к автоматизированному производству, методы анализа линий, их оснащенности средствами контроля и автоматического управления.
83046. Кредитні операції комерційних банків 61.95 KB
  Безготівкові розрахунки - це перерахування банками певної суми коштів із рахунків платників на рахунки одержувачів коштів а також перерахування банками за дорученням підприємств і фізичних осіб коштів унесених ними готівкою в касу банку на рахунки одержувачів коштів.
83047. Золото и его сплавы 42.72 KB
  Примерно два с половиной тысячелетия назад появились первые золотые монеты. Родиной их стала Лидия – могущественное рабовладельческое государство, располагавшееся в западной части Малой Азии. Лидия вела обширную торговлю с Грецией и своими восточными соседями.
83048. Местное управление и самоуправление в идеологических процессах 48.44 KB
  Местное самоуправление в Республике Беларусь является существенным элементом конституционного строя республиканской Беларуси и одной из форм осуществления власти народа: это форма активного участия, организации и деятельности граждан для самостоятельного решения непосредственно или через избираемые...
83049. Биосфера как глобальная экосистема 41.99 KB
  Воздействие человека на биосферу сопровождающееся ухудшением качества воды сведением лесов или выбросом в атмосферу загрязняющих веществ может создать угрозу жизни на Земле. Первичный состав атмосферы Земли определили газообразные продукты химических реакций происходивших в первичном веществе...