22848

ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТВЕРДОГО ТІЛА

Лабораторная работа

Физика

Дійсно сили що тримають атоми у вузлах ґратки малі і тому достатньо вже теплової енергії самих атомів аби змістити їх з положення рівноваги. До поняття про коливання атомів твердого тіла можна дійти шляхом аналізу природи міжатомних сил. Положення рівноваги атомів визначається з умови рівності сил притягання і відштовхування діючих на атом. Якщо змінюється відстань тільки відносно одного з атомів то енергію Wx треба...

Украинкский

2013-08-04

340.5 KB

2 чел.

РОБОТА №13

ТЕПЛОВЕ РОЗШИРЕННЯ ТВЕРДОГО ТІЛА

Вступ

В ідеальній кристалічній ґратці атоми повинні були б займати її вузли. Однак жоден кристал не є абсолютно жорстким, оскільки його можна деформувати. Дійсно, сили, що тримають атоми у вузлах ґратки, малі і, тому, достатньо вже теплової енергії самих атомів, аби змістити їх з положення рівноваги.  

                                            

Рис. 1. Залежність потенціальної енергії атома від відстані між атомами (У стані рівноваги в твердому тілі відстані між атомами відповідають мінімальній енергії).

Теоретичні відомості         

Теплові коливання кристалічної гратки.                                                                                                                 

До поняття про коливання атомів твердого тіла можна дійти шляхом аналізу природи міжатомних сил. Положення рівноваги атомів визначається з умови рівності сил притягання і відштовхування, діючих на атом.

В рівновазі потенціальна енергія твердого тіла повинна бути мінімальна. На рис. 1 показана залежність такого типу. При більших міжатомних відстанях (тобто при більшому об’ємі, в якому знаходяться атоми) потенціальна енергія умовно приймається рівною нулю, оскільки за цих умов атоми не взаємодіють один з одним. В міру зменшення відстані між атомами потенціальна енергія зменшується. Таке зменшення цілком очевидне, так як тверді тіла існують і за відсутності зовнішніх стискаючих сил, і такому стану повинен відповідати мінімум потенціальної енергії. При досягненні деякої відстані r0 потенціальна енергія швидко зростає із зменшенням r, що пов’язано з наявністю короткодіючих сил відштовхування і що приводить до кінцевого значення густини твердих тіл.

Найбільш важлива ділянка кривої W(r) знаходиться поблизу точки мінімуму, де результуюча сила взаємодії атома зі своїми сусідами дорівнює нулю. Нехай всі атоми жорстко закріплені на своїх місцях, а один єдиний атом зміщується відносно своїх сусідів в напрямку осі Х на відстань u, тоді вздовж осі Х виникнуть неврівноважені сили (вони відповідають стиску й розтягу “пружин” на рис. 2).

Крива рис.1 показує зміну енергії із зміною відстані між ним і всіма сусідніми атомами. Якщо змінюється відстань тільки відносно одного з атомів, то енергію W(x) треба розділити на z, де z – число найближчих сусідів (тут припускається, що взаємодія з не найближчими сусідами дуже мала). Зміна енергії  пов’язана із зміною координати атома від x0 до x рівна:

  (1),

де u=x-x0. Перший член цього рівняння характеризує енергію зв’язку з лівим сусідом, другий – з правим, третій – подвоєне значення енергії зв’язку в стані рівноваги.

           Функцію W(x) поблизу мінімуму можна розкласти в ряд Тейлора. Тоді загальна зміна енергії атома і його сусідів при малих зміщеннях складає:

                                                      (2) 

Виходячи з закону зміни потенціальної енергії, можна розглядати атом, що знаходиться у вузлі кристалічної гратки, як гармонічний осцилятор, тобто атом у вузлі ґратки здійснює гармонічні коливання. (Цей висновок правильний  тільки для першого наближення). Сила f, що діє на кожний атом є функцією його зміщення (згідно з законом Гука,  який тут можна розглядати тільки в першому наближенні).            

                  (3)

           Прискорення, отримане атомом під дією сили f :

         ,       

тоді                 ,                                                                 (4)

де m – маса атома. Розв’язок рівняння (4) має вигляд:

u=Acos(t)                                  (5)

Частоту E, означену в рівнянні (6), називають ейнштейнівською частотою. Значення цієї частоти для елементів середньої частини таблиці Менделєєва наближається до 1013 Гц.

Звичайно, зроблене вище припущення про непорушність всіх атомів, крім одного, неправдиве. При аналізі всіх можливих рухів атомів і атомних груп був отриманий цілий спектр значень , починаючихся з E і зменшуючихся впритул до основної частоти акустичних коливань в твердому тілі.

Ангармонійність теплових коливань. Теплове розширення.

Зміна розмірів твердих тіл пов’язана з відмінністю в законі сил притягання і відштовхування при зміщенні атомів з положення рівноваги. Крива потенціальної енергії має асиметричний вигляд (мал. 1), відносно вертикальної лінії, що проходить через положення рівноваги. При зближенні атомів енергія сил відштовхування звичайно зростає швидше, ніж енергія сил притягання за відповідного зміщення атомів. Із збільшенням амплітуди теплових коливань атомів в кристалі мінімальна відстань змінюється мало, а максимальна може досить сильно збільшитися. Таким чином при нагріванні відбувається збільшення середньої відстані між атомами, тобто розширення тіла.

В деяких тілах можна уявити зворотній хід асиметрії потенціальної енергії. Такі тіла при нагріванні будуть стискатися. В тому випадку, якщо крива W(r) симетрична поблизу мінімуму, зміна розмірів тіл при зміні температури не відбувається. Нижню частину кривої W(r) (поблизу r0) можна досить точно вважати симетричною параболою, тобто при малих зміщеннях атомів з положення рівноваги, що здійснюється поблизу температури абсолютного нуля, коефіцієнт теплового розширення прямує до нуля.

Розрахунок коефіцієнта теплового розширення.

За низьких температур коливання можна вважати гармонічними. Тобто силу, що повертає, силою гуковською, а потенційну енергію, залежну від координати – параболічною. При підвищенні температури коливання атомів стають ангармонічними і в законі Гука з’являються нелінійні члени. Якщо обмежитися двома членами, закон Гука матиме вигляд:

       f(u)=u-u2;   (>0, >0)            (7)

Тепер у виразі для потенціальної енергії з’явиться кубічний член

                                  (8)

Візьмемо лінійний ланцюжок зв’язаних осциляторів (рис. 2). Число атомів, що мають в середньому за час зміщення u, визначається розподілом Больцмана. Тобто, зміщення u в системі осциляторів має вигляд  

                   Uexp[-].

Середнє зміщення означимо так:

                             (9)

Розкладемо гармонічний член експоненціального множника в ряд:

   exp(

Враховуючи, що енергія ангармонічної поправки в порівнянні з тепловою енергією мала: , в знаменнику (9) обмежимось першим членом розкладу, а в чисельнику візьмемо два перших члена розкладу. Якщо в чисельнику обмежимось першим членом , то отримаємо непарну функцію u, для якої =0. Це показує, що в системі гармонічних осциляторів рівноважний стан між частинками не залежить вад температури і, як наслідок, термічний коефіцієнт розширення дорівнює нулю.

При зроблених наближеннях формула (9) набуває вигляду:

;    (10)

Для інтегрування скористаємося інтегралом Пуассона;                                                                (11)

після диференціювання обох частин якого по параметру  двічі, отримаємо вираз

                                      (12)

Після інтегрування (10), отримаємо

     (13)

Відносне видовження ланцюжка з розрахунку на одну міжатомну відстань x0 дорівнює:

;     (14)

Нагадаємо, що коефіцієнт лінійного термічного розширення вводять згідно з формулою

     (15)

Таким чином, коефіцієнт лінійного розширення, отриманий з мікроскопічних уявлень дорівнює

            (16)

Знак коефіцієнта визначається знаком . Це означає, що якщо асиметрія кривої потенціальної енергії така, що при зближенні частинок енергія зростає швидше, ніж при їх віддаленні, то >0 і нагрівання призводить до розширення. В протилежному випадку <0 і тіла стискаються.

Розкладемо потенціальну енергію взаємодії частинок в ряд Тейлора:

W(x)=W(                                                                            (17)

При рівновазі . Порівнюючи (8) і (17), знаходимо:

                     (18)

Параметр можна виразити на основі розгляду пружного розтягу, віднесеного до  однієї елементарної комірки:

           F= тобто =Ex0;           (19)

Тут Е – модуль Юнга. Підставляючи значення  з формули (18) і  з (19) в формулу (16), отримаємо вираз для коефіцієнта лінійного розширення:

,

де x0 - міжатомна відстань в ґратці, k – стала Больцмана, NA - число Авогадро, Vm=x03NA - об’єм, що має кіломоль речовини, R=kNA  - універсальна газова стала [R=8,31103Дж/кмольК].

Опис методу

Опис установки і методика проведення вимірювань.

Експериментальна установка складається з трубчастої печі, що знаходиться в корпусі, на яку з трансформатору подається напруга. На кронштейні  над піччю  закріплена кварцева трубка з мікрометром, в якій розташовані дослідний зразок відомих розмірів та кварцевий стрижень, один кінець якого впирається в зразок , а інший   – в щуп мікрометра. Визначення зміни довжини зразка проводиться за допомогою термопари з потенціометром сталого струму (градуювальний графік для термопари додається).

Порядок виконання роботи.

  1.  Вставити зразок (мідь, l0=10мм.) у піч.
  2.  Встановити нуль шкали мікрометра навпроти індикаторної стрілки. Ввімкнути трансформатор в електричну мережу. Встановити на трансформаторі напругу 100V для забезпечення рівноважного процесу досягнення певної температури  зразка і збільшувати напругу поступово до максимального значення 150V.
  3.  Записувати покази потенціометру (значення термо-е.р.с., яка  виникає в термопарі) при відхиленні стрілки мікрометра на одну поділку.(Ціна поділки мікрометра 0.01мм).
  4.  Нагрівати зразок до температури, при якій видовження зразка становитиме 0.06-0.07 мм (тобто стрілка мікрометра повинна відхилятися від нуля на 6-7 поділок відповідно).
  5.  Отримані дані занести до таблиці.

Δl 0.01мм

Е.р.с. сер. нагрів,

mV

, нагрів.

Е.р.с. сер. охолодження,

mV

, охолодж.

α

 

  1.  За отриманими експериментальними даними розрахувати температурну залежність коефіцієнта лінійного розширення за формулами:

;

                                          

……………………………………..

- покази мікрометра при температурі .

  1.  Побудувати графік залежності від середньої температури.
  2.  Знайти об’єм кіломоля досліджуваної речовини (міді) за формулою:        

                                          Vm, (модуль Юнга Е=1,11011 H/м2).

  1.  З формули Vm=NAx03, де x0 - сторона куба елементарної комірки (міжатомна відстань для речовин кубічної сингонії), знайти x0.
  2.  За формулою (19) визначити .
  3.  За формулою (18) визначити .
  4.  Побудувати графік залежності W від х.
  5.  Виконати аналіз точності методу та отриманих результатів.

Контрольні запитання

1. Яким треба вважати осцилятор – класичним чи квантовим при розгляді теплового розширення твердих тіл?

2.  Що таке фонон?

3.  Чим обумовлене теплове розширення твердих тіл?

4.  Як пояснити стисливість деяких (в деякому температурному інтервалі) при нагріванні?

Література

  1.  Г. И. Епифанов. Физика твёрдого тела. М. Высшая школа. 1977.
  2.  Ч. Киттель. Введение в физику твёрдого тела. М. Физматгиз 1963.
  3.  Г. С. Жданов. Физика твёрдого тела. М. Издат. Московского университета. 1962.

W

r0

Рис. 2. Коливання одного з атомів кристалічної гратки по відношенню до всіх інших атомів. u – зміщення атома з положення рівноваги.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

31110. Финансы и финансовая политика государства 40.07 KB
  Финансы Российской Федерации это экономические отношения по созданию распределению и использованию фондов денежных средств государства его территориальных подразделений а также предприятий и организаций необходимых для обеспечения расширенного воспроизводства и социальных нужд в процессе которых происходит распределение и перераспределение совокупного общественного продукта и контроль за удовлетворением общественных потребностей. Совокупность входящих в состав финансов Российской Федерации звеньев в их взаимосвязи образуют финансовую...
31111. Денежный рынок и денежно-кредитная политика государства 185.53 KB
  Деньги и их функции Деньги представляют собой всеобщее средство платежа при покупке товаров и услуг а также при уплате налогов других обязательных платежей. Как правило в каждой стране имеются свои деньги национальная валюта которая вводится государством. По своей природе деньги например рубль являются долговой распиской обязательством центрального банка страны обеспеченным всеми его активами. Деньги выполняют ряд функций.
31113. Сущность и главные тенденции мировой экономики 112.5 KB
  Россия на мировом рынке выступала прежде всего как экспортер зерна и другой сельскохозяйственной продукции а также древесины в Западную Европу и поставщик готовых изделий в соседние азиатские страны а также как импортер западноевропейских готовых изделий материалов и полуфабрикатов. Затем процесс перемещения экономических ресурсов стал более комплексным: капитал предпринимательские способности и технологию стали не только импортировать но и экспортировать среднеразвитые страны включая Россию а в экспорте рабочей силы активное участие...
31114. Мировая валютная система 154.5 KB
  Манипулирование валютным курсом путем девальвации или ревальвации валюты изменение учетной процентной ставки проведение инфляционной или дефляционной политики для регулирования движения товаров услуг и капитала использование международных займов и кредитов и наконец реструктуризация внешней задолженности все это позволяло поддерживать платежные балансы в известной степени временно уравновешенными и отодвигать погашение отрицательного сальдо за счет резервов золота на неопределенное время например периодически продлевая сроки...
31115. Макроэкономическое равновесие. Модель совокупности спроса и совокупного предложения 398.4 KB
  Рыночная система будет находиться в состоянии равновесия если при действующем уровне цен в экономике величина предполагаемого объема производства в экономике равна величине совокупного спроса. Пересечение кривых совокупного спроса и совокупного предложения таким образом определит равновесный реальный объем внутреннего производства и равновесный уровень цен в экономике. Макроэкономическое равновесие будет достигаться в точке Е при следующих его параметрах: РE равновесный уровень цен в экономике; QE равновесный объем производства в...
31116. Экономический выбор, экономические отношения. Граница производственных возможностей 278.68 KB
  Производственные возможности экономической системы ограничены редкостью применяемых ресурсов которая по мере развития общества не только сохраняется но и возрастает. Таким образом основной проблемой эффективного функционирования экономической системы является проблема выбора. Проблема выбора находит отражение в трех основных вопросах: Что производить ⇒ какие из возможных товаров и услуг должны производиться в данной экономической системе в определенный период времени Как производить ⇒ при какой комбинации производственных ресурсов с...
31117. Основы рыночной экономики 41.78 KB
  Они же являются собственниками факторов производства. Его основные признаки: 1 экономическая свобода участников производственного процесса 2 наличие конкуренции как среди продавцов так и среди покупателей 3 максимизация частной выгоды дохода прибыли как цель экономической деятельности и 4 регулирование производства распределения обмена и потребления через механизм цен. Вместе с тем рыночный механизм не идеальный способ регулирования общественного производства. Циклическое развитие производства сопровождается недоиспользованием...
31118. Основы теории потребления 186.96 KB
  Хватит ли денег чтобы осуществить покупку Чтобы ответить на первый вопрос надо выяснить полезность вещи для потребителя чтобы ответить на второй исследовать цену чтобы решить третий вопрос определить доход потребителя. Эти три проблемы полезность цена и доход и составляют содержание теории поведения потребителя. Для обозначения того удовольствия или удовлетворения которое получают люди от потребления товаров или услуг экономисты используют термин полезность U utility. Кардиналисткая количественная полезность ...