22879

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Доклад

Математика и математический анализ

Якщо до системи входить  то система лінійно залежна. Лінійна комбінація нетривіальна оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1 отже система лінійно залежна. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Украинкский

2013-08-04

22.5 KB

1 чел.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

  1.  Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a1, a2,… am- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a1+0a2++0am=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

   

  1.  Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αmam =.

Комбінація нетривіальна, тому αi 0 для деякого i. (1≤im). Тоді

αi ai= -α1a1-α2a2-…-αi-1ai-1-αi+1ai+1-…-αmam ,  звідси

Отже, вектор ai лінійно виражається через інші вектори системи.

Достатність. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am вектор ai . (1≤im) лінійно виражається через інші вектори системи

ai= β1a12a2+…+βi-1ai-1i+1ai+1-…+βmam ,  звідси

β1a12a2+…+βi-1ai-1-aii+1ai+1-…+βmam= або

β1a12a2+…+βi-1ai-1+(-1)aii+1ai+1-…+βmam=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі ai дорівнює –1.    Отже, система лінійно залежна.

  1.  Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am,b1,…,bk підсистема             a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a1+λ2a2+… +λmam= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λi 0 для деякого i.  (1≤im). Але тоді існує комбінація λ1a1+λ2a2+…+ λiai+…+λmam+ 0b1+…+bk = . Комбінація нетривіальна, оскільки λi ≠0. Тому система лінійно залежна.

  1.  Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64810. ДОСЛІДЖЕННЯ ТЕХНОЛОГІЇ ТА СТРУКТУРНО-МЕХАНІЧНИХ ВЛАСТИВОСТЕЙ ТАБЛЕТОК З ПЛІВКОВИМИ ПОЛІМЕРНИМИ ПОКРИТТЯМИ 635 KB
  При огляді літературних даних і відгуків споживачів препаратів в формі таблеток непокритих і покритих оболонками, в Україні відзначені випадки недоброякісних таблеток з різними видами браку продукції, особливо в таблетках, упакованих в первинну паперову упаковку...
64811. УДОСКОНАЛЕННЯ БЕЗКОНТАКТНОГО ВИЗНАЧЕННЯ СТРУМІВ В СТІНКАХ ПІДЗЕМНИХ ТРУБОПРОВОДІВ ДЛЯ КОНТРОЛЮ ЇХ ІЗОЛЯЦІЙНОГО ПОКРИТТЯ 280.5 KB
  Існуючі методи і засоби оперативного контролю стану ізоляційного покриття які базуються на безконтактному визначенні струмів у стінках підземних трубопроводів і оцінці характеру зміни цих струмів вздовж траси не завжди...
64812. Заохочувальні адміністративні процедури 143.5 KB
  Актуальність визначення сутності заохочення як методу діяльності органів державного управління обумовлена потребою підвищення ефективності управлінського впливу на суспільні відносини які весь час змінюються і потребують адекватного правового регулювання.
64813. Наукові основи моделювання процесів різання з використанням числових методів 762.5 KB
  Теорія різання спираючись головним чином на глибокі експериментальні дослідження досягла значних успіхів не тільки у розумінні процесів та явищ що відбуваються під час стружкоутворення на контактних поверхнях різального інструмента та в обробленій поверхні...
64814. ОРГАНІЗАЦІЯ ВИСОКОПРОДУКТИВНИХ ТА ЕКОНОМІЧНИХ ОБЧИСЛЮВАЧІВ ДЛЯ СПЕЦІАЛІЗОВАНИХ СИСТЕМ 1022.5 KB
  Вирішення численних науковотехнічних завдань розвязання яких неможливе без використання високопродуктивних та економічних обчислювачів у звязку із підвищеними і специфічними вимогами до оброблення інформації. Такі завдання можна об'єднати в основні групи...
64815. ЛІКУВАННЯ УШКОДЖЕНЬ МІЖГОМІЛКОВОГО СИНДЕСМОЗУ ПРИ ТРАВМАХ ГОМІЛКОВОСТОПНОГО СУГЛОБА 441.5 KB
  Стандартною методикою оперативного лікування показання до якого розширюються з кожним роком повних розривів міжгомілкового синдесмозу є стабільний остеосинтез гомілкових кісток однимдвома шурупами уведеними з боку малогомілкової кістки у великогомілкову дистальне блокування.
64816. ТЕХНОЛОГІЧНІ ОСНОВИ КЕРУВАННЯ ЯКІСТЮ ПОВЕРХНЕВОГО ШАРУ ОПТИЧНИХ МАТЕРІАЛІВ ПРИ ЕЛЕКТРОННО-ПРОМЕНЕВІЙ МІКРООБРОБЦІ 3.99 MB
  Вперше аналіз електроннопроменевого впливу на мікрорельєф поверхні і ПШ германію та кремнію представлено в роботах Г. Ващенком розвинені математичні моделі та вперше розроблені наукові основи керування параметрами стрічкового електронного потоку при обробці оптичного скла і оптичних керамік...
64817. Мінливість ознак рижію ярого та створення нового вихідного матеріалу методом хімічного мутагенезу 456 KB
  Важливою задачею при створенні нових сортів ярого рижію є вивчення колекційних зразків з метою визначення кращих із них для подальшої селекційної роботи. Тому селекційні дослідження спрямовані на вивчення мінливості ознак рижію ярого й визначення ефективності...
64818. ТЕХНОЛОГІЯ ВІДНОВЛЕННЯ КАНАЛІЗАЦІЙНИХ КОЛЕКТОРІВ З ВИКОРИСТАННЯМ КОНСТРУКЦІЙ ІЗ ШЛАКОВОГО ЛИТТЯ 3.18 MB
  Значна частина каналізаційних мереж України перебуває у передаварійному та аварійному стані і потребує термінового відновлювання. Через корозію абразивний знос розгерметизацію стикових зєднань конструкції каналізаційних мереж передчасно руйнуються втрачаючи несучу здатність...