22879

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Доклад

Математика и математический анализ

Якщо до системи входить  то система лінійно залежна. Лінійна комбінація нетривіальна оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1 отже система лінійно залежна. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Украинкский

2013-08-04

22.5 KB

1 чел.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

  1.  Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a1, a2,… am- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a1+0a2++0am=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

   

  1.  Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αmam =.

Комбінація нетривіальна, тому αi 0 для деякого i. (1≤im). Тоді

αi ai= -α1a1-α2a2-…-αi-1ai-1-αi+1ai+1-…-αmam ,  звідси

Отже, вектор ai лінійно виражається через інші вектори системи.

Достатність. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am вектор ai . (1≤im) лінійно виражається через інші вектори системи

ai= β1a12a2+…+βi-1ai-1i+1ai+1-…+βmam ,  звідси

β1a12a2+…+βi-1ai-1-aii+1ai+1-…+βmam= або

β1a12a2+…+βi-1ai-1+(-1)aii+1ai+1-…+βmam=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі ai дорівнює –1.    Отже, система лінійно залежна.

  1.  Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am,b1,…,bk підсистема             a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a1+λ2a2+… +λmam= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λi 0 для деякого i.  (1≤im). Але тоді існує комбінація λ1a1+λ2a2+…+ λiai+…+λmam+ 0b1+…+bk = . Комбінація нетривіальна, оскільки λi ≠0. Тому система лінійно залежна.

  1.  Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26372. ПРИНЦИПЫ ПАКЕТНОЙ ПЕРЕДАЧИ ДАННЫХ 227 KB
  Количество уровней их названия содержание и назначение могут отличаться в различных сетях но для всех сетей каждый уровень должен предоставлять определённый сервис для более высокого верхнего уровня скрывая реализацию своей задачи. № уровня Наименование Содержание 7 Уровень приложений Предоставление услуг на уровне конечного пользователя: почта теледоступ и прочее 6 Уровень представления данных Интерпретация и сжатие данных 5 Уровень сессии сеансовый Идентификация и проверка полномочий 4 Транспортный уровень Обеспечение корректной...
26373. Математические модели 74 KB
  Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели которые раньше не поддавались аналитическому исследованию.
26374. Ме́тод Мо́нте-Ка́рло 42.5 KB
  При проведении анализа по методу МонтеКарло компьютер использует процедуру генерации псевдослучайных чисел для имитации данных из изучаемой генеральной совокупности. В математической литературе часто используется термины последовательность случайных чисел или просто случайные числа . Если использовать точные термины то можно говорить только о случайной последовательности чисел или о случайном значении параметров. Однако в литературе широко используется термины случайные числа и последовательность случайных чисел и это означает что каждое...
26376. Вероятностные модели 47.5 KB
  Моделирование случайных процессов мощнейшее направление в современном математическом моделировании. При компьютерном математическом моделировании случайных процессов нельзя обойтись без наборов так называемых случайных чисел удовлетворяющих заданному закону распределения. Если он помог в чемто мы говорим повезло если оказался не в нашу пользу то сокрушаемся не судьба Многие ученые занимались изучением закономерностей случайных событий. Смоделируем ситуации которые в теории вероятности получили название случайных блужданий.
26377. Понятие модели, моделирования 94 KB
  Вначале понятие модель относилось только к материальным объектам как например манекен модель человеческой фигуры чучело модель животного модели автомобилей самолетов и т. Чертежи рисунки карты – это тоже модели но они соответствуют более высокой степени абстрагирования от оригинала поэтому их модельные свойства были осознаны намного позже. В настоящее время понятие модели расширилось оно включает и реальные и так называемые идеальные модели например математические модели.
26378. Виды моделирования 37 KB
  Например можно выделить следующие виды моделирования: Информационное моделирование Компьютерное моделирование Математическое моделирование Математикокартографическое моделирование Молекулярное моделирование Цифровое моделирование Логическое моделирование Педагогическое моделирование Психологическое моделирование Статистическое моделирование Структурное моделирование Физическое моделирование Экономикоматематическое моделирование Имитационное моделирование Эволюционное моделирование ИНФОРМАЦИОННОЕ В своей деятельности человек...
26379. Классификация моделей 73 KB
  Модель называется статической если среди параметров участвующих в ее описании нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь фотографию системы ее срез. Закон Ньютона F=am это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой.
26380. Модели предметные (материальные) и модели информационные 33.5 KB
  Предметные модели воспроизводят геометрические физические и другие свойства объектов в материальной форме глобус анатомические муляжи модели кристаллических решеток макеты зданий и сооружений и др. Информационные модели представляют объекты и процессы в образной или знаковой форме. Образные модели рисунки фотографии и др.