22879

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Доклад

Математика и математический анализ

Якщо до системи входить  то система лінійно залежна. Лінійна комбінація нетривіальна оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1 отже система лінійно залежна. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Украинкский

2013-08-04

22.5 KB

1 чел.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

  1.  Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a1, a2,… am- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a1+0a2++0am=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

   

  1.  Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αmam =.

Комбінація нетривіальна, тому αi 0 для деякого i. (1≤im). Тоді

αi ai= -α1a1-α2a2-…-αi-1ai-1-αi+1ai+1-…-αmam ,  звідси

Отже, вектор ai лінійно виражається через інші вектори системи.

Достатність. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am вектор ai . (1≤im) лінійно виражається через інші вектори системи

ai= β1a12a2+…+βi-1ai-1i+1ai+1-…+βmam ,  звідси

β1a12a2+…+βi-1ai-1-aii+1ai+1-…+βmam= або

β1a12a2+…+βi-1ai-1+(-1)aii+1ai+1-…+βmam=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі ai дорівнює –1.    Отже, система лінійно залежна.

  1.  Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am,b1,…,bk підсистема             a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a1+λ2a2+… +λmam= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λi 0 для деякого i.  (1≤im). Але тоді існує комбінація λ1a1+λ2a2+…+ λiai+…+λmam+ 0b1+…+bk = . Комбінація нетривіальна, оскільки λi ≠0. Тому система лінійно залежна.

  1.  Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54035. Развитие представлений о культуре в западноевропейской философии 35.5 KB
  Инверсия ценностей средневековой культуры в Возрождении. Диалогичность ренессансного мышления: диалектика как жанр литературы и способ мысли. Культ человека и возникновение оппозиции культура-природа в эпоху гуманизма. Поиск новых эстетических норм.
54041. Внеклассное воспитательное мероприятие «Книжная летопись» 79 KB
  Она скромна и велика Обличий книги много Для старика она клюка Для юноши дорога. Люблю твой вечный непокой Когда тебе всё мало Как попадешь от букваря Под власть печатной силы Идёшь её боготворя до самой до могилы Ученик: Книги говорят с тобой И ты мой юный друг Весь путь истории земной Как бы увидишь вдруг. Выходит ученик в костюме жителя Вавилона с изображением глиняной книги. Ученик: Древние книги На чём вы писались Как вообще вы порой создавались Вот Вавилон.
54042. Літосфера 157.5 KB
  Мета: розширити уявлення з теми «Літосфера»; формувати навички роботи з колекцією гірських порід; розвивати соціальну, полікультурну, інформаційну, комунікативну та саморозвивальну компетенції учнів; познайомити учнів з особливостями наук геологія та палеонтологія; формувати інтерес до професії ювеліра, геолога, палеонтолога.