22879

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Доклад

Математика и математический анализ

Якщо до системи входить  то система лінійно залежна. Лінійна комбінація нетривіальна оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1 отже система лінійно залежна. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Украинкский

2013-08-04

22.5 KB

1 чел.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

  1.  Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a1, a2,… am- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a1+0a2++0am=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

   

  1.  Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αmam =.

Комбінація нетривіальна, тому αi 0 для деякого i. (1≤im). Тоді

αi ai= -α1a1-α2a2-…-αi-1ai-1-αi+1ai+1-…-αmam ,  звідси

Отже, вектор ai лінійно виражається через інші вектори системи.

Достатність. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am вектор ai . (1≤im) лінійно виражається через інші вектори системи

ai= β1a12a2+…+βi-1ai-1i+1ai+1-…+βmam ,  звідси

β1a12a2+…+βi-1ai-1-aii+1ai+1-…+βmam= або

β1a12a2+…+βi-1ai-1+(-1)aii+1ai+1-…+βmam=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі ai дорівнює –1.    Отже, система лінійно залежна.

  1.  Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am,b1,…,bk підсистема             a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a1+λ2a2+… +λmam= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λi 0 для деякого i.  (1≤im). Але тоді існує комбінація λ1a1+λ2a2+…+ λiai+…+λmam+ 0b1+…+bk = . Комбінація нетривіальна, оскільки λi ≠0. Тому система лінійно залежна.

  1.  Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11171. Сутність розкриття інформації в акціонерному товаристві 70.5 KB
  Сутність розкриття інформації в акціонерному товаристві. Сутність розкриття інформації акціонерними товариствами полягає у забезпеченні доступу зацікавлених осіб у тому числі акціонерів до повної достовірної інформації про виробничогосподарську діяльність підпр...
11172. Фінансові посередники в системі корпоративного управління 77.5 KB
  Тема 10. Фінансові посередники в системі корпоративного управління 10.1. Суть фінансового посередництва i його функції Світова практика свідчить про надзвичайно велику роль фінансових посередників у системі корпоративного управління Значну роль у корпоративному сект...
11173. Форми і функції державного регулювання 52.5 KB
  Форми і функції державного регулювання Одним з найважливіших елементів сфери корпоративного управління є його нормативноправове забезпечення. Загалом державне регулювання як один з напрямків корпоративного управління виходить за рамки безпосереднього управління...
11174. Виконання та захист графічних робіт. Виконання ескізу деталі з натури 27 KB
  Тема 6: Виконання та захист графічних робіт. Виконання ескізу деталі з натури. Мета: Навчальна: сформувати знання вміння та навички поданій темі. Виховна: виховувати в учнів культуру праці та акуратність. Розвиваюча: розвивати у школярів спеціальні здібності і техн
11175. Будова та класифікація різців. Режими різання 80.5 KB
  Тема. Будова та класифікація різців. Режими різання. Мета: ознайомити учнів з видами різців для виконання токарних робіт по металу; навчити вибирати різці для певного виду робіт; виховувати бережливе ставлення до обладнання та інструментів; розвивати логічне мислення
11176. Контрольно-вимірювальний інструмент 69.5 KB
  Тема 9: Контрольновимірювальний інструмент. Мета: виявити рівень теоретичних знань з розділу проектування виробів; ознайомити з контрольновимірювальними інструментами та навчити користуватися ними; первинний інструктаж з охорони праці під час виконання сл
11177. Технологічний процес виготовлення проектованого виробу. Розробка ескізу та технологічної послідовності виготовлення виробу 30.38 KB
  Тема. Технологічний процес виготовлення проектованого виробу. Розробка ескізу та технологічної послідовності виготовлення виробу . Мета: згідно теми проекту вибрати аналогпрототип та вдосконалити його характеристики; виховувати бережливе ставлення до обладнання
11178. Опоряджувальні роботи. Правила техніки безпеки. Лакування та фарбування, інкрустація та інтарсія 55.5 KB
  Тема: Опоряджувальні роботи. Правила техніки безпеки. Лакування та фарбування інкрустація та інтарсія. Мета. Ознайомити учнів з прийомами оздоблення деревяних виробів формувати в учнів поняття про техніку інтарсія та маркетрі; виховання позитивного ставлення до прац...
11179. Пошук необхідної інформації для проекту. Методи проектування (метод фокальних об’єктів).Практична робота: Складання ескізу проектного виробу 41 KB
  Тема уроку: Пошук необхідної інформації для проекту. Методи проектування метод фокальних об’єктів.Практична робота: Складання ескізу проектного виробу. Мета: згідно теми проекту вибрати аналогпрототип та вдосконалити його характеристики; виховувати бережливе ставл...