22879

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Доклад

Математика и математический анализ

Якщо до системи входить  то система лінійно залежна. Лінійна комбінація нетривіальна оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1 отже система лінійно залежна. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Украинкский

2013-08-04

22.5 KB

1 чел.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

  1.  Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a1, a2,… am- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a1+0a2++0am=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

   

  1.  Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αmam =.

Комбінація нетривіальна, тому αi 0 для деякого i. (1≤im). Тоді

αi ai= -α1a1-α2a2-…-αi-1ai-1-αi+1ai+1-…-αmam ,  звідси

Отже, вектор ai лінійно виражається через інші вектори системи.

Достатність. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am вектор ai . (1≤im) лінійно виражається через інші вектори системи

ai= β1a12a2+…+βi-1ai-1i+1ai+1-…+βmam ,  звідси

β1a12a2+…+βi-1ai-1-aii+1ai+1-…+βmam= або

β1a12a2+…+βi-1ai-1+(-1)aii+1ai+1-…+βmam=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі ai дорівнює –1.    Отже, система лінійно залежна.

  1.  Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am,b1,…,bk підсистема             a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a1+λ2a2+… +λmam= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λi 0 для деякого i.  (1≤im). Але тоді існує комбінація λ1a1+λ2a2+…+ λiai+…+λmam+ 0b1+…+bk = . Комбінація нетривіальна, оскільки λi ≠0. Тому система лінійно залежна.

  1.  Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65775. Опасности, возникающие в повседневной жизни и безопасное поведение 212.5 KB
  Понятие пожарной опасности Понятие пожарная опасность емко и многогранно. В этом случае пожарная опасность обуславливается видом объекта степенью горючести обрабатываемых производимых или потребляемых материалов технологической культурой производства и степенью точности...
65776. Вестфальская система МО 14.33 KB
  Закончившаяся поражением Франции и триумфальной победой бисмарковской Германии привела к установлению недолгого Франкфуртского мира ставшего третьей модификацией Вестфальской системы международных отношений. Эта война закончившаяся тотальным поражением Германии Японии и их союзников создала...
65777. ИСТОРИЯ И ОРГАНИЗАЦИЯ ДЕЛОПРОИЗВОДСТВА В БЕЛАРУСИ 593.5 KB
  В этот период утверждается система органов центрального и местного управления определяется состав документов регламентирующих все стороны государственной и частной жизни. Статуты широко известные в государственных учреждениях разных инстанций послужили образцом для писцов последующих десятилетий и источником грамматических средств...
65778. Белоруссия и Литва в составе Российской империи (РИ) 20.57 KB
  Территория современной Беларуси окончательно вошла в состав Российской Империи 26 января 1797 года в день состоявшегося деюре упразднения польского государства. После присоединения Беларуси к России имперское правительство начало проводить политику направленную на нивелировку...
65779. Национальный вопрос во внутренней политики Российского государства (1905-1917 гг.) 48 KB
  В начале 20 в. в национальной политике России существовало 3 болевые точки: а) Польский вопрос (не получил развития в ходе революции, т.к. национальное движение формировалось не по национальному признаку, а по классовому); б) Украинский вопрос, представлявший для России вопрос внешнеполитический...
65780. Источники права. Понятие нормативно-правового акта и его виды 30.5 KB
  Для понимания процессов правообразования а также для понимания того откуда брать право в решении юридических дел необходимо обратиться к источникам права. Об источниках права говорят прежде всего как о факторах питающих появление и действие права.
65782. Язык и речь. Формы и типы речи 23.42 KB
  Таким образом речь это язык в действии реализация конкретного языка. Речь отражает опыт говорящего его состояние. Мимика и жестикуляция в подавляющем большинстве случаев только сопровождают звуковую речь придавая ей добавочные эмоции либо смысловые оттенки.
65783. Позитивистская традиция в философии науки 27 KB
  Позитивисты видели роль философии в развитии науки исследования закономерностей языка науки. Позитивизм наиболее широко распространенное течение западной философии второй половины XIXXX веков утверждающее что источником подлинного положительного позитивного знания могут быть лишь отдельные...