22879

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Доклад

Математика и математический анализ

Якщо до системи входить  то система лінійно залежна. Лінійна комбінація нетривіальна оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1 отже система лінійно залежна. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Украинкский

2013-08-04

22.5 KB

1 чел.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

  1.  Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a1, a2,… am- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a1+0a2++0am=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

   

  1.  Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αmam =.

Комбінація нетривіальна, тому αi 0 для деякого i. (1≤im). Тоді

αi ai= -α1a1-α2a2-…-αi-1ai-1-αi+1ai+1-…-αmam ,  звідси

Отже, вектор ai лінійно виражається через інші вектори системи.

Достатність. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am вектор ai . (1≤im) лінійно виражається через інші вектори системи

ai= β1a12a2+…+βi-1ai-1i+1ai+1-…+βmam ,  звідси

β1a12a2+…+βi-1ai-1-aii+1ai+1-…+βmam= або

β1a12a2+…+βi-1ai-1+(-1)aii+1ai+1-…+βmam=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі ai дорівнює –1.    Отже, система лінійно залежна.

  1.  Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am,b1,…,bk підсистема             a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a1+λ2a2+… +λmam= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λi 0 для деякого i.  (1≤im). Але тоді існує комбінація λ1a1+λ2a2+…+ λiai+…+λmam+ 0b1+…+bk = . Комбінація нетривіальна, оскільки λi ≠0. Тому система лінійно залежна.

  1.  Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

75217. Понятие литературного языка 36 KB
  Понятие литературного языка Литературный язык играет очень важную роль. Это нормированный язык. Свойства: Нормированность Поливалентность многофункциональность Общеобязательность Стилистическая дифференцированность Функциональная дифференцированность Носит наддиалектный характер носители диалектов понимают этот язык. Например койне может использоваться носителями разных диалектов Имеет свою письменность Норма может быть различной в разные периоды существования языка.
75219. Язык как предмет языкознания. Язык и речь 21.65 KB
  Определений языка очень много. Самое известное дал Ферденанд де Соссюр(швейцарский лингвист): Язык — это система произвольных знаков.
75221. Социолингвистика. Макросоциолингвистика и Микросоциолингвитсика 20 KB
  Социолингвистика область в которой рассматривается проблематика и вопросы соотношения языка и общества. Керри Вопросами связанными с проблемами соотношения языка и общества занимались и до 20-ого века но термин Социолингвистика появился...
75224. Понятие языковой ситуации. Виды ситуаций 20.93 KB
  Языковая ситуация это указание на то какие языки расположены на той или иной территории сколько их и их функции. Языковая ситуация – это совокупность языков или форм существования одного языка а также социальные и функциональные отношения между ними на определенной территории. 3а Сбалансированная языковая ситуация. Языковая ситуация считается сбалансированной если входящие в ее состав языки имеют одинаковый статус и функционально имеют одинаковый статус и функционально равнозначны.