22879

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів

Доклад

Математика и математический анализ

Якщо до системи входить  то система лінійно залежна. Лінійна комбінація нетривіальна оскільки коефіцієнт при  дорівнює 1 отже система лінійно залежна. Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Украинкский

2013-08-04

22.5 KB

1 чел.

Властивості лінійно залежних та лінійно незалежних систем векторів.

  1.  Якщо до системи входить , то система лінійно залежна.

Доведення. Нехай , a1, a2,… am- така система. Існує лінійна комбінація

1 +0a1+0a2++0am=0.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при дорівнює 1, отже система лінійно залежна.

   

  1.  Система векторів лінійно залежна тоді і тільки тоді, коли принаймні один з векторів системи лінійно виражається через інші.

Доведення. Необхідність. Припустимо, що система векторів a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αmam =.

Комбінація нетривіальна, тому αi 0 для деякого i. (1≤im). Тоді

αi ai= -α1a1-α2a2-…-αi-1ai-1-αi+1ai+1-…-αmam ,  звідси

Отже, вектор ai лінійно виражається через інші вектори системи.

Достатність. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am вектор ai . (1≤im) лінійно виражається через інші вектори системи

ai= β1a12a2+…+βi-1ai-1i+1ai+1-…+βmam ,  звідси

β1a12a2+…+βi-1ai-1-aii+1ai+1-…+βmam= або

β1a12a2+…+βi-1ai-1+(-1)aii+1ai+1-…+βmam=.

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки коефіцієнт при векторі ai дорівнює –1.    Отже, система лінійно залежна.

  1.  Якщо деяка підсистема системи векторів лінійно залежна, то і вся система лінійно залежна.

Доведення. Припустимо, що в системі векторів a1, a2,… am,b1,…,bk підсистема             a1, a2,… am лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a1+λ2a2+… +λmam= . Лінійна комбінація нетривіальна, тому λi 0 для деякого i.  (1≤im). Але тоді існує комбінація λ1a1+λ2a2+…+ λiai+…+λmam+ 0b1+…+bk = . Комбінація нетривіальна, оскільки λi ≠0. Тому система лінійно залежна.

  1.  Будь-яка підсистема лінійно незалежної системи векторів лінійно незалежна.

Доведення випливає з попередньої властивості.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11877. Исследование асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором 262.5 KB
  Цель работы Исследование рабочих свойств асинхронного двигателя путем снятия соответствующих опытных характеристик Программа работы Изучить схемы для исследования асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором Исследовать...
11878. Исследование асинхронного электродвигателя с фазным ротором 311.5 KB
  Цель работы Исследование рабочих свойств электродвигателя путем снятия соответствующих опытных характеристик Программа работы Изучить схемы для исследования асинхронного электродвигателя с фазным ротором в дальнейшем изложении АДФР
11879. Исследование асинхронной машины в режиме асинхронного генератора 138 KB
  Цель работы Изучение способа включения асинхронной машины для работы в режиме генератора. Исследование рабочих свойств асинхронного генератора Программа работы Изучить схему для экспериментального исследования асинхронного генератора ...
11880. Испытание однофазного трансформатора 773 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1 Испытание однофазного трансформатора 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ: 1.1. Ознакомиться с устройством трансформатора. 1.2. Овладеть методикой определения числа витков обмоток трансформатора. 1.3. Изучить методику проведения опытов холостого хода и короткого за
11881. Цифровые устройства и микропроцессоры 1.18 MB
  Цифровые устройства и микропроцессоры Цифровые устройства Учебное пособие и лабораторный практикум Бунтов В.Д. Морозов Д.В. Цифровые устройства и микропроцессоры. Часть I. Цифровые устройства: Учебное пособие и лабораторный пр...
11882. Вибір оптимальної стратегії в рекламній кампанії 278 KB
  Лабораторна робота №5 Тема: Вибір оптимальної стратегії в рекламній кампанії. Завдання. Дві фірми А і В виробляють два конкуруючих товари. Кожний з товарів на теперішній час контролює 50 ринку. Після покращення якості товарів обидві фірми збираються розгорнути рекл...
11883. Планування ставок податків методами цільового програмування 285.5 KB
  Лабораторна робота №6 Тема: Планування ставок податків методами цільового програмування Завдання Міська рада розробляє ставки місцевого оподаткування. Щорічна база оподаткування нерухомості складає 550N млн. грн. Щорічна база оподаткування роздрібних та оптових ...
11884. Апроксимація інтервальної функції корисності на одновимірній множині за допомогою лінійної функції 476 KB
  Лабораторна робота №1 Тема: Апроксимація інтервальної функції корисності на одновимірній множині за допомогою лінійної функції. Для виконання лабораторної роботи №1 студент повинний знати: мету і зміст даної роботи порядок її виконання; метод найменших кв...
11885. Работа с текстовыми документами, табличным процессором, языком HTML и презентациями 4.32 MB
  Введение Цикл из четырёх лабораторных работ направлен на изучение прикладного программного обеспечения изучения элементов и объектов управления. В первой лабораторной работе рассмотрены вопросы создания простых и комплексных документов использования средств а