22880

Дії над комплексними числами

Доклад

Математика и математический анализ

Тоді . Нехай комплексне число тоді комплексноспряженим до нього назвемо число . Скористаємося правилом множення комплексних чисел: Розглянемо випадок коли тоді . Нехай `відповідає комплексному числу позначимо через довжину вектора а через кут який утворює цей вектор з додатним напрямком осі тоді тригонометрична форма комплексного числа.

Украинкский

2013-08-04

1.04 MB

10 чел.

Дії над комплексними числами

  1.  Під сумою двох чисел  та  будемо розуміти наступне

  1.  Під різницею двох чисел  та  будемо розуміти наступне

  1.  Під добутком двох чисел  та  будемо розуміти наступне

  1.  Під діленням двох чисел  та ,  будемо розуміти наступне

, домножимо чисельник і знаменник на комплексно спряжене з знаменником

Геометричний зміст комплексного числа

Як відомо дійсні числа можна зобразити точками на прямій. Візьмемо на площині декартову прямокутну систему координат і кодному комплексному числу  поставимо у відповідність точку . Одержимо взаємооднозначну відповідність між комплексними числами і точками площини. З іншого боку з комплексною точкою на площині зв’язаний вектор , тому з іншого боку встановлена взаємооднозначна відповідність між комплексними числами та векторами на площині. Якщо  а  то . Додавання та віднімання комплексних чисел відповідає додаванню та відніманню векторів.

 

                   

       

Комплексні числа

Розглянемо рівняння , це ріняння має розв’язок в множині комплексних чисел, його позначимо через . Тоді . Множина  - розширення множини дійсних чисел , тому . Для елементів множини  введемо арифметичні операції:          . Ці числа складові множини .  

Комплексним числом називається число вигляду  , де . Якщо  то  - дійсна частина , а  - уявна частина комплексного числа . Якщо  одержимо, що , дійсне число,  якщо , то  - чисто уявне комплексне число.

Числа    і   вважєють рівними якщо рівні їх дійсні та уявні частини, тобто ,   .

Нехай  комплексне число, тоді комплексноспряженим до нього назвемо число .

Формула Муавра

Нехай  комплексне число. Необхідно піднести задане число в  степінь. Скористаємося правилом множення комплексних чисел:

Розглянемо випадок коли , тоді .

Доведемо, що формула Муавра вірна для будь-яких цілих степенів. Припустимо  і число  необхідно піднести в степінь при .  Маємо:

Запишемо 1 у тригонометричному вигляді:  і перепишемо представлення формули для . Маємо:

.

Приклад застосування формули Муавра

Виразити  і  через , .

Розглянемо комплексне число . За формулою Муавра маємо , а з іншого боку за формулою Бінома:

прирівняємо дійсні та уявні частини:

Тригонометрична форма комплексного числа

 Кожному комплексному числу відповідає деякий вектор на площині, а будь-який вектор задається довжиною і напрямком. Наприклад вектор  можна задати кут якій цей вектор утворює з додатним напрямком осі . Домомвимось, що всі кути відраховуються від осі  проти годинникової стрілки.

Нехай `відповідає комплексному числу  позначимо через  довжину вектора , а через  кут, який утворює цей вектор з додатним напрямком осі , тоді

         

- тригонометрична форма комплексного числа.

Назвемо  - модулем комплексного числа , а  - аргумент комплексного числа (, якщо , то аргумент не визначається).

Нехай , тоді

Для даного комплексного числа  його модуль визначається точно, а аргумент з точністю до періода. Таким чином два числа в тригонометричні формі вважаються рівними, якщо їх модулі рівні, а аргументи відрізняються на число кратне

Мнодення комплексних чисел в тригонометричній формі

 Щоб перемножити комплексні числа в тригонометричному вигляді треба модулі цих чисел помножити а аргументи додати.

Розглянемо випадок множення двох спряжених комплексних чисел в тригонометричній формі

.

Ділення комплексних чисел втригонометричній формі

Дані два числа втригонометричній формі

 

Домножимо чисельник і знаменник на число комплексно спряжене до знаменника:

Тобто, щоб поділити два комплексних числа втиригонометричній формі потрібно поділити модулі, а аргументи відняти.

Алгоритм знаходження НСД

Задано два не нульових многочлени  і .   стст (для однозначності).

Поділимо  на  з залишком  і стст, якщо  то процес закінчуємо, інакше ділимо  на ???? при цьому стст , якщо  то процес закінчуємо інакше  лідимо на  і так далі. Оскільки на кожному кроці степінь залишку зменшується, то за скінченну кількість кроків процес закінчиться. .

Покажемо, що  для цього перевіримо наступні умови:

  1.  покажемо  і  з останньої рівності слідує , аналогічно  і т.д. Одержимо , , .
  2.  Припустимо ,  оскільки , то , з цього слідує  це співвідношення справедливе для наступних  

Умови НСД виконуються, тому .

Корені комплексного числа

Припустимо зафіксоване комплексне число  знайдемо всі корені степеня  числа , якщо вони існують. Запишемо  в тригонометричній формі: . Припустимо  є коренем  в  степені, тобто . Запишемо  в тригонометричній формі: , тоді за фомулою Муавра маємо:

прирівняємо модулі . Тобто модуль числа  визначається однозначно. Крім цього виконується      .

Розглянемо варіанти:

  1.  , тоді   і ;
  2.  , тоді  ;

  1.  , тоді  ;
  2.  , тоді  ;
  3.  , тоді  
  4.  , тоді

Покажемо, що   справедлива наступна нерівність:

і співпадає з одним із чисел   

Поділимо  на  з залишком , де  і , тоді

де . Покажемо всі  є коренями степя . За формулою Муавра маємо:

Оскільки при переході від  до  аргумент зростає на  то всі корені   різні. Таким чином для кожного комплексного числа  існує в точності  коренів  , які визначаються за таким правилом    при . Точки, що відповідають  знаходяться на колі радіуса , і ділять це коло на  рівних частин.

Теорема про найбільший спільний дільник

Нехай , тоді існують такі многочлени  і , що  при цьому  і  можна вибрати так, що стст,  стст.

(Доведення)

Припустимо   і  ненульові многочлени. Доведення існування  і  можна провести двома способами.

І спосіб. Позначимо через  таку множину многочленів , зрозуміло, що . Визначимо властивості множини :

  1.   тоді .  і .
  2.  Якщо  і  довільний многочлен, який не обов’язково належить , то   і .
  3.  Якщо деякий многочлен  і  то    
  4.   і .  , .

З множини  виберемо ненульовий многочлен найбільшого степеня і позначимо його . З (3) якщо  то . Покажемо, що довільний многочлен із  ділиться на . Від супротивного нехай деякий многочлен  не ділиться на  тоді поділимо його із залишком.

при цьому стст

Враховуючи властивості (1),(2) , , тому  і вмножині  знайдеться ненульовий многочлен  степінь якого меньше степеня , що суперечить вибору , тому . За властивістю (4)  , . З означення НСД одержимо , раніше було одержано, що , тому многочлени  і  різняться лише на сталий множник і є асаційовними. З означення асоційовності  такий, що  і за властивість (2) . За означення множини  існують такі многочлени і :  .

ІІ спосіб. Конструктивний, тому дає змогу знайти  і . Нехай  і для визначеності стст. Будемо знаходити НСД за допомогою алгоритма Евкліда.

і

і

тобто , тоді підставимо вирази:

Підставляємо значення. Маємо:

,

Теорема про найбільший спільний дільник (доведення іншим способом).

ІІ спосіб. Конструктивний, тому дає змогу знайти  і . Нехай  і для визначеності стст. Будемо знаходити НСД за допомогою алгоритма Евкліда.

і

і

тобто , тоді підставимо вирази:

Підставляємо значення. Маємо:

, Залишилось довести останню частину теореми, тобто довести, що  і , такі, що . Ділимо  на  з залишком, тобто , де ст<ст. Підставимо . Зрозуміло, що   ст<ст.

Покажемо, що  стст. Припустимо, що стст, тоді стст+ст, що неможливо.

Наслідок.

Нехай  і  взаємнопрості, тоді існують многочлени  і , такі, що  причому  і  можна вибрати так, що стст,   стст.

Схема Горнера та її застосування

,    . Поділимо  на  з остачею.  , де  і ст. . Підставимо . Прирівняємо коефіцієнти при відповідних степенях маємо:

Приклад застосування.

по степеням .

Поділимо  на  із залишком. , де .

, .

1

-6

-1

1

1

1

1

1

1*1-6

-5+1

-5

-4

-4*1+1

1

1

-4

-10

-15

-19

1

1

-3

-13

-28

1

1*1-3

-2*1-15

1

1

-1

1

1

Незвідні многочлени та основна теорема про подільність многочлена

Як відомо простим числом називається число  і дільниками числа  хє саме число і 1. Аналогічним чином в кільці многочленів є незвідні многочлени .

Многочлен  є незвідним над полем  якщо з того що  і ,  слідує, що степінь одного із многочленів рівна нулю, тобтохоч один із многочленів рівний .

Аналогічно основній теоремі арифметики будь-який многочлен відмінний від  можна розкласти в добуток незвідних многочленів.

Нехай ,  незвідні многочлени . Припускаємо, що многочлени мають степінь більшу нуля. Тоді , де . За означенням незвідного многочлена   ст, тобто  при цьому  і ,  - асоційовні.

Лема (про незвідні многочлени).

Нехай  - незвідний многочлен і  і , тоді або  або .

(Доведення)

Припустимо  не ділиться на  і покажемо . Доведемо від супротивного, що многочлени  і  взаємнопрості.  такий, що   ст , , тоді з незвідності многочлена , де , тобта  і  асоціативні. Оскільки , то і для асоційовного виконується . Прийшли до суперечності Таким чином  і  - взаємнопрості і за наслідком з теореми про НСД   такі, що . Домножимо цю рівність на  маємо:

.

Зрозуміло, що  за умовою, тоді .

Зауваження 1.

Індукцією по числу многочленів можна довести наступне твердження. Нехай  незвідний многочлен , де  , тоді хоч для одного номера  .

Зауваження 2.

Доведена лема виконується тільки якщо  незвідний многочлен. Справді, нехай  звідний многочлен, тоді існують такі многочлени, що  і степені цих многочленів більші нуля.

ст=ст+ст тобто ст>ст,  ст>ст,

а тому жодлен із многочленів ,  не ділиться на . Прийшли до суперечності.

Лема про похідну

Означення.

Множник  входить множником в многочлен  з кратністю , якщо  ділиться на  і не ділиться на .

Означення.

Похідною многочлена  степеня більше одиниці назвемо многочлен вигляду . Похідною многочлена нульового степеня вважається нульовий многочлен.

Це алгебраїчне означення похідної співпадає з функціональним. Безпосередньо перевіряються наступні умови:

  1.  ;
  2.  ;
  3.  ;
  4.  .

Лема.

Якщо незвідний многочлен  входить множником до многочлена  з кратність  то  входить до  з кратністю .

(Доведення)

За умовою , де ногочлен  не ділиться на . Знайдемо похідну . Зрозуміло, що  і залишається показати, що  не ділиться на . За умовою леми, це означає , але стст. Прийшли до суперечності.

Наслідок 1

Якщо незвідний многочлен  входить до многочлена  з кратністю 1 то  не ділиться на .

Наслідок 2

Якщо  канонічний розклад многочлена  в добуток незвідних многочленів то НСД .

Наслідок 3

Всі незвідні многочлени входять до канонічного розкладу  з кратністб 1 тоді, і тільки тоді коли многочлени  і  взаємнопрості.

Рівність многочленів

Два многочлени  і  вважаються рівними в алгебраїчному розумінні, якщо рівні їх степені і відповідні коефіцієнти.

Нехай  многочлен над полем , тоді   , тобто многочлен .

Два многочлени  і  вважаються рівними аналітично, якщо вони рівні як відображення  .

Теорема.

Два многочлени  і  над полем  рівні тоді, і тільки тоді, коли вони рівні аналітично і алгебраїчно.

(Доведення)

Зрозуміло, що якщо многочлени  і  рівні алгебраїчно то вони рівні і аналітично. Припумтимо  і  рівні аналітично і позначимо  оскільке числове поле  нескінченне виберемо в ньому  різних елементів . Виконується  при . Позначимо  степінь многочлена  не перевищує  і при цьому , ..., тобто  корені многочлена . Але за доведеним вище многочлен степеня  має не більше чим  коренів. Тоді  нульовий многочлени  і  рівні в алгебраїчному розумінні.

Кратність коренів многочленів

Нехай  деякий многочлен. Якщо  є коренем цього многочлена, то за теоремою Безу . Корінь  ненульового многочлена  коренем кратності  якщо  ділиться на  і не ділиться на .

Корінь кратності 1 називається  простим коренем, корінь степінь якого більше 1 називається кратним коренем.

Лема.

Число коренів даного многочлена з урахуванням їх кратності не перевищує степеня даного многочлена.

(Доведення)

Припустимо  корені многочлена  кратності відповідно . Це означає, що многочлен  ділиться на , але всі многочлени  незвідні, тобто взаємнопрості, а тому  ділиться на добуток многочленів , тобто .  Тоді   ст.

Теорема.

Незвідними над полем  є всі многочлени 1-го степеня і лише вони.

(Доведення)

якщо степінь  дорівнює 1, то многочлен незвідний, якщож степінь більший 1 то за наслідком многочлен можна розкласти в добуток многочленів 1-го степеня і  - звідний.

Незвідні многочлени над плем дійсних чисел

Визначимо деякі типи незвідних многочленів над полем . Припустимо  степеня 1. Такий многочлен незвідний.

Припустимо степінь  рівний 2 і многочлен не має дійсних коренів – незвідний над .

Інших незвідних многочленів над полем  не існує.

Лема.

Нехай  многочлен з дійсними коефіцієнтами степеня більшого 2-х.   комплексний корінь многочлена , тоді  теж корінь многочлена .

(Доведення)

Доведемо деякі властивості комплексноспряжених чисел:

  1.  ;     

,   

,   

  1.   (аналогічно)
  2.  

,   

,   

  1.    

Доведемо твердження леми , де   за умовою   і .

Основна теорема алгебри

Будь-який многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами має хоч один комплексний корінь.

Наслідок.

Будь-який многочлен ненульового степеня з комплексними коефіцієнтами можна розкласти в добуток лінійних многочленів.

(Доведення)

степені більшого 1. За основною теоремою алгебри  має комплексний корінь . За теоремою Безу . Якщо степінь  дорівнює 0 то твердження теореми справедливе. Інакше проведемо аналогічні міркування для многочлена  і т.д. Оскільки на кожному кроці степінь  то прийдемо до 1-го степеня. З наслідку слідує, що число всіх коренів многочлена  з врахуванням їх кратності дорівнює степені многочлена .

Звідні многочлени на полі раціональних чисел

Будемо розв’язувати задачу пошуком раціональних коренів многочлена з раціональними коефіцієнтами. , де  домножимо многочлен  на  при цьому корені многочлена не змінюються, але ми одержимо многочлен з цілими числами.

Задача пошуку раціональних коренів многочлена з раціональними коефіцієнтами зводиться до пошуку раціональних коренів многочлена з цілими коефіцієнтами.

Теорема.

Нехай нескоротиий дріб  є коренем многочлена з цілими коефіцієнтами , де , тоді

  1.   дільник ;
  2.  ;
  3.  

(Доведення)

За умовою  корінь многочлена , тобто . Домножимо даний вираз на  маємо                                         (1)

. Всі доданки в правій частин і містять , а тому . Дріб  нескоротний дріб, тому  і , взаємнопрості числа.

З рівняння   (1)    рдержимо  всі доданки вправій частині діляться на , тому  і оскільки , взаємнопрості числа, то .

Перепишемо рівність    (1)     у вигляді . Нехай  многочлен вигляду , де  тоді многочлен  з цілими коефіцієнтами і з рівності   (1)   випливає, що  число цього ногочлена. За теоремою Безу , де  многочлен з цілими коефіцієнтами, які можна знайти за схемою горнера. Тоді     цілі числа, а тому        . Припустимо  оскільки , взаємнопрості числа, то  і .

Якщо , то вибераємо , тоді  і

. Покажемо, що числа  і  взаємнопрості. Припустимо  спільний дільник. Тоді

і , але числа , взаємнопрості, тому . Остаточно .

Розклад многочленів з дійсними коефіцієнтами в добуток незвідних многочленів

Припустимо  деякий многочлен з дійсними коефіцієнтами степеня більшого 1. Знаходимо корені многочлена . Дійсні корені  мають кратність  відповідно. Комплексні корені  відповідних кратностей . Тоді н полі дійсних чисел многочлен  можна розкласти в добуток . Позначимо , при , тоді многочлен  і многочлени 2-го степеня є незвідними на поді дійсних чисел і розклад вигляду  буде шуканим.

PAGE  12


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

49328. Возможности Hex-редакторов 843.76 KB
  Актуальность: в настоящее время hexредакторы используются в основном профессиональными программистами которые работают с языками низкого уровня. Hexредакторы вместе с дизассемблерами активно применяются хакерами для написания вирусов взлома программ и создания crck’ов. Понятие hexредактора Hexредактор англ.
49329. Цепи постоянного тока 136.43 KB
  Оглавление Цель курсовой работы Постановка задачи Расчет схемы Определение токов и напряжений в ветвях методом контурных токов Определение токов и напряжений в ветвях методом узловых потенциалов Баланс мощности Определение номинальных значений пассивных элементов цепи R LC Моделирование Список использованной литературы Целью курсовой работы является закрепление и...
49332. Синтезирование непрерывной системы управления с астатизмом второго порядка методом желаемой передаточной функции с заданными передаточной функцией объекта 303.87 KB
  Целью выполнения курсовой работы является применение теоретических положений теории управления для синтеза непрерывной системы управления методом желаемой передаточной функции...