22898

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Доклад

Математика и математический анализ

Визначником другого порядку називається число =x1y2–y1x2 Означення. Визначником третього порядку називається число =x1y2z3y1z2x3z1x2y3–z1y2x3–y1x2z3– x1z2y3 У визначнику можна визначити дві діагоналі. Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників.

Украинкский

2013-08-04

94 KB

2 чел.

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Означення. Визначником другого порядку  

називається число =x1y2y1x2

Означення. Визначником третього порядку  називається число =x1y2z3+y1z2x3+z1x2y3z1y2x3y1x2z3x1z2y3

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ визначника утворюють елементи а11, а22, а33. Побічну діагональ цього визначника складають елементи а13, а22, а31.

Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників. Визначник є сумою 6-и добутків, з яких три беруться зі знаком „+” і три – зі знаком „–”. Зі знаком „+” береться добуток елементів головної діагоналі і добуток елементів, які знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними головній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „+”.

*

*

*

Зі знаком „–” береться добуток елементів побічної діагоналі і добутки елементів, що знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними побічній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „–”

*

*

*

ПРИКЛАД:

1

5

-3

6

-8

2

=1∙(-8)∙1+5∙2∙9+6∙3∙(-3)–(-3)∙(-8)∙9- 6∙5∙1–3∙2∙1=

9

3

1

= -8+90–54–216–30–6=-224

Нехай дана система лінійних рівнянь другого порядку

α11x+ α12y=β1

α21x+ α22y=β2

Головним визначником системи називається визначник

α11

α12

Δ=

α21

α22

.

Якщо Δ≠0, для розв’язання системи існують формули Крамера. Домножимо перше рівняння системи на α22, а друге рівняння -  на α12 і віднімемо з першого рівняння друге. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком рівнянь системи, в цьому рівнянні залишається одна змінна х

(α11α22α12α21)x=β1α22β2α12

Згадуючи означення визначника другого порядку, це рівняння можна записати так:

α11

α12

β1

α12

x =

α21

α22

β2

α22

Повернемось до початкової системи: домножимо перше рівняння на α12, друге – на α11 і віднімемо від другого рівняння перше. Одержимо рівняння, в якому лише одна змінна у.

(α11α22α12α21)y= α11β2α21β1

Або

α11

α12

α11

β1

y =

α21

α22

α21

β2

Оскільки 

α11

α12

Δ=

≠0,

то з одержаних рівнянь знаходимо єдиний розв’язок

α21

α22

початкової системи:

β1

α12

α11

β1

x=

β2

α22

             y =   

α21

β2

    

         Δ

        Δ

Позначаючи

β1

α12

α11

β1

Δx=

                 Δy =

, остаточно отримаємо

β2

α22

α21

β2

x= Δx/Δ,  y= Δy/Δ.

Ці формули є формулами Крамера для системи лінійних рівнянь другого порядку.

Перейдемо до систем лінійних рівнянь третього порядку:

α11x+α12y+α13z=β1

α21x+α22y+α23z=β2

α31x+α23y+α33z=β3

Аналогічно системам другого порядку, головним визначником системи називається визначник

α11

α23

α13

  Δ=

α21

α22

α23

α31

α32

α33

Покажемо, що при Δ≠0 для розв’язування системи третього порядку також існують формули Крамера.

Домножимо перше рівняння системи на число (α22α33 α23α32), друге рівняння домножимо на (α13α32 α12α33), третє рівняння – на (α12α23 α13α33) і всі рівняння додамо. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком системи і містить лише одну змінну х.

α12α22α33–α11α23α3221α13α32–α21α12α3331α12α23–α31α13α22)х=

β1α22α33β1α23α32+β2α13α32β2α12α33+β3α12α23β3α13α22


Згадуючи означення визначника третього порядку, перепишемо рівняння у вигляді

 

α11

α12

α13

β1

α12

α13

α21

α22

α23

x=

β2

α22

α23

α31

α32

α33

β3

α32

α33

Покладемо

β1

α23

α13

Δx=

β2

α22

α23

і при Δ≠0 одержуємо x= Δx/Δ.

β3

α32

α33

Проводячи аналогічні міркування для змінних y і z одержимо  y= Δy/Δ z=Δz/Δ, де

α11

β1

α13

α11

α12

β1

         Δy=

α21

β2

α23

Δz=

α21

α22

β2

α31

β3

α33

α31

α32

β3

Таким чином, якщо головний визначник Δ системи лінійних рівнянь третього порядку не дорівнює 0, система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

x= Δx/Δ    y= Δy/Δ      z=Δz/Δ

Нехай дана система лінійних рівнянь n-го порядку

α11x1+α12x2+…+α13xn=β1

α21x1+α22x2+…+α23xn=β2

………………………

α31x1+α23x2+…+α33xn=βn

Для розв’язування подібних систем також існують формули Крамера. Для того, щоб записати ці формули, потрібно ввести поняття визначника    n-го порядку.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48358. Концепции современного естествознания 764 KB
  Специфические черты науки: Наука универсальна она сообщает знания истинные для всего универсума при тех условиях при которых они добыты человеком. сложилась следующая система наук: математические и естественные науки естествознание система наук о природе; социальные науки человекознание система наук о человеке и обществе; технические науки техникознание система наук наиболее тесно связанных с реализацией теоретического знания. Выделяются науки фундаментальные и прикладные. Фундаментальные науки...
48359. ОСНОВЫ ОБЩЕЙ И СОЦИАЛЬНОЙ ПСИХОЛОГИИ 1.26 MB
  Структура психики человека. psyche психика logos учение наука о психическом отражении действительности в процессе деятельности человека. В системе человек право в первую очередь реализуются личностные качества человека как общественного существа включенного в социальные отношения как носителя сознания и в частности правосознания. Правовое регулирование деятельности человека в обществе и государстве осуществляется в сложнейших условиях характеризуется разнообразием моральных и правовых отношений возникающих в сфере...
48360. Педагогика в условиях компетентностно-ориентированного подхода к обучению 1.41 MB
  Автор раскрывает основные вопросы возникновения и развития педагогики теорию и методику обучения воспитания взаимодействия ребенка с различными образовательными институтами организация и проведения уроков в школе.8 Раздел 2 Теория обучения. во втором разделе рассматриваются: теория образования и обучения движущие силы обучения государственный образовательный стандарт методы приемы средства принципы обучения формы организации учебной деятельности урок в школе структура урока анализ урока воспитательная...
48361. Экономическая оценка инвестиций, Курс лекций 2.32 MB
  Использование рычагов при выполнении инвестиционного проекта Понятие рычаг имеет отношение к условиям вызываемым наличием стабильного элемента затрат в сочетании с колебаниями в широких пределах уровня прибыли. Исходное условие инвестирования капитала – получение в будущем экономической отдачи в виде денежных поступлений достаточных для возмещения первоначально инвестированных затрат капитала в течение срока осуществления инвестиционного проекта...
48362. Философия и ее предмет, Общество как органическая целостность 777.5 KB
  Слово философия происходит от греческих филиа (любовь-дружба, возвышенная привязанность) и софия (мудрость) и означает соответственно в буквальном переводе любовь к мудрости. Как и для многих других терминов, происхождение слова раскрывает его современное содержание не полностью, но указывает направленность философского исследования (философия стремится к мудрости).
48363. Лексика художественного произведения 23.5 KB
  Архаизмы – слова ныне не употребляемые хотя бы явления и понятия ими обозначаемые существовали до нашего времени. Историзмы – слова обозначающие уже не существующие явления прошлого. Неологизмы – новые ранее не существовавшие в языке слова. Не следует смешивать двух разных явлений: употребления писателями неологизмов которые уже вошли в словарный состав языка и создания неологизмов самими писателями.
48364. Основы бухгалтерского учета в Российской Федерации 713.5 KB
  Организация бухгалтерского учета в организации. Корректировка может производиться ежемесячно или ежеквартально с отнесением полученных разниц на финансовые результаты организации. Учет собственного капитала организации Бухгалтерская отчетность организации.
48365. Три теорії теплоємності 152.5 KB
  Теплоємність Теплоємність в класичній теорії. теплоємність Ейнштейна Теплоємність в теорії Дебая.
48366. Термічний аналіз. Температура та методи її вимірювання 961.5 KB
  Температура та методи її вимірювання Питання що розглядаються: Визначення температури. Шкали температур. Методи вимірювання температури.