22898

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Доклад

Математика и математический анализ

Визначником другого порядку називається число =x1y2–y1x2 Означення. Визначником третього порядку називається число =x1y2z3y1z2x3z1x2y3–z1y2x3–y1x2z3– x1z2y3 У визначнику можна визначити дві діагоналі. Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників.

Украинкский

2013-08-04

94 KB

2 чел.

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Означення. Визначником другого порядку  

називається число =x1y2y1x2

Означення. Визначником третього порядку  називається число =x1y2z3+y1z2x3+z1x2y3z1y2x3y1x2z3x1z2y3

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ визначника утворюють елементи а11, а22, а33. Побічну діагональ цього визначника складають елементи а13, а22, а31.

Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників. Визначник є сумою 6-и добутків, з яких три беруться зі знаком „+” і три – зі знаком „–”. Зі знаком „+” береться добуток елементів головної діагоналі і добуток елементів, які знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними головній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „+”.

*

*

*

Зі знаком „–” береться добуток елементів побічної діагоналі і добутки елементів, що знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними побічній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „–”

*

*

*

ПРИКЛАД:

1

5

-3

6

-8

2

=1∙(-8)∙1+5∙2∙9+6∙3∙(-3)–(-3)∙(-8)∙9- 6∙5∙1–3∙2∙1=

9

3

1

= -8+90–54–216–30–6=-224

Нехай дана система лінійних рівнянь другого порядку

α11x+ α12y=β1

α21x+ α22y=β2

Головним визначником системи називається визначник

α11

α12

Δ=

α21

α22

.

Якщо Δ≠0, для розв’язання системи існують формули Крамера. Домножимо перше рівняння системи на α22, а друге рівняння -  на α12 і віднімемо з першого рівняння друге. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком рівнянь системи, в цьому рівнянні залишається одна змінна х

(α11α22α12α21)x=β1α22β2α12

Згадуючи означення визначника другого порядку, це рівняння можна записати так:

α11

α12

β1

α12

x =

α21

α22

β2

α22

Повернемось до початкової системи: домножимо перше рівняння на α12, друге – на α11 і віднімемо від другого рівняння перше. Одержимо рівняння, в якому лише одна змінна у.

(α11α22α12α21)y= α11β2α21β1

Або

α11

α12

α11

β1

y =

α21

α22

α21

β2

Оскільки 

α11

α12

Δ=

≠0,

то з одержаних рівнянь знаходимо єдиний розв’язок

α21

α22

початкової системи:

β1

α12

α11

β1

x=

β2

α22

             y =   

α21

β2

    

         Δ

        Δ

Позначаючи

β1

α12

α11

β1

Δx=

                 Δy =

, остаточно отримаємо

β2

α22

α21

β2

x= Δx/Δ,  y= Δy/Δ.

Ці формули є формулами Крамера для системи лінійних рівнянь другого порядку.

Перейдемо до систем лінійних рівнянь третього порядку:

α11x+α12y+α13z=β1

α21x+α22y+α23z=β2

α31x+α23y+α33z=β3

Аналогічно системам другого порядку, головним визначником системи називається визначник

α11

α23

α13

  Δ=

α21

α22

α23

α31

α32

α33

Покажемо, що при Δ≠0 для розв’язування системи третього порядку також існують формули Крамера.

Домножимо перше рівняння системи на число (α22α33 α23α32), друге рівняння домножимо на (α13α32 α12α33), третє рівняння – на (α12α23 α13α33) і всі рівняння додамо. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком системи і містить лише одну змінну х.

α12α22α33–α11α23α3221α13α32–α21α12α3331α12α23–α31α13α22)х=

β1α22α33β1α23α32+β2α13α32β2α12α33+β3α12α23β3α13α22


Згадуючи означення визначника третього порядку, перепишемо рівняння у вигляді

 

α11

α12

α13

β1

α12

α13

α21

α22

α23

x=

β2

α22

α23

α31

α32

α33

β3

α32

α33

Покладемо

β1

α23

α13

Δx=

β2

α22

α23

і при Δ≠0 одержуємо x= Δx/Δ.

β3

α32

α33

Проводячи аналогічні міркування для змінних y і z одержимо  y= Δy/Δ z=Δz/Δ, де

α11

β1

α13

α11

α12

β1

         Δy=

α21

β2

α23

Δz=

α21

α22

β2

α31

β3

α33

α31

α32

β3

Таким чином, якщо головний визначник Δ системи лінійних рівнянь третього порядку не дорівнює 0, система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

x= Δx/Δ    y= Δy/Δ      z=Δz/Δ

Нехай дана система лінійних рівнянь n-го порядку

α11x1+α12x2+…+α13xn=β1

α21x1+α22x2+…+α23xn=β2

………………………

α31x1+α23x2+…+α33xn=βn

Для розв’язування подібних систем також існують формули Крамера. Для того, щоб записати ці формули, потрібно ввести поняття визначника    n-го порядку.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50817. Определение теплоёмкости металлов методом охлаждения 154.5 KB
  Металлический образец, имеющий температуру более высокую, чем температура окружающей среды, в этой среде охлаждается. Кол-во теплоты q , теряемой образцом металла за единицу времени t может быть записано в виде...
50818. Каскадные листы стилей CSS 330.5 KB
  Значение 0 соответствует полной прозрачности элемента а 1 наоборот его непрозрачности.2 Oper 9 border позволяет одновременно установить толщину стиль и цвет рамки вокруг элемента.
50819. Построение и экспериментальная проверка статической характеристики замкнутой системы 868 KB
  Освоить методику аналитического построения статической характеристики замкнутой САР по статическим характеристикам отдельных элементов. Под статической характеристикой замкнутой САР понимают функциональную зависимость регулируемой величины от задающего и возмущающих воздействий снятую на установившихся режимах. Если регулируемая величина на установившемся режиме не зависит от возмущающих воздействий то такая система называется астатической а если зависит то статической.
50820. Определение теплоёмкости методом Клемана и Дезорма 58.5 KB
  Эта величина, в частности, определяет скорость распространения звука в газах; от неё зависит течение газов по трубам со звуковыми скоростями и достижение сверхзвуковых скоростей в трубах, сначала суживающихся, а затем резко расширяющихся (сопла Лаваля). Основная идея метода Клемана и Дезорма состоит в следующем.
50821. DHTML и JavaScript на web-страницах 560 KB
  Цель работы: ознакомиться с основными возможностями языка JavaScript, синтаксисом, встроенными объектами, событиями DHTML, получить практические навыки программирования на языке JavaScript.
50822. Экспериментальное определение характеристик объекта регулирования, выбор закона регулирования и расчет параметров настроек регулятора 804 KB
  Изучить инженерный метод выбора закона регулирования и расчета параметров настроек регуляторов непрерывного действия. Характеристики объектов регулирования Большинство промышленных объектов можно представить в виде элементов которые являются аккумуляторами вещества или энергии. Динамические и статические свойства объекта регулирования описываются дифференциальными уравнениями.
50823. Скриптовый язык программирования PHP 298 KB
  Он может также использоваться для создания изображений и манипуляций с файлами изображений различных форматов включая gif png jpg wbmp и xpm. Обратите внимание что здесь предполагается использование имени...
50824. Проектирование салона швейного предприятия сервиса 156 KB
  Рассчитать численность работающих и площадь салона.Согласно варианту задания дать краткую характеристику приемного салона по зонам.1 Исходные данные для проектирования салона Таблица 4.
50825. Имитационное моделирование. Разработка модели системы массового обслуживания в Arene 807.5 KB
  Практическая часть Исходные данные для рассмотренного в практической части примера: В салон по сборке компьютеров со среднем временем в 15 минут приходит 1 клиент что определяется по экспоненциальному закону чтобы выбрать компьютер ПК. Выбор ПК осуществляется в течении 1520 минут. Отдел по сборке системного блока осуществляет единичный заказ в течение 4050 минут в то время как отдел по подбору соответствующих монитора и периферийных устройств делает свой единичный заказ в течение 540 минут. Определить необходимое минимальное...