22898

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Доклад

Математика и математический анализ

Визначником другого порядку називається число =x1y2y1x2 Означення. Визначником третього порядку називається число =x1y2z3y1z2x3z1x2y3z1y2x3y1x2z3 x1z2y3 У визначнику можна визначити дві діагоналі. Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників.

Украинкский

2013-08-04

94 KB

2 чел.

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Означення. Визначником другого порядку  

називається число =x1y2y1x2

Означення. Визначником третього порядку  називається число =x1y2z3+y1z2x3+z1x2y3z1y2x3y1x2z3x1z2y3

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ визначника утворюють елементи а11, а22, а33. Побічну діагональ цього визначника складають елементи а13, а22, а31.

Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників. Визначник є сумою 6-и добутків, з яких три беруться зі знаком „+” і три – зі знаком „–”. Зі знаком „+” береться добуток елементів головної діагоналі і добуток елементів, які знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними головній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „+”.

*

*

*

Зі знаком „–” береться добуток елементів побічної діагоналі і добутки елементів, що знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними побічній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „–”

*

*

*

ПРИКЛАД:

1

5

-3

6

-8

2

=1∙(-8)∙1+5∙2∙9+6∙3∙(-3)–(-3)∙(-8)∙9- 6∙5∙1–3∙2∙1=

9

3

1

= -8+90–54–216–30–6=-224

Нехай дана система лінійних рівнянь другого порядку

α11x+ α12y=β1

α21x+ α22y=β2

Головним визначником системи називається визначник

α11

α12

Δ=

α21

α22

.

Якщо Δ≠0, для розв’язання системи існують формули Крамера. Домножимо перше рівняння системи на α22, а друге рівняння -  на α12 і віднімемо з першого рівняння друге. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком рівнянь системи, в цьому рівнянні залишається одна змінна х

(α11α22α12α21)x=β1α22β2α12

Згадуючи означення визначника другого порядку, це рівняння можна записати так:

α11

α12

β1

α12

x =

α21

α22

β2

α22

Повернемось до початкової системи: домножимо перше рівняння на α12, друге – на α11 і віднімемо від другого рівняння перше. Одержимо рівняння, в якому лише одна змінна у.

(α11α22α12α21)y= α11β2α21β1

Або

α11

α12

α11

β1

y =

α21

α22

α21

β2

Оскільки 

α11

α12

Δ=

≠0,

то з одержаних рівнянь знаходимо єдиний розв’язок

α21

α22

початкової системи:

β1

α12

α11

β1

x=

β2

α22

             y =   

α21

β2

    

         Δ

        Δ

Позначаючи

β1

α12

α11

β1

Δx=

                 Δy =

, остаточно отримаємо

β2

α22

α21

β2

x= Δx/Δ,  y= Δy/Δ.

Ці формули є формулами Крамера для системи лінійних рівнянь другого порядку.

Перейдемо до систем лінійних рівнянь третього порядку:

α11x+α12y+α13z=β1

α21x+α22y+α23z=β2

α31x+α23y+α33z=β3

Аналогічно системам другого порядку, головним визначником системи називається визначник

α11

α23

α13

  Δ=

α21

α22

α23

α31

α32

α33

Покажемо, що при Δ≠0 для розв’язування системи третього порядку також існують формули Крамера.

Домножимо перше рівняння системи на число (α22α33 α23α32), друге рівняння домножимо на (α13α32 α12α33), третє рівняння – на (α12α23 α13α33) і всі рівняння додамо. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком системи і містить лише одну змінну х.

α12α22α33–α11α23α3221α13α32–α21α12α3331α12α23–α31α13α22)х=

β1α22α33β1α23α32+β2α13α32β2α12α33+β3α12α23β3α13α22


Згадуючи означення визначника третього порядку, перепишемо рівняння у вигляді

 

α11

α12

α13

β1

α12

α13

α21

α22

α23

x=

β2

α22

α23

α31

α32

α33

β3

α32

α33

Покладемо

β1

α23

α13

Δx=

β2

α22

α23

і при Δ≠0 одержуємо x= Δx/Δ.

β3

α32

α33

Проводячи аналогічні міркування для змінних y і z одержимо  y= Δy/Δ z=Δz/Δ, де

α11

β1

α13

α11

α12

β1

         Δy=

α21

β2

α23

Δz=

α21

α22

β2

α31

β3

α33

α31

α32

β3

Таким чином, якщо головний визначник Δ системи лінійних рівнянь третього порядку не дорівнює 0, система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

x= Δx/Δ    y= Δy/Δ      z=Δz/Δ

Нехай дана система лінійних рівнянь n-го порядку

α11x1+α12x2+…+α13xn=β1

α21x1+α22x2+…+α23xn=β2

………………………

α31x1+α23x2+…+α33xn=βn

Для розв’язування подібних систем також існують формули Крамера. Для того, щоб записати ці формули, потрібно ввести поняття визначника    n-го порядку.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

82416. Философия жизни 46.62 KB
  Сознание дух только средства и орудия на службе у жизни. Метафизика это проектированиетотальности жизни на бытие. Все метафизические истолкования и интерпретации мира покоятся напереживании жизни.
82417. Психоанализ З. Фрейда. Фрейдизм, неофрейдизм 28.64 KB
  Классическая психология до Фрейда изучала явления сознания как они проявлялись у здорового человека. Фрейд как психопатолог исследуя характер и причины неврозов натолкнулся на ту область человеческой психики которая раньше никак не изучалась но которая имела большое значение для жизнедеятельности человека бессознательное. Особое значение Фрейд придает психосексуальному развитию человека влиянию его инстинктивной сексуальнобиологической энергии либидо на жизнь его чувств и поведение. В дальнейшем поведение ребенка а затем юноши и...
82418. Феноменология Э. Гуссерля: идейно-теоретические истоки, основные идеи, понятия, этапы развития 38.34 KB
  Феноменология Гуссерля широкое в потенции бесконечное поле методологических а также гносеологических онтологических этических эстетических социальнофилософских исследований любой темы философии через возврат к феноменам сознания и их анализу. Результатом исполнения феноменологической редукции является перемещение на исследовательскую почву чистого сознания; 4 чистое сознание есть смоделированное феноменологией сложное единство структурных элементов и сущностных взаимосвязей сознания. Оригинальность и теоретическая значимость...
82419. Особенности восприятия феноменологии Э. Гуссерля в современной зарубежной философии 34.99 KB
  Гуссерля в современной зарубежной философии Возникновение феноменологии как философского течения связано с творчеством Эдмунда Гуссерля 1859 1938. Однако постепенно происходит изменение его научных интересов в пользуфилософии. Гуссерль изложил в следующих работах: Логические исследования 1901 Философия как строгая наука 1911 Идеи чистой феноменологии и феноменологической философии 1913 Трансцендентальная логика и формальная логика 1921 Картезианские размышления 1931. Особенность философии Э.
82420. Немецкая философия экзистенциализма 29.08 KB
  Основная работа Бытие и время 1927 подчинена трем задачам: 1 выявить фундаментальную структуру здесьбытия как бытиявмире; 2 показать что бытиевмире является временным и историчным; 3 на основе временности здесьбытия осознать необходимую принадлежность времени к смыслу бытия. здесьбытие выступает основой его экзистенциальной онтологии. ставит вопрос о том что есть бытие само по себе и решает его через рассмотрение человеческого бытия поскольку только оно наделено возможностью понимания бытия. Человеческое бытие...
82421. Французская экзистенциальная философия 37.43 KB
  Экзистенциализм — возможно, наиболее популярное (наряду с психоанализом) философское течение нашего времени. Его название происходит от немецкого «existieren» и французского «exister» — существовать, и обращено не к выяснению сущности человека, а к его повседневному бытию
82422. Персонализм 35 KB
  Французский персонализм одно из ведущих философских течений современности; вместе с феноменологией экзистенциализмом и неотомизмом он составил целую эпоху в интеллектуальной жизни Франции первой половины XX в. Датой рождения французского персонализма считается октябрь 1932 г. Основоположник и главный теоретик французского персонализма Эммануэль Мунье 19051950 профессиональный философ католик по вероисповеданию; ему удалось сплотить вокруг Esprit творческую молодежь философов социологов публицистов литераторов литературных и...
82423. Философская герменевтика. Трудности перехода от понимания как способа познания к пониманию как способу существования 30.84 KB
  Хотя история герменевтики может быть прослежена через Средневековье до античности понятие герменевтики в его современном значении восходит к Новому времени. Революционный шаг в становлении герменевтики как самостоятельной дисциплины сделан Шлейермахером принципиально расширившим сферу подлежащих истолкованию текстов: для Шлейермахера это учение об искусстве понимания письменных документов вообще. Задачу герменевтики составляет прояснение условий делающих возможным уразумение смысла того или иного текста. Важным этапом становления...
82424. Аналитическая философия XX века: основные направления и проблемы 28.31 KB
  Одна из отличительных черт интеллектуальной культуры XX столетия развитие и нарастающее влияние аналитической философии. Главные цели философии анализа выявление структуры мысли прояснение всего смутного невнятного достижение прозрачного соотнесения языка и реальности четкое разграничение значимых и пустых выражений осмысленных и бессмысленных фраз. Внутри аналитической философии выделяют два направления: философию логического анализа и философию лингвистического анализа или лингвистическую философию. Исходные проблемы и понятия...