22898

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Доклад

Математика и математический анализ

Визначником другого порядку називається число =x1y2–y1x2 Означення. Визначником третього порядку називається число =x1y2z3y1z2x3z1x2y3–z1y2x3–y1x2z3– x1z2y3 У визначнику можна визначити дві діагоналі. Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників.

Украинкский

2013-08-04

94 KB

2 чел.

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Означення. Визначником другого порядку  

називається число =x1y2y1x2

Означення. Визначником третього порядку  називається число =x1y2z3+y1z2x3+z1x2y3z1y2x3y1x2z3x1z2y3

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ визначника утворюють елементи а11, а22, а33. Побічну діагональ цього визначника складають елементи а13, а22, а31.

Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників. Визначник є сумою 6-и добутків, з яких три беруться зі знаком „+” і три – зі знаком „–”. Зі знаком „+” береться добуток елементів головної діагоналі і добуток елементів, які знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними головній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „+”.

*

*

*

Зі знаком „–” береться добуток елементів побічної діагоналі і добутки елементів, що знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними побічній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „–”

*

*

*

ПРИКЛАД:

1

5

-3

6

-8

2

=1∙(-8)∙1+5∙2∙9+6∙3∙(-3)–(-3)∙(-8)∙9- 6∙5∙1–3∙2∙1=

9

3

1

= -8+90–54–216–30–6=-224

Нехай дана система лінійних рівнянь другого порядку

α11x+ α12y=β1

α21x+ α22y=β2

Головним визначником системи називається визначник

α11

α12

Δ=

α21

α22

.

Якщо Δ≠0, для розв’язання системи існують формули Крамера. Домножимо перше рівняння системи на α22, а друге рівняння -  на α12 і віднімемо з першого рівняння друге. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком рівнянь системи, в цьому рівнянні залишається одна змінна х

(α11α22α12α21)x=β1α22β2α12

Згадуючи означення визначника другого порядку, це рівняння можна записати так:

α11

α12

β1

α12

x =

α21

α22

β2

α22

Повернемось до початкової системи: домножимо перше рівняння на α12, друге – на α11 і віднімемо від другого рівняння перше. Одержимо рівняння, в якому лише одна змінна у.

(α11α22α12α21)y= α11β2α21β1

Або

α11

α12

α11

β1

y =

α21

α22

α21

β2

Оскільки 

α11

α12

Δ=

≠0,

то з одержаних рівнянь знаходимо єдиний розв’язок

α21

α22

початкової системи:

β1

α12

α11

β1

x=

β2

α22

             y =   

α21

β2

    

         Δ

        Δ

Позначаючи

β1

α12

α11

β1

Δx=

                 Δy =

, остаточно отримаємо

β2

α22

α21

β2

x= Δx/Δ,  y= Δy/Δ.

Ці формули є формулами Крамера для системи лінійних рівнянь другого порядку.

Перейдемо до систем лінійних рівнянь третього порядку:

α11x+α12y+α13z=β1

α21x+α22y+α23z=β2

α31x+α23y+α33z=β3

Аналогічно системам другого порядку, головним визначником системи називається визначник

α11

α23

α13

  Δ=

α21

α22

α23

α31

α32

α33

Покажемо, що при Δ≠0 для розв’язування системи третього порядку також існують формули Крамера.

Домножимо перше рівняння системи на число (α22α33 α23α32), друге рівняння домножимо на (α13α32 α12α33), третє рівняння – на (α12α23 α13α33) і всі рівняння додамо. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком системи і містить лише одну змінну х.

α12α22α33–α11α23α3221α13α32–α21α12α3331α12α23–α31α13α22)х=

β1α22α33β1α23α32+β2α13α32β2α12α33+β3α12α23β3α13α22


Згадуючи означення визначника третього порядку, перепишемо рівняння у вигляді

 

α11

α12

α13

β1

α12

α13

α21

α22

α23

x=

β2

α22

α23

α31

α32

α33

β3

α32

α33

Покладемо

β1

α23

α13

Δx=

β2

α22

α23

і при Δ≠0 одержуємо x= Δx/Δ.

β3

α32

α33

Проводячи аналогічні міркування для змінних y і z одержимо  y= Δy/Δ z=Δz/Δ, де

α11

β1

α13

α11

α12

β1

         Δy=

α21

β2

α23

Δz=

α21

α22

β2

α31

β3

α33

α31

α32

β3

Таким чином, якщо головний визначник Δ системи лінійних рівнянь третього порядку не дорівнює 0, система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

x= Δx/Δ    y= Δy/Δ      z=Δz/Δ

Нехай дана система лінійних рівнянь n-го порядку

α11x1+α12x2+…+α13xn=β1

α21x1+α22x2+…+α23xn=β2

………………………

α31x1+α23x2+…+α33xn=βn

Для розв’язування подібних систем також існують формули Крамера. Для того, щоб записати ці формули, потрібно ввести поняття визначника    n-го порядку.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66545. Многопоточность. Межпроцессорные взаимодействия 49 KB
  Два дочерних процесса выполняют некоторые циклы работ, передавая после окончания очередного цикла через очереди сообщений родительскому процессу очередные четыре строки некоторого стихотворения, при этом первый процесс передает нечетные четверостишья, второй - четные.
66546. МНОГОПОТОЧНОСТЬ. МЕЖПРОЦЕССНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ 64.6 KB
  Написать программу, создающую два потока, которые выполняются в одном адресном пространстве (в одном процессе). Их разделяемый ресурс - целочисленный массив, который содержит данные совместного использования. Потоки должны обрабатывать массив поочередно.
66547. Разработка и отладка алгоритмов и программ c использованием структур данных 87.42 KB
  Цель работы: Получить практические навыки в разработке алгоритмов и написании программ на языке С с использованием структур данных. Оборудование: IBM – совместимый компьютер, Система программирования QC 2.5.
66548. Электрические аппараты систем автоматического управления 2.5 MB
  К этой группе относятся реле и датчики. Если при плавном изменении входной регулируемой величины выходной сигнал аппарата изменяется скачком то мы имеем дело с реле. К ним относятся автоматические выключатели реле тока напряжения плавкие предохранители тепловые реле и пр.
66549. Решение граничных задач для ОДУ. Метод сеток для дифференциальных уравнений в частных производных 196.5 KB
  В прямоугольной области строится сеточная область из одинаковых ячеек и приближающая область. В каждом узле исходное уравнение заменяется конечно-разностным уравнением. Приближенные значения производных в каждом узле находятся по значениям искомой функции в соседних узлах.
66550. Исследование дополнительных режимов работы беспроводного оборудования с применением антенно-фидерного оборудования 52 KB
  Цель работы: исследовать зоны покрытия электромагнитных волн антенн и антенно-фидерное оборудование. I.Исследование штатной антенны точки доступа DWL-2100AP 1.Включаем точки доступа DWL-G132 и DWL-2100AP 2.Выбираем внешнюю или внутреннюю антенны у DWL-2100AP...
66551. ДОСЛІДЖЕННЯ ТРИФАЗНОГО ЕЛЕКТРИЧНОГО КОЛА ПРИ 3’ЄДНАННІ СПОЖИВАЧІВ ЗІРКОЮ 1.01 MB
  Дослідити і вивчити режими роботи та властивості трифазних електричних кіл при з’єднанні фаз споживачів зіркою з нейтральним проводом і без нього. Перевірити співвідношення між фазними і лінійними напругам та струмами.
66552. Нейро-нечіткі мережі для поданя і обробки знань 102.15 KB
  Нейрониі мережі, наприклад, є зручними для задач розпізнавання образів, але дуже незручні для пояснення, як вони таке розпізнавання здійснюють. Вони можуть автоматично здобувати знання, але процес їхнього навчання найчастіше відбувається досить повільно
66553. Діагностика ПК POST-картами 140 KB
  Мета: Навчитися проводити діагностику ПК за допомогою POSTкартами Одним з найпростіших і ефективніших способів діагностики стану материнських плат при технічному обслуговуванні і ремонті персональних комп'ютерів є використання результатів виконання спеціальної процедури...