22898

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Доклад

Математика и математический анализ

Визначником другого порядку називається число =x1y2–y1x2 Означення. Визначником третього порядку називається число =x1y2z3y1z2x3z1x2y3–z1y2x3–y1x2z3– x1z2y3 У визначнику можна визначити дві діагоналі. Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників.

Украинкский

2013-08-04

94 KB

2 чел.

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Означення. Визначником другого порядку  

називається число =x1y2y1x2

Означення. Визначником третього порядку  називається число =x1y2z3+y1z2x3+z1x2y3z1y2x3y1x2z3x1z2y3

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ визначника утворюють елементи а11, а22, а33. Побічну діагональ цього визначника складають елементи а13, а22, а31.

Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників. Визначник є сумою 6-и добутків, з яких три беруться зі знаком „+” і три – зі знаком „–”. Зі знаком „+” береться добуток елементів головної діагоналі і добуток елементів, які знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними головній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „+”.

*

*

*

Зі знаком „–” береться добуток елементів побічної діагоналі і добутки елементів, що знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними побічній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „–”

*

*

*

ПРИКЛАД:

1

5

-3

6

-8

2

=1∙(-8)∙1+5∙2∙9+6∙3∙(-3)–(-3)∙(-8)∙9- 6∙5∙1–3∙2∙1=

9

3

1

= -8+90–54–216–30–6=-224

Нехай дана система лінійних рівнянь другого порядку

α11x+ α12y=β1

α21x+ α22y=β2

Головним визначником системи називається визначник

α11

α12

Δ=

α21

α22

.

Якщо Δ≠0, для розв’язання системи існують формули Крамера. Домножимо перше рівняння системи на α22, а друге рівняння -  на α12 і віднімемо з першого рівняння друге. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком рівнянь системи, в цьому рівнянні залишається одна змінна х

(α11α22α12α21)x=β1α22β2α12

Згадуючи означення визначника другого порядку, це рівняння можна записати так:

α11

α12

β1

α12

x =

α21

α22

β2

α22

Повернемось до початкової системи: домножимо перше рівняння на α12, друге – на α11 і віднімемо від другого рівняння перше. Одержимо рівняння, в якому лише одна змінна у.

(α11α22α12α21)y= α11β2α21β1

Або

α11

α12

α11

β1

y =

α21

α22

α21

β2

Оскільки 

α11

α12

Δ=

≠0,

то з одержаних рівнянь знаходимо єдиний розв’язок

α21

α22

початкової системи:

β1

α12

α11

β1

x=

β2

α22

             y =   

α21

β2

    

         Δ

        Δ

Позначаючи

β1

α12

α11

β1

Δx=

                 Δy =

, остаточно отримаємо

β2

α22

α21

β2

x= Δx/Δ,  y= Δy/Δ.

Ці формули є формулами Крамера для системи лінійних рівнянь другого порядку.

Перейдемо до систем лінійних рівнянь третього порядку:

α11x+α12y+α13z=β1

α21x+α22y+α23z=β2

α31x+α23y+α33z=β3

Аналогічно системам другого порядку, головним визначником системи називається визначник

α11

α23

α13

  Δ=

α21

α22

α23

α31

α32

α33

Покажемо, що при Δ≠0 для розв’язування системи третього порядку також існують формули Крамера.

Домножимо перше рівняння системи на число (α22α33 α23α32), друге рівняння домножимо на (α13α32 α12α33), третє рівняння – на (α12α23 α13α33) і всі рівняння додамо. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком системи і містить лише одну змінну х.

α12α22α33–α11α23α3221α13α32–α21α12α3331α12α23–α31α13α22)х=

β1α22α33β1α23α32+β2α13α32β2α12α33+β3α12α23β3α13α22


Згадуючи означення визначника третього порядку, перепишемо рівняння у вигляді

 

α11

α12

α13

β1

α12

α13

α21

α22

α23

x=

β2

α22

α23

α31

α32

α33

β3

α32

α33

Покладемо

β1

α23

α13

Δx=

β2

α22

α23

і при Δ≠0 одержуємо x= Δx/Δ.

β3

α32

α33

Проводячи аналогічні міркування для змінних y і z одержимо  y= Δy/Δ z=Δz/Δ, де

α11

β1

α13

α11

α12

β1

         Δy=

α21

β2

α23

Δz=

α21

α22

β2

α31

β3

α33

α31

α32

β3

Таким чином, якщо головний визначник Δ системи лінійних рівнянь третього порядку не дорівнює 0, система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

x= Δx/Δ    y= Δy/Δ      z=Δz/Δ

Нехай дана система лінійних рівнянь n-го порядку

α11x1+α12x2+…+α13xn=β1

α21x1+α22x2+…+α23xn=β2

………………………

α31x1+α23x2+…+α33xn=βn

Для розв’язування подібних систем також існують формули Крамера. Для того, щоб записати ці формули, потрібно ввести поняття визначника    n-го порядку.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34476. Русское искусство 17в.: Живопись С. Ушакова. Деятельность оружейной палаты. Фресковая живопись. Парсуна 17.72 KB
  Тяга к наукам интерес в литературе к реальным сюжетам рост светской публицистики нарушение иконографических канонов в живописи сближение культового и гражданского зодчества любовь к декору к полихромии в архитектуре да и во всех изобразительных искусствах – все это говорит о быстром процессе обмирщения культуры XVII в. Во главе нового движения провозглашающего те задачи живописи которые вели по сути к разрыву с древнерусской иконописной традицией стоял царский изограф теоретик искусства Симон Ушаков 1626–1686 взгляды которого...
34477. Строгоновская и годуновская школа иконописи. Особенности выразительного языка 18.35 KB
  Второе – строгановская школа условно названная так потому что некоторые иконы выполнялись по заказу именитых людей Строгановых. Собирали иконы шитье и резьбу так что их домашние молельни стали настоящими музеями. Так они особенно ценили иконы совсем небольшого размера однако включающие не меньше отдельных сцен чем многоаршинный иконостас. Иконы этого типа напоминающие миниатюру или драгоценные эмалевые изделия и принято называть строгановскими даже если они не были написаны в мастерских Строгановых.
34478. Русское искусство первой трети 18в. Эпоха реформ Петра 1. Строительство Петербурга. Петровское барокко. Скульптура К.Б. Растрелли 72 KB
  Петровское барокко. Петровское барокко историкорегиональный стиль архитектуры СанктПетербурга сложившийся при жизни его основателя Петра Великого в первой четверти XVIII в. Стиль петровского барокко впитал в себя множество разнородных элементов и потому не является Барокко в полном значении этого слова. Так же петровскому барокко свойственна двуцветная окраска зданий чаще красная с белым и плоскостная трактовка декора.
34479. Русское искусство первой трети 18в.: формирование живописного портрета. Преображенская серия. Творчество живописцев И.Н. Никитина, А.М. Матвева 32.5 KB
  : формирование живописного портрета. Еще в XVII веке возник прообраз реалистического портрета значительно отличающийся от старого условного иконописания. В портрете XVIII столетия проявился исключительный интерес к человеку. Уже в так называемой Преображенской серии портретов которые долго было принято называть в науке портретами шутов так как они исполнены с лиц участвовавших в таком сатирическом конклаве как Всепьянейший сумасбродный собор всешутейшего князьпапы видно напряженное внимание к человеческому лицу к реалиям быта.
34480. Русское искусство сер.18в.:Елизаветинское барокко. Интерьеры. Архитектура. Деятельность Б.Ф. Растрелли. Тенденции рококо и барокко в интерьерах и мебели 31 KB
  :Елизаветинское барокко. Тенденции рококо и барокко в интерьерах и мебели. делится на два этапа: 30е годы – мрачное время правления Анны Иоанновны засилья иноземцев и 40–50е годы – годы елизаветинского правления некоторого смягчения нравов предыдущего времени роста национального самосознания поощрения всего отечественного время сложения стиля русского барокко знаменующего синтез всех видов искусства. Елизаветинское барокко – художественный стиль характерный для времени Елизаветы.
34481. Русское искусство середины 18в.: Живопись – расцвет портрета. Своеобразие творческого метода живописцев И.Я. Вишнякова, И.П. Аргунова, Л.П. Антропова 36 KB
  : Живопись – расцвет портрета. В его портретах особенно детских отразился дух русского рокайльного искусства но в них нет бездушности фривольности наружной слащавости и галантности присущих западному рококо. Но лица в портретах пронизаны теплотой и душевностью в них есть особая интимность и непритязательность обаяние и цельность образа. Аргунов первые приобретшие известность портреты соединяют в себе принцип композиции западноевропейского парадного портрета и идущие от парсуны черты застылости живописной сухости плоскостности.
34482. Русское искусство середины 18в.: Архитектура – от барокко к классицизму 31 KB
  : Архитектура – от барокко к классицизму. Переход от барокко к классицизму был одним из самых быстрых в смене стилей отечественной архитектуры. Конец 1750х годов еще расцвет барокко. Барокко как самостоятельный стиль в русской архитектуре оформилось в 1730х годах.
34483. Русская архитектура середины 18в. Школа Д. В.Ухтомского. Своеобразие архитектурного почерка 33 KB
  Ухтомского заключалась в руководстве правильной застройкой города. Ухтомского. Ухтомского выходили отличные зодчие примером чего может служить М. Ухтомского.
34484. Русская архитектура второй половины 18в. Деятельность М.Ф. Казакова 35 KB
  Казакова М. Казаков – ученик архитектурной школы известного русского зодчего Д. возглавил школу и команду Казаков приобрел большой строительный опыт: участвовал в создании Головинского дворца Триумфальных ворот на Страстной площади в честь коронации Екатерины II галереи Оружейной палаты. Впервые дарование Казакова как архитектора раскрылось во время его участия в восстановлении Твери после пожара в мае 1763 г.