22898

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Доклад

Математика и математический анализ

Визначником другого порядку називається число =x1y2y1x2 Означення. Визначником третього порядку називається число =x1y2z3y1z2x3z1x2y3z1y2x3y1x2z3 x1z2y3 У визначнику можна визначити дві діагоналі. Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників.

Украинкский

2013-08-04

94 KB

2 чел.

ВИЗНАЧНИКИ ДРУГОГО ТА ТРЕТЬОГО ПОРЯДКУ

Означення. Визначником другого порядку  

називається число =x1y2y1x2

Означення. Визначником третього порядку  називається число =x1y2z3+y1z2x3+z1x2y3z1y2x3y1x2z3x1z2y3

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ визначника утворюють елементи а11, а22, а33. Побічну діагональ цього визначника складають елементи а13, а22, а31.

Для обчислення визначника третього порядку існує правило трикутників. Визначник є сумою 6-и добутків, з яких три беруться зі знаком „+” і три – зі знаком „–”. Зі знаком „+” береться добуток елементів головної діагоналі і добуток елементів, які знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними головній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „+”.

*

*

*

Зі знаком „–” береться добуток елементів побічної діагоналі і добутки елементів, що знаходяться у вершинах двох трикутників з основами, паралельними побічній діагоналі

*

*

*

*

*

*

зі знаком „–”

*

*

*

ПРИКЛАД:

1

5

-3

6

-8

2

=1∙(-8)∙1+5∙2∙9+6∙3∙(-3)–(-3)∙(-8)∙9- 6∙5∙1–3∙2∙1=

9

3

1

= -8+90–54–216–30–6=-224

Нехай дана система лінійних рівнянь другого порядку

α11x+ α12y=β1

α21x+ α22y=β2

Головним визначником системи називається визначник

α11

α12

Δ=

α21

α22

.

Якщо Δ≠0, для розв’язання системи існують формули Крамера. Домножимо перше рівняння системи на α22, а друге рівняння -  на α12 і віднімемо з першого рівняння друге. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком рівнянь системи, в цьому рівнянні залишається одна змінна х

(α11α22α12α21)x=β1α22β2α12

Згадуючи означення визначника другого порядку, це рівняння можна записати так:

α11

α12

β1

α12

x =

α21

α22

β2

α22

Повернемось до початкової системи: домножимо перше рівняння на α12, друге – на α11 і віднімемо від другого рівняння перше. Одержимо рівняння, в якому лише одна змінна у.

(α11α22α12α21)y= α11β2α21β1

Або

α11

α12

α11

β1

y =

α21

α22

α21

β2

Оскільки 

α11

α12

Δ=

≠0,

то з одержаних рівнянь знаходимо єдиний розв’язок

α21

α22

початкової системи:

β1

α12

α11

β1

x=

β2

α22

             y =   

α21

β2

    

         Δ

        Δ

Позначаючи

β1

α12

α11

β1

Δx=

                 Δy =

, остаточно отримаємо

β2

α22

α21

β2

x= Δx/Δ,  y= Δy/Δ.

Ці формули є формулами Крамера для системи лінійних рівнянь другого порядку.

Перейдемо до систем лінійних рівнянь третього порядку:

α11x+α12y+α13z=β1

α21x+α22y+α23z=β2

α31x+α23y+α33z=β3

Аналогічно системам другого порядку, головним визначником системи називається визначник

α11

α23

α13

  Δ=

α21

α22

α23

α31

α32

α33

Покажемо, що при Δ≠0 для розв’язування системи третього порядку також існують формули Крамера.

Домножимо перше рівняння системи на число (α22α33 α23α32), друге рівняння домножимо на (α13α32 α12α33), третє рівняння – на (α12α23 α13α33) і всі рівняння додамо. При цьому одержимо рівняння, що є наслідком системи і містить лише одну змінну х.

α12α22α33–α11α23α3221α13α32–α21α12α3331α12α23–α31α13α22)х=

β1α22α33β1α23α32+β2α13α32β2α12α33+β3α12α23β3α13α22


Згадуючи означення визначника третього порядку, перепишемо рівняння у вигляді

 

α11

α12

α13

β1

α12

α13

α21

α22

α23

x=

β2

α22

α23

α31

α32

α33

β3

α32

α33

Покладемо

β1

α23

α13

Δx=

β2

α22

α23

і при Δ≠0 одержуємо x= Δx/Δ.

β3

α32

α33

Проводячи аналогічні міркування для змінних y і z одержимо  y= Δy/Δ z=Δz/Δ, де

α11

β1

α13

α11

α12

β1

         Δy=

α21

β2

α23

Δz=

α21

α22

β2

α31

β3

α33

α31

α32

β3

Таким чином, якщо головний визначник Δ системи лінійних рівнянь третього порядку не дорівнює 0, система має єдиний розв’язок, який можна знайти за формулами Крамера

x= Δx/Δ    y= Δy/Δ      z=Δz/Δ

Нехай дана система лінійних рівнянь n-го порядку

α11x1+α12x2+…+α13xn=β1

α21x1+α22x2+…+α23xn=β2

………………………

α31x1+α23x2+…+α33xn=βn

Для розв’язування подібних систем також існують формули Крамера. Для того, щоб записати ці формули, потрібно ввести поняття визначника    n-го порядку.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6947. Философия. Ответы на экзаменационные билеты 860 KB
  Мировоззрение и его структура. Миф, религия и философия как исторические типы мировоззрения. Мировоззрение - совокупность взглядов, оценок, принципов, определяющих самое общее видение, понимание мира, места в нем человека, а также - жизненные поз...
6948. Шпаргалка по философии. Предмет и методы философского знания 837.5 KB
  Предмет философии. Предмет философии не соответствует обыденному пониманию этого слова. В обыденном смысле философия - рассуждения проводимые на досуге за чашкой чая, или стаканом (обязательно граненым) водки о предметах составляющих объе...
6949. Предмет философии и ее функции 28 KB
  Предмет философии и ее функции Философия - общая теория мира и человека в нем. Философия и мировоззрение органично связаны друг с другом. Мировоззрение - это система взглядов на объективный мир и место человека в нем. В формировании мировоззрения ос...
6950. Философия Платона: сущность объективного идеализма, учение о государстве 69 KB
  Философия Платона: сущность объективного идеализма, учение о государстве Платон - великое явление в истории мировой культуры. И хотя он жил в древнегреческом обществе, как деятель - философ, ученый, писатель - принадлежит всему челове...
6951. Учение Аристотеля 119.5 KB
  Аристотель понимал, что без изучения движения не может быть познания естественных процессов, не может быть понята природа в ее жизни и стремлении. Так как природа есть начало движения и изменения, - писал он, - а предметом нашего...
6952. Учение Блаженного Августина 51.5 KB
  Учение о бытии Августина близко к неоплатонизму. По Августину, все сущее, поскольку оно существует и именно потому, что оно существует, есть благо. Зло не субстанция, а недостаток, порча субстанции, порок и повреждение формы, небытие. Напротив, благ...
6953. Синтез богословия, философии и науки в трудах св. Августина и Фомы Аквинского 40.5 KB
  Синтез богословия, философии и науки в трудах св. Августина и Фомы Аквинского Для древних народов, как известно, было характерно единство двух путей познания окружающего мира - пути сердца и пути разума, которое исключало  расчлененность богосл...
6954. Бэкон и его индуктивный метод 113 KB
  Бэкон и его индуктивный метод Введение Имя Фрэнсиса Бэкона - из числа тех имен в истории человечества, которые не принадлежат безраздельно какой-то одной отрасли знания, культуры или политики, как не принадлежат они одной эпохе или одной стране. Он ...
6955. Рационалистическая философия Декарта. Учение о субстанции 96 KB
  Рационалистическая философия Декарта. Учение о субстанции Декарт - основоположник рационализма, значение его философии. Основоположником рационализма считается Рене Декарт (1596 – 1650) - видный французский философ и ученый математик....