22903

Поняття визначника n- го порядку

Доклад

Математика и математический анализ

В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1 2. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 21.

Украинкский

2013-08-04

35.5 KB

1 чел.

Поняття визначника n- го порядку.

Спочатку з’ясуємо деякі закономірності в будові визначників другого і третього порядків. Беремо визначник 2 порядку.

Визначник є алгебраїчною сумою 2=2! Добутків пар елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. При цьому присутні всі можливі добутки, побудовані за таким правилом. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1 і 2. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2. В цій перестановці 0 інверсій, тобто вона парна. Знак перед добутком „+”. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2,1. В перестановці 1 інверсія, вона не парна, знак перед добутком „-”.

Перевіримо виконання цих закономірностей для визначника третього порядку.

.

Визначник є алгебраїчною сумою 6=3!  добутків трійок елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1, 2, 3. Візьмемо, наприклад, добуток a13 a21a32.. При упорядкуванні співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2. В цій перестановці дві інверсії, перестановка парна, знак перед добутком „+”. Візьмемо добуток  a11a23a32. Після упорядкування за співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 3, 2. В перестановці 1 інверсія, вона непарна, знак при добутку „-”.

Таким чином закономірності, які визначаються для визначників другого порядку, вірні і для визначників третього порядку.

Нехай задана деяка квадратна матриця порядку n.

Означення. Визначником n- го порядку  матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика в добуток береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то знак „-”.

Визначник матриці А позначається так:

Визначник також називається детермінантом. Для визначника матриці А також існують позначення:

Зрозуміло, що визначник n- го порядку є сумою n! добутків. Дійсно, кожен добуток можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати вигляді

Де перестановка других індексів α1, α2,…, αn є деякою перестановкою чисел 1, 2, ..., n. За теоремою 1 про перестановки число всіх можливих таких перестановок n!, число всіх добутків дорівнює числу перестановок, тобто n!

Приклад.

Серед добутків, що складають визначник Δ, є добуток чисел -5, 5, -3, 6, які стоять відповідно у 1-му рядку і 3-му стовпчику, у 2 рядку і 1-му стовпчику, у 3-му рядку і другому стовпчику, у 4-му рядку і 4-му стовпчику. Перший індекс елемента визначає номер рядка, а другий – номер стовпчика. Таким чином, в даному добутку після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2, 4. В цій перестановці 2 інверсії, перестановка парна. Тому добуток (-5) 5 (-3)6 у визначнику  береться зі знаком „+”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56192. Будова жіночої та чоловічої статевих систем 62.5 KB
  Основні поняття і терміни: гормони матка прогестерон сімяні міхурці передміхурова залоза куперова залоза яєчко яєчники тестостерон маткова труба естроген. Чоловічі статеві органи складаються з: внутрішніх статевих органів яєчок із придатками...
56193. Початкові відомості про статистику 298 KB
  На відкидній дошці написані слова: Вибірка Репрезентативна Ранжирування Варіанта Частоти відносна частота Гістограма Мода Центральні тенденції Медіана Середнє значення На магнітній дошці розміщені різні види діаграм...
56194. «Статистика» методом проектов 77 KB
  Потом провожу урок-лекцию по теме Статистика. Разбиение класса на творческие группы для работы над проектом Статистика. Методы сбора и обработки информации І Группа изучения данных о состоянии здоровья детей Медики: а статистика данных...
56195. Математична статистика 125 KB
  А саме при дослідженні розповсюдженості вад зору; набуття учнями досвіду дослідницької роботи в пізнавальній діяльності; формування активної компетентної творчої особистості. Отже мета лабораторноі работи – дослідити розповсюдженість вад зору серед учнів нашої школи...
56196. ЕКОНОМІЧНЕ ВИХОВАННЯ В ПОЧАТКОВОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ 71.5 KB
  На сучасному етапі проблемами економічного виховання займаються такі відомі педагоги та методисти: Богданович М. Коли під час уроків та позакласних занять водяться елементарні початкові поняття терміни ази економічного виховання.
56197. Використання настільних ігор на початковому етапі навчання англійській мові 44 KB
  Як можна використовувати такий кубик Зображення Типи завдань Примітки кольори назвати колір сторони кубика що випадає; назвати колір іграшки квітки фруктів та овочів залежно від теми що вивчається...
56198. Використання інформаційно-комунікаційних технологій в професійній діяльності педагога 97.5 KB
  Використання мультимедійного комплексу дає можливість ефективно використовувати час на уроці, підвищує ефективність презентації методичного матеріалу, дозволяє демонструвати Інтернет-сайти у режимі реального часу, проводити педагогічні ради...
56199. Развитие читательской деятельности учащихся на уроке литературы при помощи использования мультимедийной презентации 15.24 MB
  В большей степени соответствующий природе литературы способ организации мотивационного этапа читательской деятельности на уроке эмоциональная включенность школьников в предстоящую деятельность и мультимедийная презентация...
56200. Компетентність і компетенція у результатах початкової освіти 134.5 KB
  Аналіз визначень поняття компетенція дозволяє тлумачити її в різних контекстах зокрема як: сукупність взаємоповязаних якостей особистості знань умінь навичок способів діяльності які є заданими до відповідного кола предметів і процесів та необхідними...