22903

Поняття визначника n- го порядку

Доклад

Математика и математический анализ

В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1 2. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 21.

Украинкский

2013-08-04

35.5 KB

1 чел.

Поняття визначника n- го порядку.

Спочатку з’ясуємо деякі закономірності в будові визначників другого і третього порядків. Беремо визначник 2 порядку.

Визначник є алгебраїчною сумою 2=2! Добутків пар елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. При цьому присутні всі можливі добутки, побудовані за таким правилом. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1 і 2. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2. В цій перестановці 0 інверсій, тобто вона парна. Знак перед добутком „+”. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2,1. В перестановці 1 інверсія, вона не парна, знак перед добутком „-”.

Перевіримо виконання цих закономірностей для визначника третього порядку.

.

Визначник є алгебраїчною сумою 6=3!  добутків трійок елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1, 2, 3. Візьмемо, наприклад, добуток a13 a21a32.. При упорядкуванні співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2. В цій перестановці дві інверсії, перестановка парна, знак перед добутком „+”. Візьмемо добуток  a11a23a32. Після упорядкування за співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 3, 2. В перестановці 1 інверсія, вона непарна, знак при добутку „-”.

Таким чином закономірності, які визначаються для визначників другого порядку, вірні і для визначників третього порядку.

Нехай задана деяка квадратна матриця порядку n.

Означення. Визначником n- го порядку  матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика в добуток береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то знак „-”.

Визначник матриці А позначається так:

Визначник також називається детермінантом. Для визначника матриці А також існують позначення:

Зрозуміло, що визначник n- го порядку є сумою n! добутків. Дійсно, кожен добуток можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати вигляді

Де перестановка других індексів α1, α2,…, αn є деякою перестановкою чисел 1, 2, ..., n. За теоремою 1 про перестановки число всіх можливих таких перестановок n!, число всіх добутків дорівнює числу перестановок, тобто n!

Приклад.

Серед добутків, що складають визначник Δ, є добуток чисел -5, 5, -3, 6, які стоять відповідно у 1-му рядку і 3-му стовпчику, у 2 рядку і 1-му стовпчику, у 3-му рядку і другому стовпчику, у 4-му рядку і 4-му стовпчику. Перший індекс елемента визначає номер рядка, а другий – номер стовпчика. Таким чином, в даному добутку після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2, 4. В цій перестановці 2 інверсії, перестановка парна. Тому добуток (-5) 5 (-3)6 у визначнику  береться зі знаком „+”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9211. Деление клетки. Формы размножения организмов. Жизненный цикл клетки. Митоз 571 KB
  Деление клетки. Формы размножения организмов. Жизненный цикл клетки. Митоз. Тип урока - изучение нового материала. Цели: Изучить процесс деления клетки путём митоза. Показать основные этапы жизненного цикла клетки Рассмотреть...
9212. Деление клетки. Мейоз 472.24 KB
  Деление клетки. Мейоз Тип урока - изучение нового материала. Цели: Познакомить учащихся с процессом мейоза. Показать биологическое значение мейоза. План урока. Орг. момент - 5 мин. Объяснение нового материала...
9213. Общая биология как наука, методы исследования связи с другими науками, её достижения 54.5 KB
  Общая биология как наука, методы исследования связи с другими науками, её достижения. Цели: показать актуальность биологических знаний, выявить значение общей биологии ее место в системе биологических знаний познакомить учащихся с...
9214. ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЦИФРОВЫХ УСТРОЙСТВ НА ОСНОВЕ ЦИФРОВЫХ КОМПАРАТОРОВ ДЛЯ УПРАВЛЕНИЯ ДВИГАТЕЛЯМИ ПОСТОЯННОГО ТОКА 615.45 KB
  Проектируемое устройство предназначено для управления двигателем постоянного тока. Измерительное устройство на компараторах применяется редко, но они настолько быстры и просты, что находят своё применение в устройствах для автомобильной техники с напряжением 12вольт.
9215. Моделирование адаптивного компенсатора помех 990 KB
  Моделирование адаптивного компенсатора помех Цель работы практическое освоение методов цифрового моделирования адаптивных систем на примере адаптивного компенсатора помех (АКП). Домашнее задание Вычислить вектор взаимной корреляции, корр...
9216. Моделирование коррелированных случайных процессов 755 KB
  Моделирование коррелированных случайных процессов Цель работы практическое освоение методов цифрового моделирования стационарных нормальных случайных процессов с заданными корреляционными свойствами. Домашнее задание Выбрать частоту диск...
9217. Моделирование случайных последовательностей 497 KB
  Моделирование случайных последовательностей Цель работы приобретение практических навыков моделированию случайных последовательностей с заданным распределением вероятностей. Домашнее задание Разработать линейный конгруэнтный датчик псевд...
9218. Введение в предмет. Общая патология 25.56 KB
  Введение в предмет. Общая патология. Система представлений об основных закономерностях болезней человека, как о целостных биологических явлениях. Состоит из 3 частей: 1. Пат. Анатомия. 2. Пат. Физиология. 3. Клиническая патология. Вирхов Рудольф (18...
9219. Перекрестная резистентность 29.14 KB
  Перекрестная резистентность При такой резистентности увеличивается устойчивость к другому стрессовому фактору (например: закаливание). Перекрестная сенсибилизация Снижение реакции к другому действующему фактору (например: оклиматизация). Болезни стр...