22903

Поняття визначника n- го порядку

Доклад

Математика и математический анализ

В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1 2. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 21.

Украинкский

2013-08-04

35.5 KB

1 чел.

Поняття визначника n- го порядку.

Спочатку з’ясуємо деякі закономірності в будові визначників другого і третього порядків. Беремо визначник 2 порядку.

Визначник є алгебраїчною сумою 2=2! Добутків пар елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. При цьому присутні всі можливі добутки, побудовані за таким правилом. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1 і 2. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2. В цій перестановці 0 інверсій, тобто вона парна. Знак перед добутком „+”. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2,1. В перестановці 1 інверсія, вона не парна, знак перед добутком „-”.

Перевіримо виконання цих закономірностей для визначника третього порядку.

.

Визначник є алгебраїчною сумою 6=3!  добутків трійок елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1, 2, 3. Візьмемо, наприклад, добуток a13 a21a32.. При упорядкуванні співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2. В цій перестановці дві інверсії, перестановка парна, знак перед добутком „+”. Візьмемо добуток  a11a23a32. Після упорядкування за співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 3, 2. В перестановці 1 інверсія, вона непарна, знак при добутку „-”.

Таким чином закономірності, які визначаються для визначників другого порядку, вірні і для визначників третього порядку.

Нехай задана деяка квадратна матриця порядку n.

Означення. Визначником n- го порядку  матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика в добуток береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то знак „-”.

Визначник матриці А позначається так:

Визначник також називається детермінантом. Для визначника матриці А також існують позначення:

Зрозуміло, що визначник n- го порядку є сумою n! добутків. Дійсно, кожен добуток можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати вигляді

Де перестановка других індексів α1, α2,…, αn є деякою перестановкою чисел 1, 2, ..., n. За теоремою 1 про перестановки число всіх можливих таких перестановок n!, число всіх добутків дорівнює числу перестановок, тобто n!

Приклад.

Серед добутків, що складають визначник Δ, є добуток чисел -5, 5, -3, 6, які стоять відповідно у 1-му рядку і 3-му стовпчику, у 2 рядку і 1-му стовпчику, у 3-му рядку і другому стовпчику, у 4-му рядку і 4-му стовпчику. Перший індекс елемента визначає номер рядка, а другий – номер стовпчика. Таким чином, в даному добутку після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2, 4. В цій перестановці 2 інверсії, перестановка парна. Тому добуток (-5) 5 (-3)6 у визначнику  береться зі знаком „+”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80947. Контроль навчання, його функції, види методи 37.51 KB
  У дидактиці це нагляд спостереження і перевірка успішності учнів. Спостереження за учнями під час занять перевірка їх знань навичок і вмінь зошитів навчальної і практичної діяльності учнів є засобами контролю. Облік успішності передбачає фіксацію результатів контролю у вигляді оцінки Функції контролю перевірки і оцінки навчальних досягнень учнів. Ці функції оцінки знань учнів різнопланові.
80948. Система перевірки знань, умінь, навичок; учнів після вивчення теми «Україна в другій половині XIX століття» 35.42 KB
  Повторити та узагальнити матеріал з даної теми. Хронологічний конкурс Цей конкурс має характер розминки і передбачає знання хронології історичних подій. Командам потрібно розташувати події в хронологічній послідовності і вказати дати, коли вони сталися. Максимальна оцінка за цей конкурс шість балів.(робота з індивідуальними картками)
80951. Характеристика сучасної системи шкільної історичної освіти в Україні 36.25 KB
  Програма шкільних курсів історії. У програмі шкільних курсів історії закладено такі пріоритети. Вивчення історії України. Вивчення історії ХХ століття.
80952. Необхідність використання художньої літератури в навчанні історії України 35.92 KB
  Твори художньої літератури рекомендуються у всіх шкільних підручниках з кожного курсу історії художня література є для учнів одним з важливих джерел для ознайомлення з історичним минулим і одним з ефективних засобів їх морального і естетичного виховання. Чому слід використовувати художні твори Тому що Художній образ як правило відрізняється влучністю і переконливістю. Літературні памятники Звичайно це твори створені в ту епоху яку ми вивчаємо тобто твори написані сучасниками описуваних явищ і подій. Твори цієї групи є документами...
80953. Основні компоненти змісту історичної освіти 33.66 KB
  Зміст освіти його основні компоненти: Зміст шкільної історичної освіти один із компонентів процесу навчання історії певна система історичної інформації яка засвоюється у вигляді історичних знань умінь і навичок в яких особистість засвоює вже відомі способи діяльності досвід творчої пізнавальної діяльності у розв\'язанні проблем що вирішувались людством у минулому. Лернером 1 досвід пізнавальної діяльності що відображений у знаннях про природу суспільство техніку мислення і способи діяльності...
80954. План вивчення теми: «Українські землі наприкінці ХУІІ— у першій половині ХУІІІ ст.» (8 клас) 36.43 KB
  Першою темою Гетьманщина наприкінці XVII на початку XVIII ст. Метою цього уроку характеризувати політичне становище Гетьманщини наприкінці XVII на початку XVIIІ ст.№2 Правобережна Україна наприкінці XVII на початку XVIII ст.