22903

Поняття визначника n- го порядку

Доклад

Математика и математический анализ

В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1 2. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 21.

Украинкский

2013-08-04

35.5 KB

1 чел.

Поняття визначника n- го порядку.

Спочатку з’ясуємо деякі закономірності в будові визначників другого і третього порядків. Беремо визначник 2 порядку.

Визначник є алгебраїчною сумою 2=2! Добутків пар елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. При цьому присутні всі можливі добутки, побудовані за таким правилом. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1 і 2. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2. В цій перестановці 0 інверсій, тобто вона парна. Знак перед добутком „+”. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2,1. В перестановці 1 інверсія, вона не парна, знак перед добутком „-”.

Перевіримо виконання цих закономірностей для визначника третього порядку.

.

Визначник є алгебраїчною сумою 6=3!  добутків трійок елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1, 2, 3. Візьмемо, наприклад, добуток a13 a21a32.. При упорядкуванні співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2. В цій перестановці дві інверсії, перестановка парна, знак перед добутком „+”. Візьмемо добуток  a11a23a32. Після упорядкування за співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 3, 2. В перестановці 1 інверсія, вона непарна, знак при добутку „-”.

Таким чином закономірності, які визначаються для визначників другого порядку, вірні і для визначників третього порядку.

Нехай задана деяка квадратна матриця порядку n.

Означення. Визначником n- го порядку  матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика в добуток береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то знак „-”.

Визначник матриці А позначається так:

Визначник також називається детермінантом. Для визначника матриці А також існують позначення:

Зрозуміло, що визначник n- го порядку є сумою n! добутків. Дійсно, кожен добуток можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати вигляді

Де перестановка других індексів α1, α2,…, αn є деякою перестановкою чисел 1, 2, ..., n. За теоремою 1 про перестановки число всіх можливих таких перестановок n!, число всіх добутків дорівнює числу перестановок, тобто n!

Приклад.

Серед добутків, що складають визначник Δ, є добуток чисел -5, 5, -3, 6, які стоять відповідно у 1-му рядку і 3-му стовпчику, у 2 рядку і 1-му стовпчику, у 3-му рядку і другому стовпчику, у 4-му рядку і 4-му стовпчику. Перший індекс елемента визначає номер рядка, а другий – номер стовпчика. Таким чином, в даному добутку після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2, 4. В цій перестановці 2 інверсії, перестановка парна. Тому добуток (-5) 5 (-3)6 у визначнику  береться зі знаком „+”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

76034. ЮРИДИЧЕСКОЕ ЗНАЧЕНИЕ ЗАКЛЮЧЕНИЯ БРАКА. ПРАВА И ОБЯЗАННОСТИ СУПРУГОВ В БРАКЕ 254.5 KB
  Тем не менее, государство сохраняет свою заинтересованность в правовой регламентации семейных отношений, поскольку современное общество заинтересовано в прочных и стабильных брачных союзах, ибо они способствуют умиротворению и положительным стремлениям в иных сферах жизни.
76035. Тепловой расчет подогревателя питательной воды низкого давления 733.5 KB
  Назначение регенеративных подогревателей питательной воды низкого давления и подогревателей сетевой воды – использование в качестве греющей среды пара промежуточных отборов турбин для снижения потерь теплоты в конденсаторах и повышения термического КПД тепловых электрических станций и ТЭЦ.
76036. Особенности рельефа Горного Урала 1.84 MB
  Рельеф - совокупность неровностей земной поверхности разного размера. Их называют формами рельефа. Изучение форм рельефа немыслимо без знания их внутреннего строения. Науку о строении, происхождении, истории развития и современной динамики рельефа земной поверхности называют геоморфологией.
76039. Функциональный преобразователь «напряжение переменного тока - код» 181.5 KB
  Цель работы –- изучение этого устройства и принципа работы выпрямителя среднеквадратичного значения переменного напряжения изучение работы интегральных микросхем в учебных целях; проектирование преобразователя напряжения переменного тока промышленной частоты в цифровой код.