22903

Поняття визначника n- го порядку

Доклад

Математика и математический анализ

В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1 2. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 21.

Украинкский

2013-08-04

35.5 KB

1 чел.

Поняття визначника n- го порядку.

Спочатку з’ясуємо деякі закономірності в будові визначників другого і третього порядків. Беремо визначник 2 порядку.

Визначник є алгебраїчною сумою 2=2! Добутків пар елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. При цьому присутні всі можливі добутки, побудовані за таким правилом. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1 і 2. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2. В цій перестановці 0 інверсій, тобто вона парна. Знак перед добутком „+”. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2,1. В перестановці 1 інверсія, вона не парна, знак перед добутком „-”.

Перевіримо виконання цих закономірностей для визначника третього порядку.

.

Визначник є алгебраїчною сумою 6=3!  добутків трійок елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1, 2, 3. Візьмемо, наприклад, добуток a13 a21a32.. При упорядкуванні співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2. В цій перестановці дві інверсії, перестановка парна, знак перед добутком „+”. Візьмемо добуток  a11a23a32. Після упорядкування за співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 3, 2. В перестановці 1 інверсія, вона непарна, знак при добутку „-”.

Таким чином закономірності, які визначаються для визначників другого порядку, вірні і для визначників третього порядку.

Нехай задана деяка квадратна матриця порядку n.

Означення. Визначником n- го порядку  матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика в добуток береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то знак „-”.

Визначник матриці А позначається так:

Визначник також називається детермінантом. Для визначника матриці А також існують позначення:

Зрозуміло, що визначник n- го порядку є сумою n! добутків. Дійсно, кожен добуток можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати вигляді

Де перестановка других індексів α1, α2,…, αn є деякою перестановкою чисел 1, 2, ..., n. За теоремою 1 про перестановки число всіх можливих таких перестановок n!, число всіх добутків дорівнює числу перестановок, тобто n!

Приклад.

Серед добутків, що складають визначник Δ, є добуток чисел -5, 5, -3, 6, які стоять відповідно у 1-му рядку і 3-му стовпчику, у 2 рядку і 1-му стовпчику, у 3-му рядку і другому стовпчику, у 4-му рядку і 4-му стовпчику. Перший індекс елемента визначає номер рядка, а другий – номер стовпчика. Таким чином, в даному добутку після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2, 4. В цій перестановці 2 інверсії, перестановка парна. Тому добуток (-5) 5 (-3)6 у визначнику  береться зі знаком „+”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

86070. Моделирование системы массового обслуживания 780.5 KB
  Большой класс систем которые сложно изучить аналитическими способами но которые хорошо изучаются методами статистического моделирования сводится к системам массового обслуживания СМО. Системы массового обслуживания СМО представляют собой системы специального вида реализующие многократное выполнение однотипных задач.
86071. ФАЙЛЫ В СРЕДЕ ПРОГРАММИРОВАНИЯ DELPHI (ЯЗЫК OBJECT PASCAL) 473 KB
  Файлы идентифицируются именами. Пользователи дают файлам символьные имена, при этом учитываются ограничения ОС как на используемые символы, так и на длину имени. До недавнего времени эти границы были весьма узкими. Так в популярной файловой системе FAT длина имен ограничивается известной схемой...
86072. Анализ производительности нераспределенной системы регистрации метеонаблюдений 519.5 KB
  Последовательность событий Включение выключение системы период = Тс: А1:Интерфейс Кнопок получает и обрабатывает прерывание. А2:Интерфейс Кнопок посылает Запрос Кнопки на обслуживание Диспетчеру. 3:Диспетчер передает запрос Интерфейсу Датчиков. 4:Диспетчер передает запрос Интерфейсу Центрального блока.
86075. ФУНКЦИАНАЛЬНОСТЬ СОВРЕМЕННЫХ ПРОЦЕССОРОВ 316.5 KB
  Принцип работы процессора. Основные параметры процессора. Программы для диагностики процессора. Процессоры персональных компьютеров отвечают единому стандарту который задан фирмой Intel мировым лидером в производстве процессоров для ПК. От процессора зависит как быстро будут запускаться программы и даже насколько быстро будет происходить процесс архивации данных в WinRR не говоря уже о создании трёхмерной анимации в 3D MX Studio.
86076. Организация информационной системы управления предприятием ООО «Строй лига» 470 KB
  Чтобы должным образом функционировать в условиях маркетинга, необходимо получать адекватную информацию до и после принятия решений. Существует множество причин, в силу которых маркетинговая информация должна собираться при разработке, реализации и пересмотре маркетингового плана фирмы...
86077. МАРКЕТИНГ. СУЩНОСТЬ, ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ МАРКЕТИНГА 3.83 MB
  Концепция совершенствования товара исходит из того что потребители предпочитают качественные товары и в этом случае стимулирование сбыта не требуется. Сравнительная характеристика концепций управления производством и сбытом в условиях рынка Концепция Объект внимания Средство достижения цели Конечная цель...