22903

Поняття визначника n- го порядку

Доклад

Математика и математический анализ

В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1 2. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 21.

Украинкский

2013-08-04

35.5 KB

1 чел.

Поняття визначника n- го порядку.

Спочатку з’ясуємо деякі закономірності в будові визначників другого і третього порядків. Беремо визначник 2 порядку.

Визначник є алгебраїчною сумою 2=2! Добутків пар елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. При цьому присутні всі можливі добутки, побудовані за таким правилом. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1 і 2. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2. В цій перестановці 0 інверсій, тобто вона парна. Знак перед добутком „+”. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2,1. В перестановці 1 інверсія, вона не парна, знак перед добутком „-”.

Перевіримо виконання цих закономірностей для визначника третього порядку.

.

Визначник є алгебраїчною сумою 6=3!  добутків трійок елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1, 2, 3. Візьмемо, наприклад, добуток a13 a21a32.. При упорядкуванні співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2. В цій перестановці дві інверсії, перестановка парна, знак перед добутком „+”. Візьмемо добуток  a11a23a32. Після упорядкування за співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 3, 2. В перестановці 1 інверсія, вона непарна, знак при добутку „-”.

Таким чином закономірності, які визначаються для визначників другого порядку, вірні і для визначників третього порядку.

Нехай задана деяка квадратна матриця порядку n.

Означення. Визначником n- го порядку  матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика в добуток береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то знак „-”.

Визначник матриці А позначається так:

Визначник також називається детермінантом. Для визначника матриці А також існують позначення:

Зрозуміло, що визначник n- го порядку є сумою n! добутків. Дійсно, кожен добуток можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати вигляді

Де перестановка других індексів α1, α2,…, αn є деякою перестановкою чисел 1, 2, ..., n. За теоремою 1 про перестановки число всіх можливих таких перестановок n!, число всіх добутків дорівнює числу перестановок, тобто n!

Приклад.

Серед добутків, що складають визначник Δ, є добуток чисел -5, 5, -3, 6, які стоять відповідно у 1-му рядку і 3-му стовпчику, у 2 рядку і 1-му стовпчику, у 3-му рядку і другому стовпчику, у 4-му рядку і 4-му стовпчику. Перший індекс елемента визначає номер рядка, а другий – номер стовпчика. Таким чином, в даному добутку після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2, 4. В цій перестановці 2 інверсії, перестановка парна. Тому добуток (-5) 5 (-3)6 у визначнику  береться зі знаком „+”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

67916. МЕХАНИЗМ РЕГУЛИРОВАНИЯ НАЛОГОВЫХ ПРАВООТНОШЕНИЙ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 61.5 KB
  Выявление путей повышения эффективности правового регулирования налогообложения предполагает необходимость классифицировать налоговые правоотношения и исследовать их основные особенности. Это обусловлено с одной стороны господством воззрения что в содержание всякого правоотношения входят субъективные...
67917. О СОСТОЯНИИ ПОДГОТОВКИ ПРОЕКТА КОНСТИТУЦИОННОГО АКТА СОЮЗНОГО ГОСУДАРСТВА 171 KB
  Как известно 20 января 2003 года постановлением Высшего Государственного Совета Союзного государства создана российско-белорусская комиссия по подготовке проекта Конституционного Акта Союзного государства. В результате работы комиссии подготовлен проект Конституционного Акта Союзного государства...
67918. ОСОБЕННОСТИ ПРАВОНАРУШЕНИЙ В СФЕРЕ ФИНАНСОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ РЫНКА ЦЕННЫХ БУМАГ 66 KB
  Основными видами административных правонарушений в сфере финансово-правового регулирования рынка ценных бумаг выступают: 1 недобросовестная эмиссия ценных бумаг; 2 воспрепятствование осуществлению инвестором прав по управлению хозяйственным обществом; 3 использование служебной информации на рынке ценных бумаг...
67919. ОСОБЕННОСТИ НОРМАТИВНО-ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ПОРЯДКА ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПЕНСИОННОГО ФОНДА РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 56 KB
  Особенности нормативно-правового регулирования порядка функционирования Пенсионного фонда Российской Федерации ПФР установлены нормами Постановления Верховного Совета России от 27 декабря 1991 г. № 21221 Вопросы Пенсионного фонда Российской Федерации России и утвержденного указанным постановлением...
67920. КОНСТИТУЦИОННЫЕ ГАРАНТИИ ПРАВ И СВОБОД ЧЕЛОВЕКА И ГРАЖДАНИНА 174.5 KB
  Очевидно что право может быть реализовано только тогда когда ему соответствует обязанность государства или другого лица органа его обеспечить. Гарантии нужны не сами по себе а для наиболее полного претворения в жизнь прав и свобод; они призваны обеспечить такую благоприятную обстановку в атмосфере...
67921. ПРОБЛЕМЫ АДМИНИСТРАТИВНО-ПРАВОВОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ МИГРАЦИИ НАСЕЛЕНИЯ В РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 81.5 KB
  Обострение социально-политической ситуации в бывших республиках СССР межнациональные и религиозные конфликты экономический кризис сопровождающийся резким социальным расслоением населения и иные причины привели к росту потоков мигрантов увеличению количества правонарушений совершаемых данной категорией...
67922. ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ СТАНОВЛЕНИЯ И РАЗВИТИЯ ИНСТИТУТА УСЫНОВЛЕНИЯ В РОССИЙСКОЙ ИМПЕРИИ 103.5 KB
  Усыновление играло весьма важную роль у всех древних народов индийцев греков римлян и др. Римскому праву известны две формы усыновления: одна с передачей родительского права другая без передачи когда под родительскую власть поступало лицо свободное от этой власти. Для усыновления нужно было соблюсти особые...
67923. ПЕРСПЕКТИВЫ СИСТЕМАТИЗАЦИИ И КОДИФИКАЦИИ ЛИЦЕНЗИОННОГО ЗАКОНОДАТЕЛЬСТВА 123.5 KB
  За двенадцать лет прошедших с момента законодательного возрождения в России института лицензирования оно стало действенным административно-правовым средством упорядочения деятельности хозяйствующих субъектов и обеспечения единого экономического пространства.
67924. ПРЕЗУМПЦИЯ ВИНОВНОСТИ КАК ПРИНЦИП ГРАЖДАНСКОГО ПРАВА 74 KB
  Это очевидно связано с тем что правовые презумпции в том числе в гражданском праве традиционно рассматриваются как некий юридико-технический феномен состоящий в предположении какого-либо факта существующим. Различия во взглядах состоят пожалуй лишь в оценке степени вероятности заключенного в правовой презумпции предположения.