22903

Поняття визначника n- го порядку

Доклад

Математика и математический анализ

В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1 2. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 21.

Украинкский

2013-08-04

35.5 KB

1 чел.

Поняття визначника n- го порядку.

Спочатку з’ясуємо деякі закономірності в будові визначників другого і третього порядків. Беремо визначник 2 порядку.

Визначник є алгебраїчною сумою 2=2! Добутків пар елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. При цьому присутні всі можливі добутки, побудовані за таким правилом. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1 і 2. В першому добутку при упорядкуванні за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2. В цій перестановці 0 інверсій, тобто вона парна. Знак перед добутком „+”. В другому добутку при упорядкування за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2,1. В перестановці 1 інверсія, вона не парна, знак перед добутком „-”.

Перевіримо виконання цих закономірностей для визначника третього порядку.

.

Визначник є алгебраїчною сумою 6=3!  добутків трійок елементів. В кожному добутку по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Половина добутків в сумі береться зі знаком „+”, а половина – зі знаком  „-”.  Співмножники в кожному добутку можна упорядкувати за першим індексом. При зростаючому першому індексі другі індекси утворюють деяку перестановку чисел 1, 2, 3. Візьмемо, наприклад, добуток a13 a21a32.. При упорядкуванні співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2. В цій перестановці дві інверсії, перестановка парна, знак перед добутком „+”. Візьмемо добуток  a11a23a32. Після упорядкування за співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 3, 2. В перестановці 1 інверсія, вона непарна, знак при добутку „-”.

Таким чином закономірності, які визначаються для визначників другого порядку, вірні і для визначників третього порядку.

Нехай задана деяка квадратна матриця порядку n.

Означення. Визначником n- го порядку  матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика в добуток береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то знак „-”.

Визначник матриці А позначається так:

Визначник також називається детермінантом. Для визначника матриці А також існують позначення:

Зрозуміло, що визначник n- го порядку є сумою n! добутків. Дійсно, кожен добуток можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати вигляді

Де перестановка других індексів α1, α2,…, αn є деякою перестановкою чисел 1, 2, ..., n. За теоремою 1 про перестановки число всіх можливих таких перестановок n!, число всіх добутків дорівнює числу перестановок, тобто n!

Приклад.

Серед добутків, що складають визначник Δ, є добуток чисел -5, 5, -3, 6, які стоять відповідно у 1-му рядку і 3-му стовпчику, у 2 рядку і 1-му стовпчику, у 3-му рядку і другому стовпчику, у 4-му рядку і 4-му стовпчику. Перший індекс елемента визначає номер рядка, а другий – номер стовпчика. Таким чином, в даному добутку після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3, 1, 2, 4. В цій перестановці 2 інверсії, перестановка парна. Тому добуток (-5) 5 (-3)6 у визначнику  береться зі знаком „+”.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84719. Дипломатические должности. Аккредитация дипломатических сотрудников представительства. Категории персонала представительств 14.18 KB
  Особую категорию дипломатических кадров представляют аккредитируемые при посольстве военные атташе – представители военного ведомства назначившей их страны при военном ведомстве страны пребывания; они исполняют функции советников посла по военным вопросам. Посольство – высший класс зарубежного органа внешних сношений осуществляющий представительство РФ в стране пребывания. Дипломатический персонал посольства: Чрезвычайный и Полномочный Посол – Возглавляет посольство и является высшим представителем России в стране пребывания....
84720. Деятельность посольства по обеспечению национальных интересов России и реализация ее внешнеполитического курса в стране пребывания 18.65 KB
  Вместе с тем их деятельность определяется собственными законодательными актами Российской Федерации к которым относятся Конституция Российской Федерации утвержденные президентом России Положения о Министерстве иностранных дел о Посольстве и о Чрезвычайном и Полномочном После Российской Федерации. Эти документы – основа для конструирования российских дипломатических представительств для развития положений Венской конвенции применительно к государственной специфике и интересам Российской Федерации. Посольство – высший класс...
84721. Положение о Посольстве Российской Федерации и Чрезвычайном и Полномочном После Российской Федерации 18.16 KB
  Положение о Посольстве Российской Федерации и Чрезвычайном и Полномочном После Российской Федерации. Посольство высший класс зарубежного государственного органа внешних сношений осуществляющий представительство Российской Федерации в стране пребывания. Указанный статус определяет уровень реализации внешнеполитического курса Российской Федерации в стране пребывания; защиту национальных и имущественных интересов своей страны прав и интересов российских граждан и юридических лиц; ведение переговоров с правительством государства пребывания;...
84722. Задачи и функции российских диппредставительств 14.84 KB
  Защита в государстве пребывания интересов аккредитующего государства и его граждан в пределах допускаемых международным правом; ведение переговоров с правительством государства пребывания; выяснение всеми законными средствами условий и событий в государстве пребывания и сообщение о них правительству аккредитующего государства; поощрение дружественных отношений между государствами конструктивное развитие их...
84723. Ремонт Рессоры ГАЗ - 53 1.21 MB
  Рессоры предназначены для смягчения толчков при наезде на неровности на дороге. При наезде автомобиля на какую-нибудь неровность рессоры прогибаются и смягчают толчок. Кроме этого, через них передается автомобилю толкающее усилие от ведущих колес и усилие при их торможении.
84724. Разработка автоматизированного участка изготовления детали Вал 5 499 KB
  Автоматизация производственных процессов на основе внедрения роботизированных технологических комплексов РТК и гибких производственных модулей ГПМ вспомогательного оборудования транспортно-накопительных и контрольно-измерительных устройств объединенных в гибкие...
84725. Технологічний процес обробки деталі Лабіринт 492 KB
  Відповідно до особливостей деталей, характеру між операційних зв’язків і форм організаційно-виробничого процесу, необхідно обирати підйомно-транспортні засоби і розрахувати потребу у них. При виборі підйомно-транспортних засобів необхідно суворе дотримання зв’язку їхньої роботи і загального ритму виробництва. Як підйомно-транспортні засоби в механічних цехах з потоковим виробництвом деталей середньої маси доцільно використовувати монорейки
84726. Оцінка цілісного майнового комплексу автомобілебудівельного заводу 169.25 KB
  Провести аналіз інвестиційної привабливості піприємства; Окреслити теоретичні аспекти дослідження вартості піприємства як майнового комплексу; Дослідити методичні підходи до оцінки вартості підприємства як майнового комплексу; Провести практичну роботу з оцінки цілісного майнового комплексу.
84727. МИНИСТЕРСТВО ФИНАНСОВ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ КАК ОРГАН ФИНАНСОВОГО КОНТРОЛЯ 178 KB
  Важнейшей функцией любого государства является контрольная функция, предполагающая контроль со стороны государства за соблюдением хозяйствующими субъектами экономических и правовых правил и норм в процессе их хозяйственной деятельности, а также контроль за исполнительной властью.