22905

Друге означення визначника

Доклад

Математика и математический анализ

Таким чином на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами. Припустимо що при цьому було зроблено транспозицій елементів перестановки. Від перестановки α1 α2. αn можна перейти за допомогою транспозицій до перестановки 1 2.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

 Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ  і Δ1  визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток  a1α1 a2α2… anαn, упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику  при цьому добутку знак . Будемо  упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α1, α2,.., αn цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено  транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані  між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,...,  перейшла в перестановку β1, β2,…, βn  за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ1 при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α1, α2,.., αn)  і  S1, β2,…, βn) однакові парності. Від перестановки α1, α2,.., αn  можна перейти за допомогою  транспозицій до перестановки 1, 2,...,  , від перестановки 1, 2,...,  можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки  за допомогою  транспозицій. Це означає, що від перестановки  до перестановки  через перестановку 1, 2,...,   можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки  = . Знаки при довільному добутку у визначниках  і  співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

41035. Надзвичайні ситуації мирного й воєнного часів, їхній вплив на життєдіяльність населення України 34.5 KB
  Запобігання надзвичайним ситуаціям природного і техногенного характеру ліквідація їх наслідків максимальне зниження масштабів втрат та збитків перетворилося на загальнодержавну проблему і одне з найважливіших завдань органів виконавчої влади і управління всіх рівнів.1 Класифікація надзвичайних ситуацій Відповідно до характеру походження подій що можуть зумовити виникнення НС на території України розподіляються: надзвичайна ситуація НС порушення нормальних умов життя і діяльності людей на обєкті або території спричинене аварією...
41036. Структура національної культури. Українська культура як цілісна система 71 KB
  Структура національної культури. Українська культура як цілісна система Структура національної культури Українська культура як цілісна система Характерні риси сучасної світової культури 1. Проблема систематизації культури і розкриття її структури є досить складною. На цій підставі в культурі правомірно виділяти світову і національну культури.
41037. Джерела української культури 62.5 KB
  Протослов'янське населення території давньої України 2. Територія заселена трипільцями пролягала від Словаччини та Румунії до Слобідської України від Чернігова до Чорного моря. Тут жили зокрема пращури слов'ян місцеві землеробські племена. Питання походження східних слов'ян і на сьогодні є недостатньо вивченим.
41038. Культура Київської Русі: християнське підґрунтя української культури 66 KB
  Культура Київської Русі: християнське підґрунтя української культури План: 1. Християнізація Русі як чинник нових культурних зрушень 2. Мистецтво Київської Русі як утілення світогляду релігійної та естетичної свідомості. Культура Київської Русі видатне явище світової середньовічної культури.
41039. Духовна культура українського народу ХІV – першої половини XVІІ століття 62 KB
  Розєднаність українських земель відсутність єдиного політичного центру спустошливі турецькотатарські набіги іноземний гніт спричинили складні процеси в розвитку української культури XIV XVI ст. Довгий час православна церква залишалася для українського населення єдиним осередком національної самобутності духовності й культури. Складна соціальнополітична ситуація що склалася в польськолитовську добу в Україні істотно позначилася на розвитку української культури. Вказані особливості притаманні усім сферам української культури періоду...
41040. Українська культура козацької доби 60 KB
  Українська культура козацької доби Нові процеси у духовному житті Наука і освіта козацької доби Специфіка національного варіанту бароко Еволюція образотворчого мистецтва Барокова архітектура Саме козацькі часи в історії України називають добою Бароко маючи на увазі не лише мистецький стиль а значно ширше духовне поняття: світовідчуття. Українське Бароко виявилося співзвучним історичному часові що переживав народ і тому так повно виразило і його філософію і психологію й естетику. Більш того національний варіант бароко в...
41041. Українське національно-культурне відродження ХІХ – початку ХХ ст 86.5 KB
  У цей час зявляються праці у галузі української історії філософії етнографії літератури. висловив один з представників нової української історіографії І. швидко зростала і які стали носіями української національної ідеї у Західній Україні. Воно стало носієм української національної ідеї у Західній Україні.
41042. УКРАЇНСЬКА КУЛЬТУРА У ХХ СТОЛІТТІ 73 KB
  Неокласики вважали що Україна більш схильна до європейської культури їх зусиллями вперше в українській літературі налагоджуються систематичні переклади світової літератури зокрема античної. Немало однодумців було у них і в інших галузях культури. Міжвоєнний період позначений небаченим до цього злетом української музичної культури. Говорячи про розвиток радянської культури треба звернути увагу на головні принципи її побудови: класовість та партійність.
41043. Компоненти навантаження і методи спортивної підготовки 26.5 KB
  Для получения большой нагрузки спортсмену необходимо выполнить значительный объем работы адекватной уровню его подготовленности в данное время. Внешним критерием большой нагрузки является неспособность спортсмена продолжать выполнение предлагаемой работы. Момент прекращения работы в каждом конкретном случае должен определяться в зависимости от направленности занятия и характера построения его программы а также от уровня подготовленности спортсмена. При этом необходимо соблюдать два требования находящихся в естественном противоречии:...