22905

Друге означення визначника

Доклад

Математика и математический анализ

Таким чином на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами. Припустимо що при цьому було зроблено транспозицій елементів перестановки. Від перестановки α1 α2. αn можна перейти за допомогою транспозицій до перестановки 1 2.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

 Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ  і Δ1  визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток  a1α1 a2α2… anαn, упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику  при цьому добутку знак . Будемо  упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α1, α2,.., αn цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено  транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані  між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,...,  перейшла в перестановку β1, β2,…, βn  за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ1 при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α1, α2,.., αn)  і  S1, β2,…, βn) однакові парності. Від перестановки α1, α2,.., αn  можна перейти за допомогою  транспозицій до перестановки 1, 2,...,  , від перестановки 1, 2,...,  можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки  за допомогою  транспозицій. Це означає, що від перестановки  до перестановки  через перестановку 1, 2,...,   можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки  = . Знаки при довільному добутку у визначниках  і  співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

78817. Слава страстям, Твоїм Господи 231 KB
  Вона почуває себе винною В тому що її колючки ранили голову Христа. Побачивши Христа її обняв великий жаль і співчуття. Думаю що кожен з нас під час великого посту зробив собі іспит совісті і підтвердив що замість щирої подяки ми своїми гріховними вчинкми наново розпинаємо Христа.
78818. Свято Стрітення 131.5 KB
  Мета: розказати про історію виникнення свята Стрітення і традиції пов’язані з ним; дати поняття про те що свічка -– це світло Боже символ життя; ознайомити з легендою народними звичаями; поглибити знання про значення свічки як одного з символів християнської етики...
78820. Выступление агитбригады «Светофорчик» 58.5 KB
  По пути домой из школы Пригодятся правила Знак дорожный он достоин Твоего внимания Эти книги не простые И наука не легка Целый свод дорожных правил Надо знать наверняка 8. Ни на миг не забываем Знак дорожный каждый Всех к порядку призываем Это очень важно Все: Не нарушайте правила дорожного движения...
78821. ПОСВЯТА В СТАРШОКЛАСНИКИ 68.5 KB
  Мета. Виховувати повагу до вчителів, бажання продовжувати вчитися у старших класах; розвивати артистизм, логічне мислення; зв’язне мовлення; сприяти згуртуванню учнівського колективу.
78823. Дзвони Великодня 2.85 MB
  Показати красу і значущість одного з найвеличніших християнських свят; ознайомити з історією виникнення писанки із символікою знаків на писанках. На дошці висить килим а на ньому образ Ісуса Христа українська хата піч писанки кошики паска іграшковий коник квіти.
78824. Наші любі татусі і дідусі, ми вас любимо усі! 53.5 KB
  Сьогодні в нашім класі свято Тут сміху, радощів багато. Сьогодні татусів вітаєм, Всього найкращого бажаєм. Рідні, наші любі тата, Ми вітаєм вас на святі. Ми вас любим щиро-щиро, Вам бажаєм щастя й миру. Ви нас теж любіть, рідненькі, Бо ми діти дорогенькі Хочем бути на вас схожі І, як ви, такі ж хороші.
78825. Наш ляльковий театр в початковій школі 11.64 MB
  Проект спрямований на розвиток в учнів пізнавальних навичок, розвиток критичного мислення, формування навичок мислення високого рівня: навичок вибирати, створювати, аналізувати, передбачати, організовувати, розробляти, планувати, описувати, розвиток вмінь вирішувати ту чи іншу проблему...