22905

Друге означення визначника

Доклад

Математика и математический анализ

Таким чином на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами. Припустимо що при цьому було зроблено транспозицій елементів перестановки. Від перестановки α1 α2. αn можна перейти за допомогою транспозицій до перестановки 1 2.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

 Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ  і Δ1  визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток  a1α1 a2α2… anαn, упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику  при цьому добутку знак . Будемо  упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α1, α2,.., αn цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено  транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані  між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,...,  перейшла в перестановку β1, β2,…, βn  за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ1 при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α1, α2,.., αn)  і  S1, β2,…, βn) однакові парності. Від перестановки α1, α2,.., αn  можна перейти за допомогою  транспозицій до перестановки 1, 2,...,  , від перестановки 1, 2,...,  можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки  за допомогою  транспозицій. Це означає, що від перестановки  до перестановки  через перестановку 1, 2,...,   можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки  = . Знаки при довільному добутку у визначниках  і  співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53104. Тести до підсумкового уроку. Земля на плані та карті. Географія (6 клас) 108 KB
  Завдання 1-5 мають по чотири варіанти відповідей. У кожному завданні лише ОДНА ПРАВИЛЬНА відповідь. Оберіть правильну відповідь та позначте її у бланку відповідей згідно з інструкцією. Не робіть інших позначок – комп’ютерна програма реєструє їх як ПОМИЛКИ.
53105. Застосування інтерактивних технологій під час вивчення нового матеріалу на уроці географії 24.88 MB
  Виконавчо-діяльнісний етап посідає центральне місце у дидактичному процесі адже тут відбувається розвиток і навчання учнів. Досить широко відомі і достатньо розроблені вимоги до діяльності учнів на цьому етапі навчального заняття 5 126127: здобуття знань і набуття досвіду діяльності учнем має відбуватися у результаті його власної діяльності яка повинна мати навчальнопізнавальний характер; у діяльності учня мають переважати процедурні знання знанняяк над інформаційними...
53106. Використання художніх творів на уроках географії 131.08 KB
  Роль географії велична у формуванні світогляду, в свідомості закономірностей взаємозв'язків природи і людської діяльності. Географія є одним шкільним предметом, вивчаючим природу і суспільність в їх взаємозв'язку.
53108. ЗАСТОСУВАННЯ ІННОВАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ У НАВЧАННІ ГЕОГРАФІЇ 355.5 KB
  Мета: поглибити знання учнів про особливості природи океану; продовжити формування навичок роботи з картами; практично застосовувати знання з біології фізики хімії; розвивати критичне та логічне мислення; посилювати інтерес до знань. Які асоціації викликало у вас слово ОКЕАН Отже: Тихий океан складова частина Світового океану велетенська природна водойма. Запрошую вас до співпраці в експедиції з вивчення Тихого океану. Географічне положення розміри океану.
53109. Сучасний кабінет географії – простір співпраці вчителя та учня 156.5 KB
  Соціальним замовленням суспільства сьогодні є самоствердження та самореалізація особистості через ефективне навчання розвиток творчих здібностей учнів формування загальних та спеціальних вмінь та навичок. Навчання буде успішним якщо в учителя є можливість працювати в сучасному кабінеті де оптимально поєднано використання всіх видів навчального – методичного забезпечення та технічного обладнання відповідно до вимог наукової організації праці вчителя і учня. Головною роллю кабінету визначаю необхідність його як місця спілкування...
53110. Південна Америка. Історія дослідження. Географічне положення 54 KB
  Мета: сформувати в учнів загальне уявлення про географічне положення площу та форму материка поглибити систему знань учнів про відкриття та дослідження Південної Америки; удосконалити практичні навички учнів характеризувати географічне положення материка. Чому важливо знати географічне положення материка 3. Мотивація навчальної і пізнавальної діяльності Колись Південну Америку з ласки мореплавця Америго Веспуччі назвали Новим Світом у джунглях цього материка блукали герої книги Жюля Верна Діти капітана Гранта. Сучасні уявлення про цю...