22905

Друге означення визначника

Доклад

Математика и математический анализ

Таким чином на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами. Припустимо що при цьому було зроблено транспозицій елементів перестановки. Від перестановки α1 α2. αn можна перейти за допомогою транспозицій до перестановки 1 2.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

 Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ  і Δ1  визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток  a1α1 a2α2… anαn, упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику  при цьому добутку знак . Будемо  упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α1, α2,.., αn цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено  транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані  між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,...,  перейшла в перестановку β1, β2,…, βn  за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ1 при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α1, α2,.., αn)  і  S1, β2,…, βn) однакові парності. Від перестановки α1, α2,.., αn  можна перейти за допомогою  транспозицій до перестановки 1, 2,...,  , від перестановки 1, 2,...,  можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки  за допомогою  транспозицій. Це означає, що від перестановки  до перестановки  через перестановку 1, 2,...,   можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки  = . Знаки при довільному добутку у визначниках  і  співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65692. ВІК, ГЕОХІМІЧНІ ОСОБЛИВОСТІ ТА МОЖЛИВІ ДЖЕРЕЛА ПОХОДЖЕННЯ ДЕТРИТОВОГО МОНАЦИТУ ТЕРИТОРІЇ УКРАЇНИ 731 KB
  Однак до сьогоднішнього часу плутонічні породи такого віку на УЩ не знайдені а волинські трапи вулканіти ДніпровоДонецької западини ДДЗ і Донецького басейну дайки відповідного віку УЩ не могли дати такої кількості теригенного монациту оскільки представлені породами переважно основного складу в яких монацит практично відсутній.
65693. СОЦІАЛІЗАЦІЯ ПІДЛІТКІВ НА ОСНОВІ ХУДОЖНЬО-ЕСТЕТИЧНИХ ТРАДИЦІЙ ЕТНОКУЛЬТУРНОЇ СПІЛЬНОТИ ДОНБАСУ 178 KB
  Ринкові пріоритети сучасного суспільства визначають орієнтири соціальних якостей особистості які раніше не висувалися до неї – покладання на власні сили ініціативу розширення індивідуальної свободи та відповідальності значущість особистісного успіху що зумовлює змістовну зміну збагачення процесів соціалізації особистості.
65694. ФІЗИЧНА РЕАБІЛІТАЦІЯ ОСІБ З РОЗСІЯНИМ СКЛЕРОЗОМ У КОМПЛЕКСНІЙ ТЕРАПІЇ В УМОВАХ СТАЦІОНАРУ 287.5 KB
  У роботах попередніх років переважали рекомендації щодо обмеження працездатності хворих і встановлення інвалідності при перших проявах захворювання. У роботах останніх років звучать рекомендації щодо підтримки максимальної психо-емоційної...
65695. РОБОТА І РОЗРАХУНОК ЕЛЕМЕНТІВ КІЛЬЦЕВОГО ПЕРЕРІЗУ ЗІ СТАЛЕФІБРОБЕТОНУ ПРИ ПОВТОРНИХ НАВАНТАЖЕННЯХ 1.99 MB
  Так практично не досліджена робота елементів кільцевого перерізу зі сталефібробетону. Відомо що переважна більшість конструкцій піддається дії повторних навантажень це також стосується і елементів кільцевого перерізу. З огляду на наведе дослідження особливостей роботи...
65696. Математичні моделі оцінювання стратегічного потенціалу підприємства та прийняття рішень щодо його підвищення 329 KB
  Велика кількість існуючих моделей та методологічних підходів до визначення СПП дає можливість керівникам здійснити вибір засобів прийняття рішення щодо подальшого розвитку підприємства проте жоден з існуючих підходів не є достатньо ефективним як за критерієм повноти аналізованої інформації...
65697. УДОСКОНАЛЕННЯ ВИЗНАЧЕННЯ СТРАТЕГІЇ ПІДПРИЄМСТВА В УМОВАХ КРИЗИ НА ОСНОВІ ЗБАЛАНСОВАНОЇ СИСТЕМИ ПОКАЗНИКІВ 1.13 MB
  Сучасна фінансова, політична та економічна нестабільність в Україні, головними ознаками якої є високе боргове навантаження на вітчизняну економіку, негативні тенденції на грошово-кредитному ринку, ринку праці та у промисловості – провідній галузі вітчизняної економіки...
65698. Діяльність Служби безпеки ОУН(б) на території Волині та Полісся (1946 − 1951 рр.) 159.5 KB
  Об’єктивне дослідження історії ОУНб є неможливим без скрупульозного аналізу діяльності її регіональних складових. Метою роботи є встановлення впливу СБ ОУНб на розвиток українського національно-визвольного руху на Волині та Поліссі в період поступового згасання збройної антирадянської боротьби.
65699. ПРАВОВЕ РЕГУЛЮВАННЯ ВІДШКОДУВАННЯ ПОДАТКУ НА ДОДАНУ ВАРТІСТЬ В УКРАЇНІ 216.5 KB
  Хоча останній і запровадив спрощення адміністративних процедур автоматичне відшкодування зменшення податкового навантаження стимулював інноваційно-інвестиційну діяльність урегулював адміністрування податків взаємовідносини з контролюючими органами окремі проблеми залишились актуальними.
65700. АДМІНІСТРАТИВНО-ПРАВОВИЙ СТАТУС ПРАЦІВНИКА ДЕРЖАВНОЇ КОНТРОЛЬНО-РЕВІЗІЙНОЇ СЛУЖБИ УКРАЇНИ 186.5 KB
  Працівники ДКРСУ виконують завдання держави спрямовані на забезпечення фінансової діяльності держави. З метою забезпечення успішної реалізації цих завдань суттєвого поліпшення потребують не лише форми і методи діяльності ДКРСУ але й якісний підхід до визначення адміністративно-правового статусу працівника ДКРСУ.