22905

Друге означення визначника

Доклад

Математика и математический анализ

Таким чином на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами. Припустимо що при цьому було зроблено транспозицій елементів перестановки. Від перестановки α1 α2. αn можна перейти за допомогою транспозицій до перестановки 1 2.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

 Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ  і Δ1  визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток  a1α1 a2α2… anαn, упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику  при цьому добутку знак . Будемо  упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α1, α2,.., αn цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено  транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані  між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,...,  перейшла в перестановку β1, β2,…, βn  за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ1 при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α1, α2,.., αn)  і  S1, β2,…, βn) однакові парності. Від перестановки α1, α2,.., αn  можна перейти за допомогою  транспозицій до перестановки 1, 2,...,  , від перестановки 1, 2,...,  можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки  за допомогою  транспозицій. Це означає, що від перестановки  до перестановки  через перестановку 1, 2,...,   можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки  = . Знаки при довільному добутку у визначниках  і  співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

85432. Роль структури у формуванні пошкоджень кузовів вагонів при експлуатації 7.84 MB
  На сьогодні залізничний транспорт є найважливішою та однією з ключових галузей економіки України. З кожним роком за рахунок старіння парку пасажирського рухомого складу витрати на його утримання і ремонт підвищуються, що приводить до зниження його ефективності на ринку компаній перевізників.
85433. ПАСКАЛЬ ТІЛІНІҢ НЕГІЗГІ ТҮСІНІКТЕРІ 751.93 KB
  Паскаль қазіргі кезде дүние жүзіне кең тараған, электронды есептеу машинасына тәуелсіз, әмбебап тіл. Borland фирмасы Pascal тілінің бірнеше версияларын ойлап шығарды. Соның ішінде қазіргі кезде соңғы Turbo Pascal 7.0 версиясы кеңінен қолданылады.
85434. Разработка системы компьютерной обработки и описания изображений 81 KB
  Исходные данные к проекту: Теоретическая информация о принципах работы с изображениями, алгоритмы обработки изображения. Основы контурного анализа. Описание алгоритмов выделения контура объекта на изображении. Перечень искомых результатов: Реализованный программный продукт для обработки изображений.
85435. Проект гидравлического привода поступательного движения 391.78 KB
  Простота предохранения приводного двигателя и исполнительных органов машин от перегрузок; например если усилие на штоке гидроцилиндра становится слишком большим такое возможно в частности когда шток соединённый с рабочим органом встречает препятствие на своём пути то давление в гидросистеме достигает...
85436. Визначення матеріальних потреб виробництва 1.03 MB
  Робота може слугувати прикладом реальних розрахунків матеріальних потреб та сучасного планування на підприємствах і може бути корисною для студентів вищих навчальних закладів під час вивчення дисципліни «Операційний менеджмент», а також як зразок планування виробництва на діючих підприємствах.
85437. ТРАНСФОРМАТОР ПИТАНИЯ МАЛОЙ МОЩНОСТИ 80.29 KB
  В зависимости от назначения трансформаторы могут иметь различную конструкцию. Трансформатором малой мощности называется трансформатор, габаритная мощность которого не превосходит величины в несколько тысяч вольт – ампер.
85438. Расчет статической и динамической устойчивости электрической системы 593.5 KB
  Для электрической системы схема которой приведена на рисунке 1 определим идеальные пределы мощности генераторов Г1 первой станции ЭС1 и коэффициенты запаса статической устойчивости при передаче мощности от первой станции к точке потокораздела. Составим схему замещения электрической системы...
85439. Послуги харчування, обслуговування та організації дозвілля ресторану «Енергія» 938.5 KB
  Розвиток ринкових відносин у нашій країні витиснув багаторічну монополію на сферу ресторанного бізнесу. Україна стрімко ввійшла в ХХІ століття, яке надає чимало нових можливостей. Економічні зміни обумовили відродження вітчизняного бізнесу, закладеного в багатій культурній та історичній спадшині ресторанної справи України.
85440. Реализация алгоритмов вычислительной математики с разработкой соответствующего программного обеспечения для ЭВМ 1.04 MB
  Цель курсовой работы – получение практических навыков в написании программ для решения задач моделирования и анализа данных с использованием языка программирования С, С++ и математических пакетов Scilab, изучение теоретических основ и особенностей алгоритмической реализации основных численных методов.