22905

Друге означення визначника

Доклад

Математика и математический анализ

Таким чином на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами. Припустимо що при цьому було зроблено транспозицій елементів перестановки. Від перестановки α1 α2. αn можна перейти за допомогою транспозицій до перестановки 1 2.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

 Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ  і Δ1  визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток  a1α1 a2α2… anαn, упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику  при цьому добутку знак . Будемо  упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α1, α2,.., αn цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено  транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані  між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,...,  перейшла в перестановку β1, β2,…, βn  за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ1 при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α1, α2,.., αn)  і  S1, β2,…, βn) однакові парності. Від перестановки α1, α2,.., αn  можна перейти за допомогою  транспозицій до перестановки 1, 2,...,  , від перестановки 1, 2,...,  можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки  за допомогою  транспозицій. Це означає, що від перестановки  до перестановки  через перестановку 1, 2,...,   можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки  = . Знаки при довільному добутку у визначниках  і  співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

55279. ПРИМЕНЕНИЕ ИНТЕРАКТИВНЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА УРОКАХ ИСТОРИИ И ОБЩЕСТВОЗНАНИЯ 371 KB
  Таким образом интерактивное обучение позволяет: развивать коммуникативные умения и навыки приучать работать в команде обеспечивать обучающихся необходимой информацией без которой невозможно реализовать совместную деятельность; развивать общие учебные умения анализ синтез постановка целей...
55280. Применение производной к решению задач 125 KB
  Цели урока: Обучающие: повторить основные формулы и правила дифференцирования применение производной к исследованию функции нахождению наибольшего и наименьшего значения функции физический и геометрический смысл производной; сформировать умение комплексного применения знаний умений навыков...
55281. Изготовления мячика в технологии «Мокрое валяние». Простые формы 49.5 KB
  Цель: Изготовление мячиков для уроков английского языка Задачи: научить технике Мокрое валяние; выяснить основные качества шерсти области ее применение и использование; изучить историческое значение шерсти; развивать наблюдательность мышление память восприятие ощущения.
55283. Чорна металургія, її роль і значення в економіці України. Райони і центри чорної металургії. Проблеми й перспективи розвитку галузі 25.79 KB
  Чорна металургія є найбільшою галуззю і становить матеріальну базу всього комплексу важкої індустрії України. Вона впливає на розвиток усіх галузей господарства, є найголовнішим споживачем палива, електроенергії та води.
55284. Економічний район. Типи економічних районів. Сучасне економічне районування України 25.79 KB
  Ефективність регіональної політики залежить від чіткого визначення території регіону, його меж, природно-ресурсного та соціально-економічного стану. Регіон – це обєкт регіональної політики, – тому велике значення має економічне районування країни, тобто виокремлення на її території самостійних регіонів, які представляють економічні райони
55285. Сільське господарство України, його галузева структура. Сучасний стан та проблеми інтенсифікації сільськогосподарського виробництва 26.05 KB
  Сільське господарство складається з взаємопов’язаних комплексів – рослинництва та тваринництва. У рослинництві зосереджене виробництво зерна, буряку, соняшнику, льону-довгунця, картоплі, овочів, плодів, ягід, винограду тощо. У тваринництві переважають скотарство, свинарство, вівчарство, бджільництво, рибоводство, звіроводство. З 1991 року частка тваринницької продукції знизилася з 54 до 44%.