22906

Лема про знак

Доклад

Математика и математический анализ

Тоді добуток входить до визначника Δ зі знаком Доведення. Зрозуміло що даний добуток входить до визначника . За означенням визначника даний добуток входить до визначника зі знаком тобто зі знаком . Аналітичний запис визначника.

Украинкский

2013-08-04

126 KB

0 чел.

Лема про знак.

Нехай

,

i1,i2,…,in    і j1,`j2,…jn - дві перестановки 1, 2,...,n. Тоді добуток  входить до визначника Δ зі знаком

Доведення. Зрозуміло, що даний добуток входить до визначника .

Запишемо табличку індексів

В першому рядку таблички s(i1,i2,…,in) інверсії, в другому s(j1,`j2,…jn) інверсій.

Сумарне число інверсій дорівнює s(i1,i2,…,in)+ s(j1,`j2,…jn).  Будемо упорядковувати перший рядок таблички, переставляючи її стовпчики. Цьому процесу відповідає упорядкування елементів у добутку за першим індексом. Кожна перестановка стовпчиків означає транспозицію в першому рядку таблички і транспозицію в другому рядку. Кожна транспозиція змінює парність перестановки. Таким чином, перестановка стовпчиків не змінює сумарну парність перестановок в рядках таблички. В результаті таких дій одержуємо табличку

Числа s(i1,i2,…,in)+ s(j1,`j2,…jn) і  s(1,2,…,n)+ s(k1,`k2,…kn) однакові парності. Але s(1,2,…,n) =0, тому однакову парність мають числа  s(i1,i2,…,in)+ s(j1,`j2,…jn) і   s(k1,`k2,…kn). За означенням визначника даний добуток входить до визначника зі знаком   тобто зі знаком .

Аналітичний запис визначника.

Розглянемо визначник n- го порядку

Кожен добуток, з яких складається визначник, можна упорядкувати за першим індексом, тобто записати у вигляді  a1α1 a2α2… anαn,  де α1, α2,.., αn-  перестановка чисел 1, 2,...,n. Позначимо через  s(α1, α2,.., αn) число інверсій в перестановці  α1, α2,.., αn . Тоді знак,  з яким добуток a1α1 a2α2… anαn  входить у визначник Δ визначається парністю перестановки α1, α2,.., αn, тобто його можна подати, як  . Звідси

Сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2, ..., n.

Друге означення визначника.

Нехай задана деяка квадратна матриця n- го порядку.

Означення (друге означення визначника n- го порядку). Визначником n- го порядку матриці А називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування елементів в добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, то перед добутком ставиться знак „+”, якщо непарну, то „-”.

Таким чином, на відміну від першого означення визначника знак при даному добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні добутку за другими індексами.

 Теорема. Два означення визначника еквівалентні.

Доведення. Позначимо через Δ  і Δ1  визначники матриці А за першим і другим означенням відповідно. Зрозуміло, що за обома означеннями визначники складаються з однакових добутків. Тому достатньо перевірити, що знаки при однакових добутках в цих визначниках однакові. Зафіксуємо добуток  a1α1 a2α2… anαn, упорядкований за першими індексами. За першим означенням у визначнику  при цьому добутку знак . Будемо  упорядковувати цей добуток за другим індексом. Це означає, що перестановка α1, α2,.., αn цих індексів переходить в перестановку 1, 2, ..., . Припустимо, що при цьому було зроблено  транспозицій елементів перестановки. Оскільки індекси елементів в добутку зв’язані  між собою, то при упорядкуванні співмножників добутку за другим індексом перестановка перших індексів 1, 2,...,  перейшла в перестановку β1, β2,…, βn  за допомогою t транспозицій. Добуток залишиться у вигляді . За другим означенням у визначнику Δ1 при цьому добутку знак . Залишається перевірити, що числа S(α1, α2,.., αn)  і  S1, β2,…, βn) однакові парності. Від перестановки α1, α2,.., αn  можна перейти за допомогою  транспозицій до перестановки 1, 2,...,  , від перестановки 1, 2,...,  можна перейти за допомогою t транспозицій до перестановки  за допомогою  транспозицій. Це означає, що від перестановки  до перестановки  через перестановку 1, 2,...,   можна перейти за допомогою транспозицій. Кожна транспозиція змінює парність перестановки  = . Знаки при довільному добутку у визначниках  і  співпадають, тому = .

Користуючись другим означенням, визначник аналітично можна записати так

.

Де сума береться по всім перестановкам чисел 1, 2,...,n..

Визначник трикутного вигляду.

За означенням обчислюються лише визначники малих порядків або визначники спеціального вигляду. Більш загальні визначники обчислюються, користуючись властивостями визначника. Один з спеціальних видів визначників є визначник трикутного вигляду.

В ньому визначаються дві діагоналі. Елементи a11,a22,,…,ann  утворюють головну діагональ, елементи  a1n,a2,n-1,an1 утворюють побічу діагональ.

Означення. Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють 0.

Знайдемо цей визначник. За означенням, в кожен добуток, з яких складається визначник, входить по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика. Відшукаємо добутки, які не дорівнюють 0. Зрозуміло, якщо елементом першого стовпчика в добутку є деякий елемент першого стовпчика в добутку є деякій елемент, відмінний від a11,  то добуток дорівнює 0, оскільки містить нульовий співмножник. Таким чином, в ненульовий добуток може входити з першого стовпчика лише елемент a11. Цей елемент є елементом першого рядка, тоді, за означенням, іншого елемента з першого рядка в добутку немає. Тоді з другого стовпчика в добуток може входити  лише елемент a22 , далі, аналогічно, з третього стовпчика елемент a33. Продовжуючи ці міркування, одержуємо, що єдиний добуток, який може бути нульовим, є добуток. Визначимо знак при даному добутку. Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2,...,n. Число інверсій в перестановці дорівнює 0, перестановка парна і знак при добутку „+”. Таким чином,    Δ= a11,a22,…,ann.  Зрозуміло, що якщо при деякому значенні індекса aii=0, то в єдиному добутку, якій може бути ненульовим, є нульовий співмножник. Тоді Δ=0. Таким чином, можна зробити висновок: визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі

   Δ= a11,a22,…,ann

 Означення. Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють 0.

 

Знайдемо цей визначник. З міркувань, аналогічних міркуванням для визначників трикутного вигляду відносно головної діагоналі, випливає, що єдиним ненульовим добутком визначника Δ1 може бути лише добуток елементів побічної діагоналі a1na2,n-1…an1, причому, якщо принаймні один з елементів побічної діагоналі дорівнює 0, то і Δ1=0. Визначимо знак при даному добутку. Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку n,n-1,n-2,…,1. В цій перестановці число n утворює інверсії з всіма іншими числами, тобто n-1 інверсій. Число  утворює інверсії з всіма числами, що стоять після нього, тобто n-2 інверсій і т.д., нарешті, число 2 утворює інверсію з числом 1, що стоїть після нього. Число всіх інверсій дорівнює  (сума n-1 членів арифметичної прогресії). Тому добуток входить до визначника зі знаком . Звідси

.

Транспонування визначника.

Нехай дається деякий визначник n- го порядку

Складаємо повний визначник Δ1 за таким правилом. В перший стовпчик визначника Δ1 запишемо елементи першого рядка визначника Δ, не змінюючи їх порядок. Далі, в другий стовпчик визначника Δ1 запишемо елементи другого рядка визначника Δ, не змінюючи їх порядок і так далі. В n-й стовпчик визначника Δ1 запишемо елементи n-го рядка визначника Δ. Такий процес називається транспонуванням визначника Δ, а визначник  Δ1 називається транспонованим визначником для визначника Δ.


Транспонування можна виконати також симетричним відображенням визначника  відносно головної діагоналі.

Теорема. Транспонування не змінює величину визначника.

Доведення. Нехай.

,       .

Покажемо, що Δ= Δ1.. Для зручності  елементи визначника Δ, позначимо як bij=aji ,  . Тоді  .

Ця сума дорівнює визначнику Δ за другим означенням, тобто Δ1= Δ..

Зауваження. З теореми випливає такий факт: якщо деяку властивість F визначника , пов’язану з величиною визначника, має система рядків визначника, то таку властивість має і система його стовпчиків.

Дійсно, якщо властивість F має система рядків визначника Δ, то, оскільки величина транспонованого визначника Δ1 рівна величині Δ, цю властивість має і система рядків визначника Δ1, тобто система стовпчиків визначника .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16834. Модульное программирование 222.5 KB
  Лекция 7 1. Модульное программирование Основные понятия Принцип модульности оказывает наиболее сильное влияние на дисциплину мышления при решении задач. Он состоит в декомпозиции первоначального задания в связную систему подзадач и является основным методом в н
16835. Компиляция и подключение модулей 294 KB
  Лекция 8 Компиляция и подключение модулей Для того чтобы сформировать модуль библиотеку с подпрограммами можно отладить подпрограммы в составе основной программы а затем перенести их в модуль. Для использования подпрограмм модуля его надо оттранслировать т. е. сф
16836. Распределение оперативной памяти при выполнении программ 756 KB
  Лекция 9 1. Динамические переменные. Основные понятия Распределение оперативной памяти при выполнении программ Адресуемое пространство ОП в ОС MSDOS организовано сегментами: перенумерованными блоками памяти по 64 Кбайта. Причем сегмент может начинаться с любого фи
16837. Массивы указателей 1.37 MB
  6. Массивы указателей С помощью массивов указателей можно формировать большие массивы и коллекции массивов любых типов. Работа с большими массивами Размер одного массива данных должен быть не более 64 Кбайт. Но в реальных задачах могут использоваться массивы требую...
16838. Массивы и многоуровневая косвенная адресация 564 KB
  Лекция 10 5. Массивы и многоуровневая косвенная адресация Многоуровневая косвенная адресация и одномерные арифметические массивы Многоуровневая адресация имеет место при использовании указателей на указатели на массивы. Рассмотрим это на примерах формирования одн
16839. Связанные структуры 682 KB
  Лекция 11 8. Связанные структуры Основные понятия Записи содержащие указатели позволяют формировать в ОП линейные и нелинейные связанные структуры. К линейным связанным структурам относят например стеки очереди и списки. К нелинейным деревья и сети. Эти структур
16840. Объектно-ориентированное программирование. Методология объектно-ориентированного программирования 362 KB
  Объектно-ориентированное программирование. Основные понятия Методология объектно-ориентированного программирования Фундаментальными понятиями в программировании являются: технология программирования методология метод. Технология программирования...
16841. Подготовка и решение задач на компьютере Этапы полготовки и решения задач на компьютере 428.5 KB
  Лекция 1. Подготовка и решение задач на компьютере Этапы полготовки и решения задач на компьютере Подготовка и решение задач на компьютере имеет следующие этапы: постановка задачи и разработка технического задания; разработка: а информационной мо
16842. ОБ ОДНОМ «МУРАВЬИНОМ» АЛГОРИТМЕ 281 KB
  ОБ ОДНОМ МУРАВЬИНОМ АЛГОРИТМЕ А.А. Кажаров В.М.Курейчик В этой работе рассматривается решение классической NPтрудной задачи о коммивояжере на основе муравьиных алгоритмов. Данная задача без какихлибо изменений в ее интерпретации решается для проектирования СБИС. В...