22907

Визначник трикутного вигляду

Доклад

Математика и математический анализ

В ньому визначаються дві діагоналі. Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник всі елементи якого що стоять вище або нижче головної діагоналі дорівнюють 0. Таким чином можна зробити висновок: визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі Δ= a11a22ann Означення. Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник всі елементи якого що стоять вище або нижче побічної діагоналі дорівнюють 0.

Украинкский

2013-08-04

34 KB

0 чел.

Визначник трикутного вигляду.

За означенням обчислюються лише визначники малих порядків або визначники спеціального вигляду. Більш загальні визначники обчислюються, користуючись властивостями визначника. Один з спеціальних видів визначників є визначник трикутного вигляду.

В ньому визначаються дві діагоналі. Елементи a11,a22,,…,ann  утворюють головну діагональ, елементи  a1n,a2,n-1,an1 утворюють побічу діагональ.

Означення. Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють 0.

Знайдемо цей визначник. За означенням, в кожен добуток, з яких складається визначник, входить по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика. Відшукаємо добутки, які не дорівнюють 0. Зрозуміло, якщо елементом першого стовпчика в добутку є деякий елемент першого стовпчика в добутку є деякій елемент, відмінний від a11,  то добуток дорівнює 0, оскільки містить нульовий співмножник. Таким чином, в ненульовий добуток може входити з першого стовпчика лише елемент a11. Цей елемент є елементом першого рядка, тоді, за означенням, іншого елемента з першого рядка в добутку немає. Тоді з другого стовпчика в добуток може входити  лише елемент a22 , далі, аналогічно, з третього стовпчика елемент a33. Продовжуючи ці міркування, одержуємо, що єдиний добуток, який може бути нульовим, є добуток. Визначимо знак при даному добутку. Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 1, 2,...,n. Число інверсій в перестановці дорівнює 0, перестановка парна і знак при добутку „+”. Таким чином,    Δ= a11,a22,…,ann.  Зрозуміло, що якщо при деякому значенні індекса aii=0, то в єдиному добутку, якій може бути ненульовим, є нульовий співмножник. Тоді Δ=0. Таким чином, можна зробити висновок: визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі

   Δ= a11,a22,…,ann

 Означення. Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють 0.

 

Знайдемо цей визначник. З міркувань, аналогічних міркуванням для визначників трикутного вигляду відносно головної діагоналі, випливає, що єдиним ненульовим добутком визначника Δ1 може бути лише добуток елементів побічної діагоналі a1na2,n-1an1, причому, якщо принаймні один з елементів побічної діагоналі дорівнює 0, то і Δ1=0. Визначимо знак при даному добутку. Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку n,n-1,n-2,…,1. В цій перестановці число n утворює інверсії з всіма іншими числами, тобто n-1 інверсій. Число  утворює інверсії з всіма числами, що стоять після нього, тобто n-2 інверсій і т.д., нарешті, число 2 утворює інверсію з числом 1, що стоїть після нього. Число всіх інверсій дорівнює  (сума n-1 членів арифметичної прогресії). Тому добуток входить до визначника зі знаком . Звідси

.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13502. Сергей Александрович Есенин 31 KB
  Сергей Александрович Есенин Сергей Александрович Есенин родился в селе Константинове Рязанской губернии в крестьянской семье. С малолетства воспитывался у деда по матери человека предприимчивого и зажиточного знатока церковных книг. Окончил четырехклассное сель...
13503. Фет Афанасий Афанасьевич 35 KB
  Фет Афанасий Афанасьевич 1820 1892 Русский поэт настоящая фамилия Шеншин членкорреспондент Петербургской Академии Наук 1886. Насыщенная конкретными приметами лирика природы мимолетные настроения человеческой души музыкальность: Вечерние огни сборники 1 4 ...
13504. ЛЕРМОНТОВ Михаил Юрьевич 29 KB
  ЛЕРМОНТОВ Михаил Юрьевич 1814-1841 Брак родителей Лермонтова богатой наследницы М. М. Арсеньевой 1795-1817 и армейского капитана Ю. П. Лермонтова 1773-1831 был неудачным. Ранняя смерть матери и ссора отца с бабушкой Е. А. Арсеньевой тяжело сказались на формировани...
13505. Владимир Владимирович Маяковский 33.5 KB
  Владимир Владимирович Маяковский 1893-1930 Выдающийся советский поэт Владимир Владимирович Маяковский родился в селе Багдады недалеко от Кутаиси в Грузии.В 1910 году студент Строгановского училища живописи ваяния и зодчества В. Маяковский сблизил...
13506. Некрасов. Н.А. 41.5 KB
  Некрасов. Н.А. 1821 1877 Родился 28 ноября 10 октября н.с. в местечке Немирове Подольской губернии в семье мелкопоместного дворянина. Детские годы прошли в селе Грешневе в родовом имении отца человека деспотического характера угнетавшего не только крепостных но и св...
13507. Тютчев Федор Иванович 63 KB
  Тютчев Федор Иванович Тютчев Ф. И. известный поэт один из самых выдающихся представителей философской и политической лирики. Родился 23 ноября 1803 года в селе Овстуг Брянского уезда Орловской губернии в родовитой дворянской семье зимою жившей в Москве открыто и богат...
13508. Цветаева М.И. 50.5 KB
  Цветаева М.И. 18921941 Марина Ивановна Цветаева 18921941 писать стихи начала рано. Первая ее книга Вечерний альбом вышла в 1910 году. В дореволюционном творчестве Цветаевой можно выделить два периода: период ранних стихов полудетских девичьих признаний сборник...
13509. Пушкин А.С. 93 KB
  Пушкин А.С. Александр Сергеевич Пушкин родился 6 июня по старому стилю 26 мая 1799 года в Москве в небогатой дворянской семье однако числившую в предках и бояр времен чуть ли не Александра Невского и царского арапа Абрама Петровича Ганнибала. 19 октября 1811 г
13510. ЕВТУШЕНКО Е.А. 131 KB
  ЕВТУШЕНКО Е.А. 1932 р. Родился 18 июля на станции Зима Красноярской области. Его отец был геологом но всю жизнь писал стихи и научил сына любить поэзию. Когда семья переехала в Москву будущий поэт во время учебы в школе занимался в поэтической студии Дворца пионеров...