22909

Властивості визначників

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника але за попереднім зауваженням вони мають місце і для стовпчиків визначника. Нульовим рядком називається рядок визначника всі елементи якого дорівнюють 0. Нехай й рядок визначника Δ нульовий. Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки то змінюється лише знак визначника.

Украинкский

2013-08-04

96.5 KB

4 чел.

Властивості визначників.

Властивості визначників дають можливість обчислювати визначники загального вигляду. Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника, але, за попереднім зауваженням, вони мають місце і для стовпчиків визначника.

  1.  Нульовим рядком називається рядок визначника, всі елементи якого дорівнюють 0.

* Визначник, якій містить нульовий рядок, дорівнює 0.

Доведення. Нехай - й рядок визначника Δ нульовий. За означенням, в кожному добутку, з яких складається визначник, є співмножник з i- го рядка. Таким чином, кожний добуток містить нульовий співмножник. Це означає, що всі добутки дорівнюють 0 і Δ=0.

  1.  * Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Доведення. Нехай

 

,

Визначник  Δ1 одержано з визначника Δ перестановкою k-го і l-го рядків. Покажемо, що = -. Позначимо для зручності елементи визначника , як bij.  Тобто, bi,j=ai,j  при ;        bkj=alj ,;blj=akj, . Зрозуміло, що визначники Δ і  Δ1 складаються з однакових добутків, тому перевіримо знаки при рівних добутках. Зафіксуємо один з добутків визначника Δ, упорядкований за першим індексом  a1α1a2α2akαkalαlanαn. При цьому добутку у визначнику  Δ знак дорівнює  .

В позначеннях елементів визначника Δ1 цей добуток має вигляд  b1α1b2α2blαkbkαlbnαn  Упорядкуємо цей добуток за першим індексом. Одержимо добуток b1α1b2α2bkαlblαkbnαn  . Другі індекси  утворюють перестановку α1, α2,…, αl,…, αk,…, αn, тому, за означенням,  при цьому добутку у визначнику   Δ1 знак  . Від перестановки чисел α1, α2,…, αk,…, αl,…, αn  .  до перестановки  α1, α2,…, αl,…, αk,…, αn можна перейти за допомогою однієї транспозиції. Тому за теоремою 2 про перестановки, ці перестановки різної парності і знаки при даному фіксованому добутку у визначниках Δi і Δ1 різні. Оскільки зафіксований добуток довільний, то Δ 1= - Δ.

3. * Якщо два рядки визначника однакові, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай i- й  і j - й рядки визначника  Δ  однакові. Переставимо ці рядки. Визначник не змінюється. З іншого боку, за властивістю 2, він змінює знак. Звідси   Δ = - Δ  і         Δ = 0.

4. * Якщо рядок визначника Δ домножити на число λ, то і весь визначник  домножається  на λ.

 

           Доведення. Припустимо, що i-й рядок визначника визначника помножається на число λ. Одержуємо визначник помножається на число λ. Одержуємо визначник

                     

    

Тоді

З цієї властивості випливає таке правило. Якщо кожний елемент деякого рядка визначника домножений на деяке число λ, то це число можна винести за знак визначника.

5. Два рядки визначника (ai1,ai2,…,ain) і (aj1,aj2,…,ajn)  називаються пропорційними, якщо існує число λ таке, що aj1=λai1,  aj2=λai2,…, ajn=λain.  Таким чином, один з пропорційних рядків можна одержати з іншого домноженням на деяке число.

Якщо два рядки визначника пропорційні, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай у визначнику  Δ i- й  та  j- й рядки пропорційні. Це означає, що j-й рядок можна одержати з i- го рядка домноженням на деяке число λ. Винесемо  λ  з j-го рядка за знак визначника. Одержуємо визначник, у якому i- й та  - й j-й рядки співпадають. З властивості 3 випливає, що цей визначник дорівнює 0, а тому = 0.

6. Cумою двох рядків (bi1,bi2,…,bin) і (cj1,cj2,…,cjn)  називається рядок (bi1+cj1,bi2+cj2,…,bin+cjn).   Якщо - й рядок визначника Δ є сумою двох рядків,  то визначник Δ  є сумою двох визначників Δ1 і Δ2 таких, що  i- м рядком визначника Δ1 є перший доданок, а i- м рядком визначника  Δ2 - другий доданок  i- го рядка визначника Δ; решта рядків визначників Δ1 і  Δ2 однакові і співпадають з відповідними рядками визначника Δ.

Доведення. Нехай

.

Тоді                   

=

= +   = Δ1+ Δ2

Аналогічно, якщо i -й рядок визначника Δ є сумою k рядків, то визначник  Δ є сумою k визначників.

7. * Якщо до рядка визначника додати інший рядок, домножений на число, то визначник не змінюється.

Доведення. Позначимо через A1,A2,…,An   рядки визначника Δ.. Додаємо до i- го рядка Ai j-й рядок Aj (j i), домноженний на число . Одержимо визначник Δ1, i -й рядок якого має вигляд AiAj , а решта рядків співпадає з відповідними рядками визначника . Для того, щоб довести, що =, розкладаємо визначник Δ1 в суму двох визначників за i - м рядком, згідно з властивістю 6, в першому з яких на i - му місці стоїть рядокAi, а в другому – рядок λAj.. Решта рядків обох визначників співпадає з відповідними рядками визначника Δ1, а тому й визначника Δ. Тоді перший з цих двох визначників співпадає з визначником , а в другому i- й і j- й рядки пропорційні, тобто він дорівнює 0. Звідси =.

8. Нехай Ai1,Ai2,…,Aik - деякі рядки визначника , λ12,…, λk - деякі числа. Рядок λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  називається лінійною комбінацією рядків Ai1,Ai2,…,Aik.

* Якщо у визначнику деякій рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.

Доведення. Нехай  A1,A2,…,Ak  - рядки визначника Δ,  Ai= λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik , причому жоден з індексів i1,i2,…,ik  не співпадає з i. Тобто i - й рядок визначника Δ є лінійною комбінацією рядків з номерами i1,i2,…,ik  . Тоді визначник Δ за i - м рядком можна розкласти в суму k визначників, у першому з яких на  i- му місці стоїть рядок λ1Ai1, на другому – λ2Ai2 і т.д., в останньому – λлAik. У кожному з одержаних визначників є пропорційні рядки, тому кожен з них дорівнює 0. Звідси Δ = 0.

9. * Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Доведення. Нехай. A1,A2,…,An  - рядки визначника Δ. До i- го рядка A додамо лінійну комбінацію інших рядків λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik , одержуємо визначник Δ1 у якому i- й рядок має вигляд Ai+ λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  .  За i- м рядком так, що в першому з них на i- му місці стоїть рядок Ai, а у другому – рядок λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  . Перший визначник співпадає з Δ, а у другому i- й рядок є лінійною комбінацією інших рядків і він дорівнює 0 за властивістю 8.

Звідси Δ1= Δ..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

53999. It Often Rains 58.5 KB
  Express your opinion in a chain. Mind the colour of your card. If you’ve got a green card you tell us about good points of the rainy weather; if your card is red you tell us about bad points of it.
54000. Science and Inventions “Scientists and their Contributions to the World Science” 134 KB
  Glad to hear that. The more so because I am going to give you some food for thought. As at the previous lessons we spoke about science and how it is important in our life, I think it won`t be difficult for you to understand and explain the meaning of the following words which were once said by a famous writer B.Shaw...
54001. Sports. Plural (irregular nouns) 223.5 KB
  On February we’ll have the world sport competitions which called the Olympic Games. There are winter and summer Olympic Games. The last summer Olympic Games were in Perkin in China. The next winter Olympic Games will take part in Vancouver in Canada. The team of our country will take part in these competitions.
54002. What’s the weather like? 148 KB
  Today we are going to speak about the weather, about your favourite seasons. You know, the weather is a safe topic for a conversation. That's why we should be good at it.
54003. Я сохраняю энергию 836.52 KB
  At the end of the lessons students are evaluated and given the hometask to create a group outcome project to be considered by school authority for further long-term implementment and for further its presentation as promotion of eco-consciousness among pupils of the gymnasium.
54004. We are Ukrainians 416.5 KB
  Objectives: to improve skills in speaking, reading, listening, to organize lexical material on the topic. To develop speech reaction, thinking, memory, attention and creativity of pupils, nurture positive attitude to the interlocutor, to bring up the lines of patriotism in pupils, love for his native land, motherland Ukraine.
54005. My family and friends 33.5 KB
  So, you’re right, we’ll talk about our families and friends but I realized that it is a little bit difficult for you to guess the topic of our today’s lesson and I hope next ex. will help you…
54006. SPORT 55 KB
  The equipment you need is skis, boots and poles. Clothes are very important too because they protect you from cold weather. You need a ski-suit, a hat, goggles to protect your eyes, socks, mittens.
54007. На життєві йдучи видноколи, не розтратьте найкращих чуттів, будьте гідні рідної школи, будьте гідні своїх вчителів! 108.5 KB
  Будьте гідні рідної школи Будьте гідні своїх вчителів за творчістю випускників Чернівецької гімназії № 5: Ірини Вільде Ореста Масикевича Володимира Кобилянського Дмитра Загула Тараса Унгуряна Андрія Шкургана Олександра Маслюченка Єлєни Даскал Мета: ознайомити учнів з цікавими фактами життя і творчості майстрів художнього слова які навчались у Чернівецькій гімназії № 5; через художнє слово ввести учнів у чарівний світ поезії; навчити аналізувати поетичні твори; розвивати творчі та комунікативні здібності вміння логічно мислити;...