22909

Властивості визначників

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника але за попереднім зауваженням вони мають місце і для стовпчиків визначника. Нульовим рядком називається рядок визначника всі елементи якого дорівнюють 0. Нехай й рядок визначника Δ нульовий. Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки то змінюється лише знак визначника.

Украинкский

2013-08-04

96.5 KB

4 чел.

Властивості визначників.

Властивості визначників дають можливість обчислювати визначники загального вигляду. Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника, але, за попереднім зауваженням, вони мають місце і для стовпчиків визначника.

  1.  Нульовим рядком називається рядок визначника, всі елементи якого дорівнюють 0.

* Визначник, якій містить нульовий рядок, дорівнює 0.

Доведення. Нехай - й рядок визначника Δ нульовий. За означенням, в кожному добутку, з яких складається визначник, є співмножник з i- го рядка. Таким чином, кожний добуток містить нульовий співмножник. Це означає, що всі добутки дорівнюють 0 і Δ=0.

  1.  * Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Доведення. Нехай

 

,

Визначник  Δ1 одержано з визначника Δ перестановкою k-го і l-го рядків. Покажемо, що = -. Позначимо для зручності елементи визначника , як bij.  Тобто, bi,j=ai,j  при ;        bkj=alj ,;blj=akj, . Зрозуміло, що визначники Δ і  Δ1 складаються з однакових добутків, тому перевіримо знаки при рівних добутках. Зафіксуємо один з добутків визначника Δ, упорядкований за першим індексом  a1α1a2α2akαkalαlanαn. При цьому добутку у визначнику  Δ знак дорівнює  .

В позначеннях елементів визначника Δ1 цей добуток має вигляд  b1α1b2α2blαkbkαlbnαn  Упорядкуємо цей добуток за першим індексом. Одержимо добуток b1α1b2α2bkαlblαkbnαn  . Другі індекси  утворюють перестановку α1, α2,…, αl,…, αk,…, αn, тому, за означенням,  при цьому добутку у визначнику   Δ1 знак  . Від перестановки чисел α1, α2,…, αk,…, αl,…, αn  .  до перестановки  α1, α2,…, αl,…, αk,…, αn можна перейти за допомогою однієї транспозиції. Тому за теоремою 2 про перестановки, ці перестановки різної парності і знаки при даному фіксованому добутку у визначниках Δi і Δ1 різні. Оскільки зафіксований добуток довільний, то Δ 1= - Δ.

3. * Якщо два рядки визначника однакові, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай i- й  і j - й рядки визначника  Δ  однакові. Переставимо ці рядки. Визначник не змінюється. З іншого боку, за властивістю 2, він змінює знак. Звідси   Δ = - Δ  і         Δ = 0.

4. * Якщо рядок визначника Δ домножити на число λ, то і весь визначник  домножається  на λ.

 

           Доведення. Припустимо, що i-й рядок визначника визначника помножається на число λ. Одержуємо визначник помножається на число λ. Одержуємо визначник

                     

    

Тоді

З цієї властивості випливає таке правило. Якщо кожний елемент деякого рядка визначника домножений на деяке число λ, то це число можна винести за знак визначника.

5. Два рядки визначника (ai1,ai2,…,ain) і (aj1,aj2,…,ajn)  називаються пропорційними, якщо існує число λ таке, що aj1=λai1,  aj2=λai2,…, ajn=λain.  Таким чином, один з пропорційних рядків можна одержати з іншого домноженням на деяке число.

Якщо два рядки визначника пропорційні, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай у визначнику  Δ i- й  та  j- й рядки пропорційні. Це означає, що j-й рядок можна одержати з i- го рядка домноженням на деяке число λ. Винесемо  λ  з j-го рядка за знак визначника. Одержуємо визначник, у якому i- й та  - й j-й рядки співпадають. З властивості 3 випливає, що цей визначник дорівнює 0, а тому = 0.

6. Cумою двох рядків (bi1,bi2,…,bin) і (cj1,cj2,…,cjn)  називається рядок (bi1+cj1,bi2+cj2,…,bin+cjn).   Якщо - й рядок визначника Δ є сумою двох рядків,  то визначник Δ  є сумою двох визначників Δ1 і Δ2 таких, що  i- м рядком визначника Δ1 є перший доданок, а i- м рядком визначника  Δ2 - другий доданок  i- го рядка визначника Δ; решта рядків визначників Δ1 і  Δ2 однакові і співпадають з відповідними рядками визначника Δ.

Доведення. Нехай

.

Тоді                   

=

= +   = Δ1+ Δ2

Аналогічно, якщо i -й рядок визначника Δ є сумою k рядків, то визначник  Δ є сумою k визначників.

7. * Якщо до рядка визначника додати інший рядок, домножений на число, то визначник не змінюється.

Доведення. Позначимо через A1,A2,…,An   рядки визначника Δ.. Додаємо до i- го рядка Ai j-й рядок Aj (j i), домноженний на число . Одержимо визначник Δ1, i -й рядок якого має вигляд AiAj , а решта рядків співпадає з відповідними рядками визначника . Для того, щоб довести, що =, розкладаємо визначник Δ1 в суму двох визначників за i - м рядком, згідно з властивістю 6, в першому з яких на i - му місці стоїть рядокAi, а в другому – рядок λAj.. Решта рядків обох визначників співпадає з відповідними рядками визначника Δ1, а тому й визначника Δ. Тоді перший з цих двох визначників співпадає з визначником , а в другому i- й і j- й рядки пропорційні, тобто він дорівнює 0. Звідси =.

8. Нехай Ai1,Ai2,…,Aik - деякі рядки визначника , λ12,…, λk - деякі числа. Рядок λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  називається лінійною комбінацією рядків Ai1,Ai2,…,Aik.

* Якщо у визначнику деякій рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.

Доведення. Нехай  A1,A2,…,Ak  - рядки визначника Δ,  Ai= λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik , причому жоден з індексів i1,i2,…,ik  не співпадає з i. Тобто i - й рядок визначника Δ є лінійною комбінацією рядків з номерами i1,i2,…,ik  . Тоді визначник Δ за i - м рядком можна розкласти в суму k визначників, у першому з яких на  i- му місці стоїть рядок λ1Ai1, на другому – λ2Ai2 і т.д., в останньому – λлAik. У кожному з одержаних визначників є пропорційні рядки, тому кожен з них дорівнює 0. Звідси Δ = 0.

9. * Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Доведення. Нехай. A1,A2,…,An  - рядки визначника Δ. До i- го рядка A додамо лінійну комбінацію інших рядків λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik , одержуємо визначник Δ1 у якому i- й рядок має вигляд Ai+ λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  .  За i- м рядком так, що в першому з них на i- му місці стоїть рядок Ai, а у другому – рядок λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  . Перший визначник співпадає з Δ, а у другому i- й рядок є лінійною комбінацією інших рядків і він дорівнює 0 за властивістю 8.

Звідси Δ1= Δ..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68409. Дифференциальные уравнения динамического пограничного слоя 1.09 MB
  Область действия сил вязкости можно определить первой подобластью, то есть пограничным слоем. Точнее в этой подобласти силы инерции и силы вязкости рассматриваются как величины одного порядка. Во внешнем потоке силами вязкости можно пренебречь. То есть можно считать внешний поток жидкости идеальный.
68411. Автоматизация измерений, контроля и испытаний 910.5 KB
  Предметом настоящей дисциплины являются теоретические и практические задачи, которые встречаются при эксплуатации подобных систем. Выходная контролируемая переменная Y1 преобразуется датчиком Д в переменную Y2 (как правило, электрический сигнал) и далее прибор ВП...
68412. Теоретические основы управления государственной и муниципальной собственностью 57.5 KB
  Одна из причин низкой результативности экономических преобразований в России связанных с формированием и развитием рыночной экономики заключена в недостаточно продуманном и умелом проведении преобразований форм и отношений собственности.
68413. Система управления государственной собственностью 77.5 KB
  Управление государственной собственностью представляет собой сознательное, целенаправленное воздействие со стороны государства на все объекты принадлежащей ему собственности. На практике это означает, что государство как собственник устанавливает определенные правила, условия владения...
68414. Система управления муниципальной собственностью 179 KB
  Система управления муниципальной собственностью Объекты и субъекты местного самоуправления Муниципальная собственность как материальная основа местного самоуправления. Основные способы формирования муниципального имущества Государственная политика в области управления и развития рынка недвижимости...
68415. РАБОТА С ДАТАМИ И ВРЕМЕНЕМ 49.5 KB
  Excel хранит даты – в виде целых чисел, отсчитывая дни начиная с 1 января 1900 года. На каждые сутки отводится число 1. Порядковое число 1 соответствует 1 января 1900 года, 2 - 2 января 1900 года, 3 - 3 января 1900 года, и т.д.