22909

Властивості визначників

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника але за попереднім зауваженням вони мають місце і для стовпчиків визначника. Нульовим рядком називається рядок визначника всі елементи якого дорівнюють 0. Нехай й рядок визначника Δ нульовий. Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки то змінюється лише знак визначника.

Украинкский

2013-08-04

96.5 KB

4 чел.

Властивості визначників.

Властивості визначників дають можливість обчислювати визначники загального вигляду. Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника, але, за попереднім зауваженням, вони мають місце і для стовпчиків визначника.

  1.  Нульовим рядком називається рядок визначника, всі елементи якого дорівнюють 0.

* Визначник, якій містить нульовий рядок, дорівнює 0.

Доведення. Нехай - й рядок визначника Δ нульовий. За означенням, в кожному добутку, з яких складається визначник, є співмножник з i- го рядка. Таким чином, кожний добуток містить нульовий співмножник. Це означає, що всі добутки дорівнюють 0 і Δ=0.

  1.  * Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Доведення. Нехай

 

,

Визначник  Δ1 одержано з визначника Δ перестановкою k-го і l-го рядків. Покажемо, що = -. Позначимо для зручності елементи визначника , як bij.  Тобто, bi,j=ai,j  при ;        bkj=alj ,;blj=akj, . Зрозуміло, що визначники Δ і  Δ1 складаються з однакових добутків, тому перевіримо знаки при рівних добутках. Зафіксуємо один з добутків визначника Δ, упорядкований за першим індексом  a1α1a2α2akαkalαlanαn. При цьому добутку у визначнику  Δ знак дорівнює  .

В позначеннях елементів визначника Δ1 цей добуток має вигляд  b1α1b2α2blαkbkαlbnαn  Упорядкуємо цей добуток за першим індексом. Одержимо добуток b1α1b2α2bkαlblαkbnαn  . Другі індекси  утворюють перестановку α1, α2,…, αl,…, αk,…, αn, тому, за означенням,  при цьому добутку у визначнику   Δ1 знак  . Від перестановки чисел α1, α2,…, αk,…, αl,…, αn  .  до перестановки  α1, α2,…, αl,…, αk,…, αn можна перейти за допомогою однієї транспозиції. Тому за теоремою 2 про перестановки, ці перестановки різної парності і знаки при даному фіксованому добутку у визначниках Δi і Δ1 різні. Оскільки зафіксований добуток довільний, то Δ 1= - Δ.

3. * Якщо два рядки визначника однакові, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай i- й  і j - й рядки визначника  Δ  однакові. Переставимо ці рядки. Визначник не змінюється. З іншого боку, за властивістю 2, він змінює знак. Звідси   Δ = - Δ  і         Δ = 0.

4. * Якщо рядок визначника Δ домножити на число λ, то і весь визначник  домножається  на λ.

 

           Доведення. Припустимо, що i-й рядок визначника визначника помножається на число λ. Одержуємо визначник помножається на число λ. Одержуємо визначник

                     

    

Тоді

З цієї властивості випливає таке правило. Якщо кожний елемент деякого рядка визначника домножений на деяке число λ, то це число можна винести за знак визначника.

5. Два рядки визначника (ai1,ai2,…,ain) і (aj1,aj2,…,ajn)  називаються пропорційними, якщо існує число λ таке, що aj1=λai1,  aj2=λai2,…, ajn=λain.  Таким чином, один з пропорційних рядків можна одержати з іншого домноженням на деяке число.

Якщо два рядки визначника пропорційні, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай у визначнику  Δ i- й  та  j- й рядки пропорційні. Це означає, що j-й рядок можна одержати з i- го рядка домноженням на деяке число λ. Винесемо  λ  з j-го рядка за знак визначника. Одержуємо визначник, у якому i- й та  - й j-й рядки співпадають. З властивості 3 випливає, що цей визначник дорівнює 0, а тому = 0.

6. Cумою двох рядків (bi1,bi2,…,bin) і (cj1,cj2,…,cjn)  називається рядок (bi1+cj1,bi2+cj2,…,bin+cjn).   Якщо - й рядок визначника Δ є сумою двох рядків,  то визначник Δ  є сумою двох визначників Δ1 і Δ2 таких, що  i- м рядком визначника Δ1 є перший доданок, а i- м рядком визначника  Δ2 - другий доданок  i- го рядка визначника Δ; решта рядків визначників Δ1 і  Δ2 однакові і співпадають з відповідними рядками визначника Δ.

Доведення. Нехай

.

Тоді                   

=

= +   = Δ1+ Δ2

Аналогічно, якщо i -й рядок визначника Δ є сумою k рядків, то визначник  Δ є сумою k визначників.

7. * Якщо до рядка визначника додати інший рядок, домножений на число, то визначник не змінюється.

Доведення. Позначимо через A1,A2,…,An   рядки визначника Δ.. Додаємо до i- го рядка Ai j-й рядок Aj (j i), домноженний на число . Одержимо визначник Δ1, i -й рядок якого має вигляд AiAj , а решта рядків співпадає з відповідними рядками визначника . Для того, щоб довести, що =, розкладаємо визначник Δ1 в суму двох визначників за i - м рядком, згідно з властивістю 6, в першому з яких на i - му місці стоїть рядокAi, а в другому – рядок λAj.. Решта рядків обох визначників співпадає з відповідними рядками визначника Δ1, а тому й визначника Δ. Тоді перший з цих двох визначників співпадає з визначником , а в другому i- й і j- й рядки пропорційні, тобто він дорівнює 0. Звідси =.

8. Нехай Ai1,Ai2,…,Aik - деякі рядки визначника , λ12,…, λk - деякі числа. Рядок λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  називається лінійною комбінацією рядків Ai1,Ai2,…,Aik.

* Якщо у визначнику деякій рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.

Доведення. Нехай  A1,A2,…,Ak  - рядки визначника Δ,  Ai= λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik , причому жоден з індексів i1,i2,…,ik  не співпадає з i. Тобто i - й рядок визначника Δ є лінійною комбінацією рядків з номерами i1,i2,…,ik  . Тоді визначник Δ за i - м рядком можна розкласти в суму k визначників, у першому з яких на  i- му місці стоїть рядок λ1Ai1, на другому – λ2Ai2 і т.д., в останньому – λлAik. У кожному з одержаних визначників є пропорційні рядки, тому кожен з них дорівнює 0. Звідси Δ = 0.

9. * Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Доведення. Нехай. A1,A2,…,An  - рядки визначника Δ. До i- го рядка A додамо лінійну комбінацію інших рядків λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik , одержуємо визначник Δ1 у якому i- й рядок має вигляд Ai+ λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  .  За i- м рядком так, що в першому з них на i- му місці стоїть рядок Ai, а у другому – рядок λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  . Перший визначник співпадає з Δ, а у другому i- й рядок є лінійною комбінацією інших рядків і він дорівнює 0 за властивістю 8.

Звідси Δ1= Δ..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20389. ДОКАЗЫВАНИЕ В СОВЕТСКОМ УГОЛОВНОМ СУДОПРОИЗВОДСТВЕ 672 KB
  66 УПК УССР и И. 66 и 97 УПК УССР ст. 70 и 109 УПК РСФСР. Здесь были высказаны суждения как о том что их применение допустимо и по действующему за кону так как они объединяют в себе свойства соответ ственно киносъемки звукозаписи и фотоснимков так и о том что сначала нужно урегулировать в УПК возмож ность и порядок их применения.
20390. Высшая мера наказания: История, современность, будущее 962 KB
  Высшая мера наказания: История современность будущее Хотите предупредить преступление Сделайте так чтобы люди боялись законов но никого кроме законов не боялись Екатерина II Введение Вряд ли есть такая проблема в уголовном праве по которой было больше споров среди ученых политиков и практиков чем проблема смертной казни. За истекшее время смертной казни были посвящены тысячи работ авторы которых либо требовали ее немедленной отмены либо доказывали настоятельную необходимость. Законодательства разных стран мира также относятся...
20391. Конституционное (государственное) право зарубежных стран 1.32 MB
  Известен его политикоправовой комментарий к Конституции США 1985 подготовленный совместно с В. Основным источником конституционного государственного права являются конституции но они часто содержат лишь общие положения и обходят молчанием ряд важнейших вопросов государственной жизни тем самым оставляя их решение на усмотрение правительства и администрации. Наряду с этим конституции многих стран перегружены рядом мелочей и второстепенных деталей. 25бис конституции Швейцарии которая запрещает выпускать кровь у мясного скота не оглушив...
20392. Международный правопорядок 614.5 KB
  2 В книге анализируются различные подходы юристов и политиков к пониманию международного и мирового порядка дается понятие международного правового порядка исследуется процесс становления современного международного правопорядка раскрывается его сущность и значение как единого и юридически обязательного порядка для всех государств . Автор доктор юридических наук профессор возглавлял Отдел кодификации в ООН принимал участие в работе органов ООН и международных конференций по прогрессивному развитию международного права. был...
20393. Правовые основы деятельности акционерных обществ 2.27 MB
  За изданием Кодекса последовало принятие ряда федеральных законов которые развивали и детализировали положения Кодекса применительно к конкретным разновидностям юридических лиц: Об акционерных обществах О некоммерческих организациях Об обществах с ограниченной ответственностью и др. Федеральный закон Об акционерных обществах в значительной мере способствовал упорядочению деятельности акционерных обществ однако отдельные пробелы а также отсутствие детальной проработки ряда вопросов в Законе требовали дальнейшего совершенствования...
20394. Корпорации в России: Правовой статус и основы деятельности 2.91 MB
  2128 обществами Уст. Кашанина отмечала что если взять за основу характеристики форму имущественной обособленности организаций то оказывается что к числу корпораций относятся только те которые основаны на акционерном капитале и по своему правовому положению напоминают акционерные общества стран континентального права 30. Торговые корпорации Англии именуются компаниями company и подразделяются на публичные аналог открытого акционерного общества континентального права и частные аналог закрытого акционерного общества. Кашанина...
20395. Взрывчатка и наркотики: Особенности назначения экспертиз: Пособие для следователей и оперативных работников 370.5 KB
  В пособии изложены рекомендации по назначению экспертиз при расследовании фактов незаконного оборота наркотиков и взрывчатых веществ а также преступлений совершаемых путем взрыва. Наряду с этим дефицит знаний в этих областях ощущался и ощущается у работников правоохранительных органов столкнувшихся с тенденциями роста преступлений связанных с незаконным оборотом наркотиков и ВВ использованием взрыва в преступных целях. Научные работы экспертов этого института по методам экспертного исследования самодельных взрывных устройств СВУ...
20396. Меры пресечения в российском уголовном процессе 1.45 MB
  Меры пресечения в российском уголовном процессе. В издании рассматривaются цели виды основания и процессуальный порядок применения органами расследования прокурорами и судами мер пресечения. Особое внимание уделено наиболее строгой и ответственной мере пресечения заключению под стражу в том числе процессуальному механизму продления сроков содержания под стражей обжалованию и судебной проверке законности задержания ареста и продления сроков содержания под стражей Книга по курсу €œУголовный процесс€ адресована студентам аспирантам...
20397. ТЕРРОРИЗМ: ПОНЯТИЕ, ОТВЕТСТВЕННОСТЬ, ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ 370.5 KB
  ПОНЯТИЕ ВИДЫ И ПРИЧИНЫ ТЕРРОРИЗМА 1. Понятие и сущность терроризма 2. Виды терроризма 3. Формы проявления терроризма 4.