22909

Властивості визначників

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника але за попереднім зауваженням вони мають місце і для стовпчиків визначника. Нульовим рядком називається рядок визначника всі елементи якого дорівнюють 0. Нехай й рядок визначника Δ нульовий. Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки то змінюється лише знак визначника.

Украинкский

2013-08-04

96.5 KB

4 чел.

Властивості визначників.

Властивості визначників дають можливість обчислювати визначники загального вигляду. Будемо формулювати і доводити властивості лише для рядків визначника, але, за попереднім зауваженням, вони мають місце і для стовпчиків визначника.

  1.  Нульовим рядком називається рядок визначника, всі елементи якого дорівнюють 0.

* Визначник, якій містить нульовий рядок, дорівнює 0.

Доведення. Нехай - й рядок визначника Δ нульовий. За означенням, в кожному добутку, з яких складається визначник, є співмножник з i- го рядка. Таким чином, кожний добуток містить нульовий співмножник. Це означає, що всі добутки дорівнюють 0 і Δ=0.

  1.  * Якщо в визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Доведення. Нехай

 

,

Визначник  Δ1 одержано з визначника Δ перестановкою k-го і l-го рядків. Покажемо, що = -. Позначимо для зручності елементи визначника , як bij.  Тобто, bi,j=ai,j  при ;        bkj=alj ,;blj=akj, . Зрозуміло, що визначники Δ і  Δ1 складаються з однакових добутків, тому перевіримо знаки при рівних добутках. Зафіксуємо один з добутків визначника Δ, упорядкований за першим індексом  a1α1a2α2akαkalαlanαn. При цьому добутку у визначнику  Δ знак дорівнює  .

В позначеннях елементів визначника Δ1 цей добуток має вигляд  b1α1b2α2blαkbkαlbnαn  Упорядкуємо цей добуток за першим індексом. Одержимо добуток b1α1b2α2bkαlblαkbnαn  . Другі індекси  утворюють перестановку α1, α2,…, αl,…, αk,…, αn, тому, за означенням,  при цьому добутку у визначнику   Δ1 знак  . Від перестановки чисел α1, α2,…, αk,…, αl,…, αn  .  до перестановки  α1, α2,…, αl,…, αk,…, αn можна перейти за допомогою однієї транспозиції. Тому за теоремою 2 про перестановки, ці перестановки різної парності і знаки при даному фіксованому добутку у визначниках Δi і Δ1 різні. Оскільки зафіксований добуток довільний, то Δ 1= - Δ.

3. * Якщо два рядки визначника однакові, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай i- й  і j - й рядки визначника  Δ  однакові. Переставимо ці рядки. Визначник не змінюється. З іншого боку, за властивістю 2, він змінює знак. Звідси   Δ = - Δ  і         Δ = 0.

4. * Якщо рядок визначника Δ домножити на число λ, то і весь визначник  домножається  на λ.

 

           Доведення. Припустимо, що i-й рядок визначника визначника помножається на число λ. Одержуємо визначник помножається на число λ. Одержуємо визначник

                     

    

Тоді

З цієї властивості випливає таке правило. Якщо кожний елемент деякого рядка визначника домножений на деяке число λ, то це число можна винести за знак визначника.

5. Два рядки визначника (ai1,ai2,…,ain) і (aj1,aj2,…,ajn)  називаються пропорційними, якщо існує число λ таке, що aj1=λai1,  aj2=λai2,…, ajn=λain.  Таким чином, один з пропорційних рядків можна одержати з іншого домноженням на деяке число.

Якщо два рядки визначника пропорційні, то він дорівнює 0.

Доведення. Нехай у визначнику  Δ i- й  та  j- й рядки пропорційні. Це означає, що j-й рядок можна одержати з i- го рядка домноженням на деяке число λ. Винесемо  λ  з j-го рядка за знак визначника. Одержуємо визначник, у якому i- й та  - й j-й рядки співпадають. З властивості 3 випливає, що цей визначник дорівнює 0, а тому = 0.

6. Cумою двох рядків (bi1,bi2,…,bin) і (cj1,cj2,…,cjn)  називається рядок (bi1+cj1,bi2+cj2,…,bin+cjn).   Якщо - й рядок визначника Δ є сумою двох рядків,  то визначник Δ  є сумою двох визначників Δ1 і Δ2 таких, що  i- м рядком визначника Δ1 є перший доданок, а i- м рядком визначника  Δ2 - другий доданок  i- го рядка визначника Δ; решта рядків визначників Δ1 і  Δ2 однакові і співпадають з відповідними рядками визначника Δ.

Доведення. Нехай

.

Тоді                   

=

= +   = Δ1+ Δ2

Аналогічно, якщо i -й рядок визначника Δ є сумою k рядків, то визначник  Δ є сумою k визначників.

7. * Якщо до рядка визначника додати інший рядок, домножений на число, то визначник не змінюється.

Доведення. Позначимо через A1,A2,…,An   рядки визначника Δ.. Додаємо до i- го рядка Ai j-й рядок Aj (j i), домноженний на число . Одержимо визначник Δ1, i -й рядок якого має вигляд AiAj , а решта рядків співпадає з відповідними рядками визначника . Для того, щоб довести, що =, розкладаємо визначник Δ1 в суму двох визначників за i - м рядком, згідно з властивістю 6, в першому з яких на i - му місці стоїть рядокAi, а в другому – рядок λAj.. Решта рядків обох визначників співпадає з відповідними рядками визначника Δ1, а тому й визначника Δ. Тоді перший з цих двох визначників співпадає з визначником , а в другому i- й і j- й рядки пропорційні, тобто він дорівнює 0. Звідси =.

8. Нехай Ai1,Ai2,…,Aik - деякі рядки визначника , λ12,…, λk - деякі числа. Рядок λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  називається лінійною комбінацією рядків Ai1,Ai2,…,Aik.

* Якщо у визначнику деякій рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює 0.

Доведення. Нехай  A1,A2,…,Ak  - рядки визначника Δ,  Ai= λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik , причому жоден з індексів i1,i2,…,ik  не співпадає з i. Тобто i - й рядок визначника Δ є лінійною комбінацією рядків з номерами i1,i2,…,ik  . Тоді визначник Δ за i - м рядком можна розкласти в суму k визначників, у першому з яких на  i- му місці стоїть рядок λ1Ai1, на другому – λ2Ai2 і т.д., в останньому – λлAik. У кожному з одержаних визначників є пропорційні рядки, тому кожен з них дорівнює 0. Звідси Δ = 0.

9. * Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Доведення. Нехай. A1,A2,…,An  - рядки визначника Δ. До i- го рядка A додамо лінійну комбінацію інших рядків λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik , одержуємо визначник Δ1 у якому i- й рядок має вигляд Ai+ λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  .  За i- м рядком так, що в першому з них на i- му місці стоїть рядок Ai, а у другому – рядок λ1Ai12Ai2,+…+ λkAik  . Перший визначник співпадає з Δ, а у другому i- й рядок є лінійною комбінацією інших рядків і він дорівнює 0 за властивістю 8.

Звідси Δ1= Δ..


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30925. Межполушарные взаимоотношения 27.5 KB
  Абстрактное мышление и сознание связаны с левым полушарием а конкретно чувственное мышление с правым полушарием. А Правое полушарие осуществляет обработку всей поступившей информации одновременно синтетически по принципу дедукции при этом лучше воспринимаются пространственные и относительные признаки предмета; Б Левое полушарие проводит обработку поступившей информации последовательно аналитически по принципу индукции лучше воспринимаются абсолютные признаки предмета и временные отношения. А Правое полушарие обуславливает более...
30926. Анализаторы 60 KB
  Суживающаяся воронка слой фоторецепторов 130 млн. По горизонтали в каждом слое различные свойства рецепторов в сетчатке палочки и колбочки; в свою очередь колбочки подразделяются на воспринимающие красный зеленый и фиолетовый цвет. Адаптация рецепторов. Некоторые рецепторы кроме обычной чувствительной иннервации по которой сигналы от рецепторов поступают в мозг получают эфферентные волокна.
30927. Зрительный анализатор 43 KB
  Строение и функции оптической системы глаза. Изза этого происходит преломление световых лучей внутри глаза. Преломляющая сила для здорового глаза для рассмотрении на далеких расстояниях составляет 59 D а при рассмотрении близких предметов 705 D. Обеспечивает приспособление глаза к ясному видению предметов расположенных на различном расстоянии.
30928. Топология. Функциональный анализ. Учебник 6.26 MB
  Слово «топология» относят ныне к двум разделам математики. И изначально для каждого из них имелись свои определения при слове «топология». Одну топологию, родоначальником которой был Пуанкаре, называли долгое время комбинаторной, за другой (у истоков ее были исследования Кантора) закрепилось название общей или теоретико-множественной
30929. Гідрогазодинаміка. Курс лекцій 5.25 MB
  Метою вивчення дисципліни ”гідрогазодинаміка” є засвоєння студентами понять і законів гідравліки і газодинаміки та застосування їх надалі у процесі вивчення спеціальних дисциплін та проведення необхідних інженерних розрахунків. Предмет ”Гідрогазодинаміка” базується на дисциплінах ”Вища математика”, ”Фізика”, ”Теоретична механіка”, ”Прикладна механіка”, ”Термодинаміка”
30930. Финансы и кредит. Конспект лекций 1.74 MB
  Размер процентной ставки зависит от ряда объективных и субъективных факторов: общего состояния экономики, в том числе денежно кредитного рынка, кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики, вида сделки, ее валюты, срока кредита и т.д.
30931. Проектирование информационных систем (ИС) CASE средствами 638.5 KB
  Современные крупные проекты ИС характеризуются как правило следующими особенностями: сложность описания достаточно большое количество функций процессов элементов данных и сложные взаимосвязи между ними требующая тщательного моделирования и анализа данных и процессов; наличие совокупности тесно взаимодействующих компонентов подсистем имеющих свои локальные задачи и цели функционирования например традиционных приложений связанных с обработкой транзакций и решением регламентных задач и приложений аналитической обработки...
30932. Філософія та соціологія 410 KB
  Комунікативна повсякденна практика, навколо якої утворюється життєвий світ, забезпечується спільною грою культурного відтворення, соціальної інтеграції та соціалізації, яка в цій практиці укорінена. Життєвий світ як результат соціалізації, тобто структурованості суспільними і культурними зв’язками.
30933. Проектная деятельность на уроке английского 25.65 KB
  Проектная методика позволяет вести индивидуальную работу над темой которая вызывает наибольший интерес у каждого участника проекта что несомненно влечет за собой повышенную мотивированную активность учащегося. В основе проекта лежит какаято проблема. Структурирование содержательной части проекта; 5. Предполагает собой наличие выходной информации по данному проекту причем результат данной деятельности может быть различным в зависимости от индивидуальных возможностей или способностей участников проекта.