22910

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика

Доклад

Математика и математический анализ

Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij який одержуються викресленням з визначника Δ i го рядка та j го стовпчика. Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n го порядку до обчислення визначників порядку n1. Фіксуємо iй рядок визначника Δ та доведемо що всі добутки що складають доданок aijAij входять у визначник Δ причому з таким самим знаком як і у доданку aijAij.

Украинкский

2013-08-04

67 KB

0 чел.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij, який одержуються     викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. aij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

.Aij=(-1)i+j Mij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

 

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ  та доведемо, що всі добутки, що складають доданок aijAij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку aijAij. Оскільки              aijAij=(-1)i+jaijMij, довільний добуток з доданку aijAij  має вигляд (-1)i+jaija1α1a2α2ai-1αi-1 ai+1αi+1anαn. Оскільки визначник Mij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник Mij немає індекса i, а серед других індексів  α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника   Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)i-1+k+j-1=(-1)I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток  входить до доданку aijAij. Добуток  входить до визначника Mij зі знаком(-1)k. Тоді добуток  входить до доданку aijAij=(-1)i+jMij  зі знаком (-1)i+j (-1)k=(-1)i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= aijAij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок aijAij, входять до визначника  Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в aijAij  співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник Mij  , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з aij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент aij. Число таких добутків дорівнює  . Таким чином, всі добутки доданку  є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= aijAij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(ai1,ai2,…,ain)= (ai1+0+..0 ..0,0+ai2+...+0,…,0+0+…ain). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

=+

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином,  Δ= Δ= ai1Ai1+ ai2Ai2+…+ ainAin.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin=0.. Розглянемо допоміжний визначник

     

Зрозуміло, що Δ1=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ1= aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18199. Операційна система: призначення й склад 39 KB
  Лекція 4 Операційна система: призначення й склад На IBMсумісних персональних комп'ютерах використовуються операційні системи корпорації Microsoft Windows вільно розповсюджуєма операційна система Linux. На персональних комп'ютерах фірми Apple використовуються різні версії опер...
18200. Windows - Загальні відомості 52.5 KB
  Лекція 5 Windows Загальні відомості Наприкінці 90х років XX ст. стандартом ОС для 32розрядних ПК стала система Windows 98. Вона має ряд особливостей: 1. Зручний для користувача графічний інтерфейс. Він дає змогу досить просто керувати роботою комп'ютера використовуючи такі п...
18201. Складові Windows 93.5 KB
  Лекція 6 Складові Windows Головне меню містить у собі такі пункти: Програми виведення списку інстальованих програм. Документи виведення списку недавно переглянутих документів. Настройки виведення списку компонентів системи настройка яких може бути зміне
18202. Операційна система Windows XP 120 KB
  Лекція 7 Операційна система Windows XP Windows XP з'явився 25 жовтня 2001 року. Це унікально потужна операційна система в основі якої лежить Windows 2000. Це нова OC від Microsoft починаючи з якої зроблена спроба об'єднати дві що раніше існували незалежно лінійки W9x і NT. Спочатку цей проект
18203. Операційна система Windows Server 2003 156 KB
  Лекція 8 Операційна система Windows Server 2003 Операційні системи сімейства Windows Server 2003 є еволюційним розвитком серверної платформи Windows 2000 Server що також включили в себе багато засобів систем Windows XP. Слід також нагадати що ОС Windows 2000 мають внутрішній номер версії 5.0 а системи Wi...
18204. Робота з WINDOWS SERVER 2003 192 KB
  Робота з WINDOWS SERVER 2003 Створювати розділи на жорсткому диску можна такими способами: Якщо на комп'ютері вже встановлена система Windows NT/2000/XP то розділи на жорсткому диску можна створити за допомогою адміністративних засобів самої операційної системи. Якщо на комп'ю
18205. Операційна система Linux: історія 85 KB
  Лекція 10 Операційна система Linux: історія Linux багатозадачна й багатокористуваться операційна система для бізнесу утворення й індивідуального програмування. Linux належить сімейству UNIXподібних операційних систем вона може працювати на комп'ютерах Intel 80386 80486 і Pen...
18206. Види операційної системи Linux 43 KB
  Лекція 11 Види операційної системи Linux Linux Mandriva One Ця редакція Linux Mandriva являє собою Live CD. Live CD операційна система яка завантажується й працює прямо з компактдиска без необхідності установки й без ризику внесення якихнебудь змін у систему. Крім того Mandriva One мож...
18207. Загальна характеристика права інтелектуальної власності 114.5 KB
  Тема: Загальна характеристика права інтелектуальної власності План Інтелектуальна діяльністьяк об’єкт правої охорони Поняття права інтелектуальної власності Субєкти та об’єкти права інтелектуальної власності Система права інтелектуальної власност