22910

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика

Доклад

Математика и математический анализ

Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij який одержуються викресленням з визначника Δ i го рядка та j го стовпчика. Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n го порядку до обчислення визначників порядку n1. Фіксуємо iй рядок визначника Δ та доведемо що всі добутки що складають доданок aijAij входять у визначник Δ причому з таким самим знаком як і у доданку aijAij.

Украинкский

2013-08-04

67 KB

0 чел.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij, який одержуються     викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. aij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

.Aij=(-1)i+j Mij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

 

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ  та доведемо, що всі добутки, що складають доданок aijAij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку aijAij. Оскільки              aijAij=(-1)i+jaijMij, довільний добуток з доданку aijAij  має вигляд (-1)i+jaija1α1a2α2ai-1αi-1 ai+1αi+1anαn. Оскільки визначник Mij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник Mij немає індекса i, а серед других індексів  α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника   Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)i-1+k+j-1=(-1)I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток  входить до доданку aijAij. Добуток  входить до визначника Mij зі знаком(-1)k. Тоді добуток  входить до доданку aijAij=(-1)i+jMij  зі знаком (-1)i+j (-1)k=(-1)i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= aijAij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок aijAij, входять до визначника  Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в aijAij  співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник Mij  , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з aij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент aij. Число таких добутків дорівнює  . Таким чином, всі добутки доданку  є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= aijAij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(ai1,ai2,…,ain)= (ai1+0+..0 ..0,0+ai2+...+0,…,0+0+…ain). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

=+

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином,  Δ= Δ= ai1Ai1+ ai2Ai2+…+ ainAin.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin=0.. Розглянемо допоміжний визначник

     

Зрозуміло, що Δ1=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ1= aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

73158. Устройство шин, их конструкция и классификация 503.21 KB
  Колеса принимают крутящий момент от двигателя, и за счет сил сцепления с дорогой обеспечивают движение автомобиля, а также они воспринимают и сглаживают удары и толчки от неровностей поверхности дороги. От них зависят возможность разгона и торможения, управляемость и устойчивость, плавность...
73159. Назначение, устройство и принцип работы тормозной системы автомобиля 190.53 KB
  Тормозной механизм –- это устройство непосредственно создающее искусственное сопротивление движению автомобиля преобразующее его кинетическую энергию в тепло рассеиваемое в окружающую среду.
73160. Назначение, устройство и принцип работы подвески автомобиля 241.59 KB
  Гаситель колебаний чаще всего представляет собой отдельное устройство –- амортизатор который гасит взаимные колебания кузова и колес автомобиля; частично эти колебания гасит трение в шарнирах подвески.
73161. Назначение, устройство и принцип работы рулевого управления автомобиля 171.74 KB
  Рулевое управление автомобиля предназначено для выполнения двух взаимосвязанных функций. Первая из них заключается в изменении направления движения в соответствии с управляющим воздействием водителя.
73163. Разработка программ в среде Visual Basic 83.61 KB
  Записать процедуру для вычисления значения ступенчатой функции Z для заданного варианта. Предусмотреть запуск программы из среды Word и возможности ввода значения переменной x из диалогового окна InputBox, а также вывод значения Z в панели сообщения MsgBox.