22910

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика

Доклад

Математика и математический анализ

Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij який одержуються викресленням з визначника Δ i го рядка та j го стовпчика. Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n го порядку до обчислення визначників порядку n1. Фіксуємо iй рядок визначника Δ та доведемо що всі добутки що складають доданок aijAij входять у визначник Δ причому з таким самим знаком як і у доданку aijAij.

Украинкский

2013-08-04

67 KB

0 чел.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij, який одержуються     викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. aij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

.Aij=(-1)i+j Mij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

 

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ  та доведемо, що всі добутки, що складають доданок aijAij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку aijAij. Оскільки              aijAij=(-1)i+jaijMij, довільний добуток з доданку aijAij  має вигляд (-1)i+jaija1α1a2α2ai-1αi-1 ai+1αi+1anαn. Оскільки визначник Mij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник Mij немає індекса i, а серед других індексів  α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника   Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)i-1+k+j-1=(-1)I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток  входить до доданку aijAij. Добуток  входить до визначника Mij зі знаком(-1)k. Тоді добуток  входить до доданку aijAij=(-1)i+jMij  зі знаком (-1)i+j (-1)k=(-1)i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= aijAij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок aijAij, входять до визначника  Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в aijAij  співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник Mij  , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з aij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент aij. Число таких добутків дорівнює  . Таким чином, всі добутки доданку  є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= aijAij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(ai1,ai2,…,ain)= (ai1+0+..0 ..0,0+ai2+...+0,…,0+0+…ain). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

=+

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином,  Δ= Δ= ai1Ai1+ ai2Ai2+…+ ainAin.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin=0.. Розглянемо допоміжний визначник

     

Зрозуміло, що Δ1=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ1= aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37362. Выдача иностранным гражданам и лицам без гражданства вида на жительство в РФ 48 KB
  Вид на жительство — документ, выданный иностранному гражданину в подтверждение его права на постоянное проживание в Российской Федерации, а также его права на свободный выезд из Российской Федерации и въезд в Российскую Федерацию. Вид на жительство, выданный лицу без гражданства, является одновременно и документом, удостоверяющим его личность.
37363. Разработка программного обеспечения решения задачи о назначении сотрудников на должности 199.52 KB
  Имеется конечное число видов работ, которые могут быть выполнены потенциальными кандидатами на эти должности. При этом каждого кандидата можно назначить на выполнение только одной работы, а каждая работа, в свою очередь, должна выполняться только одним кандидатом. Известна эффективность выполнения каждой работы (или издержки при назначении) любым из потенциальных кандидатов.
37364. ОБОРУДОВАНИЕ УЧАСТКА ЖЕЛЕЗНОЙ ДОРОГИ СИСТЕМОЙ АВТОБЛОКИРОВКИ С ТОНАЛЬНЫМИ РЕЛЬСОВЫМИ ЦЕПЯМИ И ЦЕНТРАЛЬНЫМ РАЗМЕЩЕНИЕМ ОБОРУДОВАНИЯ ТИПА АБТЦ-03 60.02 KB
  Для управления и правильного пользования сигналами раздельные пункты станции ограничивающие перегон оборудуют блокировочными аппаратами и релейными приборами и связывают их электрически между собой двухпроводной линейной цепью. От этого сигнала срабатывает релейная аппаратура ПАБ которая обеспечивает зависимость по управлению светофором. На железных дорогах используются в основном релейные системы ПАБ Гипротранссигналсвязи РПБ ГТСС. В релейных системах все блокировочные зависимости и необходимые замыкания осуществляются с помощью реле...
37365. Оборудование промежуточных станций электрической централизацией стрелок и сигналов 57.23 KB
  Задача курсового проекта заключается в разработке системы электрической централизации по заданному плану станции для данной горловины. В курсовом проекте используется блочная маршрутно-релейная централизация, так как она обеспечивает маршрутное управление, что обеспечивает сокращение времени на установку маршрута и так же позволяет повысить производительность труда.
37366. Строительство здания на основе проэкта Доступное и комфортное жилье — гражданам России 83 KB
  Наша область одна из первых в России начала формировать систему градостроительной деятельности соединяющую электронные топографические карты со справочной аналитической и другой информацией для создания топографической основы территорий.1 Объемнопланировочное решение здания. Общая высота здания 72м.2 Конструктивное решение здания.
37367. Расчет грузового барабана лебедки 2.83 MB
  Определение коэффициентов относительной ширины колес Для несимметричного расположения колес относительно опор коэффициенты относительной ширины колес для тихоходной и быстроходной ступеней при твердости ≥350 НВ назначаются из интервала [1 табл. Расчет эквивалентного времени работы Эквивалентное время работы Lhe назначают с учетом категории режима работы по ГОСТ 2135487 и находится по формуле: Lhe = h Lh где Lh заданный срок службы час; h коэффициент эквивалентности зависящий от режима нагрузки. Геометрические расчеты...
37368. Проектирование привода к вертикальному валу цепного конвейера 13.07 MB
  Повышение эксплуатационных и качественных показателей, сокращение времени разработки и внедрения новых машин, повышение их надежности и долговечности - основные задачи конструкторов-машиностроителей. Одним из направлений решения этих задач является совершенствование конструкторской подготовки студентов высших технических учебных заведений.
37369. Выполнить синтез автомата Мили, осуществляющего отображение информации 701 KB
  Для их устранения используют развязывание пар переходов. Развязанными считаются такие пары которые в одном из разрядов кода состояния принимают противоположные значения. Для развязывания пар переходов последовательно рассматривают все пары подлежащие развязыванию и в каком либо разряде кода состояний им присваивается противоположное значение. Если в данном разряде это сделать нельзя то вводится новый разряд пока не будут развязаны все пары.
37370. Управления параболической антенной по углу наклона с помощью мехатронных систем 2.05 MB
  Мехатроника — это новая область науки и техники, посвященная созданию и эксплуатации машин и систем с компьютерным управлением движением, которая базируется на знаниях в области механики, электроники и микропроцессорной техники, информатики и компьютерного управления движением машин и агрегатов. Мехатроника является научно-технической дисциплиной, которая изучает построение электромеханических систем нового поколения, обладающих принципиально новыми качествами и, часто, рекордными параметрами.