22910

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика

Доклад

Математика и математический анализ

Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij який одержуються викресленням з визначника Δ i го рядка та j го стовпчика. Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n го порядку до обчислення визначників порядку n1. Фіксуємо iй рядок визначника Δ та доведемо що всі добутки що складають доданок aijAij входять у визначник Δ причому з таким самим знаком як і у доданку aijAij.

Украинкский

2013-08-04

67 KB

0 чел.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij, який одержуються     викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. aij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

.Aij=(-1)i+j Mij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

 

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ  та доведемо, що всі добутки, що складають доданок aijAij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку aijAij. Оскільки              aijAij=(-1)i+jaijMij, довільний добуток з доданку aijAij  має вигляд (-1)i+jaija1α1a2α2ai-1αi-1 ai+1αi+1anαn. Оскільки визначник Mij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник Mij немає індекса i, а серед других індексів  α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника   Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)i-1+k+j-1=(-1)I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток  входить до доданку aijAij. Добуток  входить до визначника Mij зі знаком(-1)k. Тоді добуток  входить до доданку aijAij=(-1)i+jMij  зі знаком (-1)i+j (-1)k=(-1)i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= aijAij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок aijAij, входять до визначника  Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в aijAij  співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник Mij  , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з aij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент aij. Число таких добутків дорівнює  . Таким чином, всі добутки доданку  є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= aijAij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(ai1,ai2,…,ain)= (ai1+0+..0 ..0,0+ai2+...+0,…,0+0+…ain). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

=+

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином,  Δ= Δ= ai1Ai1+ ai2Ai2+…+ ainAin.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin=0.. Розглянемо допоміжний визначник

     

Зрозуміло, що Δ1=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ1= aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47028. Вина, пересыщенные диоксидом углерода, их классификация, свойства, особенности технологии. Сорта, разрешенные в РФ для производства шампанского. Технологические требования к сортам винограда 45.83 KB
  Вина пересыщенные диоксидом углерода их классификация свойства особенности технологии. Вина пересыщенные диоксидом углерода составляют особую группу отличаются по своему внешнему виду букету и вкусовому сложению. Вина пересыщенные диоксидом углерода делятся на два основных типа: игристые и газированные шипучие. Игристые вина получают пересыщением диоксидом углерода образующимся при вторичном брожении.
47029. Теории игры (К.Гроос, Ф.Бойтендайк). Проблемы детской игры в теориях: В.Штерна, 3.Фрейда, Ж.Пиаже, К.Коффки, К.Левина, Л.С. Выготского) 46 KB
  Теории игры К. Проблемы детской игры в теориях: В. период развития и роста когда оно не может самостоятельно поддерживать свою жизнь г это время детства имеет целью сделать возможным приобретение приспособлений необходимых для жизни но не развивающихся непосредственно из прирожденных реакций д унаследованные реакции в связи с импульсивной потребностью в деятельности сами стремятся к проявлению и таким образом сами дают повод к новоприобретениям так что над прирожденной основой образуются приобретенные навыки е выработка...
47030. РЕАЛИЗАЦИЯ БИОЛОГИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ В КЛЕТКЕ 46 KB
  Функция рибосом заключается в узнавании трехнуклеотидных кодонов мРНК сопоставлении им соответствующих антикодонов тРНК несущих аминокислоты и присоединении этих аминокислот к растущей белковой цепи. Для узнавания аминокислот в клетке имеются специальные молекулы тРНК. Присоединение аминокислот к тРНК осуществляется в энергозависимой реакции ферментами аминоацилтРНКсинтетазами а получившаяся молекула называется аминоацилтРНК. Таким образом специфичность трансляции определяется взаимодействием между кодоном мРНК и антикодоном тРНК а...
47032. Генетика человека. Малярийный плазмодий 55.3 KB
  Близнецовые данные оказываются полезными для количественной оценки степени генетической детерминированности отдельных признаков в связи с чем близнецовый метод можно считать одним из важных методов количественной генетики. Близнецовый метод позволяет установить наследственный характер признаков и это единственный метод выявляющий соотносительную роль удельный вес генетических наследственных и средовых факторов в формировании признака. Близнецовый метод был предложен Ф.
47033. Восстановление изношенной поверхности методом металлизации, принцип, технология металлизации 46.69 KB
  Процесс металлизации заключается в нанесении расплав ленного металла на специально подготовленную поверхность детали распылением его струей воздуха или газа. Схема электродуговой металлизации Примечание. Ппреимущества электрометаллизации: высокая производительность процесса.
47034. Виды ожогов. Классификация 47 KB
  Требования пожарной безопасности в учебных заведениях. В учебных классах и кабинетах следует размещать только необходимые для обеспечения учебного процесса мебель приборы которые должны храниться в шкафах на стеллажах; Число парт столов в учебных классах и кабинетах не должно превышать количества установленного нормами проектирования; С учащимися и студентами должны быть организованы занятия беседы по изучению правил пожарной безопасности в быту; Противопожарные системы и установки зданий должны постоянно содержаться в исправном...
47035. Проблема предметной деятельности и ее развития в развития в раннем детстве 47 KB
  Основное противоречие возраста: способ действия с предметом образец действия принадлежит взрослому а ребенок в то же время должен выполнять индивидуальное действие. Ведущий тип деятельности: предметная деятельность направленная на усвоение общественно выработанных способов действия с предметами. Цель возникает только в результате осуществления самого предметного действия. только после того как ребенок выпьет из чашки воду у него возникает цель пить из чашки воду Структура предметного действия: Действие состоит из ориентировочной и...