22910

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика

Доклад

Математика и математический анализ

Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij який одержуються викресленням з визначника Δ i го рядка та j го стовпчика. Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n го порядку до обчислення визначників порядку n1. Фіксуємо iй рядок визначника Δ та доведемо що всі добутки що складають доданок aijAij входять у визначник Δ причому з таким самим знаком як і у доданку aijAij.

Украинкский

2013-08-04

67 KB

0 чел.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij, який одержуються     викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. aij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

.Aij=(-1)i+j Mij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

 

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ  та доведемо, що всі добутки, що складають доданок aijAij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку aijAij. Оскільки              aijAij=(-1)i+jaijMij, довільний добуток з доданку aijAij  має вигляд (-1)i+jaija1α1a2α2ai-1αi-1 ai+1αi+1anαn. Оскільки визначник Mij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник Mij немає індекса i, а серед других індексів  α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника   Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)i-1+k+j-1=(-1)I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток  входить до доданку aijAij. Добуток  входить до визначника Mij зі знаком(-1)k. Тоді добуток  входить до доданку aijAij=(-1)i+jMij  зі знаком (-1)i+j (-1)k=(-1)i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= aijAij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок aijAij, входять до визначника  Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в aijAij  співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник Mij  , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з aij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент aij. Число таких добутків дорівнює  . Таким чином, всі добутки доданку  є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= aijAij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(ai1,ai2,…,ain)= (ai1+0+..0 ..0,0+ai2+...+0,…,0+0+…ain). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

=+

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином,  Δ= Δ= ai1Ai1+ ai2Ai2+…+ ainAin.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin=0.. Розглянемо допоміжний визначник

     

Зрозуміло, що Δ1=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ1= aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

83174. History of Basketball 23.7 KB
  Basketball is an extremely popular all around the world. The object is to put a ball through a hoop, or basket, and thus score more points than the opposing team. Teams comprise of ten players, with a maximum of five on court at any one time. Substitutions are unlimited during the course of the game.
83175. Нормы международного таможенного права в правовой системе Российской Федерации 32.46 KB
  Таможенное право комплексная отрасль права представляющая собой систему правовых норм различной правоотраслевой принадлежности которые устанавливаются санкционируются государством и предназначены для регулирования общественных отношений связанных с перемещением товаров и транспортных средств через таможенную границу взиманием таможенных...
83176. Развитие экономической теории в России 578.25 KB
  Успешное восстановление послевоенной экономики зависело не только от решения таких основных задач как собственно реконструкция восстановление разрушенного реконверсия перевод военного производства на выпуск гражданской продукции но и самого выбора варианта послевоенного хозяйственного развития страны.
83177. Сердечно – сосудистая система 606.63 KB
  В состав сердечно-сосудистой системы входит сердце орган который заставляет кровь двигаться нагнетая ее в кровеносные сосуды полые трубки различного калибра по которым она циркулирует. Кровь состоит из плазмы и приблизительно равного ей объема форменных элементов преимущественно красных клеток крови.
83178. Органы исполнительной власти Республики Беларусь 47.15 KB
  Исходя из данного определения - следующий уровень системы исполнительных органов – это республиканские органы государственного управления и иные государственные организации. Согласно Указу № 289 сюда входят министерства, государственные комитеты, являющиеся республиканскими органами государственного управления...
83179. Анализ природных ресурсов Кемеровской области 94.13 KB
  Кузнецкий бассейн расположен в Западно-Сибирском экономическом районе на территории Кемеровской области. Крайний юг области обширная территория средне-высоких гор Горной Шории. С 1943 центр Кемеровской области. Минерально-сырьевые ресурсы На территории области выявлены полезные ископаемые: уголь каменный бурый и горючие сланцы; чёрные металлы руда железная марганцевая; цветные и благородные металлы руда серебро ртуть свинец цинк медь барит бокситы нефелиновые руды...
83180. Несиметричні короткі замикання 71.15 KB
  Найбільш частим виглядом КЗ є несиметричні КЗ – однофазні, двофазні, двофазні на нейтраль. Вони є граничним випадком несиметричного навантаження. При несиметричних коротких замиканнях сталі струми короткого замикання досягають максимальних значень.
83181. Вентиляция, отопление и кондиционирование воздуха в производственных помещениях 68.08 KB
  Классификация систем кондиционирования. Вот некоторые задачи которые послужат для достижения этой цели: Выяснить значение кондиционирования воздуха. Классифицировать системы кондиционирования воздуха.
83182. Последствия советско-афганской войны 18.28 KB
  Военная служба была обязательна. У мальчиков, которые насчитали 18 или 19 лет возраста, не было выбора, кроме как служить в течение 2 - 3 лет. Новички для Афганистана получили бы 8-10 недели обучения прежде чем быть посланным в их отделения. Это обучение, конечно, не покрывало всю необходимую подготовку.