22910

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика

Доклад

Математика и математический анализ

Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij який одержуються викресленням з визначника Δ i го рядка та j го стовпчика. Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n го порядку до обчислення визначників порядку n1. Фіксуємо iй рядок визначника Δ та доведемо що всі добутки що складають доданок aijAij входять у визначник Δ причому з таким самим знаком як і у доданку aijAij.

Украинкский

2013-08-04

67 KB

0 чел.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij, який одержуються     викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. aij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

.Aij=(-1)i+j Mij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

 

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ  та доведемо, що всі добутки, що складають доданок aijAij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку aijAij. Оскільки              aijAij=(-1)i+jaijMij, довільний добуток з доданку aijAij  має вигляд (-1)i+jaija1α1a2α2ai-1αi-1 ai+1αi+1anαn. Оскільки визначник Mij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник Mij немає індекса i, а серед других індексів  α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника   Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)i-1+k+j-1=(-1)I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток  входить до доданку aijAij. Добуток  входить до визначника Mij зі знаком(-1)k. Тоді добуток  входить до доданку aijAij=(-1)i+jMij  зі знаком (-1)i+j (-1)k=(-1)i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= aijAij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок aijAij, входять до визначника  Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в aijAij  співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник Mij  , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з aij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент aij. Число таких добутків дорівнює  . Таким чином, всі добутки доданку  є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= aijAij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(ai1,ai2,…,ain)= (ai1+0+..0 ..0,0+ai2+...+0,…,0+0+…ain). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

=+

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином,  Δ= Δ= ai1Ai1+ ai2Ai2+…+ ainAin.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin=0.. Розглянемо допоміжний визначник

     

Зрозуміло, що Δ1=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ1= aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

50859. Построения экспертных приложений COMP-P, разработка набора правил в этой системе и создание исполняемого модуля «Программист» в Borland Delphi 775.5 KB
  Целью данной работы является изучение инструментальной системы для построения экспертных приложений COMP-P, разработка набора правил в этой системе и создание исполняемого модуля «Программист» в Borland Delphi. Порядок выполнения работы. Для создания исполняемого модуля «Программист» в Borland Delphi Вам необходимо 3 файла.
50860. Совершенствования деятельности таможенного представителя в таможенной сфере 1.2 MB
  Исследовать теоретические основы деятельности в сфере таможенного дела; изучить практические аспекты деятельности таможенного представителя; выявить основные направления совершенствования деятельности таможенного представителя.
50862. Нейронная сеть Хебба 66.5 KB
  Поскольку вектор (у1, у2) = (1, -1) равен вектору (t1, t2), то вычисления прекращаются, так как цель достигнута – нейрон правильно распознает заданные изображения. Задание 2. Обучить бинарный нейрон распознаванию изображений X1 и X2. При этом изображению X1 пусть соответствует выходной сигнал нейрона...
50866. Элементарный перцептрон Розенблатта 75 KB
  Выполнить обучение элементарного перцептрона с бинарными S- и А-нейронами и биполярным R-нейроном распознаванию изображений двух заданных букв на рецепторном поле из девяти элементов.
50867. Система Expert COMPonent for the Pascal-oriented tool 778.5 KB
  Целью данной работы является изучение инструментальной системы для построения экспертных приложений COMP-P, разработка набора правил в этой системе и создание исполняемого модуля «Программист» в Borland Delphi. Как заявляет разработчик ситема COMP-P Иванов Ю.К. Система COMP-P[ascal] (Expert COMPonent for the Pascal-oriented tool)