22910

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика

Доклад

Математика и математический анализ

Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij який одержуються викресленням з визначника Δ i го рядка та j го стовпчика. Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n го порядку до обчислення визначників порядку n1. Фіксуємо iй рядок визначника Δ та доведемо що всі добутки що складають доданок aijAij входять у визначник Δ причому з таким самим знаком як і у доданку aijAij.

Украинкский

2013-08-04

67 KB

0 чел.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка або стовпчика.

Візьмемо визначник

.

Означення. Доповнюючим мінором елемента aij називається визначник Mij, який одержуються     викресленням з визначника Δ i- го рядка та j- го стовпчика. Тобто, викреслюється той рядок і той стовпчик, у яких знаходиться елемент. aij

.

Означення. Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

.Aij=(-1)i+j Mij

Теорема. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого його фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

 

.

Ця теорема дозволяє звести обчислення визначника n- го порядку до обчислення визначників порядку n-1.

Доведення. Будемо доводити теорему в три етапи.

1. Фіксуємо i-й рядок визначника Δ  та доведемо, що всі добутки, що складають доданок aijAij входять у визначник Δ, причому з таким самим знаком, як і у доданку aijAij. Оскільки              aijAij=(-1)i+jaijMij, довільний добуток з доданку aijAij  має вигляд (-1)i+jaija1α1a2α2ai-1αi-1 ai+1αi+1anαn. Оскільки визначник Mij одержується з визначника Δ викресленням i - го рядка та j - го стовпчика, то серед перших індексів в доданках, що складають визначник Mij немає індекса i, а серед других індексів  α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn, немає індекса j. Тому у виписаному добутку серед перших і серед других індексів є всі числа 1, 2,...,n , а тому цей добуток є добутком визначника   Δ.

Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника Δ. Для цього скористаємось лемою про знак. Перші індекси утворюють перестановку i,1, 2,...,i-1,i+1,…,n. Тут інверсії утворює лише число i, а кількість таких інверсій i-1. Припустимо, що в перестановці α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій дорівнює k. Тоді в перестановці j,α1, α2,…, αi-1, αi+1,…, αn  число інверсій k+j-1. А тому, за лемою про знак, даний добуток входить до визначника Δ зі знаком (-1)i-1+k+j-1=(-1)I+j+k-2 . Визначимо знак, з яким цей добуток  входить до доданку aijAij. Добуток  входить до визначника Mij зі знаком(-1)k. Тоді добуток  входить до доданку aijAij=(-1)i+jMij  зі знаком (-1)i+j (-1)k=(-1)i+j+k. Числа i+j+k-2 та i+j+k однакової парності, а тому знаки співпадають.

2. Доведемо теорему, коли визначник Δ має вигляд

В i-му рядку лише один ненульовий елемент. Доведемо, що Δ= aijAij. Ми довели, що всі добутки, що складають доданок aijAij, входять до визначника  Δ, причому при кожному такому добутку знаки в Δ і в aijAij  співпадають. Число таких добутків дорівнює числу всіх добутків, що складають визначник Mij  , тобто(n-1)!. Всі добутки різні. За означенням, у кожному добутку, з яких складається визначник Δ, є співмножник з i - го рядка. Якщо цей співмножник не співпадає з aij, то добуток дорівнює 0. Тому всі ненульові добутки мають співмножником елемент aij. Число таких добутків дорівнює  . Таким чином, всі добутки доданку  є добутками визначника Δ і навпаки. А тому Δ= aijAij..

3. Загальний випадок

i-й рядок визначника можна подати у вигляді суми n рядків

(ai1,ai2,…,ain)= (ai1+0+..0 ..0,0+ai2+...+0,…,0+0+…ain). Тоді за i- м рядком визначник можна розкласти в суму n визначників.

=+

Кожен з одержаних визначників є визначником вигляду, розглянутого на попередньому кроці доведення. Таким чином,  Δ= Δ= ai1Ai1+ ai2Ai2+…+ ainAin.

Наслідок 1. Визначник n- го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює 0.

Доведення. Доведемо твердження для рядків визначника. Нехай

Доведемо, що aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin=0.. Розглянемо допоміжний визначник

     

Зрозуміло, що Δ1=0 як визначник з двома рівними рядками. Розкладаємо цей визначник за елементами i- го рядка. Алгебраїчні доповнення цих елементів співпадають з алгебраїчним доповненням відповідних елементів i- го рядка. А тому 0= Δ1= aj1Ai1+ aj2Ai2+…+ ajnAin.

Доведення твердження для стовпчиків можна одержати транспонуванням визначника і використанням доведеного твердження для рядків транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68927. Операції над змінними 43 KB
  Перевірка існування змінної. Знищення змінної. Перевірка існування змінної. Знищення змінної Ви можете запитати а як же арифметичні і інші операції Решта всіх операцій специфічна для конкретного типу змінної.
68928. Вирази та операції в РНР 62 KB
  Вирази є тією «цеглою», з якої складаються РHP-програми. Практично все, що ви пишете в програмі, є виразом. При цьому під виразом розуміється те, що має значення. Можна сказати і по-іншому: все, що має значення, є виразом. Найпростіший вираз — це константа, що стоїть в правій частині оператора...
68929. Рядки. Операції над рядками 36.5 KB
  Обоє операторів echo виведуть рядки. Перший оператор echo виведе рядок Hello, а другою — $s. Між рядками в лапках і в апострофах існує велика різниця. Якщо рядок поміщений в апострофи, то всі символи трактуються як є. Винятки становлять послідовност...
68930. Посилання, умовний оператор 43 KB
  Неважко здогадатися що виведе програма 66. Краще використовувати жорсткі посилання: хоч би виходячи з того що для них потрібний один оператор. Умовний оператор Проблему вибору можна без докорів совісті віднести до глобальних проблем.
68931. Цикли План. Цикли з передумовою. Цикли з постумовою 58 KB
  Цикл дозволяє повторити певну і навіть не визначене коли робота циклу залежить від умови кількість разів якінебудь оператори. Дані оператори називаються тілом циклу они крутитимуться в циклі. Прохід циклу називається ітерацією. Як і С PHP підтримує три види циклів: Цикл з передумовою while...
68932. Форми в HTML-документах. Елементи форм 109.5 KB
  Форма в HTML-документі реалізується тегом-контейнером FORM, в якому задаються всі елементи, що управляють, — поля введення, кнопки і т.д. Якщо елементи, що управляють, вказані поза вмістом тега FORM, то вони не створюють форму, а використовуються для побудови призначеного для користувача...
68933. Перехоплення всіх виняткових ситуацій 32 KB
  Обробка виняткових ситуацій в мові C++ володіє додатковими властивостями і нюансами, які полегшують її застосування. Ці особливості описуються нижчим. Перехоплення всіх виняткових ситуацій В деяких випадках немає сенсу обробляти окремі типи виняткових ситуацій...
68934. Потоки. Класи потоків С++. Вбудовані потоки C++ 35 KB
  Потоки. Система введення-виводу мови C++, як і її аналог в мові С, оперує потоками. Потік (stream) — це логічний пристрій, одержуючий або передавальний інформацію. Потік пов’язаний з фізичним пристроєм введення-виводу. Всі потоки функціонують однаково, хоча фізичні пристрої
68935. Функції введення-виведення в потік 58.5 KB
  Бібліотека потоків C++ пропонує набір функцій-членів, які є загальними для всіх операцій введення-виводу потокових файлів. У даному розділі представлені ці функції-члени. Функція-член open відкриває потоковий файл для введення, виводу, дописування (у кінець файлу) і введення-виводу.