22913

ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Доклад

Математика и математический анализ

Αn1x1αn2x2αnnxn=βn Складемо визначник з коефіцієнтів при змінних α11 α12 α1n Δ= α21 α22 α2n αn1 αn2 αnn Визначник Δ називається головним визначником системи лінійних рівнянь 1. Якщо головний визначник Δ квадратної системи лінійних рівнянь 1 не дорівнює нулю то система має єдиний розв’язок який знаходиться за правилом: 2 Формули 2називаються формулами Крамера. Домножимо перше рівняння системи 1 на A11 друге рівняння – на А21 і продовжуючи так далі nе рівняння системи домножимо на Аn1. Отримаємо рівняння яке...

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Нехай дана квадратна система n лінійних рівнянь з n змінними:

α11x1+α12x2+…+α1nxn=β1

α21x1+α22x2+…+α2nxn=β2    (1)

………………………….

Αn1x1+αn2x2+…+αnnxn=βn

Складемо визначник з коефіцієнтів при змінних

α11

α12

α1n

Δ=

α21

α22

α2n

αn1

αn2

αnn

Визначник Δ називається головним визначником системи лінійних рівнянь (1).

Будемо також розглядати n допоміжних визначників Δi, і=

α11

α12

α1,i-1

β1

α1,i+1

α1n

Δi=

α21

α22

α2,i-1

β2

α2,i+1

α2n

αn1

αn2

αn,i-1

βn

αn,i+1

αnn

Отже, визначник Δi одержується з визначника Δ заміною i-го стовпчика стовпчиком вільних членів.

ТЕОРЕМА (Крамера). Якщо головний визначник Δ квадратної системи лінійних рівнянь (1) не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за правилом:

  (2)

Формули (2)називаються формулами Крамера.

Доведення. Позначимо через Aij  (i,j=) алгебраїчне доповнення елемента αij визначника Δ.

Домножимо перше рівняння системи (1) на A11, друге рівняння – на А21 і, продовжуючи так далі, n-е рівняння системи домножимо на Аn1. Додамо одержані рівняння. Отримаємо рівняння, яке є наслідком системи:

(α11A11+α21A21+…+αn1An1)x1+(α12A11+α22A21+…+αn2An1)x2+…+(α1nA11+α2nA21+…+αnnAn1)xn=β1A11+β2A21+...+βnAn1.

У цьому визначнику коефіцієнтом при змінній x1, є розклад визначника Δ за елементами першого стовпчика. Отже, цей коефіцієнт дорівнює Δ. Коефіцієнтом при xj при  j≠1 є сума добутків елементів j-го стовпчика визначника Δ на алгебраїчні доповнення першого стовпчика. За наслідком 2 теореми про розклад визначника, ця сума дорівнює нулю. Таким чином, в одержаному рівнянні коефіцієнти при х2, х3, ..., хn дорівнюють нулю. Вільний член є розкладом визначника Δ1 за елементами першого стовпчика. Отже рівняння має вигляд:

Δx1= Δ1 

Далі, аналогічно, перше рівняння в системі (1) помножаємо на А12, друге рівняння – на А22 і, продовжуючи цей процес, n-е рівняння помножаємо на Аn2. додамо всі рівняння і одержуємо рівняння

Δx2= Δ2.

Кожен крок процесу  полягає в тому, що одержується рівняння, з якого виключаються всі змінні крім однієї. Виконавши n кроків, отримаємо систему лінійних рівнянь, яка є наслідком системи (1)

Δx1= Δ1 

Δx2= Δ2    (3)

……….

Δxn= Δn 

Зрозуміло, що всі розв’язки системи лінійних рівнянь (1), якщо вони існують, є розв’язками і системи (3). За умовою теореми Δ≠0, тому система рівнянь (3) має єдиний розв’язок

Це означає, що система рівнянь (1) має не більше одного  розв’язку. Для доведення теореми залишається перевірити, що одержаний розв’язок системи (3) є розв’язком системи (1). Підставимо значення х1, х2, …, хn в і-е рівняння системи і при цьому кожен визначник Δі (і=) розкладемо за елементами і-го стовпчика:

αi1x1+αi2x2+…+αiixi+…+αinxn=αi1Δ1/Δ+αi2Δ2/Δ+…+αinΔn/Δ=

=(αi1Δ1+αi2Δ2+…++αiiΔi+…+αinΔn)=

=(αi1(β1A11+β2A21+…βiAi1+…+βnAn1)+αi2(β1A12+β2A22+…+βiAi2+…+βnAn2)+ …+αii(β1A1i+β2A2i+…+βiAii+…+βnAni)+…+αin(β1A1n+β2A2n+...…+βiAin+…+βnAnn))=

(β1(αi1A11+αi2A12+…αiiA1i+…αinA1n)+β2(αi1A21+αi2A22+..…+αiiA2i+…+αinA2n)+…+

+βi(αi1Ai1+αi2Ai2+…+αiiAii+…+αinAin)+…+βn(αi1An1+αi2An2+αiiAni+…+αinAnn))=

=(β10+β20+…+βiΔ+…+βn0)= βiΔ=βi

(Тут ми скористалися тим, що в дужках коефіцієнтом при βi є розклад визначника  Δ за елементами і-го рядка, а коефіцієнтом при  βj при j≠i є сума добутків елементів і-го рядка визначника Δ на алгебраїчні доповнення j-го рядка).

Отже, одержаний розв’язок системи рівняння (3) задовольняє і-му рівнянню системи (1),  тобто розв’язок системи (3)

є розв’язком системи (1) і цей розв’язок єдиний. Теорему доведено.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3070. Исследование свободных процессов в линейных цепях 3.46 MB
  Исследование свободных процессов в линейных цепях Цель работы: изучение связи между видом свободного процесса в цепи и расположением собственных частот (корней характеристического уравнения) на комплексной плоскости; приближенная оценка собственных ...
3071. Грузовые автомобильные перевозки 12.75 MB
  Изложены вопросы классических и современных подходов к технологии, организации работы и управлению грузового автомобильного транспорта. Рассмотрена роль грузового автомобильного транспорта как заключительного этапа производства товарной продукции отраслей материального производства. В основу учебника положен системный, логистический подход к функционированию хозяйственной деятельности вообще, роли и месте грузового автомобильного транспорта в этой деятельности в частности
3072. Ресурсы для развития нетрадиционной энергетики 21.44 KB
  Ресурсы для развития нетрадиционной энергетики. В понятие нетрадиционная энергетика мы будем вкладывать четыре основных направления. Возобновляемые источники энергии (солнечная энергия, ветровая, биомасса, геотермальная, низкопотенциальное тепло зем...
3073. Парадигмы и поэтика произведений литературы 20 века 26.75 KB
  Парадигмы и поэтика произведений литературы 20 века XX столетие, как никакая другая эпоха в истории словесно-художественной культуры, отмечена устремлением к авангардности, к открытию новых возможностей в сфере художественности – от проблем ком...
3074. Лекции по финансовому менеджменту 177.07 KB
  Лекции по финансовому менеджменту Содержание, цели и задачи финансового менеджмента.  Сущность и принципы финансового менеджмента.  Цели и задачи финансового менеджмента. Эволюция целей.  Механизм финансовый менеджмента и его элементы...
3075. Признание отцовства и право ребенка на имя 32.87 KB
  Установления факта признания отцовства и факта отцовства Факт родства между людьми порождает большое количество правовых последствий, среди которых можно выделить обязанность по уплате алиментов, право на общение с ребенком, право наследования за...
3076. Патопсихология - отрасль клинической психологии 19.67 KB
  Патопсихология. Патопсихология - практическая отрасль клинической психологии, «изучающая расстройства психических процессов например, при психических болезнях и состояний психологическими методами, осуществляя анализ патологических изменений...
3077. Инновации в обучении метафоры и модели. Анализ зарубежного опыта 2.02 MB
  Авторский замысел этой книги включал несколько задач. Одна из них состояла в том, чтобы представить свод практических, инструментальных подходов, созданных в мировой педагогике. Еще одна задача — выявление глубинных основ, заложенных в приметах...
3078. Понятие биоэтики 81.5 KB
  Биоэтика - наука о нравственной стороне жизнедеятельности. Биоэтика или этика жизни является разделом прикладной этики - философской дисциплины, которая изучает проблемы морали, прежде всего, относительно человека и всего живого...