22913

ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Доклад

Математика и математический анализ

Αn1x1αn2x2αnnxn=βn Складемо визначник з коефіцієнтів при змінних α11 α12 α1n Δ= α21 α22 α2n αn1 αn2 αnn Визначник Δ називається головним визначником системи лінійних рівнянь 1. Якщо головний визначник Δ квадратної системи лінійних рівнянь 1 не дорівнює нулю то система має єдиний розвязок який знаходиться за правилом: 2 Формули 2називаються формулами Крамера. Домножимо перше рівняння системи 1 на A11 друге рівняння на А21 і продовжуючи так далі nе рівняння системи домножимо на Аn1. Отримаємо рівняння яке...

Украинкский

2013-08-04

43.5 KB

0 чел.

ТЕОРЕМА КРАМЕРА

Нехай дана квадратна система n лінійних рівнянь з n змінними:

α11x1+α12x2+…+α1nxn=β1

α21x1+α22x2+…+α2nxn=β2    (1)

………………………….

Αn1x1+αn2x2+…+αnnxn=βn

Складемо визначник з коефіцієнтів при змінних

α11

α12

α1n

Δ=

α21

α22

α2n

αn1

αn2

αnn

Визначник Δ називається головним визначником системи лінійних рівнянь (1).

Будемо також розглядати n допоміжних визначників Δi, і=

α11

α12

α1,i-1

β1

α1,i+1

α1n

Δi=

α21

α22

α2,i-1

β2

α2,i+1

α2n

αn1

αn2

αn,i-1

βn

αn,i+1

αnn

Отже, визначник Δi одержується з визначника Δ заміною i-го стовпчика стовпчиком вільних членів.

ТЕОРЕМА (Крамера). Якщо головний визначник Δ квадратної системи лінійних рівнянь (1) не дорівнює нулю, то система має єдиний розв’язок, який знаходиться за правилом:

  (2)

Формули (2)називаються формулами Крамера.

Доведення. Позначимо через Aij  (i,j=) алгебраїчне доповнення елемента αij визначника Δ.

Домножимо перше рівняння системи (1) на A11, друге рівняння – на А21 і, продовжуючи так далі, n-е рівняння системи домножимо на Аn1. Додамо одержані рівняння. Отримаємо рівняння, яке є наслідком системи:

(α11A11+α21A21+…+αn1An1)x1+(α12A11+α22A21+…+αn2An1)x2+…+(α1nA11+α2nA21+…+αnnAn1)xn=β1A11+β2A21+...+βnAn1.

У цьому визначнику коефіцієнтом при змінній x1, є розклад визначника Δ за елементами першого стовпчика. Отже, цей коефіцієнт дорівнює Δ. Коефіцієнтом при xj при  j≠1 є сума добутків елементів j-го стовпчика визначника Δ на алгебраїчні доповнення першого стовпчика. За наслідком 2 теореми про розклад визначника, ця сума дорівнює нулю. Таким чином, в одержаному рівнянні коефіцієнти при х2, х3, ..., хn дорівнюють нулю. Вільний член є розкладом визначника Δ1 за елементами першого стовпчика. Отже рівняння має вигляд:

Δx1= Δ1 

Далі, аналогічно, перше рівняння в системі (1) помножаємо на А12, друге рівняння – на А22 і, продовжуючи цей процес, n-е рівняння помножаємо на Аn2. додамо всі рівняння і одержуємо рівняння

Δx2= Δ2.

Кожен крок процесу  полягає в тому, що одержується рівняння, з якого виключаються всі змінні крім однієї. Виконавши n кроків, отримаємо систему лінійних рівнянь, яка є наслідком системи (1)

Δx1= Δ1 

Δx2= Δ2    (3)

……….

Δxn= Δn 

Зрозуміло, що всі розв’язки системи лінійних рівнянь (1), якщо вони існують, є розв’язками і системи (3). За умовою теореми Δ≠0, тому система рівнянь (3) має єдиний розв’язок

Це означає, що система рівнянь (1) має не більше одного  розв’язку. Для доведення теореми залишається перевірити, що одержаний розв’язок системи (3) є розв’язком системи (1). Підставимо значення х1, х2, …, хn в і-е рівняння системи і при цьому кожен визначник Δі (і=) розкладемо за елементами і-го стовпчика:

αi1x1+αi2x2+…+αiixi+…+αinxn=αi1Δ1/Δ+αi2Δ2/Δ+…+αinΔn/Δ=

=(αi1Δ1+αi2Δ2+…++αiiΔi+…+αinΔn)=

=(αi1(β1A11+β2A21+…βiAi1+…+βnAn1)+αi2(β1A12+β2A22+…+βiAi2+…+βnAn2)+ …+αii(β1A1i+β2A2i+…+βiAii+…+βnAni)+…+αin(β1A1n+β2A2n+...…+βiAin+…+βnAnn))=

(β1(αi1A11+αi2A12+…αiiA1i+…αinA1n)+β2(αi1A21+αi2A22+..…+αiiA2i+…+αinA2n)+…+

+βi(αi1Ai1+αi2Ai2+…+αiiAii+…+αinAin)+…+βn(αi1An1+αi2An2+αiiAni+…+αinAnn))=

=(β10+β20+…+βiΔ+…+βn0)= βiΔ=βi

(Тут ми скористалися тим, що в дужках коефіцієнтом при βi є розклад визначника  Δ за елементами і-го рядка, а коефіцієнтом при  βj при j≠i є сума добутків елементів і-го рядка визначника Δ на алгебраїчні доповнення j-го рядка).

Отже, одержаний розв’язок системи рівняння (3) задовольняє і-му рівнянню системи (1),  тобто розв’язок системи (3)

є розв’язком системи (1) і цей розв’язок єдиний. Теорему доведено.



 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15511. Создания территориальных условий, рационального использования и охраны земель при отводе земельного участка 36.39 KB
  Территориальное землеустройство это комплекс мероприятий по образованию новых упорядочивание и изменению существующих землевладений и землепользовании специальных фондов земель установлению границ и режим использования земель адмистративнотерритори
15512. Енеоліт на території України 13.19 KB
  Енеоліт на території України Наприкінці V на початку IV тис. до н.е. деякі племінні групи які жили на території України освоїли мідь усвідомивши її переваги перед традиційними матеріалами. Поява металевих виробів що мали сталі форми ознаменувала початок нової перехі
15513. Етапи входження України до Великого князівсьва Литовського 22.72 KB
  Приєднання українських земель до Великого князівства Литовського Перервана традиція літописання зумовила наявність білих плям в історії польськолитовської доби. Через це частина істориків період існування Великого князівства Литовського до Люблінської унії 1569 р.
15514. Проектирование структуры и содержания дистанционного курса «Использование аудиоинформации при создании цифровых образовательных ресурсов» 1.92 MB
  КУРСОВАЯ РАБОТА Проектирование структуры и содержания дистанционного курса Использование аудиоинформации при создании цифровых образовательных ресурсов Содержание Введение 1. Теоретические основы проектирования дистанционных курсо
15515. Київська митрополія і Флорентійська унія 39.81 KB
  Відокремлення московської митрополії Після входження Києва до ЛитовськоРуської держави відбувається його поступове відродження як духовного та релігійного центру України. В той же час протягом ХIV поч.. ХV ст. у Києві та Москві періодично виникали ситуації коли одно...
15516. Кирило Розумовський 18.34 KB
  Війна мала два важливих наслідки. Поперше переконала російський уряд у неможливості вирішити свої південнозахідні проблеми без економічно сильної України з власним устроєм. Подруге ще раз показала українській громадськості життєву необхідність відновлення гетьманс...
15517. Кирило-Мефодіївське Братство 50 KB
  КирилоМефодіївське Братство Схожі матеріали Культурницький етап українського руху у Східній Україні в ХIХ столітті У 1834 р. цар Микола дозволив відкрити другий в Україні університет ім. св. Володимира в Києві. Засн...
15518. Реєстрове козацтво 16.67 KB
  Реєстрове козацтво Козацька старшина існувала у реєстровому козацькому війську що було створене у 1572 році. На чолі реєстрових козаків стояв гетьман якого обирали за погодженням з королівським урядом на загальній військовій раді. Першим гетьманом реєстрового війська
15519. Під владою Польщі. Зростання козацтва (друга пол. XVI - перша пол. XVII ст.) 19.53 KB
  Під владою Польщі. Зростання козацтва друга пол. XVI перша пол. XVII ст. антифеодальні виступи міщан. Між козаками селянами та міщанами уже сформувалися відносини спільності інтересів взаєморозуміння та взаємопідтримки. У 80х роках XVI ст. відбулося кілька локальних вист