22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розвязок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

38390. ОРГАНИЗАЦИОННО-ПРАВОВОЕ РЕГУЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УЧАСТНИКОВ ИНВЕСТИЦИОННОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 96.5 KB
  В развитых странах существует отработанная законодательная система защиты интересов частных инвесторов что в свою очередь стимулирует трансформацию информации об отдельных компаниях в стоимость их акций и это приводит к тому что цены на них изменяются свободно. Взаимоотношения между субъектами инвестиционной деятельности регулируются договором подряда правовым документом в соответствии с которым подрядчик обязан в установленные сроки выполнить для заказчика указанную в договоре работу оказать услуги применяя собственные...
38391. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНВЕСТИЦИЙ 64 KB
  Стадии проектирования Разработка и реализация инвестиционного проекта в области реальных инвестиций представляет собой длительный процесс охватывающий работы от идеи внедрения инвестиционного проекта до его эксплуатации. Комплекс работ по подготовке и техникоэкономическому обоснованию целесообразности проекта как правило называют прединвестиционной фазой. Предварительное техникоэкономическое обоснование целесообразности проекта. Разработка технико экономического обоснования проекта.
38393. Теорія держави і права 303 KB
  Поняття і особливості методології теорії права і держави Метод теорії держави і права це сукупність логічних прийомів і конкретних засобів пізнання загальних і основних закономірностей виникнення розвитку і функціонування держави і права. Методи науки теорії держави і права поділяються на загальні окремі конкретні і спеціальні. Загальним методом теорії права і держави як і всіх суспільних наук є метод філософської діалектики. Він полягає у підході до вивчення держави і права який ґрунтується на загальних закономірних зв'язках розвитку...
38395. Історія екогноміки 397.5 KB
  Метою вивчення Історії економічних учень“ є: поглиблення і розширення знань з економічної теорії; економічної і загальної культури фахівців з економіки; формування теоретичної тази бази для аналізу проблем сучасної економічної політики; всі відповіді правильні. Маркса: Злиденність філософіїâ€; Теорії додаткової вартостіâ€; Критика політичної економіїâ€; Критика Готської програмиâ€. Засновником теорії активного торговельного балансу був: а Б. Маркса належать: а дослідження переважно сфери матеріального виробництва;...
38396. ІСТОРІЯ ЕКОНОМІЧНИХ УЧЕНЬ ЯК НАУКА. СТАНОВЛЕННЯ ЕКОНОМІЧНОЇ ДУМКИ 293.5 KB
  Автором теорії утримання яка започаткувала розгляд витрат як альтернативних був: а Т. Автором теорії додаткової вартості був: а А. Автором теорії абсолютної земельної ренти був: а В. Автором субєктивнопсихологічної теорії проценту був: а К.