22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розвязок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40965. Фонетика и графика. Гласные звуки в английском языке 896 KB
  Язык существует в сознании его носителей, в памяти тех, кто знает этот язык. Прежде всего, в сознании его “природных” носителей, знающих его с детства. Подумаем, как возникает язык в сознании каждого отдельного человека. Конечно, он не является врожденным, передающимся по наследству, как передаются черты лица, особенности характера, да и вся биологическая организация человека.
40966. Выражения. Значения выражений. 174 KB
  Первичное выражение создания не массива: литерал простое имя выражение в скобках доступ к члену выражение вызова метод доступа к элементу доступ через this доступ к базовому объекту выражение после инкремента выражение после декремента выражение создания объекта выражение создания делегата выражение typeof выражение checked выражение unchecked выражение значения по умолчанию Простые имена Просто имя состоит из идентификатора за которым может следовать список аргументов типа: простое имя: индетификатор список аргументов типанеобязательно...
40967. Суспільство, держава, право 61.5 KB
  Суспільний розвиток: диференціація суспільства ієрархізація князь бояри помісники общинники Поруч існує церковна влада повністю підпорядкована князю флуктуація не замкненість станів принцип флудократичності де є гроші там і влада КР базувалася на таких механізмах спадкування влади: право захоплення влади право за вибором народу за взаємним погодженням між князями розділялися з трони право родинності: право старшинства сходження ліствічне право вотчиності віддавали вотчину. Має право брати на поруки своїх членів. Має право...
40968. Прочность и удлинение трикотажа 168 KB
  Прочность и удлинение клееных нетканых полотен зависит от вида волокнистого материала расположения волокон типа связующего его количества и характера распределения. Большое влияние на характер распределения и величину деформации растяжения материала в одежде оказывают конструктивные особенности одежды расположение швов в ней вид материала и его свойства условия окружающей среды и другие факторы. Растяжение материала в одежде при ее эксплуатации можно определить несколькими методами: непосредственным измерением методом нитки и...
40969. Одноцикловые характеристики при растяжении 469.5 KB
  Составные части полной деформации материалов. Первая половина цикла нагружение соответствует режиму ползучести а вторая режиму уменьшения деформации за счет исчезновения высокоэластической деформации. В качестве входного возбуждения используется изменение деформации в виде широкого импульса а в качестве выходной функции изменение внутреннего усилия в пробе во времени рис. Первая половина цикла соответствует режиму релаксации усилия вторая режиму уменьшения деформации за счет исчезновения высокоэластической деформации.
40970. Основні характеристики систем спеціального зв’язку 116.5 KB
  При розгляді цього питання насамперед необхідно згадати визначення криптографічної системи та системи криптографічного захисту інформації КЗІ оскільки вони є об'єктом дослідження в рамках нашої лекції. Так для фахівця з організації захисту інформації найбільш зручним є нормативноправовий підхід. Криптографічна система це сукупність засобів КЗІ необхідної ключової нормативної експлуатаційної а також іншої документації у тому числі такої що визначає заходи безпеки використання яких забезпечує належний рівень захищеності...
40971. Обернена матриця. Операція ділення для матриць 201 KB
  Оберненою матрицею до квадратної матриці А порядка n називають матрицю таку що . З означення слідує що матриці А і взаємообернені і переставні. Нехай матриці обернені до матриці А. Знаходження оберненої матриці за допомогою визначників Знайдемо умову оборотності квадратної матриці А порядка n тобто умову існування такої матриці для якої .
40972. ПРАВОВА ОРГАНІЗАЦІЯ ПРАЦЕВЛАШТУВАННЯ ГРОМАДЯН 86.5 KB
  Поняття зайнятості населення. Поняття зайнятості населення. Основні принципи державної політики зайнятості населення проявляються у забезпеченні рівних можливостей усім громадянам незалежно від походження соціального і майнового стану расової та національної належності статі віку політичних переконань ставлення до релігії в реалізації права на вільний вибір виду діяльності відповідно до здібностей та професійної підготовки з урахуванням особистих інтересів і суспільних потреб; сприянні забезпеченню ефективної зайнятості...
40973. Причини міжнародної міграції робочої сили 85 KB
  Міжнародна міграція робочої сили. Причини міжнародної міграції робочої сили Основні етапи міжнародної міграції робочої сили. Сучасні центри притягання робочої сили.