22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розв’язок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77240. КОРКОВО-СПИННОМОЗГОВЫЕ ПУТИ. ПОКАЗАТЬ ИХ НА ТАБЛИЦЕ, ПРЕПАРАТЕ 439.43 KB
  Также проводит тормозные импульсы от коры полушарий большого мозга к нейронам двигательных ядер передних рогов спинного мозга т. оказывает тормозное действие на сегментарный аппарат спинного мозга. Тракт идет в нисходящем направлении во внутреннюю капсулу занимая передние 2 3 задней ножки В стволе головного мозга тракт проходит в prs bsilris I зона и в пирамидах продолговатого мозга В области нижней границы продолговатого мозга большая часть волокон каждой пирамиды переходит на противоположную сторону 80 образуя с аналогичными...
77241. ПРОВОДЯЩИЙ ПУТЬ БОЛЕВЫХ И ТЕМПЕРАТУРНЫХ ИМПУЛЬСОВ 183.39 KB
  Spinothlmicus lterlis болевая и температурная чуствительность Tr. Spinothlmicus nterior тактильная чувствительность В СМ эти тракты проходят в боковом и переднем канатиках соответственно В продолговатом мозге латеральный и передний тракты объединяются в единый tr. Spinothlmicus lemniscus spinlis Спинноталамический тракт проходит в покрышке моста и среднего мозга II зона ствола и заканчивается на вентролатеральных ядрах таламуса Большая часть аксонов nuclei ventrolterles thlmi 3 нейроны в составе таламокоркового тракта через заднюю...
77242. Экстрапирамидная система. Современные представления о строении и связи с другими отделами ЦНС 16.55 KB
  Нейроны клетки коры полушарий мозжечка 2 нейроны – клетки зубчатых ядер аксоны которых переходят на противоположную сторону в среднем мозге – перекрёст Вернекинга – и заканчиваются на нейронах красного ядра. Аксоны переходят на противоположную сторону – decusstio tegmenti dorslis фонтановидный Мейнерта. rubrospinlis – пучок Монакова обеспечивает выполнение сложных привычных движений ходьба бег делая их пластичными способствует длительному сохранению позы и поддержанию тонуса мускулатуры;...
77243. Оболочки головного мозга. Межоболочечные пространства. Их сообщение с полостями головного мозга. А.В.Н. твердой мозговой оболочки 16.3 KB
  Оболочки головного мозга. твердой мозговой оболочки. Оболочки головного мозга. Образует выросты грануляции паутинной оболочки Пахионовы grnultiones rchnoidles которые служат для оттока спиномозговой жидкости в кровеносное русло.
77245. Вспомогательный аппарат глаза 371.42 KB
  nulus tendineus communis Верхняя прямая мышца Нижняя прямая мышца Латеральная прямая Медиальная прямая Верхняя косая Нижняя косая Мышца поднимающая верхнее веко Бровь supercilium Веко plpebre защитная функция: plpebr superior plpebr inferior fcies nterior покрыта кожей fcies posterior покрыта хрящевой и орбитальной коньюктивой. Верхняя прямая мышца Нижняя прямая мышца Медиальная прямая Нижняя косая Мышца поднимающая верхнее веко. Латеральная прямая 6 пара ЧН отводящий Верхняя косая – 4 пара ЧН блоковый Нервы слезной...
77246. Наружнее и среднее ухо,их отделы. Барабанная полость, ее стенки сообщения и содержимое. Артерии, вены, нервы барабанной полости 43.54 KB
  Артерии вены нервы барабанной полости. Наружний слуховой проход metus custicus externus Prs cortilgine Cortillgo metus custici externiсоставляет одно целое с хрящем ушной раковины Incisure crtilginis metus custici externi Сартолиниевы шели Хрящевая часть выстлана тонкой кожей в которой имеются волоски сальные и цируминозные железы prs osse Образованна барабанной частью височной кости 3.Внутреннийпродолжение слизистой оболочки выстилающей барабанную полость Кровоснабжение Среднее ухо uris medi включает в себя: Cvits timpnic tub...