22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розвязок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

26497. Марковские модели принятия решений 2.13 MB
  Системному аналитику или управляющему алгоритму предоставлено право выбора одной из общих стратегий Z. И каждая из этих стратегий соответствует матрицам переходных вероятностей Rij где элементы матрицы задают вероятность перехода из состояния i в котором находилась система в момент времени tn1 в состояние j в следующий момент времени. Необходимо для каждого из моментов принятия решений выбрать такую последовательность общих стратегий Z которая будет обеспечивать максимальный суммарный выигрыш от функционирования системы за N этапов. Если...
26498. Модели задач принятия решений в стратегических играх 29.79 KB
  Постановка задачи в моделях матричной игры. Кроме стратегических игр различают еще статистические и позиционные игры. Позиционные игры предполагают пошаговую последовательность принятия решений причем решение принятое на первом этапе определяет множество возможных решений на последующих. Математическое описание игры предполагает четкое определение или задание следующих факторов: правила действия сторон.
26499. Статистические и позиционные игры 30.18 KB
  Принятие решений в статистических играх. принятие решений в позиционных играх. Принятие решений в статистических играх. В теории статистических решений известен ряд методик нахождения оптимального решения.
26500. Общая постановка задачи принятия решений. Предметы и задачи дисциплины 20.05 KB
  Предметы и задачи дисциплины. Выбор способа действий метода действий зависит от класса анализируемых задач которые укрупнено можно разделить на следующие задачи: структурированные задачи. слабо структурированные задачи.
26501. Оценка полезности результатов принятия решений 23.21 KB
  Основные положения аксиоматической теории полезности.1 Постановка задачи оценки полезности результата. Одно из основных допущений при оценке полезности результатов расчет на то что человек делает рациональный выбор.
26502. Теория принятия решений 26.03 KB
  Эти правила отражают смысл принимаемого рационального решения и их содержание приведено в аксиомах теории полезности. Правило последовательности утверждает что для принятия решения необходимо упорядочить альтернативные варианты по степени их прежпочтительности для человека. Окончательным условием рационального решения является выбор такого действия которое максимизирует минимизирует целевую функцию.
26503. Задача ПР(принятие решений) в условиях взаимодействия нескольких целеустремленных систем 16.18 KB
  Основные особенности: 1 носителем информации о системевозможностях системы целевых функциях условиях функционирования является человекоператор разработчик или пользователь. 2 вычислительная система является средством для решения расчетных задач и для проверки простейших логических условий на базе заданных численных параметров. Применение информационного метода оправдано в системах предназначенных для работы в стандартных условиях.
26504. Неолиберализм в политике правящих кругов стран Европы и Америки в 1960-2000 гг. (на примере США и Великобритании) 52 KB
  Понятия социальный либерализм и неолиберализм Основу идеологии соц либерализма составило признание социальной природы личности и взаимной ответственности личности и общества. происходило возвращение к идее соц справедливости. Это вело к осознанию права государства как представителя общественных интересов на необходимые полномочия в сфере регулирования собственнических отношений обеспечения консенсуса между отдельными социальными группами в том числе между работодателями и наемным работниками производителями и потребителями....
26505. Неоконсерватизм в политике правящих кругов Европы и Америки в 1980-2000 гг. (на примере США и Великобритании) 46 KB
  устоев капиталистической экономики ч с свободы личности рыночного механизма как наиболее эффективного инструмента регулиря произва максимальное ограничение вмешатва госва в его функце. Существ изменения в хозяйственном механизме капитализма в его соц структуре и общественном сознании этого периода = вопрос о целесообразности и масштабах государственного вмешательства в эк о харре макроэкономической пки ее целях и методах. Следствием стал кризис реформизма и приход к власти в нач1980х почти во всех развитых странах...