22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розв’язок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

71716. ОБРАБОТКА АНКЕТЫ 94.5 KB
  Провести оценку по второму вопросу выбор профессии по 3х градусной односторонней шкале: мечта о психологии 10 баллов; желание где-то учиться 5 баллов; все равно где учиться 1 балл. Провести оценку по третьему вопросу жизненная цель по 4 градусной односторонней шкале...
71717. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРАНУЛОМЕТРИЧЕСКОГО СОСТАВА ГРУНТА 55.5 KB
  Гранулометрическим составом грунта называется содержание в массе грунта частиц (фракций) различной крупности по отношению к общей массе сухого грунта. Определение гранулометрического состава состоит в разделении частиц, составляющих грунт, на отдельные группы (фракции), приведенные...
71718. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЛОТНОСТИ ГРУНТА ЕСТЕСТВЕННОЙ (НЕНАРУШЕННОЙ) СТРУКТУРЫ И ЕГО ВЕСОВОЙ ВЛАЖНОСТИ 60.5 KB
  Эта характеристика используется при проектировании фундаментов для определения расчетного давления на основание напряжений от собственного веса грунта давления на ограждающие конструкции при расчете устойчивости откосов и т.
71719. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ПЛАСТИЧНОСТИ 179 KB
  В качестве показателей пластичности используется два предела: нижний влажность грунта на границе раскатывания WP когда в грунте такое количество воды что он находится на границе перехода из пластичного состояния в твердого; верхний влажность грунта на границе текучести WL на границе...
71720. ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПЛОТНОСТИ СЛОЖЕНИЯ И ВОДОПРОНИЦАЕМОСТИ ПЕСЧАНЫХ ГРУНТОВ 150.5 KB
  От плотности сложения песка зависят его строительные свойства, в том числе статическая и динамическая устойчивость, деформативность, водопроницаемость и т.д. Так, например, если песок в рыхлом состоянии, то он может быть использован в качестве основания только после его уплотнения или скрепления.
71721. Физические основы низкочастотной электротерапии 203 KB
  Раздражение электрическим током определенного характера и силы у большей части органов и тканей вызывает такую же реакцию, как и естественное возбуждение. Кроме того, это воздействие можно строго дозировать как по силе, так и по времени. Это широко используется в физиологии и медицине.
71722. Физические основы высокочастотных электрических методов, применяемых в медицине 320.5 KB
  На опыте убедиться в эффективности действия электрического поля ультравысокой частоты и высокочастотного магнитного поля на хорошо проводящие электролит и плохо проводящие дистиллированная вода структуры. Действие магнитного поля на движущийся заряд.
71723. Физические свойства ЭКГ 430.5 KB
  Задача электрокардиографии заключается в том чтобы оценить работу сердца электрические процессы в сердце по биопотенциалам регистрируемым с поверхности тела человека. Эти импульсы возникают в проводящей системе сердца которая состоит из синусного узла атриовентрикулярного узла и пучка Гиса.
71724. Физические основы электропроводности биологических тканей при постоянном токе. Лечебный электрофорез и гальванизация 239 KB
  Изучить физические основы применения постоянного электрического тока с лечебной целью. Чем объясняется нарушение закона Ома при прохождении постоянного тока через биологическую ткань С чем связывают первичное действие постоянного тока Почему у анода и катода возбудимость клетки разная.