22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розв’язок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

11561. Синхронизируемый LC-автогенератор 359 KB
  ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4 Синхронизируемый LC-автогенератор ЦЕЛЬ РАБОТЫ: теоретические и экспериментальные исследования процессов протекающих в автогенераторе при наличии внешнего гармонического воздействия. РАБОТА СОДЕРЖИТ СЛЕДУЮЩИЕ РАЗДЕЛЫ: 1. Изучение теории н...
11562. Фазовая автоподстройка частоты 212.5 KB
  Лабораторная работа № 5 Фазовая автоподстройка частоты Оглавление. Предисловие. Содержание учебного пособия соответствует программе курса Устройства приема и обработки сигналов предусмотренного государственным образовательным стандарт...
11563. Решение прямой и обратной задач магниторазведки для шара 223.5 KB
  Лабораторная работа № 1 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Решение прямой и обратной задач магниторазведки для шара Цель работы: Вычислить значенияZa и Ha – компонент магнитного поля для вертикально намагниченного шара а так же определить параметры шарооб
11564. Решение прямой и обратной задач магниторазведки для вертикально намагниченного пласта малой мощности 121 KB
  Лабораторная работа № 2 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Решение прямой и обратной задач магниторазведки для вертикально намагниченного пласта малой мощности Понятие малая мощность используется в том случае когда видимая мощность пласта во мно...
11565. Решение прямой и обратной задачи для наклонного пласта малой мощности с косой намагниченностью 134.5 KB
  Лабораторная работа № 3 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Решение прямой и обратной задачи для наклонного пласта малой мощности с косой намагниченностью Для пласта малой мощности безграничного на глубину и по простиранию значение видимой мощности меньше...
11566. Аномалии силы тяжести в редукции Буге. Принципы качественной интерпретации 63 KB
  Лабораторная работа № 4 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Аномалии силы тяжести в редукции Буге. Принципы качественной интерпретации Общие положения: Основную величину в наблюденных значениях силы тяжести составляет нормальная сила тяжести g. При измер...
11567. Прямая задача гравиразведки. Обратная задача гравиразведки. Расчет гравитационного влияния шарообразного (сферического) тела, нахождение параметров тела 105 KB
  Лабораторная работа № 6 по дисциплине Полевая геофизика Тема: Прямая задача гравиразведки. Обратная задача гравиразведки. Расчет гравитационного влияния шарообразного сферического тела нахождение параметров тела В результате гравиразведки рассчитываютс
11568. Динамическая теория вискозиметра 51.5 KB
  Динамическая теория вискозиметра Будем считать что условия опыта в работе № 6 обеспечивают ламинарность течения жидкости в капилляре вискозиметра. Тогда распределение скорости v в его поперечном сечении будет иметь параболический характер: . 1 Здесь r
11569. Определение коэффициента внутреннего трения и длины свободного пробега молекул воздуха 170.5 KB
  Лабораторная работа № 1 Определение коэффициента внутреннего трения и длины свободного пробега молекул воздуха Оборудование: аспиратор на штативе вставка с капилляром жидкостный манометр мерный цилиндр секундомер. Общие представления Внутреннее тр...