22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розвязок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23877. Задонщина и Слово о полку Игореве 26 KB
  Задонщина и Слово о полку ИгоревеЗадонщина ориентирована на Слово о Полку ИгоревеЗадонщиназеркальное отражение Словапротивоположноефинал инойчем в слове. Слово сначала победа потом поражение З наоборот.
23878. Слово о Меркурии Смоленском 33.5 KB
  содержание:Был в городе Смоленске один человек молодой годами по имени Меркурий благочестивый в наставленьях господних обучавшийся им день и ночь славный примерной жизнью постом и молитвой сияющий будто звезда богоданная в мире этом. И придя с великою ратью под богоспасаемый город Смоленск стал тот царь от города в тридцати поприщах и многие святые церкви пожег и христиан убил и решил непременно захватить город этот. Жители впали в великую скорбь неисходно пребывали в соборном храме святой Богородицы смиренно взывая с плачем...
23879. Послание архиепископа новгородского Василия ко владыке тверскому Федору о рае 26.5 KB
  Послание о земном рае читается в Софийской первой и Воскресенской летописях под 1347гСвое послание Василий пишет в Тверьузнав о распревозникшей среди тверичей по вопросу о существовании раяСущют 2 представляения о рае:рай находится на землев другом мирекак духовное понятиесугубо мысленноеВасилий убеждает Федора в сущ.нигде не сказаночто земной рай погибон создан богома все дела божьинетленныв Иерусалиме видел калиткукот не двигается с тех поркак Иисус ее претворил не до концаесть ад на земленовгородские ватаги видели вход в...
23880. Сказание об Индийском царстве 27 KB
  Сказание рисует сказочный образ далекой Индии.все о чем человек может мечтать в повседневной жизниобеспеченностьбогатсвообилие всего вокругуверенность в настоящем и будущемвсе это представлено в сказочнопреувеличенном видеИоанн пишетчто он царь над царямии ему подченено 3300царейцарские палаты грандиозны и с земными не могут вступать в сравнениеинд царство населяют не только обычные людино и самые невероятные человеч существарогатыетрехногиемногорукие и тдфантастичен животный мирв Индии есть все и при это нет ни тятяворани...
23881. Литературно-этикетный канун жития. Житие Феодосия Печерского 29 KB
  Житие Феодосия Печерского.Житие ФЕОДОСИЯ ПЕЧЕРСКОГОПмятник древнерусской литературы написанный преподобным Нестором Летописцем.Одним из древнейших русских монастырей был киевопечерскийбольшую роль в истории монастыря сыграл его постриженика затем игуменФеодосийПамятник рассказывает о жизни игумена КиевоПечерского монастыря преподобного Феодосия начиная от его рождения прихода в монастырь до игуменства и смерти.Житие Феодосия Печерского типичное монашеское житие рассказ о благочестивом кротком трудолюбивом праведнике вся жизнь...
23882. Творчество Епифания Премудрого. Житие Стефана Пермского 22.5 KB
  Житие Стефана ПермскогоЕпифаний родился в Ростове в первой половине 14века.Перу Епифания принадлежат 2 жития:Житиве Стефана Пермского и Житие Сергия Радонежского.доводит литературноэтикетный канон до совершенствау него 2ой этапа 1ый этапутверждение канонаЖития Феодосия Печерского и Алексияпышность языкамножество ярких деталейндивид стильЕпифаний неск раз определяет характер писательского труда как плетение словессближение звуковой формы слова и его смыслаМножество повторовпричастных оборотовритмика речитрадиционные метафорыЕпиф...
23883. Творчество Епифания Премудрого.Житие Сергия Радонежского 26.5 KB
  На сороковой день мальчика принесли в церковь крестили и дали ему имя Варфоломей. Они быстро научились грамоте а Варфоломей не мог. Варфоломей рассказал ему о своих неудачах в учебе и попросил помолиться о нем. Старец дал отроку кусок просфоры и сказал что отныне Варфоломей будет даже лучше знать грамоту чем его братья и сверстникитак потом все и будетмотив исполнения желания Мальчик уговорил священника зайти к его родителям.
23884. Хождение за три моря Афанасия Никитина 55 KB
  Билет 36Билет 38Повесть о Петре и ФевронииПовесть о ПиФ была написана в 16 векев век второго монументализма хотя по содержанию и духу она ближе к 15 веку веку русского предвозрождения когда осознавалась ценность человека единство человека и Бога. Жена так и сделала и змей проговорился: Смерть мне суждена от Петрова плеча и от Агрикова мечаБыл у Павла брат Петр и он согласился помочь точнее ему на роду написано сразиться со змеем но где найти Агриков меч они не знают. Один раз Петр в одиночестве пришел в церковь и отрок показал...
23885. Повесть о Горе Злочастии 28.5 KB
  Обобщенная судьба герояДобрый молодец Добрый молодец отказывается от родовой позиции хочет жить своим умом.представляениям только он может менять личинуДобрый молодец верит архангелу все пропиваетснова беден. ЧЕРТЫ лит повести: писалось когда РусьРоссия Родовая позиция уходитмолодец хочет жить своим умом Столкновение этих 2ух позиций Гуманистическая концепцияноваторствосочувствие падшему человеку Появляются: элементы психологизации характеровсочувствие падшему человеку ощущение непостоянства жизни и ее непрочности Боязнь...