22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розвязок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36425. Имитационное моделирование систем в MatLab Simulink 180.5 KB
  Пример разработки имитационной модели. Построение словарной модели описательная дескриптивная вербальная модель. Сумма налоговых поступлений от предприятий за моделируемый период накапливается на бюджетных счетах и представляется интегралом: где BDt сумма поступивших в бюджет средств от начала моделирования к моменту t руб.
36426. Программирование в MatLab 140.5 KB
  Листинг 1 содержит файлпрограмму для вывода графиков функции на отрезке [22] для значений параметра . Например для вычисления суммы при различных значениях x потребуется файлфункция текст которой приведен на листинге 2. Файлфункция для вычисления суммы function s=sum10x s=0; for k=1:10 s=sx. Файлфункция negsum см.
36427. Работа с матрицами в Matlab 227.5 KB
  Например матрицу можно ввести следующим образом: набрать в командной строке разделяя элементы строки матрицы пробелами: =[0. Элементы каждой следующей строки матрицы набираются через пробел а ввод строки завершается нажатием на Enter . Другой способ ввода матрицы основан на том что матрицу можно рассматривать как векторстолбец каждый элемент которого является строкой матрицы.
36428. Работа со строками и текстовыми файлами в MatLab 242.5 KB
  Строки записываются в текстовый файл при помощи функции fprintf ее первым входным аргументом является идентификатор файла а вторым добавляемая строка. Если поместить его в конец добавляемой строки то следующая команда fprintf будет осуществлять вывод в файл с новой строки а если n находится в начале то текущая команда fprintf выведет текст с новой строки.txt''wt'; fprintff'текст '; fprintff'еще текст n'; fprintff'а этот текст с новой строки'; fclosef; Листинг 5.3 текст еще текст а этот текст с новой строки Аналогичного...
36429. Австралия и Океания 35.5 KB
  Австралия расположенная в тропиках и субтропиках за исключением о. В некоторых из них часто проходят фестивали и спортивные соревнования поэтому Австралия район и фестивального туризма. Юговосточная Австралия которая протянулась вдоль одного из морей Тихого Океана Тасманова моря. Восточная Австралия район тоже примыкающий к морям Тихого океана Тасманову и Коралловому.
36430. Государственные природные заказники России: статус, режим, функции, задачи, перспективы развития ФЗ и РЗ 26 KB
  Государственными природными заказниками являются территории акватории имеющие особое значение для сохранения или восстановления природных комплексов и их компонентов и поддержания экологического баланса. Режим особой охраны территорий государственных природных заказников 1. На территориях государственных природных заказников постоянно или временно запрещается или ограничивается любая деятельность если она противоречит целям создания государственных природных заказников или причиняет вред природным комплексам и их компонентам. На...
36431. История заповедного дела 26.5 KB
  Большое значение для расширения заповедного дела имел Декрет Совета Народных Комиссаров СССР от 16 сентября 1921 года Об охране памятников природы садов и парков заложивший основы классификации ОПТ. Улучшению работы по формированию ОПТ способствовало принятие федеральных законов Об охране окружающей природной среды 1991 и Об особо охраняемых природных территориях 1995 Сеть ОПТ области формировалась в течение почти 80 лет . Штильмарк выдвинули концепцию в соответствии с которой каждый регион должен обладать системой ОПТ. Впервые...
36432. Туристский спрос и предложение 30.5 KB
  Предложение туристского продукта зависит от многих факторов: количества туристских поставщиков предприятия размещения питания развлечений и т. Компоненты предложения определенного туристского региона могут быть разбиты на 4 основные категории: 1 природные ресурсы 2 инфраструктура 3 материальнотехническая база туризма которая включает: туроператоров и турагентов предприятия размещения предприятия питания и торговли автотранспортные предприятия и т. В состав материальнотехнической базы туризма входят: туроператоры и турагенты...
36433. Понятие туристского продукта, его жизненный цикл 34 KB
  Маркетинг в туризме как раз нацелен на изучение совокупного продукта различных сфер деятельности. Началом стадии внедрения продукта на рынок считается момент когда туристское предприятие впервые предложило его целевой аудитории. Основной характерной чертой этой стадии является медленный темп сбыта продукта и как следствие полное отсутствие или наличие незначительной прибыли.