22916

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Доклад

Математика и математический анализ

Припустимо що система сумісна і числа λ1λ2λn утворюють розв’язок системи. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1a2an вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1a2anb. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1a2an за теоремою 2 про ранг ранги системи векторів a1a2an і a1a2anb співпадають.

Украинкский

2013-08-04

46 KB

3 чел.

Теорема Кронекера – Капелі (критерій сумісної системи лінійних рівнянь)

Теорема (Кронекера – Капелі). Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг її основної матриці дорівнює рангу розширеної матриці.

Доведення. Будемо розглядати систему лінійних рівнянь.


Цю систему можна переписати так.

 

.

Позначимо вектор-стовпчики:

  ,   ,    .

Тоді система переписується у векторному вигляді.

x1a1+x2a2+…+xnan=b.

Доведемо необхідність. Припустимо, що система сумісна і числа λ12,…,λn  утворюють розв’язок системи. Тоді виконується рівність

λ1a1+ λ2a2+…+ λnan=b..

Звідси випливає, що вектор b лінійно виражається через систему векторів      a1,a2,…,an. Вертикальний ранг основної матриці системи дорівнює рангу системи векторів a1,a2,…,an, вертикальний ранг розширеної матриці співпадає з рангом системи векторів a1,a2,…,an,b. Оскільки вектор b лінійно виражається через a1,a2,…,an, за теоремою 2 (про ранг), ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b співпадають. Отже, ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні.

Доведемо достатність. Припустимо, що ранги основної і розширеної матриці системи лінійних рівнянь рівні. Це означає, що співпадають ранги системи векторів a1,a2,…,an  і a1,a2,…,an,b. Припустимо, що ці ранги дорівнюють s, і нехай, для визначеності, вектори  a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів a1,a2,…,an. Розглянемо систему векторів a1,a2,…,as,b. Ця система є підсистемою системи векторів a1,a2,…,an,b, яка складається з s+1 векторів. Оскільки, за припущенням, ранг системи векторів a1,a2,…,an,b  дорівнює s, то система a1,a2,…,as,b лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація         γ1a1+ γ2a2+…+ γsas+ γb= θ.

Якщо в цій  комбінації  γ=0, одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1,a2,…,as, рівну θ. Це суперечить тому, що вектори a1,a2,…,as  утворюють базис системи векторів, тобто лінійно незалежні. Отже,  γ≠0. Тоді вектор  b лінійно виражається через a1,a2,…,as:

b= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas= λ1a1+ λ2a2+…+ λsas+0as+1+…+0an.

.

Розглянемо цю рівність в координатній формі:

----------------------------------------------

Таким чином, одержуємо, що вектор

x=( λ1, λ2,…+ λs,0,…0)

утворює розв’язок системи лінійних рівнянь, отже, система сумісна.

Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52534. W.Disney and His Amusement Park - Disneyland 61 KB
  The topic of our today’s lesson is “Walt Disney and His Amusement Park – Disneyland” and “The Past Indefinite Tense”. By the end of the lesson you should be able: 1. To talk about Walt Disney and his amusement park Disneyland, using active vocabulary.
52535. Складання розповіді за художньою картиною В. Хабарова „Портрет дівчинки” 529 KB
  Діти пропоную вам розглянути ось цу картину. Діти ви розглянули картину російського художника В. Де розмістив художник героїню Якою вона зображена Діти пригадайте свої відчуття коли ви захоплено читаєте або щось майструєте або малюєте. Діти у парах відновлюють розповідь за картиною.
52536. Проект «Я дитина всесвіту» 947.5 KB
  Вірно діти це вода. В казках мертва вода заживляла рани. Глибока вона там а вода знай в ній холодна джерельна студена. Журавель напоїв хлопчика джерельною водою а потім на своїх широких крилах відніс хлопчика додому і сказав: Запамятай вода жива її треба берегти Хлопчик подякував і повторив: вода жива.
52537. Всі ми родом із дитинства. Подорож в українську минувшину. Живопис на склі «Ікона святого Миколая» 87.5 KB
  Миколай народився в Патарі тепер Туреччина біля 280 р. Миколай і потайки вечором кинув у відкрите вікно кімнати мішечок з золотом. І знову Святий Миколай підкинув торбинку грошей так щоб ніхто того не бачив. Коли прийшов час наймолодшій дочці виходити заміж а грошей не булоі її чекала неволя батько дівчат заховався біля хати; і коли Святий Миколай кинув знову мішечок з золотом батько схопив його за руку.
52538. Дитинство Ісуса Христа 116 KB
  Мета: ознайомити учнів з дитинством Спасителя, вказуючи на Його чесноти; розвивати бажання брати собі за взірець Христа; виховувати послух, покірність та повагу до батьків.
52539. Всі ми родом із дитинства 97 KB
  Евеліна Хромченко Дитинство Дитинствоказка мов чарівна мить Там завжди сонячно і світло. Надія Красоткіна Дитинство це коли день починається з першим променем сонця звуком тихих маминих кроків запахом теплого хліба співом птахів і триває довгодовго це коли дерева великі а ти внизу і помічаєш так багато: і мурашки і бджолу на квітці і пухнасту гусеницю і чуєш як росте трава і можеш залізти на найвище дерево і переплести саму широку річку і все можеш зробити сам. Варто подумати про дитинство і пам’ять підкине дивні...
52540. Свято здоровя 43 KB
  Підвищувати відповідальність за особисте здоровя, здоровя родини; пропагувати і заохочувати до співпраці дітей та батьків; розвивати і зміцнювати в учнів почуття прекрасного в побуті, працьовитість, повагу до звичаїв і традицій рідного народу; виховувати повагу в особистих стосунках, почуття колективізму та взаємодопомоги.
52541. Сценарій свята для учнів 2-х класів «Різдвяне диво» 81 KB
  Заходять колядники звіздар ангел зірка коза дохтур Звіздар. Де коза ходить там жито родить Де коза ногою там жито копою Де коза рогом там жито стогом. Коза скаче а потім падає Пуць Коза впала нежива стала Ой Ой Яка добра тваринка була Що ж то робити Усі. Де тут хто тут пацієнт Виліковую в момент Робить козі укол коза оживає встає танцює танець всі плескають у долоні Усі.
52542. Ти наше диво калинове, кохана українська мово 61 KB
  Ведуча Мова А що таке мова Народ говорить слово до слова зложиться мова а Т . Ведучий Найбільше і найдорожче добро кожного народу – це його мова ота жива схованка людського духу його багата скарбниця в яку народ складає і своє давнє життя і свої сподіванки розум досвід почуття. Добута з надр далеких поколінь Ти – скарб наш вічний українська мова. Мова ...