22917

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки система сумісна ранги матриці A і рівні і дорівнюють r. Система переписується таким чином: Всі розвязки системи можна одержати таким чином. Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1x2xr.

Украинкский

2013-08-04

50 KB

0 чел.

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Припустимо, дана сумісна система лінійних рівнянь

----------------------------

В основній матриці системи

ми одержуємо дописуванням до матриці A одного стовпчика. Оскільки система сумісна, ранги матриці A і  рівні і дорівнюють r. Мінор Δr є також мінором розширеної матриці  і, оскільки  Δ≠0 , мінор Δr  є більшим мінором розширеної матриці .

За теоремою про базисний мінор рядки матриці , на яких базується базисний мінор Δr, лінійно незалежні, а решта рядків лінійно виражається через них. Для визначеності припустимо, що мінор Δr будується на рядках з номерами 1, 2,...,r. Отже, перші r рядків матриці   утворюють базис в системі її рядків. Кожному рядку розширеної матриці системи відповідає рівнянням. Таким чином, в системі лінійних рівнянь перші r рівнянь лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через них, тобто є їх наслідками. Рівняння – наслідки можна відкинути.

Стовпчики основної матриці системи A, на яких будується базисний мінор Δr, також лінійно незалежні і утворюють базис в системі стовпчиків матриці. Для визначеності припустимо, що базисний мінор будується на стовпиках з номерами 1, 2,...,r. Тоді ці стовпчики утворюють базиси в системі стовпчиків розширеної матриці . Кожному стовпчику основної матриці системи відповідає деяка змінна.

Змінні, що відповідають стовпчикам базисного мінора основної матриці системи A, будемо називати базисними. Решту змінних будемо називати вільними.

У нашому випадку базисними є змінні x1,x2,…,xr,, вільними – змінні  xr+1,xr+2,…,xn.

В кожному з r лінійно незалежних рівнянь що залишаються, в лівій частині лише базисні змінні, а вільні переносимо в праву частину.

Система переписується таким чином:

----------------------------------------------

Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Замість вільних змінних підставляється будь-який набір чисел  . Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1,x2,…,xr. Ця система рівнянь квадратна, її головний визначник співпадає з мінором Δr,  тобто не дорівнює нулю. За теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок . Розв’язуючи цю систему відносно базисних змінних, одержуємо розв’язок початкової системи.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.  Сумісна система лінійних рівнянь називається невизначеною, якщо число її   розв’язків більше одиниці.

 Теорема. Сумісна система лінійних рівнянь невизначена тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа змінних.

Доведення. Нехай дана сумісна система лінійних рівнянь рангу r  з  n змінними. За означенням, ранг системи є рангом її основної матриці. Отже, цей ранг не може перевищувати число стовпчиків основної матриці, тобто число змінних. Таким чином, rn. Припустимо, r=n. Тоді всі змінні системи базисні, вільних змінних немає. В цьому випадку, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок, що суперечить умові. Отже,  r<n .

 Навпаки, якщо для сумісної системи виконується r<n, то не всі змінні системи базисні, а є принаймні одна вільна змінна. Вільним змінним можна надавати будь-які значення і розв’язувати відповідну систему відносно базисних змінних. Таким чином, система має нескінчену кількість розв’язків і є невизначеною.

Наслідок. Сумісна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг  дорівнює числу змінних.

Таким чином, для системи лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами і дійсними змінними існує три можливості:

  1.  система не має розв’язків (несумісна);
  2.  система має єдиний розв’язок (сумісна і визначена);
  3.  система має нескінчену кількість розв’язків (сумісна і невизначена).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81349. Особливості звернення стягнення на предмет іпотеки 22.32 KB
  Звернення стягнення на предмет іпотеки і його реалізація для задоволення вимог іпотекодержателя здійснюються відповідно до умов іпотечного договору. У разі звернення стягнення на предмет іпотеки на підставі виконавчого напису нотаріуса на нотаріально посвідчених примірниках іпотечного договору та договору про іпотечний кредит чи на нотаріально посвідчених копіях цих документів або за рішенням суду орган державної виконавчої служби здійснює реалізацію предмета іпотеки в порядку установленому іпотечним договором. Відчуження предмета іпотеки...
81350. Звернення стягнення на грошові кошти боржника - юридичної особи 27.5 KB
  Готівка в національній та іноземній валюті яка знаходиться в касах або інших сховищах боржника юридичної особи підлягає невідкладному вилученню після її виявлення Державний виконавець звертає стягнення на кошти боржника юридичної особи що знаходяться в кредитних установах в тому числі в органах Державного казначейства в порядку передбаченому Законом. Якщо даних про наявність у боржника юридичної особи рахунків і вкладів у банках чи інших кредитних установах немає то державний виконавець одержує такі дані в податкових органах які...
81351. Звернення стягнення на інше майно боржника - юридичної особи 28.88 KB
  У разі відсутності в боржника юридичної особи коштів достатніх для покриття заборгованості стягнення звертається на інше майно належне боржникові юридичній особі на праві власності або закріплене за ним у тому числі на майно яке обліковується на окремому балансі філії представництва та іншого відокремленого підрозділу боржника юридичної особи за винятком майна виключеного з обороту або обмеженого в обороті незалежно від того хто фактично використовує це майно. На зазначене майно накладається арешт і воно реалізується в такій...
81352. Порядок звернення стягнення на майно при реорганізації та ліквідації боржника - юридичної особи 23.4 KB
  У разі реорганізації злиття приєднання розділення виділення перетворення боржника юридичної особи стягнення за виконавчими документами звертається на кошти та інше майно тієї юридичної особи на яку відповідно до закону покладено відповідальність за зобовязаннями боржника юридичної особи. У разі ліквідації боржника юридичної особи у тому числі внаслідок визнання боржника банкрутом виконавчий документ передається до ліквідаційної комісії або арбітражного керуючого для вирішення питання про подальший порядок виконання рішення у...
81353. Порядок звернення стягнення на зарплату та інші доходи боржника - фізичної особи. Розмір відрахувань із зарплати та інших доходів боржника 28.68 KB
  Розмір відрахувань із зарплати та інших доходів боржника Умови звернення стягнення на заробітну плату та інші доходи боржника Стягнення на заробітну плату заробіток пенсію стипендію та інші доходи боржника звертається за відсутності в боржника коштів на рахунках у банках та інших кредитних установах відсутності чи недостатності майна боржника для повного покриття належних до стягнення сум а також при виконанні рішень про стягнення періодичних платежів та стягнень на суму що не перевищує двох мінімальних розмірів заробітної плати. При...
81354. Особливості і виконання рішень про стягнення аліментів 28.71 KB
  У разі неможливості стягнення аліментів із заробітної плати чи інших доходів боржника протягом трьох місяців підряд якщо боржник не працює і не одержує доходів стягнення звертається на майно боржника. Розмір заборгованості з аліментів визначається державним виконавцем за місцем виконання рішення виходячи з фактичного заробітку доходів одержаного боржником за час протягом якого стягнення не провадилося або одержуваного ним на момент визначення заборгованості в твердій грошовій сумі або у відсотковому відношенні. Державний виконавець у...
81355. Виконання рішення про обов’язок боржника вчинити певну дію чи утриматися від її вчинення 23.5 KB
  ісля відкриття виконавчого провадження за виконавчим документом, який зобовязує боржника вчинити певні дії або утриматися від їх учинення, державний виконавець відповідно до статті 24 Закону визначає йому строк добровільного виконання рішення.
81356. Порядок виконання рішення про поновлення на роботі 23.92 KB
  Закону виконавчий документ про поновлення на роботі незаконно звільненого або переведеного працівника виконується негайно ч. Виконання вважається завершеним з моменту фактичного допущення працівника до виконання попередніх обовязків на підставі відповідного наказу органу який прийняв незаконне рішення про звільнення або переведення працівника. У разі невиконання власником підприємства установи організації або уповноваженим ним органом фізичною особою фізичною особою підприємцем рішення про поновлення на роботі незаконно звільненого...
81357. Виконання рішення про відібрання дитини 22.11 KB
  Під час виконання рішень про відібрання дитини державний виконавець провадить виконавчі дії з обовязковою участю особи якій дитина передається на виховання із залученням представників органів опіки і піклування а при потребі представників органів та установ освіти медичних працівників. У разі потреби державний виконавець може звернутися до суду з поданням про вирішення питання про тимчасове влаштування дитини до дитячого чи лікувального закладу...