22917

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки система сумісна ранги матриці A і рівні і дорівнюють r. Система переписується таким чином: Всі розвязки системи можна одержати таким чином. Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1x2xr.

Украинкский

2013-08-04

50 KB

0 чел.

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Припустимо, дана сумісна система лінійних рівнянь

----------------------------

В основній матриці системи

ми одержуємо дописуванням до матриці A одного стовпчика. Оскільки система сумісна, ранги матриці A і  рівні і дорівнюють r. Мінор Δr є також мінором розширеної матриці  і, оскільки  Δ≠0 , мінор Δr  є більшим мінором розширеної матриці .

За теоремою про базисний мінор рядки матриці , на яких базується базисний мінор Δr, лінійно незалежні, а решта рядків лінійно виражається через них. Для визначеності припустимо, що мінор Δr будується на рядках з номерами 1, 2,...,r. Отже, перші r рядків матриці   утворюють базис в системі її рядків. Кожному рядку розширеної матриці системи відповідає рівнянням. Таким чином, в системі лінійних рівнянь перші r рівнянь лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через них, тобто є їх наслідками. Рівняння – наслідки можна відкинути.

Стовпчики основної матриці системи A, на яких будується базисний мінор Δr, також лінійно незалежні і утворюють базис в системі стовпчиків матриці. Для визначеності припустимо, що базисний мінор будується на стовпиках з номерами 1, 2,...,r. Тоді ці стовпчики утворюють базиси в системі стовпчиків розширеної матриці . Кожному стовпчику основної матриці системи відповідає деяка змінна.

Змінні, що відповідають стовпчикам базисного мінора основної матриці системи A, будемо називати базисними. Решту змінних будемо називати вільними.

У нашому випадку базисними є змінні x1,x2,…,xr,, вільними – змінні  xr+1,xr+2,…,xn.

В кожному з r лінійно незалежних рівнянь що залишаються, в лівій частині лише базисні змінні, а вільні переносимо в праву частину.

Система переписується таким чином:

----------------------------------------------

Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Замість вільних змінних підставляється будь-який набір чисел  . Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1,x2,…,xr. Ця система рівнянь квадратна, її головний визначник співпадає з мінором Δr,  тобто не дорівнює нулю. За теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок . Розв’язуючи цю систему відносно базисних змінних, одержуємо розв’язок початкової системи.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.  Сумісна система лінійних рівнянь називається невизначеною, якщо число її   розв’язків більше одиниці.

 Теорема. Сумісна система лінійних рівнянь невизначена тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа змінних.

Доведення. Нехай дана сумісна система лінійних рівнянь рангу r  з  n змінними. За означенням, ранг системи є рангом її основної матриці. Отже, цей ранг не може перевищувати число стовпчиків основної матриці, тобто число змінних. Таким чином, rn. Припустимо, r=n. Тоді всі змінні системи базисні, вільних змінних немає. В цьому випадку, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок, що суперечить умові. Отже,  r<n .

 Навпаки, якщо для сумісної системи виконується r<n, то не всі змінні системи базисні, а є принаймні одна вільна змінна. Вільним змінним можна надавати будь-які значення і розв’язувати відповідну систему відносно базисних змінних. Таким чином, система має нескінчену кількість розв’язків і є невизначеною.

Наслідок. Сумісна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг  дорівнює числу змінних.

Таким чином, для системи лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами і дійсними змінними існує три можливості:

  1.  система не має розв’язків (несумісна);
  2.  система має єдиний розв’язок (сумісна і визначена);
  3.  система має нескінчену кількість розв’язків (сумісна і невизначена).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

17752. Расчёт ступени центробежного насос. Построение лопастей колеса в меридианном сечении и в плане 369.5 KB
  Лекция 8. Расчёт ступени центробежного насоса продолжение Построение лопастей колеса в меридианном сечении и в плане. Особенностью принятого способа изображения лопастей в меридианном сечении является то что лопасти не рассекаются плоскостью а в этой плоскости сов...
17753. Конструкция и работа центробежных насосов 1.33 MB
  Лекция 9. Конструкция и работа центробежных насосов Усилия в центробежных насосах. При работе центробежных насосов на роторе возникают осевое и радиальное усилия. Причина возникновения осевого усилия объясняется на основании рис. 9.1. В соответствии с рисунком осевое у...
17754. Объёмные насосы 709 KB
  Лекция №10. Объёмные насосы Специфической особенностью всех объёмных насосов является то что их производительность в основном определяется величинами периодически замыкаемых в них объёмов и скоростью переноса этих объёмов со стороны всасывания на сторону нагнетани
17755. Действительная подача шестерённого насоса 1.66 MB
  Лекция 11. Объёмные насосы продолжение 10.3. Действительная подача шестерённого насоса. Действительная подача шестерённого насоса меньше теоретической на величину объёмных потерь . Объёмные потери определяются внутренними утечками в насосе и потерями связанны
17756. Регулирование производительности насосов 331 KB
  Лекция №12. Регулирование производительности насосов. При регулировании производительности насосов используют разные способы соединения насосов между собой и разные способы изменения параметров характеристик как насосов так и систем на которые они работают. Все эти ...
17757. Поршневые пусковые компрессоры 4.37 MB
  Лекция №13. Поршневые пусковые компрессоры. 13.1. Устройство и работа поршневых пусковых компрессоров. На рис. 13.1 представлена принципиальная схема одноступенчатого поршневого компрессора. Поршень движется в цилиндре возвратнопоступательно от верхней мёртвой точки ВМ...
17758. Расчёт многоступенчатого поршневого компрессора 730 KB
  Лекция №14. Расчёт многоступенчатого поршневого компрессора. 14.1 Коэффициент подачи компрессора. Все коэффициенты снижения производительности названные в предыдущей лекции могут быть вычислены на основании зависимостей установленных достаточно простым способом...
17759. Проектирование многоступенчатого поршневого компрессора 375.5 KB
  Лекция №16. Проектирование многоступенчатого поршневого компрессора. 16.1 Выбор числа ступеней. При выборе числа ступеней можно находить минимально возможное число ступеней zmin и оптимальное число ступеней zopt. Минимальное число ступеней устанавливается из условия вз...
17760. Дослідження забруднення повітряного середовища робочої зони 260.5 KB
  Лабораторна робота №9 Дослідження забруднення повітряного середовища робочої зони Вступ Лабораторна робота з дослідження забруднення повітряного середовища робочої зони комплексна. До її складу включені: 1. Лабораторна робота з дослідження запиленості по