22917

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки система сумісна ранги матриці A і рівні і дорівнюють r. Система переписується таким чином: Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1x2xr.

Украинкский

2013-08-04

50 KB

0 чел.

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Припустимо, дана сумісна система лінійних рівнянь

----------------------------

В основній матриці системи

ми одержуємо дописуванням до матриці A одного стовпчика. Оскільки система сумісна, ранги матриці A і  рівні і дорівнюють r. Мінор Δr є також мінором розширеної матриці  і, оскільки  Δ≠0 , мінор Δr  є більшим мінором розширеної матриці .

За теоремою про базисний мінор рядки матриці , на яких базується базисний мінор Δr, лінійно незалежні, а решта рядків лінійно виражається через них. Для визначеності припустимо, що мінор Δr будується на рядках з номерами 1, 2,...,r. Отже, перші r рядків матриці   утворюють базис в системі її рядків. Кожному рядку розширеної матриці системи відповідає рівнянням. Таким чином, в системі лінійних рівнянь перші r рівнянь лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через них, тобто є їх наслідками. Рівняння – наслідки можна відкинути.

Стовпчики основної матриці системи A, на яких будується базисний мінор Δr, також лінійно незалежні і утворюють базис в системі стовпчиків матриці. Для визначеності припустимо, що базисний мінор будується на стовпиках з номерами 1, 2,...,r. Тоді ці стовпчики утворюють базиси в системі стовпчиків розширеної матриці . Кожному стовпчику основної матриці системи відповідає деяка змінна.

Змінні, що відповідають стовпчикам базисного мінора основної матриці системи A, будемо називати базисними. Решту змінних будемо називати вільними.

У нашому випадку базисними є змінні x1,x2,…,xr,, вільними – змінні  xr+1,xr+2,…,xn.

В кожному з r лінійно незалежних рівнянь що залишаються, в лівій частині лише базисні змінні, а вільні переносимо в праву частину.

Система переписується таким чином:

----------------------------------------------

Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Замість вільних змінних підставляється будь-який набір чисел  . Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1,x2,…,xr. Ця система рівнянь квадратна, її головний визначник співпадає з мінором Δr,  тобто не дорівнює нулю. За теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок . Розв’язуючи цю систему відносно базисних змінних, одержуємо розв’язок початкової системи.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.  Сумісна система лінійних рівнянь називається невизначеною, якщо число її   розв’язків більше одиниці.

 Теорема. Сумісна система лінійних рівнянь невизначена тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа змінних.

Доведення. Нехай дана сумісна система лінійних рівнянь рангу r  з  n змінними. За означенням, ранг системи є рангом її основної матриці. Отже, цей ранг не може перевищувати число стовпчиків основної матриці, тобто число змінних. Таким чином, rn. Припустимо, r=n. Тоді всі змінні системи базисні, вільних змінних немає. В цьому випадку, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок, що суперечить умові. Отже,  r<n .

 Навпаки, якщо для сумісної системи виконується r<n, то не всі змінні системи базисні, а є принаймні одна вільна змінна. Вільним змінним можна надавати будь-які значення і розв’язувати відповідну систему відносно базисних змінних. Таким чином, система має нескінчену кількість розв’язків і є невизначеною.

Наслідок. Сумісна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг  дорівнює числу змінних.

Таким чином, для системи лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами і дійсними змінними існує три можливості:

  1.  система не має розв’язків (несумісна);
  2.  система має єдиний розв’язок (сумісна і визначена);
  3.  система має нескінчену кількість розв’язків (сумісна і невизначена).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

23916. Аристофан Облака 15.83 KB
  За свою философию он потом поплатился жизнью: его привлекли к суду и казнили именно за то что он слишком многое ставил под сомнение разлагал будто бы нравы и этим ослаблял государство. Почему Облака Потому что философы раньше всего стали задумываться из чего состоит все разнообразное множество предметов вокруг нас. Отцы и деды не задумывались и не рассуждали а смолоду твердо знали что такое хорошо и что такое плохо. Новые философы стали рассуждать и у них вроде бы получалось будто логикой можно доказать что хорошее не так...
23917. Гесиод 51.38 KB
  Отец Гесиода покинул из–за жестокой нужды Малую Азию и поселился в Беотии около горы Муз Геликона Близ Геликона осел он в деревне нерадостной Аскре Тягостной летом зимою плохой никогда не приятной. От Гесиода сохранились две поэмы : Теогония Происхождение богов и Труды и дни Работы и дни. Поводом для написания поэмы Труды и дни послужил процесс Гесиода с братом Персом изза раздела земли после смерти отца.
23920. Еврипид «Медея» 15.37 KB
  Еврипид Медея В основу Медеи положен известный миф об аргонавтах т. Тогда царь Ээт задал ему 3 задачи но ему помогла их выполнить дочь Ээта волшебница Медея. Медея усыпила огнедышащего дракона кй сторожил руно и Ясон похитил его. А потом Медея рассказывает коринфским женщинам хор о своем несчастье.
23922. Древнегреческая комедия. Общий обзор творчества Аристофана 28 KB
  Комедия, вторая отрасль греческой драмы, получила в Афинах официальное признание значительно позже, чем трагедия. Состязания «комедийных хоров» были установлены на «Великих Дионисиях» только около 488 — 486 гг.
23924. Загальноприйняті принципи і системи обліку 93 KB
  Загальноприйняті принципи бухгалтерського обліку. Міжнародні та національні стандарти бухгалтерського обліку. Фінансовий та управлінський облік, принципи їх побудови. Технологічний процес та процедури фінансового обліку.