22917

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки система сумісна ранги матриці A і рівні і дорівнюють r. Система переписується таким чином: Всі розвязки системи можна одержати таким чином. Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1x2xr.

Украинкский

2013-08-04

50 KB

0 чел.

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Припустимо, дана сумісна система лінійних рівнянь

----------------------------

В основній матриці системи

ми одержуємо дописуванням до матриці A одного стовпчика. Оскільки система сумісна, ранги матриці A і  рівні і дорівнюють r. Мінор Δr є також мінором розширеної матриці  і, оскільки  Δ≠0 , мінор Δr  є більшим мінором розширеної матриці .

За теоремою про базисний мінор рядки матриці , на яких базується базисний мінор Δr, лінійно незалежні, а решта рядків лінійно виражається через них. Для визначеності припустимо, що мінор Δr будується на рядках з номерами 1, 2,...,r. Отже, перші r рядків матриці   утворюють базис в системі її рядків. Кожному рядку розширеної матриці системи відповідає рівнянням. Таким чином, в системі лінійних рівнянь перші r рівнянь лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через них, тобто є їх наслідками. Рівняння – наслідки можна відкинути.

Стовпчики основної матриці системи A, на яких будується базисний мінор Δr, також лінійно незалежні і утворюють базис в системі стовпчиків матриці. Для визначеності припустимо, що базисний мінор будується на стовпиках з номерами 1, 2,...,r. Тоді ці стовпчики утворюють базиси в системі стовпчиків розширеної матриці . Кожному стовпчику основної матриці системи відповідає деяка змінна.

Змінні, що відповідають стовпчикам базисного мінора основної матриці системи A, будемо називати базисними. Решту змінних будемо називати вільними.

У нашому випадку базисними є змінні x1,x2,…,xr,, вільними – змінні  xr+1,xr+2,…,xn.

В кожному з r лінійно незалежних рівнянь що залишаються, в лівій частині лише базисні змінні, а вільні переносимо в праву частину.

Система переписується таким чином:

----------------------------------------------

Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Замість вільних змінних підставляється будь-який набір чисел  . Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1,x2,…,xr. Ця система рівнянь квадратна, її головний визначник співпадає з мінором Δr,  тобто не дорівнює нулю. За теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок . Розв’язуючи цю систему відносно базисних змінних, одержуємо розв’язок початкової системи.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.  Сумісна система лінійних рівнянь називається невизначеною, якщо число її   розв’язків більше одиниці.

 Теорема. Сумісна система лінійних рівнянь невизначена тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа змінних.

Доведення. Нехай дана сумісна система лінійних рівнянь рангу r  з  n змінними. За означенням, ранг системи є рангом її основної матриці. Отже, цей ранг не може перевищувати число стовпчиків основної матриці, тобто число змінних. Таким чином, rn. Припустимо, r=n. Тоді всі змінні системи базисні, вільних змінних немає. В цьому випадку, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок, що суперечить умові. Отже,  r<n .

 Навпаки, якщо для сумісної системи виконується r<n, то не всі змінні системи базисні, а є принаймні одна вільна змінна. Вільним змінним можна надавати будь-які значення і розв’язувати відповідну систему відносно базисних змінних. Таким чином, система має нескінчену кількість розв’язків і є невизначеною.

Наслідок. Сумісна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг  дорівнює числу змінних.

Таким чином, для системи лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами і дійсними змінними існує три можливості:

  1.  система не має розв’язків (несумісна);
  2.  система має єдиний розв’язок (сумісна і визначена);
  3.  система має нескінчену кількість розв’язків (сумісна і невизначена).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

9286. Понятие боли. Общее обезболивание. Подготовка больных к наркозу 19.24 KB
  Лекция №5 Понятие боли. Общее обезболивание. Подготовка больных к наркозу. Боль - сторожевой пес здоровья. Ноцицепция: ноцирецепторы - рецепторы - воспринимают болевые ощущения. Раздражители: механические, термические, химические. При...
9287. Техника проведения наркоза. Осложнения наркоза 20.07 KB
  Лекция № 6 Техника проведения наркоза. Осложнения наркоза. Общая анестезия. Подготовка. Полное обследование Оценка общего состояния (риск операции и наркоза) Психологическая Медикаментозная Подготовка ЖКТ Премедик...
9288. Терминальные состояния 20.8 KB
  Лекция № 7 Терминальные состояния Реаниматология - наука о закономерностях угасания жизни, оживления организма, профилактике и лечении терминальных состояний. Интенсивная терапия - это лечение больного, находящегося в терминальном состояни...
9289. Методы сердечно-легочной реанимации 24.76 KB
  Лекция № 8 Методы сердечно-легочной реанимации Актуальность: Эффективность сердечно-легочной реанимации зависит от своевременности оказания медицинской помощи При начале реанимационных мероприятий после наступления клинической смерти. Для констатац...
9290. Кровотечение. Реакция организма на кровопотерю 21.25 KB
  Лекция №9 Кровотечение. Реакция организма на кровопотерю. Петехия - небольшое кровоизлияние в кожу. Пурпуре – кровоизлияние в слизистые оболочки. Экхимозы - обширное кровотечение в кожу или слизистые. Гематома - ограничивание кро...
9291. Переливание крови и ее компонентов 21.79 KB
  Лекция №10 Переливание крови и ее компонентов Трансфузиология - это раздел клинической медицины, изучающий вопросы переливания у человека крови и ее препаратов, а также крове- и плазмозамещающих жидкостей с лечебной целью. Кровь - одна из...
9292. Осложнения при переливании крови. Методы профилактики и лечения осложнений 28.73 KB
  Лекция №11 Осложнения при переливании крови. Методы профилактики и лечения осложнений. Приказ Минздрава РФ от 25 ноября 2002 года №363 Об утверждении Инструкции по применению компонентов крови Гемотрансфузионные реакции и осложнения возникают в случ...
9293. Особенности обследования и предоперационной подготовки хирургического больного 16.3 KB
  Лекция №12 Особенности обследования и предоперационной подготовки хирургического больного Предоперационный период. Цель - снижение риска развития интра- и послеоперационных осложнений. Диагностический этап Подготовительный этап. Об...
9294. Операция. Способы формирования хирургического шва 18.76 KB
  Лекция Операция. Способы формирования хирургического шва. Операция - способ хирургического вмешательства, заключающегося в проведении специального механического воздействия на органы и ткани с лечебной и диагностической целью. Операция...