22917

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки система сумісна ранги матриці A і рівні і дорівнюють r. Система переписується таким чином: Всі розвязки системи можна одержати таким чином. Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1x2xr.

Украинкский

2013-08-04

50 KB

0 чел.

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Припустимо, дана сумісна система лінійних рівнянь

----------------------------

В основній матриці системи

ми одержуємо дописуванням до матриці A одного стовпчика. Оскільки система сумісна, ранги матриці A і  рівні і дорівнюють r. Мінор Δr є також мінором розширеної матриці  і, оскільки  Δ≠0 , мінор Δr  є більшим мінором розширеної матриці .

За теоремою про базисний мінор рядки матриці , на яких базується базисний мінор Δr, лінійно незалежні, а решта рядків лінійно виражається через них. Для визначеності припустимо, що мінор Δr будується на рядках з номерами 1, 2,...,r. Отже, перші r рядків матриці   утворюють базис в системі її рядків. Кожному рядку розширеної матриці системи відповідає рівнянням. Таким чином, в системі лінійних рівнянь перші r рівнянь лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через них, тобто є їх наслідками. Рівняння – наслідки можна відкинути.

Стовпчики основної матриці системи A, на яких будується базисний мінор Δr, також лінійно незалежні і утворюють базис в системі стовпчиків матриці. Для визначеності припустимо, що базисний мінор будується на стовпиках з номерами 1, 2,...,r. Тоді ці стовпчики утворюють базиси в системі стовпчиків розширеної матриці . Кожному стовпчику основної матриці системи відповідає деяка змінна.

Змінні, що відповідають стовпчикам базисного мінора основної матриці системи A, будемо називати базисними. Решту змінних будемо називати вільними.

У нашому випадку базисними є змінні x1,x2,…,xr,, вільними – змінні  xr+1,xr+2,…,xn.

В кожному з r лінійно незалежних рівнянь що залишаються, в лівій частині лише базисні змінні, а вільні переносимо в праву частину.

Система переписується таким чином:

----------------------------------------------

Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Замість вільних змінних підставляється будь-який набір чисел  . Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1,x2,…,xr. Ця система рівнянь квадратна, її головний визначник співпадає з мінором Δr,  тобто не дорівнює нулю. За теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок . Розв’язуючи цю систему відносно базисних змінних, одержуємо розв’язок початкової системи.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.  Сумісна система лінійних рівнянь називається невизначеною, якщо число її   розв’язків більше одиниці.

 Теорема. Сумісна система лінійних рівнянь невизначена тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа змінних.

Доведення. Нехай дана сумісна система лінійних рівнянь рангу r  з  n змінними. За означенням, ранг системи є рангом її основної матриці. Отже, цей ранг не може перевищувати число стовпчиків основної матриці, тобто число змінних. Таким чином, rn. Припустимо, r=n. Тоді всі змінні системи базисні, вільних змінних немає. В цьому випадку, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок, що суперечить умові. Отже,  r<n .

 Навпаки, якщо для сумісної системи виконується r<n, то не всі змінні системи базисні, а є принаймні одна вільна змінна. Вільним змінним можна надавати будь-які значення і розв’язувати відповідну систему відносно базисних змінних. Таким чином, система має нескінчену кількість розв’язків і є невизначеною.

Наслідок. Сумісна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг  дорівнює числу змінних.

Таким чином, для системи лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами і дійсними змінними існує три можливості:

  1.  система не має розв’язків (несумісна);
  2.  система має єдиний розв’язок (сумісна і визначена);
  3.  система має нескінчену кількість розв’язків (сумісна і невизначена).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36902. Изучение среды и простейших элементов 405.5 KB
  Домашнее задание выполняется по различным вариантам. В данном варианте меняется только цвет фона всей формы и цвет фона окна Text3. Варианты индивидуальных заданий. Разработать Windowsприложение вычисления значения функции у средствами Visul Bsic Вариант №1 у = b^2 c^2 t^2 Вариант №2 y = bc^3 c t^2 Вариант №3 y = b^3 c t^2 Вариант №4 y = c3 t c^2 Вариант №5 y = c^2 b t^2 Вариант №6 y = tk^5 c b^3 Вариант №7 y = c^3 t^2 b^5 Вариант №8 y = c^2 t b^2 Вариант №9 y = c^3 t b^2...
36903. Разработка приложений с разветвляющимися алгоритмами 359 KB
  Lbel1 Cption При х = Lbel2 Cption Функция вычисляется по формуле: Lbel3 Cption Получен результат Y = Lbel4 Cption Lbel5 Cption Лабораторная работа 2.Вариант 37 Text1 Text Text2...
36904. Изучение основных явлений поляризации света 483 KB
  Изучение основных явлений поляризации света. Цель работы: Получение и исследование поляризованного света и исследование свойств обыкновенных и необыкновенных лучей полученных с помощью двояко преломляющего кристалла. Принципиальная схема установки или её главных узлов: 1 упражнение: 2 упражнение: ИС источник света; ИС источник света; П поляроид 1поляризатор; Д...
36905. Изучение физических явлений, лежащих в основе работы полупроводникового фотоэлемента с запирающим слоем, определение зависимости фототока от освещенности, снятие ширины запрещенной зоны полупроводника 713 KB
  Цель работы: Изучение физических явлений лежащих в основе работы полупроводникового фотоэлемента с запирающим слоем определение зависимости фототока от освещенности снятие ширины запрещенной зоны полупроводника. На рисунке выше Ес энергия дна свободной зоны Ев энергия потолка валентной зоны; Fм Fп уровни Ферми металла и полупроводника Ам Ап работы выхода электрона из металла и полупроводника. Если уровень Ферми изолированного металла Fм лежит выше уровня Ферми полупроводника Fп т. Ам Ап то в первый момент их...
36906. Измерение холловской разности потенциалов в полулроводниковой пластине и определение концентрации, подвижности и знака носителей заряда, участвующих в токе 294.5 KB
  Эффект Холла в полупроводниках. Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки: Эффект Холла заключается в возникновении поперечной разности потенциалов при пропускании тока через металлическую или полупроводниковую пластинку помещенную в магнитное поле направленное под некоторым углом к направлению тока. Классическая...
36907. Подтверждение боровской теории строения водородоподобных атомов 255.5 KB
  Основные теоретические положения к данной работе основополагающие утверждения: формулы схематические рисунки: В основе теории Бора лежат следующие постулаты: Первый постулат Бора постулат стационарных состояний: существуют некоторые стационарные состояния атома находясь в которых он не излучает энергии. Второй постулат Бора правило квантования орбит утверждает что в стационарном состоянии атома электрон двигаясь по круговой орбите должен иметь квантованные значения момента импульса удовлетворяющие условию где п = 1; 2;...
36908. Изучение процессов генерации и рекомбинации неравновесных носителей заряда в твердых телах при возбуждении их светом, экспериментальная проверка кинетики затухания рекомбинационной люминесценции при наличии центров захвата(ловушек) 658 KB
  Таблицы и графики Результаты измерений и расчетов: tc I1 мА I2 мА I3 мА I4 мА I5 мА Icp мА y = 10 0292 0284 0305 0293 0290 0293 0306 15 0264 0260 0265 0263 0261 0263 0379 20 0237 0238 0241 0243 0235 0239 0446 25 0220 0219 0216 0225 0228 0222 0501 30 0210 0209 0210 0203 0220 021 0543 35 0196 0192 0190 0195 0193 0193 061 40 0187 0185 0180 0179 0182 0183 0653 50 0170 0165 0165 0167 0170 0167 073 60 0158 0154 0156 0153 0154 0155 0796 70 0149 0147 0143 0144 0146...
36909. Кластерный анализ. Агломеративные методы 16.97 KB
  В качестве выбора нового расстояния между кластерами рассмотреть: 1Метод дальнего соседа 2Метод ближнего соседа. 3 Используем метод дальнего соседа. 4 Используем метод ближнего соседа. Решение поставленной задачи: 1Центрируем и нормируем: 2Рассчитаем матрицу расстояний: 1 2 3 4 5 6 Далее поскольку матрицы будут симметричными будут записаны полученные данные только над главной диагональю 3По методу...
36910. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗВЕНЬЕВ АВТОМАТИЧЕКСКИХ СИСТЕМ 346.5 KB
  1 Безынерционное звено Рис. 2 Интегрирующее звено Рис. 3 Апериодическое звено 1 порядка Рис. 4 Колебательное звено Переходные ht и передаточные Wp характеристики звеньев имеют вид: Безынерционное звено Wp=k Интегрирующее звено Wp=k p Апериодическое звено Wp=k Tp1 Колебательное звено Wp=k1 T2p22k2Tp1...