22917

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки система сумісна ранги матриці A і рівні і дорівнюють r. Система переписується таким чином: Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1x2xr.

Украинкский

2013-08-04

50 KB

0 чел.

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Припустимо, дана сумісна система лінійних рівнянь

----------------------------

В основній матриці системи

ми одержуємо дописуванням до матриці A одного стовпчика. Оскільки система сумісна, ранги матриці A і  рівні і дорівнюють r. Мінор Δr є також мінором розширеної матриці  і, оскільки  Δ≠0 , мінор Δr  є більшим мінором розширеної матриці .

За теоремою про базисний мінор рядки матриці , на яких базується базисний мінор Δr, лінійно незалежні, а решта рядків лінійно виражається через них. Для визначеності припустимо, що мінор Δr будується на рядках з номерами 1, 2,...,r. Отже, перші r рядків матриці   утворюють базис в системі її рядків. Кожному рядку розширеної матриці системи відповідає рівнянням. Таким чином, в системі лінійних рівнянь перші r рівнянь лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через них, тобто є їх наслідками. Рівняння – наслідки можна відкинути.

Стовпчики основної матриці системи A, на яких будується базисний мінор Δr, також лінійно незалежні і утворюють базис в системі стовпчиків матриці. Для визначеності припустимо, що базисний мінор будується на стовпиках з номерами 1, 2,...,r. Тоді ці стовпчики утворюють базиси в системі стовпчиків розширеної матриці . Кожному стовпчику основної матриці системи відповідає деяка змінна.

Змінні, що відповідають стовпчикам базисного мінора основної матриці системи A, будемо називати базисними. Решту змінних будемо називати вільними.

У нашому випадку базисними є змінні x1,x2,…,xr,, вільними – змінні  xr+1,xr+2,…,xn.

В кожному з r лінійно незалежних рівнянь що залишаються, в лівій частині лише базисні змінні, а вільні переносимо в праву частину.

Система переписується таким чином:

----------------------------------------------

Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Замість вільних змінних підставляється будь-який набір чисел  . Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1,x2,…,xr. Ця система рівнянь квадратна, її головний визначник співпадає з мінором Δr,  тобто не дорівнює нулю. За теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок . Розв’язуючи цю систему відносно базисних змінних, одержуємо розв’язок початкової системи.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.  Сумісна система лінійних рівнянь називається невизначеною, якщо число її   розв’язків більше одиниці.

 Теорема. Сумісна система лінійних рівнянь невизначена тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа змінних.

Доведення. Нехай дана сумісна система лінійних рівнянь рангу r  з  n змінними. За означенням, ранг системи є рангом її основної матриці. Отже, цей ранг не може перевищувати число стовпчиків основної матриці, тобто число змінних. Таким чином, rn. Припустимо, r=n. Тоді всі змінні системи базисні, вільних змінних немає. В цьому випадку, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок, що суперечить умові. Отже,  r<n .

 Навпаки, якщо для сумісної системи виконується r<n, то не всі змінні системи базисні, а є принаймні одна вільна змінна. Вільним змінним можна надавати будь-які значення і розв’язувати відповідну систему відносно базисних змінних. Таким чином, система має нескінчену кількість розв’язків і є невизначеною.

Наслідок. Сумісна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг  дорівнює числу змінних.

Таким чином, для системи лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами і дійсними змінними існує три можливості:

  1.  система не має розв’язків (несумісна);
  2.  система має єдиний розв’язок (сумісна і визначена);
  3.  система має нескінчену кількість розв’язків (сумісна і невизначена).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

48707. Генеалогическое древо. Информационная система 3.95 MB
  Прежде чем приступать к разработке информационной системы, необходимо представить себе схему настоящего генеалогического древа. Генеалогическое древо - схематичное представление родственных связей, родословной росписи в виде условно-символического «дерева»
48708. Стратегическое планирование на ОАО «МТС» 1.13 MB
  О предприятии ОАО МТС. В курсовой работе в качестве исследуемого предприятия была выбрана компания ОАО МТС в качестве продукта – мобильный телефон. ОАО Мобильные ТелеСистемы МТС российская телекоммуникационная компания оператор сотовой связи в форматах GSM и UMTS оказывающая услуги в России странах СНГ и Индии под торговой маркой МТС. Компания МТС образована как закрытое акционерное общество в октябре 1993 года такими компаниями как ОАО Московская городская телефонная сеть МГТС Deutsсhe Telecom DeTeMobil...
48711. Разработка информационной системы по учету заявлений 1.66 MB
  Типовые бизнеспроцессы требующие автоматизации. Содержание бизнеспроцесса Подготовка докладов выступлений обращений состоит из последовательного выполнения шести действий: Подбор данных и материалов для обобщений докладов выступлений Создание отчета о количестве принятых заявлений определенной судьей Создание отчета в котором отображаются заявления по их типу Создание отчета о количестве сформированных дел Создание отчета о делах по которым уже было вынесено решение Составление плана обобщения доклада...
48712. Электрический расчет основных режимов работы сети 2.08 MB
  Схема выбирается по экономическому расчету, который содержит: расчет наиболее экономичного строительства, расчет передачи энергии как от РЭС, так и от подстанций к друг другу. Из четырех вариантов схем, будет выбрана одна – наиболее экономичная. Для которой будет выполнен, электрический расчет основных режимов работы сети.
48713. Проект железобетонного моста под железную дорогу 713 KB
  Предполагая применение устоев обсыпного типа и учитывая, что отверстие моста составляет 68 м, намечена пятипролетная схема моста с разрезными типовыми балками 516,5 м. Необходимая длина моста между крайними точками устоев
48715. Анализ активного АRC-звена 758 KB
  Расчет LCфильтра. В результате решения задачи II требуется: привести схему рассчитанного фильтра и таблицу значений параметров его элементов; привести качественную характеристику ослабления рассчитанного фильтра; определить ОПФ фильтра; полином знаменателя полученной функции представить в виде произведения линейных и квадратичных сомножителей с вещественными коэффициентами; рассчитать ослабление фильтра на границе границах полосы пропускания; составить пояснительную записку. Расчет RC фильтра. В результате решения задачи...