22917

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки система сумісна ранги матриці A і рівні і дорівнюють r. Система переписується таким чином: Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1x2xr.

Украинкский

2013-08-04

50 KB

0 чел.

Розв’язки системи лінійних рівнянь

Припустимо, дана сумісна система лінійних рівнянь

----------------------------

В основній матриці системи

ми одержуємо дописуванням до матриці A одного стовпчика. Оскільки система сумісна, ранги матриці A і  рівні і дорівнюють r. Мінор Δr є також мінором розширеної матриці  і, оскільки  Δ≠0 , мінор Δr  є більшим мінором розширеної матриці .

За теоремою про базисний мінор рядки матриці , на яких базується базисний мінор Δr, лінійно незалежні, а решта рядків лінійно виражається через них. Для визначеності припустимо, що мінор Δr будується на рядках з номерами 1, 2,...,r. Отже, перші r рядків матриці   утворюють базис в системі її рядків. Кожному рядку розширеної матриці системи відповідає рівнянням. Таким чином, в системі лінійних рівнянь перші r рівнянь лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через них, тобто є їх наслідками. Рівняння – наслідки можна відкинути.

Стовпчики основної матриці системи A, на яких будується базисний мінор Δr, також лінійно незалежні і утворюють базис в системі стовпчиків матриці. Для визначеності припустимо, що базисний мінор будується на стовпиках з номерами 1, 2,...,r. Тоді ці стовпчики утворюють базиси в системі стовпчиків розширеної матриці . Кожному стовпчику основної матриці системи відповідає деяка змінна.

Змінні, що відповідають стовпчикам базисного мінора основної матриці системи A, будемо називати базисними. Решту змінних будемо називати вільними.

У нашому випадку базисними є змінні x1,x2,…,xr,, вільними – змінні  xr+1,xr+2,…,xn.

В кожному з r лінійно незалежних рівнянь що залишаються, в лівій частині лише базисні змінні, а вільні переносимо в праву частину.

Система переписується таким чином:

----------------------------------------------

Всі розв’язки системи можна одержати таким чином. Замість вільних змінних підставляється будь-який набір чисел  . Одержується система лінійних рівнянь відносно базисних змінних x1,x2,…,xr. Ця система рівнянь квадратна, її головний визначник співпадає з мінором Δr,  тобто не дорівнює нулю. За теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок . Розв’язуючи цю систему відносно базисних змінних, одержуємо розв’язок початкової системи.

Сумісна система лінійних рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв’язок.  Сумісна система лінійних рівнянь називається невизначеною, якщо число її   розв’язків більше одиниці.

 Теорема. Сумісна система лінійних рівнянь невизначена тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа змінних.

Доведення. Нехай дана сумісна система лінійних рівнянь рангу r  з  n змінними. За означенням, ранг системи є рангом її основної матриці. Отже, цей ранг не може перевищувати число стовпчиків основної матриці, тобто число змінних. Таким чином, rn. Припустимо, r=n. Тоді всі змінні системи базисні, вільних змінних немає. В цьому випадку, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок, що суперечить умові. Отже,  r<n .

 Навпаки, якщо для сумісної системи виконується r<n, то не всі змінні системи базисні, а є принаймні одна вільна змінна. Вільним змінним можна надавати будь-які значення і розв’язувати відповідну систему відносно базисних змінних. Таким чином, система має нескінчену кількість розв’язків і є невизначеною.

Наслідок. Сумісна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг  дорівнює числу змінних.

Таким чином, для системи лінійних рівнянь з дійсними коефіцієнтами і дійсними змінними існує три можливості:

  1.  система не має розв’язків (несумісна);
  2.  система має єдиний розв’язок (сумісна і визначена);
  3.  система має нескінчену кількість розв’язків (сумісна і невизначена).


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

68344. Средняя Азия и Казахстан с древности до нового времени. Присоединение к России Казахстана и Средней Азии 30.5 KB
  На протяжении веков район центральной Азии был населен различными народами. Из России туда поступали меха кожа сукно а в Россию шли хлопок шелковые ткани холодное оружие и пряности. Реальной помощи казахи могли ожидать только от России.
68345. Транспортні вузли та транспортна система України 264.5 KB
  Транспорт та транспортні вузли повинні сприяти якнайшвидшій інтеграції України в загальноєвропейську економічну систему, що потребує створення залізничних та автомобільних шляхів з центральних частин Західної Європи – у країни СНД, з півночі Західної Європи – у країни Близького Сходу.
68349. Научная и философская проблема языка 84 KB
  Рефлексивное обращение сознания к языку связано с созданием новой науки лингвистики. Лингвистика наука о человеческом языке как средстве общения общих законах его строения и функционирования и обо всех языках мира. Лингвистика то же самое что и языкознание.
68350. Современная Россия и Чеченский кризис 32 KB
  Главной задачей государства является обеспечение наиболее благоприятных условий жизни граждан независимо от национальной и религиозной принадлежности; реализация права на самоопределение самоуправление на территориальных уровнях право на выбор культурной идентичности наделение...
68351. Современное состояние национальных отношений в РФ. Трудности, проблемы. Кризисные явления 25 KB
  Принятие конституции Республики Чечня вроде бы наметило пути разрешения многолетней напряжённости однако теракт 9 мая в Грозном показал что до ситуации спокойствия в республике ещё далеко. Самыми кричащими явлениями выступают республики Башкортостан и Татарстан.
68352. Советская национальная политика в 1930-е года 21 KB
  К концу 1933 года существовало около 250 национальных районов 5000 сельсоветов. С 1921 по 1941 годы произошло значительное повышение уровня грамотности грамотными были уже более 60 миллионов человек одновременно причинами и результатами данного факта являлось издание...