22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розвязок. Але на практиці цей розвязок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розвязків змінні системи діляться на дві частини базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

10260. Роль философии права в изучении юриспруденции в Италии 149.81 KB
  О роли философии права в изучении юриспруденции в Италии В последнее время все чаще можно встретить утверждение о том что обучение студентовюристов стало сегодня гораздо более интенсивным правда знаний при этом они получают гораздо меньше. Суждение довольно ре...
10261. К основному вопросу философии права 97 KB
  К основному вопросу философии права С тех пор как в теоретических исследованиях право стало изучаться с точки зрения философии а уже у Гесиода прозвучало: Следуй всегда закону который среди всех благ является наивысшим никогда не учиняй насилия и особенно с того ...
10262. Философия права и естественное право 81 KB
  А. Основные положения. 1. Философия права и естественное право. Философия права является отраслью философии о человеке т.е. той философии которая имеет целью познать положение человека и человеческой культуры во вселенной и в мировом развитии. Право как и другие ...
10263. Вальденберг. В. О задачах философии права 75 KB
  В. Вальденберг О задачах философии права Поднимая вопрос о задачах какой-нибудь науки мы можем давать этому вопросу двоякого рода постановку. Может быть так что наука существует и существование ее не подлежит никакому спору, но мы сомневаемся что те задачи которые ...
10264. Проблемы буржуазной теории права 129.5 KB
  Проблемы буржуазной теории права: Философия права. М.: ИИИОН 1984. Философия права и её место в системе юридических наук. Обзор По общему признанию западная философия права переживает ныне не лучшие времена. И причины её кризи...
10265. Правовая онтология 694.5 KB
  Правовая онтология 1. Человек как правовое существо Рассмотренные определения сущности и понятия права в его различении и совпадении с законом позволяют охарактеризовать право под углом зрения онтологии учения о бытии гносеологии учения о познании и аксиологии у
10266. Единство и многообразие мировой истории 34 KB
  Единство и многообразие мировой истории 1. Развитие понятия История 2. Единство мировой истории 3. Многообразие мировой истории 4. Роль личности в истории 1. Развитие понятия История История человечества это история множества народов и государств стран и р
10267. Общественное сознание Духовная жизнь 39 KB
  Общественное сознание Духовная жизнь Основными элементами духовной жизни общества являются: духовная деятельность, духовные ценности, духовные потребности людей, духовное потребление, индивидуальное сознание, общественное сознание. Духо
10268. Практика есть специфический человеческий способ отношения к миру 23.5 KB
  Практика Практика есть специфический человеческий способ отношения к миру заключающийся в активном целенаправленном преобразовании объективно существующих в нем предметов и явления. Понятие деятельность по объему шире понятия практика так как оно включает в себ...