22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розв’язків змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

60438. Добірка текстів по темі «Ділова поїздка за кордон» 400 KB
  Методична розробка призначена для роботи на заняттях англійської мови з метою розвитку навичок усного, монологічного та діалогового мовлення; Розвитку зацікавленості до країни, мови до якої вивчаємо.
60439. Жінки і Україна 84.5 KB
  Познайомити учнів із життям та творчістю видатних українських жінок які зробили великий внесок у розвиток української культури; виховувати шанобливе ставлення до жінок як особистості почуття національної гордості любов до рідного краю; розвивати духовність.
60440. Ця чудова країна „Цирк” 59.5 KB
  Діти сьогоднішнє заняття незвичайне адже ви зустрінетеся з улюбленими циркачами більше дізнаєтесь про них що вони роблять які вони; зможете цікаво розповісти рідним друзям а може хтось з вас захоче стати циркачем і вже сьогодні вибере ким саме.
60441. У пошуках Новорічної зірки (Новорічне свято) 96.5 KB
  Мета: Викликати емоційне піднесення в очікуванні Новорічних свят. Розвивати вміння застосовувати свої знання та навички в нестандартних ситуаціях. Виховувати товариськість, наполегливість в досягненні мети, доброзичливість у стосунках, згуртованість.
60442. Народний живопис Полісся (Сценарій виховного заходу) 828 KB
  Вступне слово куратора: У складному переплетенні сучасних економічних соціальних педагогічних проблем цивілізації людство все частіше звертається до моралі гуманізму і культури вбачаючи в них реальний шлях свого виживання і майбутнього процвітання.
60443. Жизнь дается человеку только один раз 36 KB
  Учитель: Как приятно на вас дети смотреть какие вы красивые словно солнышко. Что помогает вам быть такими Дети высказывают свои мысли и делают вывод что это - здоровье. Сообщение темы Психологическая установка...
60445. Найтяжчі злочини проти людства 75.5 KB
  Історія народу-бездонна, невичерпна криниця духу мудрості, перемог і страждань. Кожен народ, має власну історію. Глибоку і прозору, або замулену й прикидану.