22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розв’язків змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

5801. Чай и его товароведческая характеристика 191.11 KB
  Чай Потребление чая связано с национальными и историческими традициями разных стран.Для многих народов чай является продуктом первой необходимости,а некоторые народы считают его наравне с хлебом как жизненно важный,ничем не з...
5802. Анализ PR-деятельности по продвижению предприятия и разработка путей и способов повышения эффективности ООО Вкусный Урал Pizza to Pizza 718.11 KB
  Введение Усиление динамичности внешней и внутренней среды компаний в условиях нестабильной рыночной экономики требует специальных подходов к совершенствованию бизнеса ориентированных на постоянное повышение его конкурентоспособность...
5804. Розробка обємно-планувальних рішень готелю на 90 місць категорії 1.05 MB
  Незважаючи на те, що сфера послуг набуває все більшого розвитку в нашій країні, функціонування готельного господарства ускладнюється цілою низкою проблем. Однією з причин подібного протиріччя є відсутність надійної та достовірної інформації пр...
5805. Порівняння ефективності алгоритму однократної та двократної фільтрації невиявлених відмов (алгоритм з β-фільтром та алгоритм з подвійним β-фільтром) 884.77 KB
  Ефективна експлуатація повітряних суден (ПС), якими в наш час оснащені авіакомпанії, можлива лише за умови мінімізації витрат на їхнє технічне обслуговування (ТО). Тому актуальною являється задача науково...
5806. Щадящие методы межчелюстной фиксации 119.02 KB
  Введение Актуальность проблемы.За последние годы и десятилетия неуклонно возрастает количество травматических повреждений в том числе и челюстно-лицевых. Если в 1960 ых годах частота травм костей лицевого скелета составляла 0,3 на 1000 ч...
5807. Повышение экономической эффективности деятельности туристической фирмы Байкал-тур Практическая часть 209.63 KB
  Задание Для выполнения дипломного проекта и подготовки к его защите необходимо выполнить следующее: 1) изучить теоретические основы эффективности деятельности фирмы в рыночных условиях, познакомиться с критериями и показателями оценки эффективности ...
5808. Совершенствование технологического процесса изготовления червячного колеса редуктора привода кабины лифта, за счет замены заготовки и использования специального режущего инструмента 1.23 MB
  Введение Машиностроение является важнейшей отраслью промышленности. Его продукция - машины различного назначения поставляются всем отраслям народного хозяйства. Рост промышленности и народного хозяйства, а также темпы перевооружения их новой те...
5809. Разработка радио/проводного модуля сопряжения пульта управления и радиостанции 162.5 KB
  Введение Электропитание радиоаппаратуры осуществляется источниками вторичного электропитания (ИВЭП), которые подключаются к источникам первичного электропитания и преобразуют их переменное или постоянное напряжение в требуемые выходные напряжения ра...