22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розв’язків змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32136. Les mots dans le texte litteraire 11.25 KB
  Pour étudier les vleurs stylistiques des mots dns le texte il existe deux pproches.Lpproche sémsiologique consiste à ller de l lexie u sens cest à dire construire un chmp sémntique dun mot étudier toutes les significtions dénottives et connottives dun mot ses liens dichroniques et synchroniques dérivtionnels et prdigmtiques ce qui permet de pénétrer le sens profond du texte.L pproche onomsiologique consiste à dopter une méthode inverse celle d'ller du sens ux lexies; permet de repérer les différents moyens d'exprimer l même...
32137. Les synonymes et les antonymes 11.8 KB
  Dns l stylistique il y le probleme du clssement des synonimes. EX Chrles Blly proposee le methode d’identifiction des synonymes cd u centre du groupe se trouve l’unitee principle le terme de l’identifiction. Il existe des synonymes ideogrphiques et stylistiques.
32138. LASPECT STYLISTIQUE La generalitee 12.8 KB
  La valeur grammaticale des faits de langue porte un caractere abstrait ; les normes de grammaire sont stables, unes et obligatoires pour tous les sujets parlants. Aussi, les faits de grammaire sont-ils pour la plupart dun usage general.
32140. LC {DL аббревиатура на звания известной консалтинговой фирмы rthur D. 27.5 KB
  Конкретные модели относящиеся к отмеченному концептуальному подходу в основном различаются по 3 ключевым характеристикам: 1 оценочные показатели по осям матрицы которые так или иначе определяют существенные характеристики каждого конкретного бизнеса; 2 содержание и форма самих матриц характеризующие уровень глубины и детализации позиционирования; 3 наборы типовых стратегических решений которые соответствуют различным позициям бизнеса на сетке матрицы а также различным маршрутам возможного движения бизнеса по разным позициям в...
32141. Производственная стратегия как подсистема корпоративных стратегий 27.5 KB
  Производственная стратегия это подсистема корпоративной стратегии представленная в виде долгосрочной программы конкретных действий по созданию и реализации продукта организации; подсистема предусматривает использование и развитие всех производственных мощностей организации в целях достижения стратегического конкурентного преимущества. Для многих промышленных компаний производство того или иного продукта как правило является наиболее сложной и масштабной деятельностью. При системной оценке производственных затрат как для...
32142. Стратегия управления персоналом 28.5 KB
  Стратегия управления персоналом Стратегия управления персоналом это подсистема стратегии организации представленная в виде долгосрочной программы конкретных действий по реализации концепции использования и развития потенциала персонала организации в целях обеспечения ее стратегического конкурентного преимущества. Стратегия использования и развития потенциала персонала наряду с продуктовомаркетинговой стратегией является ключевой функциональной стратегией организации. Стратегия реализующая принцип купить предполагает привлечение...
32143. Финансовая стратегия. Первичный формат. Особенности 32 KB
  Особенности Финансовая стратегия это подсистема корпоративной стратегии представленная в виде долгосрочной программы конкретных действий по использованию собственных и привлеченных внешних финансовых ресурсов в организации для достижения стратегического конкурентного преимущества. Первичный формат стратегии. Значение финансовой стратегии т. Определение основных целей финансовой стратегии.
32144. Основные этапы цикла реализации стратегии 31 KB
  Основные этапы цикла реализации стратегии Реализация стратегии в широком смысле это непрерывная цикличная деятельность когда одна корпоративная стратегия регулярно заменяется другой качественно новой. Другими словами при расширенном толковании понятия циклическая реализация стратегии и стратегический менеджмент понимаемая как постоянная профессиональная деятельность фактически совпадают. На стадии запуска корпоративной стратегии каждый уровень менеджмента организации должен решать свои особые задачи. Вовторых завершить...