22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розвязок. Але на практиці цей розвязок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розвязків змінні системи діляться на дві частини базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46655. Становление и развитие экологического права. Проблемы дифференциации и интеграции в развитии экологического права 24.72 KB
  Лишь в 70е годы применительно к водам и в 80е применительно к атмосферному воздуху проблемы охраны окружающей среды от загрязнения стали оцениваться и регулироваться как экологические. В то время не законы а именно правительственные постановления определяли некоторые комплексные подходы к регулированию природопользования и охраны окружающей среды как единого объекта. В конце 80х годов ЦК КПСС и Правительство СССР осознавали что основными причинами резкого ухудшения состояния окружающей среды в стране являлись: слабое правовое...
46656. Договор международного факторинга 24.74 KB
  Договор международного факторинга это специфический по своему характеру вид факторинга. Преимущества субъектов международного факторинга Поставщик отгрузивший продукцию получает оплату за товар не дожидаясь оплаты покупателем что увеличивает объемы продаж и конкурентоспособность. Содержание договора международного факторинга ПРЕДМЕТ ДОГОВОРА Согласно ст.
46657. Международный кодекс рекламной практики 24.91 KB
  Реклама должна расцениваться прежде всего с точки зрения ее воздействия на покупателя причем следует обращать внимание каким видом СМИ она будет распространяться. Определения Для целей настоящего Кодекса: термин реклама должен употребляться в самом широком смысле включающем любую форму рекламы относительно изделий услуг и благ независимо от вида СМИ которое используется в том числе рекламные надписи и изображения на упаковках этикетках. А также любые надписи и изображения на самом товаре; термин товар включает изделия...
46658. Макроэкономическая нестабильность: инфляция 28.87 KB
  Главным показателем инфляции явлся темп инфляции процентное отношение разницы уровня цен текущего и базисного периода. П темп инфляции П = Р1Р0 Р0 100 По уровню темпа инфляции выделяют виды инфляции: Умеренная ползучая темп инфляции составляет до 10 в год; галопирующая выражается 2ух значными числами и считается серьезной экон проблемой; гиперинфляция измеряется в месяц и может составлять более 100 в год....
46663. Оптимальные гигиенические условия для работы учащихся 25 KB
  Режим работы во время занятий должен учитывать чередование непрерывной работы с периодами отдыха зависит от возраста учащихся темы. Эргономические факторы при организации работы в мастерских эргономика наука изучающая возможности человека в трудовых процессах с целью создания таких условий труда которые делают труд высокопроизводительным и в тоже время обеспечивают работающему необходимые удобства сохраняя его силы здоровье и работоспособность. Рассказывать технику безопасности...