22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розвязок. Але на практиці цей розвязок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розвязків змінні системи діляться на дві частини базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

24587. Планування аудиторської діяльності 30 KB
  Планування аудиторської діяльності. Обов'язковою умовою успішної діяльності будьякого підприємства є планування. Нормативна база з аудиту МСА 300 Планування регламентує лише порядок планування аудиторської перевірки визначає порядок підготовки загального плану і розроблення програми проведення аудиту і не визначає порядок планування аудиторської діяльності. У літературі з аудиту питання планування аудиторської діяльності також майже не висвітлювалось.
24588. Контроль якості роботи аудиторів 29 KB
  Контроль якості роботи аудиторів Аудиторська фірма зобов'язана дотримуватися політики і процедур контролю якості аудиторських послуг які гарантують що всі аудиторські перевірки проводяться у відповідності з Національними стандартами аудиту та Законом України Про аудиторську діяльність . Зміст строки й обсяг аудиторських процедур та політики аудиторської фірми щодо контролю якості залежать від таких чинників як розміри і характер діяльності аудиторської фірми її дислокація рівень організації перевірки і відповідних суджень про...
24589. Поняття аудиторської діяльності та її правове забезпечення 32 KB
  Основними нормативними документами що визначають головні засади аудиторської діяльності є Закон України Про аудиторську діяльність Національні стандарти аудиту та Кодекс професійної етики аудиторів України. Згідно з Законом України Про аудиторську діяльність до аудиторської діяльності належить організаційне і методичне забезпечення аудиту практичне виконання аудиторських перевірок аудиту та надання інших аудиторських послуг. За національним законодавством На жаль національне законодавство обмежує рамки аудиту аудитом фінансової...
24590. Суб’єкти аудиторської діяльності 37.5 KB
  Субєкти аудиторської діяльності Аудиторська діяльність це один із видів підприємницької діяльності суб'єктами якої можуть бути як фізичні так і юридичні особи. Для здійснення аудиторської діяльності одноособово аудитор повинен маючи чинний сертифікат аудитора зареєструватися як суб'єкт підприємницької діяльності у виконавчому комітеті міської районної ради або районній міст Києва і Севастополя державній адміністрації за місцем проживання даного суб'єкта та в Аудиторській палаті України як суб'єкт аудиторської діяльності. Порядок...
24593. Аудит доходів та фінансових результатів 32 KB
  Перевірка звіту про фінансові результати У процесі підтвердження достовірності інформації звіту з фінансових результатів який здійснюється аудитором під час аудиту фінансової звітності можуть виникнути три ситуації коли: ♦ інформація зафіксована у звіті відображає реальний результат від фінансовогосподарської діяльності; ♦ інформація у звіті викривлена ненавмисне тобто через помилки обліку неправильне тлумачення законів неправильну інтерпретацію господарських фактів і з інших причин; ♦ інформація у звіті викривлена через неправильне...
24594. Мета і завдання аудиту доходів і результатів діяльності 33 KB
  Тому всі об'єкти підприємницької діяльності прагнуть одержати якнайкращі результати за цими показниками. Аудитору необхідно пам'ятати що у Звіті про фінансові результати доходи відображають за видами діяльності. У ринкових умовах господарювання результати діяльності суб'єктів підприємницької діяльності є інформацією яка цікавить широке коло користувачів фінансових звітів.
24595. Аудит витрат діяльності 38.5 KB
  До таких витрат за ПсБО № 16 відносять: ♦ адміністративні витрати; ♦ витрати на збут; ♦ інші операційні витрати. До адміністративних витрат належать такі загальногосподарські витрати спрямовані на обслуговування та управління підприємством: ♦ загальні корпоративні витрати організаційні витрати витрати на проведення річних зборів представницькі витрати тощо; ♦ витрати на службові відрядження й утримання апарату управління підприємством та іншого загальногосподарського персоналу; ♦ витрати на утримання основних засобів інших матеріальних...