22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розв’язків змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

15147. Тургенев Иван Сергеевич 22.47 KB
  Иван Сергеевич Тургенев Иван Тургенев родился 28 октября 1818 года в Орле. Отец Сергей Николаевич отставной полковн
15148. Сергей Юльевич Витте 181.49 KB
  Сергей Юльевич Витте Происходит из голландской семьи переселившейся в Прибалтику ещё во времена владычества шведов и получившей потомственное дворянство в 1856. Православный. Родился 17 июня 1849 в Тифлисе. Его отец Юлий Федорович Витте 1814 1867 член совета к
15149. Петр I и русская культура 94.4 KB
  Петр I и русская Культура 1. Культура России накануне вступления Петра на престол В конце ХVII века когда на русском престоле оказался молодой царь Петр I наша страна переживала переломный момент своей истории. В России в отличие от западноевропейск...
15150. Внешняя политика СССР в 30 годы 259.99 KB
  Внешняя политика СССР в 30 года. После прихода Гитлера к власти Сталин резко изменил традиционную советскую политику: если раньше она была направлена на союз с Германией против версальской системы а по линии Коминтерна на борьбу с социалдемок...
15151. Герой нашего времени. Женские образы в романе 17.26 KB
  Женские образы в романе М.Ю. Лермонтова Герой нашего времени. Роман М.Ю. Лермонтова недаром назван Герой нашего времени весь строй произведения его композиция образная система подчинены раскрытию образа Печорина.
15152. Горе от ума. Грибоедов 66.62 KB
  Горе от ума. Грибоедов Комедия Горе от ума держится какимто особняком в литературе и отличается моложавостью свежестью и более крепкой живучестью от других произведений слова. Она как столетний старик около которого все отжив по очереди св
15153. Мнимое и подлинное безумие Чацкого 13.35 KB
  Мнимое и подлинное безумие Чацкого Комедия Горе от ума была написана в 1823 году А.С.Грибоедовым и имела уже тогда огромный успех в читательских кругах не только Москвы но и всей России. При жизни автора Горе от ума не была опубликовано зато многократно переписыва...
15154. Общество в жизни Татьяны, Онегина и автора 16.29 KB
  Общество в жизни Татьяны Онегина и автора Татьяна простая провинциальная девушка она не красавица но задумчивость и мечтательность выделяют ее среди других людей в обществе которых она чувствует себя одиноко так как они не способны понять ее. Дика печальна...
15155. Один в поле воин, если он-Чацкий 21.21 KB
  Один в поле воин если онЧацкий Образ главного героя комедии сочетает в себе все черты идеального человека: высоко развитое чувство собственного достоинства истинная культура и просвещенность нежелание мириться с несправедливым общественным устоем нена