22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розвязок. Але на практиці цей розвязок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розвязків змінні системи діляться на дві частини базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37005. Застосування статистичних методів у педагогічному дослідженні 29.13 KB
  Статистичні методи в педагогіці. Організація та методика науководослідницької діяльності: Підручник. ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Система методів і методика педагогічного дослідження У відповідності з логікою наукового пошуку здійснюється розробка методики дослідження що є сукупністю теоретичних та емпіричних методів які дають можливість з найбільшою достовірністю дослідити такий складний і багатофункціональний об'єкт яким є освітньовиховний процес. Методи педагогічного дослідження на відміну від методології це власне способи вивчення...
37006. Побудова вольт-фарадної характеристики варикапа. Напівпровідникові діоди 351.5 KB
  Дослідження напруги і струму діода при прямому і зворотньому зміщенні рн переходу. Побудова та дослідження вольтамперної характеристики ВАХ напівпроводнікового діода. Дослідження опору діода при прямому і зворотньому зсуві по вольтамперній характеристиці. Короткі теоретичні відомості Для дослідження напруги та струму діода при прямому і зворотному зсуві рн переходу досить мати універсальний прилад мультиметр.
37008. Робота із утилітою SiSoftware Sandra 1.59 MB
  SiSoftwre Sndr розроблена для роботи в ОС Windows 32. Запускаємо програму SiSoftwre Sndr. Ознайомлюймось з меню програми SiSoftwre Sndr.
37009. Файлова система NTFS 1.45 MB
  Імя робочої групи домену в який входить компютер MSHOME Імя користувача dmin Характеристики компютера: Процесор 1.6GHz Оперативна пам'ять 512Mб Обєм жорсткого диска 80Gb Моделі мережевих пристроїв внутрішніх і зовнішніх Reltek RTL8139 810x Fmily Fst Ethernet NIC 10 100 mb s Наявність локальної мережі Ні Наявність глобальної мережі Так Операційна система Microsoft Windows XP Порядок виконання роботи: 1.txt рис1 Рис 1 1.
37010. Створення консольних додатків. Обробка розгалужених обчислювальних процесів на мові програмування C# 31.5 KB
  Індивідуальні завдання. Дано порядковий номер факультету вивести на екран його назву. Дан порядковый номер месяца вывести на экран количество месяцев оставшихся до конца года. Дан порядковый номер дня месяца вывести на экран количество дней оставшихся до конца месяца.
37011. Команди переходів 142 KB
  Теоретична частина Команди цієї групи дозволяють міняти послідовність виконання команд програми. Команди переходів і виклику підпрограм є однією із складових процесу прийняття рішень. Команди переходів і виклику підпрограм провіряють значення розрядів регістра ознак і визначають слідуючий крок виконання програми в залежності від результату провірки.
37012. Команди виклику підпрограм і повернення з підпрограм 194 KB
  Коли здійснюється звернення до підпрограми то на початку виконання вона реалізує запамятовування поточного значення лічильника команд точка повернення. Коли виконання підпрограми закінчується то за допомогою команди повернення мікропроцесору вказується що початкове значення лічильника команд потрібно взяти з памяті. Для запамятовування точки повернення використовується стек куди записується адреса команди слідуюча за адресою команди виклику підпрограми. Безумовний виклик підпрограми При виконанні даної команди виклик підпрограми...
37013. НЕПРЯМЕ ВИМІРЮВАННЯ ОПОРУ РЕЗИСТОРА З ВИКОРИСТАННЯМ АМПЕРМЕТРА І ВОЛЬТМЕТРА 54 KB
  Схема підключення амперметра і вольтметра при вимірюванні опору; а метод вольтметра б метод амперметра. Вимірювальний опір визначається із формули: Rx = U U Ix = U Ixr Ix 1 Таким чином чим більший опір амперметра тим більша похибка вимірювання. Точність вимірювання при цьому методі буде визначатись сумою похибок амперметра і вольтметра.