22919

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь (метод виключення змінних)

Доклад

Математика и математический анализ

Отже за теоремою Крамера система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Система має нескінчену кількість розв’язків змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні.

Украинкский

2013-08-04

84.5 KB

0 чел.

Метод Гауса розв’язання систем лінійних рівнянь  (метод виключення змінних)

Припустимо, дана система лінійних рівнянь

----------------------------

Складаємо розширену матрицю системи

.

Метод Гауса зручно викласти, користуючись розширеною матрицею системи. Позначимо рядки матриці a1,a2,…,am..

Можна вважати, що в першому стовпчику матриці є деякий ненульовий елемент (інакше в системі немає змінної x1). Можна також вважати. Що a11≠0  (інакше можна, переставити рядки матриці так, щоб ця умова виконалась). Тоді можна виключити змінну x1  з усіх рівнянь крім першого. Для цього від другого рядка матриці віднімається перший, домножений на число  .  Одержуємо рядок   . Далі від третього рядка віднімається перший, домножений на . Одержуємо рядок . Продовжуючи цей процес виключення, нарешті, від m-го рядка віднімемо перший, домножений на  . Одержуємо рядок  .

    Можливо, що в результаті виконання  цього процес виключення, з усіх рівнянь системи, крім першого, разом зі міною x1 виключається ще кілька змінних. Тому для визначеності будемо вважати, що першою змінною, що залишається у цих рівнянь, є зміна xj (j≥2)..  Отже, одержуємо розширену матрицю.

     Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки). Тоді можна виключити зміну xj з усіх рівнянь, починаючі з третього.

     І так далі. Якщо при виконані процесу виключення з’являється  нульовий рядок, то він викреслюється. Процес завершується у двох випадках.

     1. Одержуємо рядок, якій відповідає рівням вигляду

0 x1+0 x2+…+0 xn=c, де c≠0. Тоді система несумісна.

      2. Виключення змінних далі стає неможливим. При цьому можливі два варіанти.

1) число ненульових рядків заключної матриці дорівнює числу змінних.

Тобто, розширена матриця має вигляд

,

причому  γ11≠0, γ22≠0,…, γnn≠0.Матриця відповідає системі

В цьому випадку система зведена до трикутного вигляду. Заключна система рівнянь квадратна. ЇЇ головний визначник:

.

Отже, за теоремою Крамера, система має єдиний розв’язок. Але на практиці цей  розв’язок зручніше знаходити не за формулами Крамера. Для цього існує процес, який називається оберненим ходом метода Гауса.

З останнього рівняння знаходиться значення змінної xn:


Далі це значення підставляється в попереднє рівняння і знаходиться значення змінної xn-1 і так далі.

2) число ненульових рядків заключної матриці менше числа змінних.

Тобто заключна матриця має вигляд

,

де , γ2j≠0,…,γrk≠0. Матриця відповідає системі

                     

-----------------------------------------------

                                   

В цьому випадку кажуть, що система зведена до трапецеїдального вигляду. Система має нескінчену кількість розв’язків, змінні системи діляться на дві частини – базисні та вільні змінні. Базисними зручно вважати змінні, які відповідають першим ненульовим елементам в рядках заключної матриці. В нашому випадку такими змінними є x1,xj,…,xk. Решта змінних вважається вільними. Рівняння системи переписується так, що в їх лівих частинах залишаються тільки базисні змінні, а вільні переносяться  в праві частини. Далі процесом, аналогічним оберненому ходу метода Гауса одержується залежність базисних змінних від вільних. Такі залежності називаються загальним розв’язком системи лінійних рівнянь. Загальний розв’язок описує всі розв’язки системи. Якщо замість вільних змінних підставляти будь-які набори чисел і за формулами загального розв’язку обчислювати при цьому значення базисних змінних, можна одержати всі розв’язки системи лінійних рівнянь. При цьому кожний окремий розв’язок системи називається частковим.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

42767. Форматирование абзацев и всего документа 1007 KB
  Основные поля страницы Абзац в MS Word представляет собой последовательность символов заканчивающаяся символом конец абзаца. Форматирование абзацев Под форматированием абзаца будем понимать определение следующих характеристик данного объекта: а вид абзаца: задание отступов левого и правого краев абзаца от границы области текста; определение отступа красной строки от границы области текста; задание межстрочных интервалов; выравнивание текста абзаца; дополнительного оформления абзаца: цвета границы списочные метки и др. б определение...
42768. Інформатика. Лабораторний практикум 2.9 MB
  Комплекс лабораторних робіт призначений для оволодіння і засвоєння знань студентами з дисципліни “ Інформатика та програмування ”. Дисципліну читають у двох семестрах. В першому семестрі в лабораторних роботах у студентів формуються тверді знання про загальні принципи побудови і закони функціонування обчислювальної техніки, структури програмного забезпечення сучасних комп’ютерів, операційної системи Windows, розглядаються алгоритми розв’язку математичних та інженерних задач та їх реалізація засобами алгоритмічної мови Turbo Pascal.
42770. Розрахунок фізичних властивостей вільного та супутнього вуглеводневих газів одного з родовищ України за їх компонентним складом 1.97 MB
  Процес експлуатації нафтових і газових свердловин вимагає виконання низки розрахунків фізичних властивостей компонентів, що видобуваються, які істотно залежать від термобаричних умов, за яких вони знаходяться.
42771. Технология производства и характеристики качества стального гнутого швеллера 100x80x3,0мм из стали марки Ст3пс 391.61 KB
  В наибольшей степени этим требованиям соответствуют стальные конструкции выполненные из холодногнутых профилей ХГП так как данный вид профилей обладает широкими конструктивными достоинствами: высокая точность размеров хорошее качество поверхности повышенное сопротивление различного рода нагрузкам обеспечивают преимущества холодногнутых профилей перед горячекатаными. Одной из разновидностью сортовых гнутых профилей является швеллер. Механические свойства гнутых профилей определяют на заготовке в соответствии с ГОСТ 16523[10]. На...
42772. ТРАНСПОРТНЫЙ НАЛОГ: ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА И ОСОБЕННОСТИ ИСЧИСЛЕНИЯ И ВЗИМАНИЯ С ФИЗИЧЕСКИХ ЛИЦ НА ТЕРРИТОРИИ ИРКУТСКОЙ ОБЛАСТИ 881.15 KB
  Налогоплательщики транспортного налога Объект налогообложения транспортного налога Налоговые ставки транспортного налога Транспортный налог является основным источником финансирования дорожной отрасли, и от своевременности его поступления напрямую зависят сроки и качество исполнения строительных программ
42773. Социальная реабилитация инвалидов и методика её осуществления 441.99 KB
  Сущность и содержание социальной реабилитации Основные цели и задачи социальной реабилитации Принципы социальной реабилитации Инвалиды составляют особую категорию населения, численность которой постоянно увеличивается. Мировым сообществом социальная защита инвалидов рассматривается как проблема первостепенной важности.
42774. Проектирование системы теплоснабжения промышленного предприятия 219.1 KB
  Определение количества теплоты на подогрев воды для горячего водоснабжения Выбор основного и вспомогательного оборудования системы транспорта теплоты Выбор основного и вспомогательного оборудования источника теплоты.Определение потребности в топливе для производства теплоты.