22920

Поняття підпростору

Доклад

Математика и математический анализ

1 в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. З іншого боку пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини R2. Це означає що будьякий вектор простору лінійно виражається через a1 і a2. 2 в підпросторі M існує лише лінійно незалежна система що складається з одного вектора a.

Украинкский

2013-08-04

47 KB

1 чел.

Поняття підпростору.

Підпростором в просторі Rn називається не порожня підмножина M, для якої виконуються умови:

1)  

2)    

Зрозуміло, що при будь-якому натуральному nв просторі Rn існують дві підмножини,  які задовольняють умовам простору: M1={0} і M2=Rn. Підпростори M1 і M2 будемо називати тривіальними. Підпростір M1={0}  будемо називати нульовим.

Наведемо деякі приклади підпросторів.

  1.  Припустимо n=1. Простір R1 ототожнюється з множиною R всіх дійсних чисел. Як відомо, множина  R ототожнюється з прямою лінією. Покажемо, що в просторі R1 існують лише тривіальні простори.  Якщо підпростір M простору R1 складається лише з θ, то M={0}=M1. Припустимо, що в підпросторі M міститься деякий ненульовий вектор a. За другою умовою підпростору {αa|αєR}≤M.. З іншого боку, вектор a утворює базис прямої. Тому R1={αa|αєR}. Звідси R1M. Оскільки MR1, то M=R1. Отже, підпростір M співпадає з тривіальним простором  M2=R1..
  2.  Припустимоn=2. Простір  R2 ототожнюється з площиною, причому будь-якому базису простору відповідає деяка система координат на площині. В просторі R2 існують нетривіальні підпростори. З другої умови підпростору випливає, що  θ міститься в  будь-якому підпросторі (модна взяти α=0). Нехай L - пряма на площині, що проходить через початок координат θ. Для множини L умови підпростору виконуються. Таким чином , можливі наступні випадки.

1) в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. Тоді будь-яка їх лінійна комбінація належить M. З іншого боку, пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини  R2. Це означає, що будь-який вектор простору  лінійно виражається через a1 і a2. Тому M=R2=M2.

2) в підпросторі   M існує лише лінійно незалежна система , що складається з одного вектора a. Тоді M є прямою, яка проходить через початок координат, і a- спрямовуючий вектор цієї прямої.

3)  M не містить ненульових векторів. Тоді M={θ}=M1.

3. Припустимо n=3. Підпросторами в просторі R3 є тривіальні простори M1 і M2, всі прямі, що проходять через початок координат, і всі площини, що проходять через початок координат.

Нехай M - підпростір. Система векторів a1,a2,…,am є M  називається базисом підпростору M, якщо виконуються умови:

1) вектори   a1,a2,…,am  лінійно незалежні,

2) будь-який вектор підпростору  M  лінійно виражається через a1,a2,…,am.

Доведемо деякі властивості базисів підпросторів.

  1.  В будь-якому ненульовому підпросторі простору Rn існує базис.

Доведення. Якщо M={θ}, то цей підпростір базису не має, оскільки, в ньому немає лінійно незалежних систем векторів. Нехай підпростір M містить ненульові вектори. Фіксуємо деякий ненульовий вектор a1 є M, Один ненульовий вектор утворює лінійно незалежну систему векторів. Якщо всі вектори підпростору  M лінійно виражаються через a1, то за означенням, вектор a1 утворює базис M. В супротивному випадку фіксуємо деякий вектор a2 є M, який не виражається через a1. Зрозуміло, якщо вектор a2 не виражається через a1, то a1 не виражається через a2. Тому система векторів a1,a2 лінійно незалежна.

Якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються через a1 і a2, то за означенням,  вектори a1 і a2 утворюють базис M, інакше фіксуємо вектор a3 є M, який не виражається через a1 і a2. Система векторів a1,a2,a3 лінійно незалежна, оскільки в супротивному випадку існує нетривіальна лінійна комбінація        α1a12a23a3 =θ. Якщо в цій комбінації α3≠0,  то вектор a3 можна виразити через a1  і  a2, що суперечить вибору a3, а якщо α3=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів   a1 і  a2, що суперечить їх лінійній незалежності. Знову, якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через a1,a2,a3, то система a1,a2,a3 утворює базис простору M, інакше фіксуємо вектор a1 є M, який не виражається через a1,a2,a3. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з числом векторів, більшим n, то виконуючи цей процес далі, за k кроків при  приходимо до базису простору M.

  1.  Всі базиси даного ненульового підпростору M простору Rn складаються з однакового числа векторів.

Доведення. Припустимо, системи векторів a1,a2,…,ak і b1,b2,…,bm  утворюють базиси підпростору M і km. Для визначеності нехай k>m. За умовами базису  всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через b1,b2,…,bm. Звідси всі вектори системи a1,a2,…,ak  можна виразити через систему b1,b2,…,bm. За припущенням, k>m. Тоді, за лемою про дві системи, вектори a1,a2,…,ak  лінійно залежні, що суперечить означенню базису.

Остання властивість забезпечує коректність наступного означення.

Означення. Розмірністю підпростору M простору Rn називається число векторів в його базисі. Розмірність підпростору  M позначається як dim M.

Оскільки в підпросторі M1={0}  базису немає, то вважаємо, що dim{0}=0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7343. Режимы адресации и система команд микропроцессора 143.5 KB
  Режимы адресации и система команд микропроцессора Цель работы: Изучить систему команд микропроцессора и закрепить навыки отладки программ. Программа работы Изучить систему команд и способы адресации микропроцессора Раз...
7344. Подсистема дискретного ввода/вывода 343 KB
  Подсистема дискретного ввода/вывода Цель работы: Изучить способы организации дискретного ввода/вывода, способы управления внешними устройствами, подключенными через параллельный интерфейс. Программа работы Изучить подсистем...
7345. Широкоуниверсальный фрезерный станок модели 6Р82Ш 4.93 MB
  Современные металлорежущие станки обеспечивают исключительно высокую точность обработанных деталей. Ответственны поверхности наиболее важных деталей машин и приборов обрабатывают на станках с ЧПУ с погрешностью до доли микрометров, а шероховатость поверхности при работе алмазным инструментом не превышает сотых долей микрометра.
7346. Недвижимое имущество как объект гражданских правоотношений 59.76 KB
  Предмет исследования - совокупность правовых норм, включающих особенности возникновения, осуществления и прекращения права собственности на недвижимое имущество. Цель исследования научно обосновать теоретико-прикладные положения об особенностях гражданско-правового регулирования права собственности на недвижимое имущество.
7347. Разработка технологического процесса изготовления колеса зубчатого 200 KB
  Разработка технологического процесса изготовления колеса зубчатого. Общий раздел. Характеристика детали. Конструкторский технологический анализ детали выполнен по рабочему чертежу детали. Наименование детали - колесо зубчатое. Коле...
7348. Возникновение письменности, появление документа 145 KB
  Возникновение письменности, появление документа 1. Возникновение письменности 1.1 Основные этапы развития письма Письмо прошло длинный путь развития, который охватывает период в несколько тысяч лет. Представляя собой дополнительно к звуковому ...
7349. Сетевая организация и интернет-коммуникация 590 KB
  Сетевая организация и интернет-коммуникация Сетевое предприятие: культура, институты и организации информациональной экономики Введение Как и все исторически отчетливые формы производства, информациональная экономика характеризуется своей специфичес...
7350. Магнетизм как релятивистский эффект 91 KB
  Тема: Магнетизм как релятивистский эффект Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Движение заряженных частиц в магнитном поле...
7351. Доказательство. Основы теории спора 172.5 KB
  Доказательство. Основы теории спора В предыдущих разделах Вы рассмотрели и, надеюсь, освоили основные формы, в которых осуществляется наше мышление. Это очень важно. Но, увы, оказывается, что для правильной организации живого процесса интеллектуальн...