22920

Поняття підпростору

Доклад

Математика и математический анализ

1 в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. З іншого боку пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини R2. Це означає що будьякий вектор простору лінійно виражається через a1 і a2. 2 в підпросторі M існує лише лінійно незалежна система що складається з одного вектора a.

Украинкский

2013-08-04

47 KB

1 чел.

Поняття підпростору.

Підпростором в просторі Rn називається не порожня підмножина M, для якої виконуються умови:

1)  

2)    

Зрозуміло, що при будь-якому натуральному nв просторі Rn існують дві підмножини,  які задовольняють умовам простору: M1={0} і M2=Rn. Підпростори M1 і M2 будемо називати тривіальними. Підпростір M1={0}  будемо називати нульовим.

Наведемо деякі приклади підпросторів.

  1.  Припустимо n=1. Простір R1 ототожнюється з множиною R всіх дійсних чисел. Як відомо, множина  R ототожнюється з прямою лінією. Покажемо, що в просторі R1 існують лише тривіальні простори.  Якщо підпростір M простору R1 складається лише з θ, то M={0}=M1. Припустимо, що в підпросторі M міститься деякий ненульовий вектор a. За другою умовою підпростору {αa|αєR}≤M.. З іншого боку, вектор a утворює базис прямої. Тому R1={αa|αєR}. Звідси R1M. Оскільки MR1, то M=R1. Отже, підпростір M співпадає з тривіальним простором  M2=R1..
  2.  Припустимоn=2. Простір  R2 ототожнюється з площиною, причому будь-якому базису простору відповідає деяка система координат на площині. В просторі R2 існують нетривіальні підпростори. З другої умови підпростору випливає, що  θ міститься в  будь-якому підпросторі (модна взяти α=0). Нехай L - пряма на площині, що проходить через початок координат θ. Для множини L умови підпростору виконуються. Таким чином , можливі наступні випадки.

1) в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. Тоді будь-яка їх лінійна комбінація належить M. З іншого боку, пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини  R2. Це означає, що будь-який вектор простору  лінійно виражається через a1 і a2. Тому M=R2=M2.

2) в підпросторі   M існує лише лінійно незалежна система , що складається з одного вектора a. Тоді M є прямою, яка проходить через початок координат, і a- спрямовуючий вектор цієї прямої.

3)  M не містить ненульових векторів. Тоді M={θ}=M1.

3. Припустимо n=3. Підпросторами в просторі R3 є тривіальні простори M1 і M2, всі прямі, що проходять через початок координат, і всі площини, що проходять через початок координат.

Нехай M - підпростір. Система векторів a1,a2,…,am є M  називається базисом підпростору M, якщо виконуються умови:

1) вектори   a1,a2,…,am  лінійно незалежні,

2) будь-який вектор підпростору  M  лінійно виражається через a1,a2,…,am.

Доведемо деякі властивості базисів підпросторів.

  1.  В будь-якому ненульовому підпросторі простору Rn існує базис.

Доведення. Якщо M={θ}, то цей підпростір базису не має, оскільки, в ньому немає лінійно незалежних систем векторів. Нехай підпростір M містить ненульові вектори. Фіксуємо деякий ненульовий вектор a1 є M, Один ненульовий вектор утворює лінійно незалежну систему векторів. Якщо всі вектори підпростору  M лінійно виражаються через a1, то за означенням, вектор a1 утворює базис M. В супротивному випадку фіксуємо деякий вектор a2 є M, який не виражається через a1. Зрозуміло, якщо вектор a2 не виражається через a1, то a1 не виражається через a2. Тому система векторів a1,a2 лінійно незалежна.

Якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються через a1 і a2, то за означенням,  вектори a1 і a2 утворюють базис M, інакше фіксуємо вектор a3 є M, який не виражається через a1 і a2. Система векторів a1,a2,a3 лінійно незалежна, оскільки в супротивному випадку існує нетривіальна лінійна комбінація        α1a12a23a3 =θ. Якщо в цій комбінації α3≠0,  то вектор a3 можна виразити через a1  і  a2, що суперечить вибору a3, а якщо α3=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів   a1 і  a2, що суперечить їх лінійній незалежності. Знову, якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через a1,a2,a3, то система a1,a2,a3 утворює базис простору M, інакше фіксуємо вектор a1 є M, який не виражається через a1,a2,a3. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з числом векторів, більшим n, то виконуючи цей процес далі, за k кроків при  приходимо до базису простору M.

  1.  Всі базиси даного ненульового підпростору M простору Rn складаються з однакового числа векторів.

Доведення. Припустимо, системи векторів a1,a2,…,ak і b1,b2,…,bm  утворюють базиси підпростору M і km. Для визначеності нехай k>m. За умовами базису  всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через b1,b2,…,bm. Звідси всі вектори системи a1,a2,…,ak  можна виразити через систему b1,b2,…,bm. За припущенням, k>m. Тоді, за лемою про дві системи, вектори a1,a2,…,ak  лінійно залежні, що суперечить означенню базису.

Остання властивість забезпечує коректність наступного означення.

Означення. Розмірністю підпростору M простору Rn називається число векторів в його базисі. Розмірність підпростору  M позначається як dim M.

Оскільки в підпросторі M1={0}  базису немає, то вважаємо, що dim{0}=0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36878. Определение ёмкости конденсаторов измерительным мостиком Соти 85 KB
  Тема: Определение ёмкости конденсаторов измерительным мостиком Соти. Цель работы: измерение теплоёмкостей двух конденсаторов проверка закона последовательного и параллельного соединения конденсаторов. Пусть Δφ1 Δφ2 мгновенные значения напряжений на обкладках конденсаторов а ΔφN ΔφNB мгновенные значения напряжений на сопротивлениях R1 R2.
36880. Определение заряда иона водорода 63.5 KB
  Тема: Определение заряда иона водорода. Цель работы: изучить прохождение тока в электролитах определить заряд иона водорода оценить погрешность данного метода определения заряда иона водорода и ознакомиться с явлением наводораживания металлов. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Для определения заряда иона водорода можно использовать прохождение тока в электролитах явление электролиза.
36882. Word: Ввод и редактирование текста. Операции с фрагментами текста 99 KB
  ввод пробела: при нажатии клавиши Пробел вводится занимающий определенное место в строке символ пробела; наличие или отсутствие пробела в конце строки может быть определено при нажатии на кнопку Непечатаемые знаки на Стандартной панели инструментов в правой стороне; Введите в расположенной ниже строке по одному пробелу между цифрами 1 и 2 и еще три пробела в конце строки. Ввод пробелов: 1111122222311112222311122231122313 Отобразите на экране символы пробела абзаца разрыва строки нажатием на кнопку Непечатаемые знаки на Стандартной панели...
36883. Визначення відношення теплоємності повітря при постійному тиску до теплоємності повітря при постійному об’ємі 544 KB
  Визначення відношення теплоємності повітря при постійному тиску до теплоємності повітря при постійному обємі. Якщо у балон зєднаний з відкритим водяним манометром накачати повітря і зачекати встановлення теплової рівноваги повітря в балоні з навколишнім середовищем то в цьому початковому стані 1 газ має параметри причому температура газу в балоні дорівнює температурі навколишнього середовища а тиск трохи більший від атмосферного. Якщо тепер на короткий час зєднати балон з атмосферою то станеться адіабатичне розширення повітря....
36884. Прилади індукційної, електростатичної, термоелектричної та випрямляючої систем 301 KB
  Прилади індукційної системи ПРИЗНАЧЕННЯ Й ОБЛАСТЬ ЗАСТОСУВАННЯ Електровимірювальні прилади індукційної системи призначаються для вимірювання електричних величин тільки в ланцюгах змінного струму. Причому на відміну від приладів змінного струму інших систем індукційні прилади можуть бути застосовані в ланцюгах з однією певною частотою і незначна зміна цієї частоти в ту або іншу сторону від номінальної спричиняє більші погрішності показань. У цей час із числа індукційних приладів наші заводи виготовляють тільки лічильники електричної енергії...
36885. Ознайомлення з роботою програмного симулятора dScope-51 123.5 KB
  1 Запуск програми dScope відбувається в середовищі Windows з вікна програм DSW51 Після запуску на екрані монітору з`являється типове вікно Windows з строчкою заголовку вікна кнопками системного меню згортання мінімізації та розгортання. За допомогою команда меню View Вид викликаються робочі вікна: Toolbr дозволяють підключати в вікно програми лінійку кнопкових перемикачів прискореного доступу до певних команд та вікон. Sttus Br дозволяють підключати в вікно програми лінійку статусу де наводиться інформація про...
36886. Прилади магнітоелектричної, електродинамічної та електромагнітної систем 229 KB
  Мета роботи: Вивчення будови принципу дії приладів магнітоелектричної електродинамічної та електромагнітної системи та методами їх використання. Завдання: Ознайомитись з призначенням та областю використання приладів магнітоелектричної електродинамічної та електромагнітної систем. Вивчити принцип дії приладів та методику їх використання. Ознайомитись із властивостями та технічними характеристиками приладів.