22920

Поняття підпростору

Доклад

Математика и математический анализ

1 в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. З іншого боку пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини R2. Це означає що будьякий вектор простору лінійно виражається через a1 і a2. 2 в підпросторі M існує лише лінійно незалежна система що складається з одного вектора a.

Украинкский

2013-08-04

47 KB

1 чел.

Поняття підпростору.

Підпростором в просторі Rn називається не порожня підмножина M, для якої виконуються умови:

1)  

2)    

Зрозуміло, що при будь-якому натуральному nв просторі Rn існують дві підмножини,  які задовольняють умовам простору: M1={0} і M2=Rn. Підпростори M1 і M2 будемо називати тривіальними. Підпростір M1={0}  будемо називати нульовим.

Наведемо деякі приклади підпросторів.

  1.  Припустимо n=1. Простір R1 ототожнюється з множиною R всіх дійсних чисел. Як відомо, множина  R ототожнюється з прямою лінією. Покажемо, що в просторі R1 існують лише тривіальні простори.  Якщо підпростір M простору R1 складається лише з θ, то M={0}=M1. Припустимо, що в підпросторі M міститься деякий ненульовий вектор a. За другою умовою підпростору {αa|αєR}≤M.. З іншого боку, вектор a утворює базис прямої. Тому R1={αa|αєR}. Звідси R1M. Оскільки MR1, то M=R1. Отже, підпростір M співпадає з тривіальним простором  M2=R1..
  2.  Припустимоn=2. Простір  R2 ототожнюється з площиною, причому будь-якому базису простору відповідає деяка система координат на площині. В просторі R2 існують нетривіальні підпростори. З другої умови підпростору випливає, що  θ міститься в  будь-якому підпросторі (модна взяти α=0). Нехай L - пряма на площині, що проходить через початок координат θ. Для множини L умови підпростору виконуються. Таким чином , можливі наступні випадки.

1) в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. Тоді будь-яка їх лінійна комбінація належить M. З іншого боку, пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини  R2. Це означає, що будь-який вектор простору  лінійно виражається через a1 і a2. Тому M=R2=M2.

2) в підпросторі   M існує лише лінійно незалежна система , що складається з одного вектора a. Тоді M є прямою, яка проходить через початок координат, і a- спрямовуючий вектор цієї прямої.

3)  M не містить ненульових векторів. Тоді M={θ}=M1.

3. Припустимо n=3. Підпросторами в просторі R3 є тривіальні простори M1 і M2, всі прямі, що проходять через початок координат, і всі площини, що проходять через початок координат.

Нехай M - підпростір. Система векторів a1,a2,…,am є M  називається базисом підпростору M, якщо виконуються умови:

1) вектори   a1,a2,…,am  лінійно незалежні,

2) будь-який вектор підпростору  M  лінійно виражається через a1,a2,…,am.

Доведемо деякі властивості базисів підпросторів.

  1.  В будь-якому ненульовому підпросторі простору Rn існує базис.

Доведення. Якщо M={θ}, то цей підпростір базису не має, оскільки, в ньому немає лінійно незалежних систем векторів. Нехай підпростір M містить ненульові вектори. Фіксуємо деякий ненульовий вектор a1 є M, Один ненульовий вектор утворює лінійно незалежну систему векторів. Якщо всі вектори підпростору  M лінійно виражаються через a1, то за означенням, вектор a1 утворює базис M. В супротивному випадку фіксуємо деякий вектор a2 є M, який не виражається через a1. Зрозуміло, якщо вектор a2 не виражається через a1, то a1 не виражається через a2. Тому система векторів a1,a2 лінійно незалежна.

Якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються через a1 і a2, то за означенням,  вектори a1 і a2 утворюють базис M, інакше фіксуємо вектор a3 є M, який не виражається через a1 і a2. Система векторів a1,a2,a3 лінійно незалежна, оскільки в супротивному випадку існує нетривіальна лінійна комбінація        α1a12a23a3 =θ. Якщо в цій комбінації α3≠0,  то вектор a3 можна виразити через a1  і  a2, що суперечить вибору a3, а якщо α3=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів   a1 і  a2, що суперечить їх лінійній незалежності. Знову, якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через a1,a2,a3, то система a1,a2,a3 утворює базис простору M, інакше фіксуємо вектор a1 є M, який не виражається через a1,a2,a3. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з числом векторів, більшим n, то виконуючи цей процес далі, за k кроків при  приходимо до базису простору M.

  1.  Всі базиси даного ненульового підпростору M простору Rn складаються з однакового числа векторів.

Доведення. Припустимо, системи векторів a1,a2,…,ak і b1,b2,…,bm  утворюють базиси підпростору M і km. Для визначеності нехай k>m. За умовами базису  всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через b1,b2,…,bm. Звідси всі вектори системи a1,a2,…,ak  можна виразити через систему b1,b2,…,bm. За припущенням, k>m. Тоді, за лемою про дві системи, вектори a1,a2,…,ak  лінійно залежні, що суперечить означенню базису.

Остання властивість забезпечує коректність наступного означення.

Означення. Розмірністю підпростору M простору Rn називається число векторів в його базисі. Розмірність підпростору  M позначається як dim M.

Оскільки в підпросторі M1={0}  базису немає, то вважаємо, що dim{0}=0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

43. Використання виховних заходів в навчальному закладі 144.5 KB
  За допомогою психолого-педагогічного досвіду студент-практикант надав можливість відкритися учасникам творчо, проявити себе з кращої сторони. Свято закоханих сердець, родини та краси, як приклади проведення массових заходів.
44. Організація міжнародних перевезень та митні транспортні тарифи 143.5 KB
  Організація роботи прикордонних залізничних станцій. Характеристика прикордонних переходів. Види митного контролю. Розрахунки тарифу та додаткових зборів у внутрішньому сполученні. Наявність потужного транспортного потенціалу, сучасних транспортних засобів.
45. Шкільна гігієна середньої загальноосвітньої школи №23 міста Тернополя 154 KB
  Санітарно-гігієнічні вимоги до планування, благоустрою, експлуатації загальноосвітніх шкіл. Гігієнічна оцінка фізичного розвитку і стану здоров`я учнів. Санітарний стан шкільної ділянки в цілому добрий.
46. Проблемы инновационного развития России на современном этапе 185 KB
  Теоретические основы инновационного развития страны, Российский опыт экономического развития. Основные направления развития инновационного бизнеса в России на современном этапе. Определение оптимальной модели дальнейшего развития страны.
47. Технология грузовой и коммерческой работы и экспедирование 164.44 KB
  Основные показатели работы грузовой станции и путей необщего пользования, техническое оснащение грузовых складов станций и путей необщего пользования, выбор оптимального варианта комплексной механизации погрузо-разгрузочных работ.
48. Вирішення проблеми паління, вживання алкоголю та наркотичних речовин серед сучасної молоді засобами морального виховання 205.5 KB
  Створення технології, спрямованої на подолання та запобігання шкідливих звичок (ШЗ) (алкоголізм, тютюнопаління, наркоманія). активне використання методів стимулювання з метою регулювання, коригування та стимулювання діяльності та поведінки вихованців.
49. Оформлення каталогу творчих робіт на тему: Моделювання та макетування 287.5 KB
  Технології виготовлення аплікації, історичні відомості, система орієнтування, оздоблення акцидентними шрифтами. використання каталогів для рекламних та ознайомчих, інформаційних цілей, підготовка та вибір матеріалів до друку.
50. Securities exchange. Most common and most unrestricted type of bank 304 KB
  Most common and most unrestricted type of bank, allowed the most latitude in its services and investments are called, despite the measures taken last year to cut their risky investments and the overall size of their portfolios.
51. История создания и специфика работы пистолета-пулемета Томпсона 533.92 KB
  Томми-ган, автомат Томпсона, пистолет-пулемет Томпсона, чикагское пианино, траншейная метла, дьявольская машина смерти и даже двигатель торговли – все это названия самого гангстерского в мире оружия, которое стало символом американских гангстерских воин и хорошо зарекомендовало себя на полях сражений.