22920

Поняття підпростору

Доклад

Математика и математический анализ

1 в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. З іншого боку пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини R2. Це означає що будьякий вектор простору лінійно виражається через a1 і a2. 2 в підпросторі M існує лише лінійно незалежна система що складається з одного вектора a.

Украинкский

2013-08-04

47 KB

1 чел.

Поняття підпростору.

Підпростором в просторі Rn називається не порожня підмножина M, для якої виконуються умови:

1)  

2)    

Зрозуміло, що при будь-якому натуральному nв просторі Rn існують дві підмножини,  які задовольняють умовам простору: M1={0} і M2=Rn. Підпростори M1 і M2 будемо називати тривіальними. Підпростір M1={0}  будемо називати нульовим.

Наведемо деякі приклади підпросторів.

  1.  Припустимо n=1. Простір R1 ототожнюється з множиною R всіх дійсних чисел. Як відомо, множина  R ототожнюється з прямою лінією. Покажемо, що в просторі R1 існують лише тривіальні простори.  Якщо підпростір M простору R1 складається лише з θ, то M={0}=M1. Припустимо, що в підпросторі M міститься деякий ненульовий вектор a. За другою умовою підпростору {αa|αєR}≤M.. З іншого боку, вектор a утворює базис прямої. Тому R1={αa|αєR}. Звідси R1M. Оскільки MR1, то M=R1. Отже, підпростір M співпадає з тривіальним простором  M2=R1..
  2.  Припустимоn=2. Простір  R2 ототожнюється з площиною, причому будь-якому базису простору відповідає деяка система координат на площині. В просторі R2 існують нетривіальні підпростори. З другої умови підпростору випливає, що  θ міститься в  будь-якому підпросторі (модна взяти α=0). Нехай L - пряма на площині, що проходить через початок координат θ. Для множини L умови підпростору виконуються. Таким чином , можливі наступні випадки.

1) в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. Тоді будь-яка їх лінійна комбінація належить M. З іншого боку, пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини  R2. Це означає, що будь-який вектор простору  лінійно виражається через a1 і a2. Тому M=R2=M2.

2) в підпросторі   M існує лише лінійно незалежна система , що складається з одного вектора a. Тоді M є прямою, яка проходить через початок координат, і a- спрямовуючий вектор цієї прямої.

3)  M не містить ненульових векторів. Тоді M={θ}=M1.

3. Припустимо n=3. Підпросторами в просторі R3 є тривіальні простори M1 і M2, всі прямі, що проходять через початок координат, і всі площини, що проходять через початок координат.

Нехай M - підпростір. Система векторів a1,a2,…,am є M  називається базисом підпростору M, якщо виконуються умови:

1) вектори   a1,a2,…,am  лінійно незалежні,

2) будь-який вектор підпростору  M  лінійно виражається через a1,a2,…,am.

Доведемо деякі властивості базисів підпросторів.

  1.  В будь-якому ненульовому підпросторі простору Rn існує базис.

Доведення. Якщо M={θ}, то цей підпростір базису не має, оскільки, в ньому немає лінійно незалежних систем векторів. Нехай підпростір M містить ненульові вектори. Фіксуємо деякий ненульовий вектор a1 є M, Один ненульовий вектор утворює лінійно незалежну систему векторів. Якщо всі вектори підпростору  M лінійно виражаються через a1, то за означенням, вектор a1 утворює базис M. В супротивному випадку фіксуємо деякий вектор a2 є M, який не виражається через a1. Зрозуміло, якщо вектор a2 не виражається через a1, то a1 не виражається через a2. Тому система векторів a1,a2 лінійно незалежна.

Якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються через a1 і a2, то за означенням,  вектори a1 і a2 утворюють базис M, інакше фіксуємо вектор a3 є M, який не виражається через a1 і a2. Система векторів a1,a2,a3 лінійно незалежна, оскільки в супротивному випадку існує нетривіальна лінійна комбінація        α1a12a23a3 =θ. Якщо в цій комбінації α3≠0,  то вектор a3 можна виразити через a1  і  a2, що суперечить вибору a3, а якщо α3=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів   a1 і  a2, що суперечить їх лінійній незалежності. Знову, якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через a1,a2,a3, то система a1,a2,a3 утворює базис простору M, інакше фіксуємо вектор a1 є M, який не виражається через a1,a2,a3. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з числом векторів, більшим n, то виконуючи цей процес далі, за k кроків при  приходимо до базису простору M.

  1.  Всі базиси даного ненульового підпростору M простору Rn складаються з однакового числа векторів.

Доведення. Припустимо, системи векторів a1,a2,…,ak і b1,b2,…,bm  утворюють базиси підпростору M і km. Для визначеності нехай k>m. За умовами базису  всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через b1,b2,…,bm. Звідси всі вектори системи a1,a2,…,ak  можна виразити через систему b1,b2,…,bm. За припущенням, k>m. Тоді, за лемою про дві системи, вектори a1,a2,…,ak  лінійно залежні, що суперечить означенню базису.

Остання властивість забезпечує коректність наступного означення.

Означення. Розмірністю підпростору M простору Rn називається число векторів в його базисі. Розмірність підпростору  M позначається як dim M.

Оскільки в підпросторі M1={0}  базису немає, то вважаємо, що dim{0}=0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

56409. Добірка тестових завдань для перевірки знань учнів «Я і Україна» (природознавство) 68.5 KB
  Де можна бігати на стадіоні. Чи можна їхати на підніжках ні. Коли заходиш чи входиш з автобуса не можнаштовхатися Основи здоровя по темі: Безпека вдома. Жовте світло світлофора означає: аможна рухатись; бтреба зачекати; вприготуватись до руху.
56410. Творчество Джека Лондона 17.87 KB
  Джек Лондон - американский писатель. Лондон - фамилия его отчима, разорившегося фермера. В юности переменил множество случайных профессий. В 1893 году простым матросом отправился в первое морское путешествие (к берегам Японии)
56411. ІНФОРМАЦІЙНІ ЗАСОБИ ФОРМУВАННЯ ТА УПРАВЛІННЯ ЕКОНОМІЧНОГО ПОТЕНЦІАЛУ ТОРГІВЕЛЬНОГО ПІДПРИЄМСТВА 1.93 MB
  Метою магістерської роботи є розробка теоретичних положень і практичних рекомендацій з управління стратегічним потенціалом підприємства, а також пошук інструментальних засобів експертної діагностики потенціалу торговельних підприємств.
56412. Тестирование на уроках физической культуры 58.5 KB
  В настоящее время очень часто возникает необходимость оценивания знаний освобожденных от занятий физической культурой учащихся поэтому возможность применения тестовой технологии является наиболее грамотной и рациональной.
56413. Расчет парового котла ТГМП - 314, паровой турбины К-300-240 ЛМЗ генератора ТВВ-320-2 6.34 MB
  Данный дипломный проект содержит описание и компоновку главного корпуса, зданий и сооружений на площадке ГРЭС. Приведено описание основного оборудования: парового котла ТГМП - 314, паровой турбины К-300-240 ЛМЗ генератора ТВВ-320-2. Выполнен расчёт тепловой схемы.
56414. Тестування – один із видів моніторингу якості навчальних досягнень учнів 222 KB
  Посібник містить теоретичні засади процесу створення тестів, наведені результати моніторингу якості навчальних досягнень з певної теми
56415. Використання відкритих (перспективних) тестів на уроках географії, як один із шляхів реалізації державних вимог до рівня загальноосвітньої підготовки учнів 79.5 KB
  На сучасному етапі розвитку географічної освіти в Україні вчителі географії все більше замислюються над тим як на більш високому рівні забезпечити засвоєння державних вимог до рівня загальноосвітньої підготовки учнів. Крім того суттєво змінюється ставлення учнів та їх батьків до шкільної освіти.
56416. Psychological Tests 72.5 KB
  Objectives: to get more information about IQ and EQ tests to develop listening, speaking and writing skills to revise vocabulary to promote intellectual curiosity to teach operating computer to teach speech etiquette to teach work in groups
56417. Внедрени новых композиционных материалов на основе карбонитрида титана на ЗАО «Чудовоагрохимсервис» для повышения качества услуг по ремонту сельхозтехники 1.11 MB
  Благодаря использованию существующего в настоящее время оборудованию, материалов и технологий газотермического напыления, стало возможным значительно снизить или исключить влияние таких факторов, как эрозия, коррозия (в том числе высокотемпературная), кавитация и другие на изнашивание деталей.