22920

Поняття підпростору

Доклад

Математика и математический анализ

1 в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. З іншого боку пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини R2. Це означає що будьякий вектор простору лінійно виражається через a1 і a2. 2 в підпросторі M існує лише лінійно незалежна система що складається з одного вектора a.

Украинкский

2013-08-04

47 KB

1 чел.

Поняття підпростору.

Підпростором в просторі Rn називається не порожня підмножина M, для якої виконуються умови:

1)  

2)    

Зрозуміло, що при будь-якому натуральному nв просторі Rn існують дві підмножини,  які задовольняють умовам простору: M1={0} і M2=Rn. Підпростори M1 і M2 будемо називати тривіальними. Підпростір M1={0}  будемо називати нульовим.

Наведемо деякі приклади підпросторів.

  1.  Припустимо n=1. Простір R1 ототожнюється з множиною R всіх дійсних чисел. Як відомо, множина  R ототожнюється з прямою лінією. Покажемо, що в просторі R1 існують лише тривіальні простори.  Якщо підпростір M простору R1 складається лише з θ, то M={0}=M1. Припустимо, що в підпросторі M міститься деякий ненульовий вектор a. За другою умовою підпростору {αa|αєR}≤M.. З іншого боку, вектор a утворює базис прямої. Тому R1={αa|αєR}. Звідси R1M. Оскільки MR1, то M=R1. Отже, підпростір M співпадає з тривіальним простором  M2=R1..
  2.  Припустимоn=2. Простір  R2 ототожнюється з площиною, причому будь-якому базису простору відповідає деяка система координат на площині. В просторі R2 існують нетривіальні підпростори. З другої умови підпростору випливає, що  θ міститься в  будь-якому підпросторі (модна взяти α=0). Нехай L - пряма на площині, що проходить через початок координат θ. Для множини L умови підпростору виконуються. Таким чином , можливі наступні випадки.

1) в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. Тоді будь-яка їх лінійна комбінація належить M. З іншого боку, пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини  R2. Це означає, що будь-який вектор простору  лінійно виражається через a1 і a2. Тому M=R2=M2.

2) в підпросторі   M існує лише лінійно незалежна система , що складається з одного вектора a. Тоді M є прямою, яка проходить через початок координат, і a- спрямовуючий вектор цієї прямої.

3)  M не містить ненульових векторів. Тоді M={θ}=M1.

3. Припустимо n=3. Підпросторами в просторі R3 є тривіальні простори M1 і M2, всі прямі, що проходять через початок координат, і всі площини, що проходять через початок координат.

Нехай M - підпростір. Система векторів a1,a2,…,am є M  називається базисом підпростору M, якщо виконуються умови:

1) вектори   a1,a2,…,am  лінійно незалежні,

2) будь-який вектор підпростору  M  лінійно виражається через a1,a2,…,am.

Доведемо деякі властивості базисів підпросторів.

  1.  В будь-якому ненульовому підпросторі простору Rn існує базис.

Доведення. Якщо M={θ}, то цей підпростір базису не має, оскільки, в ньому немає лінійно незалежних систем векторів. Нехай підпростір M містить ненульові вектори. Фіксуємо деякий ненульовий вектор a1 є M, Один ненульовий вектор утворює лінійно незалежну систему векторів. Якщо всі вектори підпростору  M лінійно виражаються через a1, то за означенням, вектор a1 утворює базис M. В супротивному випадку фіксуємо деякий вектор a2 є M, який не виражається через a1. Зрозуміло, якщо вектор a2 не виражається через a1, то a1 не виражається через a2. Тому система векторів a1,a2 лінійно незалежна.

Якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються через a1 і a2, то за означенням,  вектори a1 і a2 утворюють базис M, інакше фіксуємо вектор a3 є M, який не виражається через a1 і a2. Система векторів a1,a2,a3 лінійно незалежна, оскільки в супротивному випадку існує нетривіальна лінійна комбінація        α1a12a23a3 =θ. Якщо в цій комбінації α3≠0,  то вектор a3 можна виразити через a1  і  a2, що суперечить вибору a3, а якщо α3=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів   a1 і  a2, що суперечить їх лінійній незалежності. Знову, якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через a1,a2,a3, то система a1,a2,a3 утворює базис простору M, інакше фіксуємо вектор a1 є M, який не виражається через a1,a2,a3. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з числом векторів, більшим n, то виконуючи цей процес далі, за k кроків при  приходимо до базису простору M.

  1.  Всі базиси даного ненульового підпростору M простору Rn складаються з однакового числа векторів.

Доведення. Припустимо, системи векторів a1,a2,…,ak і b1,b2,…,bm  утворюють базиси підпростору M і km. Для визначеності нехай k>m. За умовами базису  всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через b1,b2,…,bm. Звідси всі вектори системи a1,a2,…,ak  можна виразити через систему b1,b2,…,bm. За припущенням, k>m. Тоді, за лемою про дві системи, вектори a1,a2,…,ak  лінійно залежні, що суперечить означенню базису.

Остання властивість забезпечує коректність наступного означення.

Означення. Розмірністю підпростору M простору Rn називається число векторів в його базисі. Розмірність підпростору  M позначається як dim M.

Оскільки в підпросторі M1={0}  базису немає, то вважаємо, що dim{0}=0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64925. Визначення характеристик міцності конструкційних сталей методом індентування 21.48 MB
  Для проведення розрахунків на міцність при прогнозуванні залишкового ресурсу, визначення технічного стану і обґрунтування можливого продовження термінів експлуатації відповідальних елементів конструкцій, що працюють в умовах термосилового навантаження, необхідно визначати...
64926. Багатокритеріальний вибір найвигіднішого варіанту технологічного процесу обробки деталей типу тіл обертання 21.02 MB
  Згідно з типовими маршрутами обробки та в залежності від конструктивно-технологічних особливостей і величини виробничої партії тіла обертання можуть оброблятися на різних типах токарних фрезерних свердлильних та шліфувальних верстатів як з ручним керуванням так і з ЧПК що призводить...
64927. ОТКЛОНЕНИЯ ОТ КАНОНОВ ИСЛАМА В ЗОЛОТООРДЫНСКИХ ПОГРЕБЕНИЯХ 129.55 KB
  Для этоого мы сравним захоронения из могильников оставленных оседлым населением с территории Селитренного городища в Астраханской области раскопки разных лет Поволжской археологической экспедиции под руководством Г. Всего в базе данных находилось 637 погребений 494 погребения с могильников Селитренного городища...
64928. Мифологическая семантика в зачинах монгольского эпоса 145 KB
  Вот как выглядит этот зачин в наших записях восточно-монгольской джарутской традиции: Песнь о сражении Гесера с Гилбн Шар Когда мир нашей кальпы едва начинался Когда исполненная блаженства гора Сумеру была холмом Когда сандаловое дерево Кальпаврикша было кустом Когда Гангарека...
64931. Источниковедение Кыргызстана (с древности до конца XIX в.) 132.5 KB
  После установления военно-политического господства монголов в Центральной Азии империя Чингизхана была разделена между его сыновьями. Главная орда Угедея третьего сына Чингизхана находилась в Тарбагатае на берегах Эмиля и Кабука. Следует отметить что в Средней Азии дольше чем в других завоеванных монголами странах сохранилась система государственного...
64932. ХАНСКАЯ ВЛАСТЬ И УЛУСНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ В ГОСУДАРСТВЕ ЧАГАТАИДОВ 99 KB
  После установления военно-политического господства монголов в Центральной Азии империя Чингизхана была разделена между его сыновьями. Главная орда Угедеятретьего сына Чингизхана находилась в Тарбагатае на берегах Эмиля и Кабука. Следует отметить что в Средней Азии дольше чем в других завоеванных монголами странах сохранилась система государственного устройства...
64933. «МОНГОЛЫ» И ЧИНГИСХАН 70.5 KB
  Предлагаемая статья является не столько результатом сколько проектом исследования направленного на изучение начального этапа этно культуро и политогенеза общности сформированной Чингисханом и известной в истории под именем монголы.