22920

Поняття підпростору

Доклад

Математика и математический анализ

1 в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. З іншого боку пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини R2. Це означає що будьякий вектор простору лінійно виражається через a1 і a2. 2 в підпросторі M існує лише лінійно незалежна система що складається з одного вектора a.

Украинкский

2013-08-04

47 KB

1 чел.

Поняття підпростору.

Підпростором в просторі Rn називається не порожня підмножина M, для якої виконуються умови:

1)  

2)    

Зрозуміло, що при будь-якому натуральному nв просторі Rn існують дві підмножини,  які задовольняють умовам простору: M1={0} і M2=Rn. Підпростори M1 і M2 будемо називати тривіальними. Підпростір M1={0}  будемо називати нульовим.

Наведемо деякі приклади підпросторів.

  1.  Припустимо n=1. Простір R1 ототожнюється з множиною R всіх дійсних чисел. Як відомо, множина  R ототожнюється з прямою лінією. Покажемо, що в просторі R1 існують лише тривіальні простори.  Якщо підпростір M простору R1 складається лише з θ, то M={0}=M1. Припустимо, що в підпросторі M міститься деякий ненульовий вектор a. За другою умовою підпростору {αa|αєR}≤M.. З іншого боку, вектор a утворює базис прямої. Тому R1={αa|αєR}. Звідси R1M. Оскільки MR1, то M=R1. Отже, підпростір M співпадає з тривіальним простором  M2=R1..
  2.  Припустимоn=2. Простір  R2 ототожнюється з площиною, причому будь-якому базису простору відповідає деяка система координат на площині. В просторі R2 існують нетривіальні підпростори. З другої умови підпростору випливає, що  θ міститься в  будь-якому підпросторі (модна взяти α=0). Нехай L - пряма на площині, що проходить через початок координат θ. Для множини L умови підпростору виконуються. Таким чином , можливі наступні випадки.

1) в підпросторі M існують два лінійно незалежні вектори a1 і a2. Тоді будь-яка їх лінійна комбінація належить M. З іншого боку, пара лінійно незалежних векторів утворює базис площини  R2. Це означає, що будь-який вектор простору  лінійно виражається через a1 і a2. Тому M=R2=M2.

2) в підпросторі   M існує лише лінійно незалежна система , що складається з одного вектора a. Тоді M є прямою, яка проходить через початок координат, і a- спрямовуючий вектор цієї прямої.

3)  M не містить ненульових векторів. Тоді M={θ}=M1.

3. Припустимо n=3. Підпросторами в просторі R3 є тривіальні простори M1 і M2, всі прямі, що проходять через початок координат, і всі площини, що проходять через початок координат.

Нехай M - підпростір. Система векторів a1,a2,…,am є M  називається базисом підпростору M, якщо виконуються умови:

1) вектори   a1,a2,…,am  лінійно незалежні,

2) будь-який вектор підпростору  M  лінійно виражається через a1,a2,…,am.

Доведемо деякі властивості базисів підпросторів.

  1.  В будь-якому ненульовому підпросторі простору Rn існує базис.

Доведення. Якщо M={θ}, то цей підпростір базису не має, оскільки, в ньому немає лінійно незалежних систем векторів. Нехай підпростір M містить ненульові вектори. Фіксуємо деякий ненульовий вектор a1 є M, Один ненульовий вектор утворює лінійно незалежну систему векторів. Якщо всі вектори підпростору  M лінійно виражаються через a1, то за означенням, вектор a1 утворює базис M. В супротивному випадку фіксуємо деякий вектор a2 є M, який не виражається через a1. Зрозуміло, якщо вектор a2 не виражається через a1, то a1 не виражається через a2. Тому система векторів a1,a2 лінійно незалежна.

Якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються через a1 і a2, то за означенням,  вектори a1 і a2 утворюють базис M, інакше фіксуємо вектор a3 є M, який не виражається через a1 і a2. Система векторів a1,a2,a3 лінійно незалежна, оскільки в супротивному випадку існує нетривіальна лінійна комбінація        α1a12a23a3 =θ. Якщо в цій комбінації α3≠0,  то вектор a3 можна виразити через a1  і  a2, що суперечить вибору a3, а якщо α3=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів   a1 і  a2, що суперечить їх лінійній незалежності. Знову, якщо всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через a1,a2,a3, то система a1,a2,a3 утворює базис простору M, інакше фіксуємо вектор a1 є M, який не виражається через a1,a2,a3. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з числом векторів, більшим n, то виконуючи цей процес далі, за k кроків при  приходимо до базису простору M.

  1.  Всі базиси даного ненульового підпростору M простору Rn складаються з однакового числа векторів.

Доведення. Припустимо, системи векторів a1,a2,…,ak і b1,b2,…,bm  утворюють базиси підпростору M і km. Для визначеності нехай k>m. За умовами базису  всі вектори підпростору M лінійно виражаються  через b1,b2,…,bm. Звідси всі вектори системи a1,a2,…,ak  можна виразити через систему b1,b2,…,bm. За припущенням, k>m. Тоді, за лемою про дві системи, вектори a1,a2,…,ak  лінійно залежні, що суперечить означенню базису.

Остання властивість забезпечує коректність наступного означення.

Означення. Розмірністю підпростору M простору Rn називається число векторів в його базисі. Розмірність підпростору  M позначається як dim M.

Оскільки в підпросторі M1={0}  базису немає, то вважаємо, що dim{0}=0.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

12671. Файловый менеджер Midnight Commander(MC) 73 KB
  Лабораторная работа 4 Тема: Файловый менеджер Midnight CommanderMC. Цель: Научится работать с приложением Midnight Commander. Теоретическая часть. MC файловый менеджер является практическим аналогом Norton Commander NC. Окно MC состоит из тех же элементов что и окно NC: строки меню левой и ...
12672. Norton Commander: панели, функциональные клавиши 61 KB
  Лабораторная работа №1 Тема: Norton Commander: панели функциональные клавиши. Цель: Научиться работать с программной оболочкой Norton Commander. Общие сведения. Программы оболочки позволяют для выполнения большого количества различных функций заменить набор команд нажатием...
12673. Создание файлов и каталогов в Norton Commander 52.5 KB
  Лабораторная работа №2. Тема: Создание файлов и каталогов. Цель работы: научиться выполнять операции с файлами и каталогами. Теоретическая часть. Копирование файлов и каталогов: Откройте каталог с файлами и или подкаталогами. Произведите выделение файлов ...
12674. Управляющее меню в Norton Commander 52 KB
  Лабораторная работа №3. Тема: Управляющее меню. Цель работы: Научиться пользоваться возможностями меню Norton Commander. Изучить содержание управляющего меню. Содержание работы В корневом каталоге диска D создать новый подкаталог RABOTA и в нем создать файл bo...
12675. Работа с дисками в Norton Commander 38.5 KB
  Лабораторная работа № 4 Тема: Norton Commander. Работа с дисками. Цель работы: Научиться пользоваться утилитами предназначенными для обслуживания дисков в Norton Commander. Теоретические положения Копирование дискет Для запуска утилиты копирования дискет нажмите кла
12676. Работа с архивными файлами в Norton Commander 35.5 KB
  Лабораторная работа № 5 Тема: Работа с архивными файлами. Цель работы: Научиться работать с архивными файлами в Norton Commander. Теоретические положения Работа с архивами Norton Commander позволяет работать с архивными сжатыми файлами. Сжатые файлы занимают меньше мест...
12677. Настройка Norton Commander 42.5 KB
  Лабораторная работа №7 Тема: Настройка Norton Commander. Цель работы: Научиться пользоваться утилитами предназначенными для обслуживания дисков в Norton Commander. Теоретические положения Настройка Norton Commander. Для вызова диалогового окна конфигурирования Norton Commander на...
12678. Настройка интерфейса Windows 2000 238 KB
  Лабораторная работа № 2 Тема: Настройка интерфейса Windows 2000. Цель: Научиться настраивать интерфейс операционной системы Windows 2000. Настройка Рабочего стола. Операционная система Windows создавалась разработчиками с расчетом сделать работу в ней в максимальной степени удо...
12679. Создание папок, файлов и ярлыков в Windows 2000 37.5 KB
  Лабораторная работа № 1 Тема: Создание папок файлов и ярлыков. Цель: Научиться работать с папками файлами и ярлыками. На диске D: в папке Мои документы создать структуру: Мои документы Название группы ...