22921

Однорідні системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними 1 Зрозуміло що така система рівнянь сумісна оскільки існує ненульовий розв’язок x1=0 x2=0xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним. Можна зробити висновок що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок то цей розв’язок тривіальний. Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді коли її ранг менше числа невідомих.

Украинкский

2013-08-04

49 KB

3 чел.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з  змінними

------------------------------                   (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок  x1=0, x2=0,…,xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rn .

Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.

  1.  нехай a і b - два розв’язки системи (1);  a=(λ12,…,λn), b=(γ12,…,γn). Доведемо, що a+b=(λ11, λ22,…, λnn) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в     i-те рівняння системи  (1≤im).   і є розв’язками системи , то

Звідси

Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи (). Тому    a+b є M.

  1.  нехай );  a=(λ1,λ2,…,λn), є розвязком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ1,βλ2,…,βλn) є розвязком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то

.

Звідси

.

Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го  рівняння системи (). Тому        βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.

Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rn є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

54717. Спорт у Великій Британії 53 KB
  Boys and girls, we are learning the topic “Sport”. Let`s repeat the words about sport. Have a look at the blackboard. - There are two main groups of sport. What are they? -Name winter sports. (skiing, skating, snowboarding, ice-hockey) - Name summer sports. (rugby, cricket, football, basketball, volley-ball etc.) - Have a look at the picture and say, what sport is it and is it winter or summer sport. - A good job! Thank you!
54718. Бухгалтерские и экономические издержки производства и прибыль 22.83 KB
  В основе любого экономического решения лежит ответ на вопрос: как соотнести то, что затрачивается на тот или иной проект (издержки), и то, что в результате осуществления проекта можно получить сверх понесенных затрат (прибыль)
54719. Издержки и их виды в краткосрочном периоде 24.72 KB
  Краткосрочный – это временный интервал, на протяжении которого невозможно изменить размеры производственного предприятия, принадлежащего фирме, т.е. количество постоянных затрат, осуществляемых этой фирмой
54720. Задачи на проценты 39 KB
  Образовательные: проверка оценка коррекция знаний и умений учащихся по теме урока; развивающие: развивать мышление интерес к предмету познавательную деятельность учащихся математическую речь; учить учащихся учиться математике самостоятельно добывать знания; воспитательные: воспитывать у учащихся ответственное отношение к учебному труду волю; воспитывать умение к совместной деятельности; Методы обучения: словесный деятельностный. Сколько мальчиков в школе Ответ: 192 мальчика Товар стоил 5000 р. Какова новая цена товара Ответ: 6000...
54721. Реформы государственного аппарата при Петре I 43 KB
  Продолжительность учебного занятия: 45 минут Тип учебного занятия: комбинированный Цели образовательная развивающая воспитательная и задачи учебного занятия: Обучающая: продолжить знакомство с эпохой Петра I с помощью поиска информации. Развить интерес к предмету история через исследовательскую деятельность; Воспитывающая: воспитывать у школьников чувство патриотизма; Задача учебного занятия: с помощью поиска информации доказать что новое государство было эффективнее старого; Оборудование с указанием использованного...
54722. Темперамент 85.5 KB
  Павлов Темперамент По Гиппократу Краткая характеристика Свойства Нервной системы По Павлову Выдающиеся Личности ФЛЕГМАТИК Работоспособный Малоэмоциональный Серьезный Надежный Спокойный Сильный Уравновешенный Малоподвижный Кутузов Крылов Ньютон САНГВИНИК Активный Энергичный Жизнерадостный Легкомысленный Беззаботный Сильный Уравновешенный Подвижный Наполеон ХОЛЕРИК Очень энергичный Вспыльчивый Эмоциональный Напористый Чувствительный Сильный Неуравновешенный Подвижный Петр Первый Пушкин Суворов МЕЛАНХОЛИК...
54723. Сведения о заявках бронирования. Аннуляция бронирования 143 KB
  Образовательная: Знать правила предоставления гостиничных услуг в Российской Федерации; -организацию службы бронирования; -виды и способы бронирования; -виды заявок по бронированию и действия по ним; -последовательность и технологию резервирования мест в гостинице; -состав, функции и возможности использования информационных и телекоммуникационных технологий для приема заказов; -правила заполнения бланков бронирования для индивидуалов, компаний, турагентств и операторов;...
54724. Здоровье сберегающие технологии по укреплению опорно-двигательного аппарата (осанка, плоскостопия) 116 KB
  На носках руки вверх на носках руки в стороны. на пятках руки за голову. перекат с пятки на носок руки на пояс. перекат с носка на пятку руки на пояс.