22921

Однорідні системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними 1 Зрозуміло що така система рівнянь сумісна оскільки існує ненульовий розвязок x1=0 x2=0xn=0. Цей розвязок будемо називати тривіальним. Можна зробити висновок що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розвязок то цей розвязок тривіальний. Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розвязок тоді і тільки тоді коли її ранг менше числа невідомих.

Украинкский

2013-08-04

49 KB

3 чел.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з  змінними

------------------------------                   (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок  x1=0, x2=0,…,xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rn .

Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.

  1.  нехай a і b - два розв’язки системи (1);  a=(λ12,…,λn), b=(γ12,…,γn). Доведемо, що a+b=(λ11, λ22,…, λnn) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в     i-те рівняння системи  (1≤im).   і є розв’язками системи , то

Звідси

Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи (). Тому    a+b є M.

  1.  нехай );  a=(λ1,λ2,…,λn), є розвязком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ1,βλ2,…,βλn) є розвязком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то

.

Звідси

.

Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го  рівняння системи (). Тому        βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.

Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rn є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

86248. Реализация информационно-поисковой системы с помощью программы MySQL-Front 1.21 MB
  MySQL является решением для малых и средних приложений. Входит в LAMP. Обычно MySQL используется в качестве сервера, к которому обращаются локальные или удалённые клиенты, однако в дистрибутив входит библиотека внутреннего сервера, позволяющая включать MySQL в автономные программы.
86249. Разработка проекта системы цифрового наземного телевизионного вещания на территории микрорайона Таврово-2 3.01 MB
  Целью данной курсовой работы является разработка проекта системы цифрового наземного телевизионного вещания, которая обеспечивала бы устойчивый прием программ цифрового телевидения на территории с ИЖС застройкой микрорайона Таврово-2.
86250. Проектирование завода железобетонных шпал и мачт в г.Хабаровск 10.6 MB
  Озеленение представлено газономовсяница луговая цветником камея дважды перистая деревьями липа мелколистная кустарниками боярышник однопестичный. Боковое освещение осуществляется через ленточные оконные проемы оконное заполнение принято одинарное из листового стекла с глухими переплетами.
86251. Проект лінії зв’язку по волоконно-оптичному кабелю з використанням ВОСП між пунктами м.Одеса – м.Житомир 494.78 KB
  В останні десятиріччя, проходить зміна епохи індустріально-технологічного розвитку передових держав, епохою інформаційно-технологічного. Яскравим проявом цього процесу є небачений по швидкостям і результатам процесу в створенні нових методів і засобів телекоммунікацій.
86252. ВОЛОКОННО-ОПТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ СВЯЗИ ТОМСК-АСИНО 599 KB
  Целью курсового проекта является расширение и закрепление теоретических знаний, полученных при изучении курса «Волоконно-оптические линии связи и пассивные компоненты ВОЛС», и овладение навыками в проектировании линейной части систем передачи информации (СПИ).
86253. Оценка влияния температурного режима на предельно допустимую высоту и максимально допустимую скорость полёта по маршруту Ташкент - Тегеран 582.29 KB
  В курсовой работе требуется оценить значимость многолетнего режима температуры на высотах над участками воздушной трассы указанной в индивидуальном задании на курсовую работу для обеспечения безопасности и повышения экономичности полетов рассчитать возможные пределы изменения практического потолка...
86254. Проектирование универсального грузового судна 1.43 MB
  Универсальные сухогрузные суда в основном предназначены для перевозки генеральных грузов в упаковке, а также негабаритных и тяжеловесных грузов. Они имеют несколько трюмов с большими люками для облегчения погрузочно-разгрузочных работ.
86255. Оценка влияния температурного режима на предельно допустимую высоту и максимально допустимую скорость полёта по маршруту Петрозаводск - Москва 425.46 KB
  В реальных условиях температура, плотность воздуха и атмосферное давление на высотах могут существенно отличаться от их значений в СА, что сказывается на характеристиках полета самолета. Особенно заметно может изменяться тяга двигателя, потолок и предельно допустимая высота.