22921

Однорідні системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними 1 Зрозуміло що така система рівнянь сумісна оскільки існує ненульовий розв’язок x1=0 x2=0xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним. Можна зробити висновок що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок то цей розв’язок тривіальний. Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді коли її ранг менше числа невідомих.

Украинкский

2013-08-04

49 KB

2 чел.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з  змінними

------------------------------                   (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок  x1=0, x2=0,…,xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rn .

Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.

  1.  нехай a і b - два розв’язки системи (1);  a=(λ12,…,λn), b=(γ12,…,γn). Доведемо, що a+b=(λ11, λ22,…, λnn) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в     i-те рівняння системи  (1≤im).   і є розв’язками системи , то

Звідси

Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи (). Тому    a+b є M.

  1.  нехай );  a=(λ1,λ2,…,λn), є розвязком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ1,βλ2,…,βλn) є розвязком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то

.

Звідси

.

Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го  рівняння системи (). Тому        βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.

Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rn є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

272. Графические возможности Delphi 210 KB
  На форму нужно установить компонент TImage, на котором простейшими геометрическими фигурами (прямоугольник, дуга) изобразим рисунок. Блок-схема процедуры Picture(Image1: TImage, clientWidth, clientHeight: integer).
273. Развитие цифрового телевидения в развитых странах 59 KB
  На сегодня принимать передачи цифрового телевидения имеют возможность более 90 % населения. Жесткая конкуренция со стороны спутникового и кабельного ТВ. Комбинированные спутниково-эфирные приемники-приставки.
274. Значение автомобильного транспорта в развитии сельского хозяйства на предприятии ОАО Гомельпромстрой 47.86 KB
  Списочный состав автомобилей,тягачей и прицепов. Перечень производственных подразделений предприятия. Снабжение предприятия электроэнергией, горячей водой. Система и метод организации технического обслуживания и ремонта на предприятии ОАО Гомельпромстрой.
275. Онтогенез нервной системы 55.5 KB
  Нервная система плода начинает развиваться на ранних этапах эмбриональной жизни. Онтогенез, или индивидуальное развитие организма. Критические и сензитивные периоды в развитии ЦНС. Пороки развития конечного мозга в результате несмыкания нервной трубки.
276. Генеральная ассамблея и совет безопасности как главные органы ООН 121 KB
  Совет безопасности ООН и его роль в поддержании международного мира и безопасности. Генеральная ассамблея ООН: структура, функции и основные направления деятельности. Рекомендации относительно методов урегулирования указанных споров или условий их разрешения.
277. Реализация технологий проблемного обучения при изучении морфологии на уроках русского языка 155 KB
  Психолого-педагогические основы интеллектуального развития школьников в проблемном обучении при изучении морфологии. Сравнительная характеристика проблемного и традиционного обучения. Правила создания проблемных ситуаций при изучении морфологии.
278. История института нотариата и его роль в защите прав и интересов физических и юридических лиц 54 KB
  Суть так называемого свободного латинского нотариата в том, что нотариус является лицом свободной профессии, т.е. независим при исполнении своих функций, и одновременно он представитель официальной власти, действует от имени государства.
279. Розвиток витривалості в спортсменів 143.5 KB
  Показники, які характеризують спеціальну витривалість до навантажень зі змінною спрямованістю впливу. Спеціальна витривалість і методика її розвитку. Методика досліджень рухових здібностей.
280. Гипотеза лингвистической относительности Сепира-Уорфа 55.71 KB
  Гипотеза Сепира-Уорфа дала толчок для развития как лингвистики, так и многих гуманитарных наук, и дискуссии по ее поводу исчерпаны. Определение значения гипотезы Сепира-Уорфа для развития лингвистики.