22921

Однорідні системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними 1 Зрозуміло що така система рівнянь сумісна оскільки існує ненульовий розв’язок x1=0 x2=0xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним. Можна зробити висновок що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок то цей розв’язок тривіальний. Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді коли її ранг менше числа невідомих.

Украинкский

2013-08-04

49 KB

2 чел.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з  змінними

------------------------------                   (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок  x1=0, x2=0,…,xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rn .

Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.

  1.  нехай a і b - два розв’язки системи (1);  a=(λ12,…,λn), b=(γ12,…,γn). Доведемо, що a+b=(λ11, λ22,…, λnn) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в     i-те рівняння системи  (1≤im).   і є розв’язками системи , то

Звідси

Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи (). Тому    a+b є M.

  1.  нехай );  a=(λ1,λ2,…,λn), є розвязком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ1,βλ2,…,βλn) є розвязком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то

.

Звідси

.

Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го  рівняння системи (). Тому        βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.

Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rn є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66639. Концепция «физиологии активности» 142.5 KB
  Бернштейн изучал естественные движения неповрежденного организма. Ученый утверждал что организм своими движениями активно воздействует на окружающую среду стремясь изменить ее в потребном ему направлении. Принцип сенсорных коррекций Ранее механизм движения описывался...
66640. Ассоциативная психология: история, идеи, факты. Личность 81 KB
  Классические теории ассоциативной психологии Заключение Список литературы Введение Все представления содержащиеся в памяти существуют обычно не сами по себе а группируются в определенные совокупности ассоциации. В XVII веке принцип ассоциации был распространен на всю область...
66641. ПРОБЛЕМА ЛИЧНОСТИ В ГУМАНИСТИЧЕСКОЙ ПСИХОЛОГИИ 111 KB
  Рассматривая различные теории личности можно отметить что большинство исследователей так или иначе сходятся в том что личность есть особый феномен связанный со спецификой человеческой адаптации к социуму к сложившейся и вновь...
66642. Деятельностный подход в психологии. Идеи и факты 136.5 KB
  Особенно следует предостеречь против понимания деятельности человека как отношения, существующего между человеком и противостоящим ему обществом. Это приходится подчеркивать, так как затопляющие сейчас психологию позитивистские концепции всячески навязывают идею...
66643. Поведение как предмет психологии 64.5 KB
  Наличием души пытались объяснить все не понятные явления в жизни человека. Основной метод наблюдение человека за самим собой. Начинается с 20-го века психология наблюдение за тем что можно непосредственно увидеть: поведение поступки реакции человека.
66645. Когнитивная психология: основные положения и примеры экспериментальных исследований 60 KB
  Именно этот интерес к человеку и его возможностям лежит в основе развития психологии. Он, очевидно, появился одновременно с формированием у человека самосознания и с тех пор насыщался преимущественно субъективными наблюдениями отдельных мыслителей...
66646. Бихевиоризм: истоки и развитие 70.5 KB
  По мнению Уотсона именно поведение легче всего поддается наблюдению и изучению в отличие от сознания и человеческих чувств. Любое поведение должно рассматриваться как реакция организма на стимулы среды. Поведение человека и животного изучается одинаково без учета влияния сознания.
66647. Культурно-историческая концепция происхождения высших психических функций 101.5 KB
  Главным отличием человека от животных является сознание и его составляющие. Каковы же главные качественные особенности психики человека отличающие его от животных Очевидно что эти особенности возникли и развились в результате антропогенеза.