22921

Однорідні системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними 1 Зрозуміло що така система рівнянь сумісна оскільки існує ненульовий розвязок x1=0 x2=0xn=0. Цей розвязок будемо називати тривіальним. Можна зробити висновок що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розвязок то цей розвязок тривіальний. Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розвязок тоді і тільки тоді коли її ранг менше числа невідомих.

Украинкский

2013-08-04

49 KB

3 чел.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з  змінними

------------------------------                   (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок  x1=0, x2=0,…,xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rn .

Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.

  1.  нехай a і b - два розв’язки системи (1);  a=(λ12,…,λn), b=(γ12,…,γn). Доведемо, що a+b=(λ11, λ22,…, λnn) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в     i-те рівняння системи  (1≤im).   і є розв’язками системи , то

Звідси

Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи (). Тому    a+b є M.

  1.  нехай );  a=(λ1,λ2,…,λn), є розвязком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ1,βλ2,…,βλn) є розвязком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то

.

Звідси

.

Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го  рівняння системи (). Тому        βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.

Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rn є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

8599. Основные концепции истины. Истина как процесс. Проблема объективности истины 32 KB
  Основные концепции истины. Истина как процесс. Проблема объективности истины. Основные концепции истины. В современной философии особенно отчетливо выделяются три концепции истины: концепция соответствия (корреспонденции, классическая), когеренции и...
8600. Специфика научного познания и критерии научности. Функции науки. Уровни научного исследования 34.5 KB
  Специфика научного познания и критерии научности. Функции науки. Уровни научного исследования. Специфика научного познания. Наука как своеобразная форма познания начала развиваться относительно самостоятельно в эпоху становления капиталистического с...
8601. Эволюция науки и проблема научных революций 29.5 KB
  Эволюция науки и проблема научных революций. Эволюция науки. Наука отпочковалась от обыденного знания в глубокой древности. В течение длительного времени происходил процесс накопления единичных эмпирических фактов. И уже в древнем Египте, Месопотами...
8602. Научная теория как высшая форма организации знания. Структура и методы построения научных теорий 34.5 KB
  Научная теория как высшая форма организации знания. Структура и методы построения научных теорий. Научная теория как высшая форма организации знания. Под теорией понимается система знаний, описывающая и объясняющая совокупность явлений некоторой обл...
8603. Техника и этапы ее развития. Проблема технической реальности. Техника и человек 34 KB
  Техника и этапы ее развития. Проблема технической реальности. Техника и человек. Техника и этапы ее развития. Техника (греч. технэ - искусство, мастерство, умение). Понятие техника встречается уже у Платона, Аристотеля. В первом приближении, техника...
8604. Идеалистическое и материалистическое понимание общественной жизни 30 KB
  Идеалистическое и материалистическое понимание общественной жизни. Каким образом система, состоящая из многих частей, способна существовать и изменяться как единое целое, как возникают интегральные средства целого, которых лишены его части? Представ...
8605. Специфика социальных систем. Общество как система. Уровни системного анализа общества 35 KB
  Специфика социальных систем. Общество как система. Уровни системного анализа общества. Специфика социальных систем. Социальная система - структурный элемент социальной реальности, определенное целостное образование, основными элементами которог...
8606. Методология формационного анализа социальной реальности 30.5 KB
  Методология формационного анализа социальной реальности. Социальная реальность - это реальность, в той или иной степени организованная, упорядоченная и структурированная. Относительно значимости этого признака социальной реальности у философов ...
8607. Сущность цивилизационного подхода к обществу 29.5 KB
  Сущность цивилизационного подхода к обществу. Развитие общества: цивилизационный подход. Методологии формационного подхода в современной науке в какой-то мере противостоит методология цивилизационного подхода. Этот подход в объяснении процесса разви...