22921

Однорідні системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними 1 Зрозуміло що така система рівнянь сумісна оскільки існує ненульовий розвязок x1=0 x2=0xn=0. Цей розвязок будемо називати тривіальним. Можна зробити висновок що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розвязок то цей розвязок тривіальний. Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розвязок тоді і тільки тоді коли її ранг менше числа невідомих.

Украинкский

2013-08-04

49 KB

3 чел.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з  змінними

------------------------------                   (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок  x1=0, x2=0,…,xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rn .

Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.

  1.  нехай a і b - два розв’язки системи (1);  a=(λ12,…,λn), b=(γ12,…,γn). Доведемо, що a+b=(λ11, λ22,…, λnn) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в     i-те рівняння системи  (1≤im).   і є розв’язками системи , то

Звідси

Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи (). Тому    a+b є M.

  1.  нехай );  a=(λ1,λ2,…,λn), є розвязком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ1,βλ2,…,βλn) є розвязком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то

.

Звідси

.

Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го  рівняння системи (). Тому        βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.

Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rn є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

18795. Реализация типовых законов управления в цифровых ЛСУ. Адекватность моделей непрерывных и цифровых регуляторов 270.53 KB
  Реализация типовых законов управления в цифровых ЛСУ. Адекватность моделей непрерывных и цифровых регуляторов. ИЭ1 импульсный элемент входного коммутатора который преобразует непрерывный сигнал в последовательность импульсов КЭ кодирующий элемент который о...
18796. Принципы построения и основные структуры реальных промышленных регуляторов 489.21 KB
  Принципы построения и основные структуры реальных промышленных регуляторов. Рассмотрим общий принцип построения желаемой структуры автоматических регуляторов. При охвате какоголибо участка схемы с передаточной функцией отрицательной обратной связью получаем эк...
18797. Модули УСО и удаленного ввода - вывода 68.12 KB
  Модули УСО и удаленного ввода вывода. Неотъемлемой частью любой АСУТП являются устройства связи с объектом УСО назначение которых заключается в сопряжении датчиков аппаратуры и исполнительных механизмов контролируемого объекта и/или технологического процесса с вы...
18798. Построение плат дискретного ввода – вывода 205.65 KB
  Построение плат дискретного ввода вывода Платы дискретного вв‐выв ПДВВ предст. собой устрва преобразования двоичных сигналов логических уровней 1 и 0. Этим уровням соответствует напряжение на замкнутом или разомкнутом ключах. Величина напряжения может быть различн...
18799. Системы многоканального ввода – вывода аналоговых сигналов 189.68 KB
  Системы многоканального ввода вывода аналоговых сигналов. На рис 11.2а показана система управления процессом сбора/распределения данных в котором каждому каналу соответствует отдельный ЦАП и АЦП. Альтернативная конфигурация показана на рис 11.2б в данной системе испо
18800. АЦП / ЦАП. Основные архитектуры, интерфейсы связи 270.15 KB
  АЦП / ЦАП. Основные архитектуры интерфейсы связи. ЦАП предназначен для преобразования числа представленного как правило в виде двоичного кода в напряжение или ток пропорциональные этому числу. Схемотехника аналоговых преобразователей весьма разнообразна. На рисунк...
18801. Устройство плат аналогового ввода - вывода 23.88 KB
  Устройство плат аналогового ввода вывода. Платы аналогового ввода‐вывода ПАВВ предназначены для обеспечения ввода аналоговых сигналов с датчиков в вычислительное устройство обработки и вывода аналоговых сигналовдля пропорционального управления исполнительными
18802. Назначение и особенности архитектур микроконтроллеров 76.74 KB
  Назначение и особенности архитектур микроконтроллеров Микроконтроллер МК ‐ это специализированный микропроцессор предназначенныйдля обработки внешних событий при решении задач управления техническими процессами. Обычно МК в реальном времени выполняют задачи с
18803. Назначение и особ-ти архитектур цифровых сигнальных процессоров 34.91 KB
  Назначение и особти архитектур цифровых сигнальных процессоров. Цифровой сигнальный процессор ЦСП это специализированный процессор предназначенный для обработки в реальном масштабе времени сигналов непрерывного вида с использованием математического аппарата ц