22921

Однорідні системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з змінними 1 Зрозуміло що така система рівнянь сумісна оскільки існує ненульовий розв’язок x1=0 x2=0xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним. Можна зробити висновок що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок то цей розв’язок тривіальний. Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді коли її ранг менше числа невідомих.

Украинкский

2013-08-04

49 KB

2 чел.

Однорідні системи лінійних рівнянь.

Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо вільні члени всіх рівнянь системи дорівнюють нулю.

Будемо розглядати однорідну систему лінійних рівнянь з  змінними

------------------------------                   (1)

Зрозуміло, що така система рівнянь сумісна, оскільки існує ненульовий розв’язок  x1=0, x2=0,…,xn=0. Цей розв’язок будемо називати тривіальним.

Можна зробити висновок, що якщо однорідна система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, то цей розв’язок тривіальний. З теорії загальних систем лінійних рівнянь випливають наступні твердження для однорідних систем.

Однорідна система лінійних рівнянь має нетривіальний розв’язок тоді і тільки тоді, коли її ранг менше числа невідомих.

Лема. Множина всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (1) утворює підпростір в просторі Rn .

Доведення. Позначимо через M множину всіх розв’язків системи (1). Оскільки, система (1) має тривіальний розв’язок, то θ є M, а тому M≠Ø. Перевіримо виконання умов підпростору.

  1.  нехай a і b - два розв’язки системи (1);  a=(λ12,…,λn), b=(γ12,…,γn). Доведемо, що a+b=(λ11, λ22,…, λnn) є M.. Для цього підставимо координати вектора a+b в     i-те рівняння системи  (1≤im).   і є розв’язками системи , то

Звідси

Отже, координати вектора a+b є розв’язком i - го рівняння системи (). Тому    a+b є M.

  1.  нехай );  a=(λ1,λ2,…,λn), є розвязком системи (1), β є R - деяке число. Доведемо, що вектор βa=(βλ1,βλ2,…,βλn) є розвязком системи (1). Підставимо координати вектора βa в i-е рівняння системи. Оскільки aє M, то

.

Звідси

.

Отже, координати вектора βa є розв’язком i - го  рівняння системи (). Тому        βa є M., тобто умови підпростору виконуються. Лему доведено.

Вірне й твердження, що є оберненим для твердження леми: кожний підпростір простору Rn є множиною всіх розв’язків деякої однорідної системи лінійних рівнянь з n змінними.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16363. ИССЛЕДОВАНИЕ СВЧ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ 588.5 KB
  МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ к лабораторной работе ИССЛЕДОВАНИЕ СВЧ ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ В методических указаниях даны рекомендации по расчету объемных резонаторов и экспериментальному измерению резонансной частоты собственной и нагруженной добротности объемн
16364. Определение теплопроводности твердых теплоизоляционных материалов 133 KB
  Лабораторная работа №1. Определение теплопроводности твердых теплоизоляционных материалов Цель и задачи работы: ознакомление со стационарным методом измерения коэффициентов теплопроводности теплоизоляционных материалов и про...
16365. Исследование сложного теплообмена горизонтальной трубы с окружающим воздухом в условиях свободной конвекции 511 KB
  Лабораторная работа №4. Исследование сложного теплообмена горизонтальной трубы с окружающим воздухом в условиях свободной конвекции Цель работы: расчетное и экспериментальное определение основных характеристик сложного теплообмена количества теплоты передав...
16366. Исследование теплоотдачи при движение воздуха в пучке труб 1000 KB
  Отчёт к лабораторной работе № 5 Цель работы: Исследование теплоотдачи при движение воздуха в пучке труб. Введение: При поперечном омывании жидкость пучков труб в зависимости от числа Re различают следующие три режима: ламинарный смешанный и турбулентный. Чаще всего ...
16367. Определение степени черноты излучающего тела 1012.5 KB
  Лабораторная работа № 6 Определение степени черноты излучающего тела Цель работы: определение степени черноты излучающей поверхности тела. Задачи работы: Экспериментальное определение степени черноты различных тел. Экспериментальное исследование
16368. Определение коэффициента теплоотдачи излучением между двумя телами 103.5 KB
  Лабораторная работа №8 Цель работы: Определение коэффициента теплоотдачи излучением между двумя телами. Введение: Тепловое излучение представляет собой процесс распространения внутренней энергии излучающего тела путем электромагнитных волн распространяющих...
16369. Библиотека консольного ввода-вывода 1.07 MB
  Дисциплина Архитектура вычислительных систем и компьютерных сетей Отчет по лабораторным работам №2 На темы: Библиотека консольного вводавывода Цель работы Научится работать с функциями Win32 API для создания и управления консолью. Задание Разработать библи...
16370. Построение сетей с помощью концентраторов, коммутаторов, маршрутизаторов 857 KB
  Построение сетей с помощью концентраторов коммутаторов маршрутизаторов. Цель работы: Ознакомление с приемами моделирования сетей с помощью ПО Cisco Packet Tracer. Получение навыков по построению и моделированию сетей с использованием концентраторов коммутаторов