22922

Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків

Доклад

Математика и математический анализ

Як показано вище множина M всіх розвязків однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір. Фундаментальною базисною системою розвязків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис підпростору всіх її розвязків. Теорема про фундаментальну систему розвязків.

Украинкский

2013-08-04

55.5 KB

1 чел.

Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків.

Як показано вище, множина M всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір.

Фундаментальною (базисною) системою розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис підпростору всіх її розв’язків.

Теорема (про фундаментальну систему розв’язків). Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь рангу r з n змінними. Тоді її фундаментальна система розв’язків складається з n-r розв’язків.

Іншими словами, розмірність підпростору всіх розв’язків системи дорівнює  n-r.

Доведення. Припустимо, що ранг однорідної системи лінійних рівнянь (1) дорівнює r. Множину всіх її розв’язків позначимо через M. Якщо r=n, то система має лише тривіальний розв’язок. Тоді M={θ}; n-r=0=dim{θ}=dim M, і твердження теореми виконується. Тому будемо вважати, що r<n. Складемо основну матрицю системи.

.

За означенням рангу системи, ранг матриці A дорівнює r. Це означає, що базисний мінор матриці Δr має порядок r, Δr ≠0,  а всі мінори в матриці порядку r+1, якщо вони існують, дорівнюють нулю. Можна вважати, що мінор Δr  будується на перших r рядках і r стовпчиках матриці. Інакше можна переставити рівняння системи і перенумерувати  змінні. Тоді, за теоремою про базисний мінор, r  перших рядків матриці A лінійно незалежні, решта рядків через них лінійно виражається. Це означає, що r перших рівнянь в системі (1) лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через перші  r рівнянь, тобто є їх наслідками. Рівняння-наслідки можна відкинути, при цьому перейдемо до еквівалентної системи

-------------------------------------------------------

Цю систему можна записати таким чином

     (2)

---------------------------------------------------------------

Оскільки базисний мінор Δr  матриці  A будується на перших r стовпчиках, то в системі (2) змінні x1,x2,…,xr  базисні, а змінні xr+1,xr+2,…,xn вільні . Якщо замість вільних змінних підставити будь-який фіксований набір чисел, то система (2) перетворюється на систему лінійних рівнянь відносно базисних змінних, причому ця система квадратна, а її головний визначник співпадає з мінором Δr, а тому не дорівнює нулю. Отже, система рівнянь відносно базисних змінних, за теоремою Крамера, має єдиний розв’язок.

Спочатку підставляємо xr+1=1,,xr+2=0,…,xn=0 і одержуємо розв’язок системи (2) відносно базисних змінних, який визначає розв’язок системи рівнянь (1)                 a1=(γ11, γ12 ,…, γ1r,1,0,…,0). Далі підставляємо xr+1=0,,xr+2=1,…,xn=0. Розв’язуємо систему відносно базисних змінних і одержуємо розв’язок системи (1)                    a2=(γ21, γ22 ,…, γ2r,0,1,…,0). Оскільки кількість вільних змінних дорівнює n-r, то можна зробити  n-r таких кроків. На останньому кроці одержимо розвязок системи рівнянь  (1) an-r=(γn-r,1, γn-r,2 ,…, γn-r,r,0,0,…,1).. Покажемо, що вектори a1,a2,…,an-r утворюють базис підпростору M розв’язків системи (1). Для цього перевіримо виконання двох умов базису.

  1.  доведемо лінійну незалежність розв’язків a1,a2,…,an-r. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λn-ran-r=

Вектор в лівій частині має координати12,…,βr12,…,λn-r). Отже12,…,βr12,…,λn-r)==.

 Звідси λ1=0, λ2=0,…,λn-r=0, лінійна комбінація тривіальна, і розв’язки лінійно незалежні .

  1.  покажемо, що всі  розв’язки  однорідної системи (1) лінійно виражаються через  a1,a2,…,an-r. При доведенні скористаємось таким фактором: якщо у двох розв’язків системи (1) координати починаючи з (r+1)- ї і до n- ї  співпадають, то ці розв’язки рівні. Цей факт випливає з того, що при фіксованих значеннях вільних змінних xr+1,xr+2,…,xn система (2) відносно базисних змінних має єдиний розв’язок, тобто перші r координат розв’язку системи (1) визначається однозначно .

Візьмемо довільний розв’язок системи (1) a=(β12,…,βrr+1r+2,…,βn). Нехай також b=βr+1a1r+2a2+…+βnan-r. Зрозуміло, що  b є M, тобто вектор b є розвязком  системи рівнянь (1). У розвязків a і b координати починаючи з (r+1) - ї і до n- ї   співпадають. Це означає, що a=b= βr+1a1r+2a2+…+βnan-r.

Умови базису виконуються, теорему доведено.

Наслідок. Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь з n змінними рангу r. Тоді будь-які n-r лінійно незалежних  розв’язків системи утворюють її фундаментальну систему розв’язків.

Доведення. Нехай a1,a2,…,an-r - лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи, а b1,b2,…,bn-r - її фундаментальна система розв’язків.

За означенням достатньо показати, що будь-який розв’зок x системи лінійно виражається через a1,a2,…,an-r. Оскільки вектори b1,b2,…,bn-r утворюють фундаментальну систему розв’зків, то всі вектори в системі  a1,a2,…,an-r,x лінійно виражається через b1,b2,…,bn-r. За лемою про дві системи, звідси система розв’зків a1,a2,…,an-r,x  лінійно залежна, тобто існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a12a2+…+λn-ran-r+γx=

Якщо γ=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів a1,a2,…,an-r, що суперечить їх лінійній незалежності . Отже, γ≠0 і . Таким чином розв’язок x лінійно виражається через a1,a2,…,an-r, звідси випливає твердження .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70976. Оценка воздействия на окружающую среду от строительства и дальнейшей эксплуатации офисного центра («Офис-11райд») и прилегающей автостоянки 568.59 KB
  Площадка строительства расположена в Красногвардейском районе по адресу улица Лазо I, вдоль Индустриального проспекта. Разработка проекта производилась на основании технического задания договора №26/08 от 25.08.2008г, заключенного между ЗАО «Группа 1» и ОАО «Офис-Прайд»...
70977. Разработка программы определения запасов сырья 504.68 KB
  На нескольких предприятиях используется сырье одного вида. Для каждого предприятия заданы верхние и нижние границы норм хранения этого сырья. Определить номера предприятий, имеющих запасы сырья выше нормы, ниже нормы и общие запасы сырья на этих предприятиях.
70978. Рассчет основных технических параметров модуля счетчика 211.41 KB
  Все разнообразные средства цифровой техники: ЭВМ, микропроцессорные системы измерений и автоматизации технологических процессоров, цифровая связь и телевидение и т.д. состоятся на единой элементной базе, в состав которой входят чрезвычайно разные по сложности...
70979. Блинная «Теремок» на 75 посадочных мест 181.5 KB
  Закусочная находится не далеко от центра. На берегу городского пруда, рядом с центральной улицей города. Недалеко от блинной находится гостиница, вблизи находится лесопарк. Блинная «Теремок» рассчитана на 75 посадочных мест. Филиалов не имеет.
70980. Исследование методов сортировки массивов 175.5 KB
  Visual Basic развился из первоначального языка Basic и в настоящее время содержит несколько сотен команд, функций и ключевых слов, многие из которых связаны непосредственно с графическим интерфейсом пользователя...
70981. Организация работы столовой при промышленном предприятии на 100 посадочных мест 252.5 KB
  Массовое питание играет важную роль в жизни общества. Оно наиболее полно удовлетворяет потребности людей в питании. Общественное питание выполняет три взаимосвязанные функции: производство готовой продукции, ее реализацию и организацию потребления.
70982. Создание платформы для веб-разработки средствами языка Java 945 KB
  Цель исследования – Создание действующего WEB сервера регистрация пользователей на сервере, добавление комментариев, добавление новостей, статистка пользователей, возможность использования сервера без наличия статического айпи адреса за счёт встроенного днс...
70984. Разработка технологического процесса горячей объёмной штамповки поковок детали «кронштейн» из стали ЭП866 134.5 KB
  В данном курсовом проекте рассматривается разработка технологического проекта, штамповой оснастки для детали кронштейн. Данная деталь входит в состав турбины и работает при высоких температурах, поэтому она изготовляется из жаропрочной стали 15Х16К5Н2МВФАБШ (ЭП 866).