22922

Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків

Доклад

Математика и математический анализ

Як показано вище множина M всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір. Фундаментальною базисною системою розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис підпростору всіх її розв’язків. Теорема про фундаментальну систему розв’язків.

Украинкский

2013-08-04

55.5 KB

1 чел.

Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків.

Як показано вище, множина M всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір.

Фундаментальною (базисною) системою розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис підпростору всіх її розв’язків.

Теорема (про фундаментальну систему розв’язків). Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь рангу r з n змінними. Тоді її фундаментальна система розв’язків складається з n-r розв’язків.

Іншими словами, розмірність підпростору всіх розв’язків системи дорівнює  n-r.

Доведення. Припустимо, що ранг однорідної системи лінійних рівнянь (1) дорівнює r. Множину всіх її розв’язків позначимо через M. Якщо r=n, то система має лише тривіальний розв’язок. Тоді M={θ}; n-r=0=dim{θ}=dim M, і твердження теореми виконується. Тому будемо вважати, що r<n. Складемо основну матрицю системи.

.

За означенням рангу системи, ранг матриці A дорівнює r. Це означає, що базисний мінор матриці Δr має порядок r, Δr ≠0,  а всі мінори в матриці порядку r+1, якщо вони існують, дорівнюють нулю. Можна вважати, що мінор Δr  будується на перших r рядках і r стовпчиках матриці. Інакше можна переставити рівняння системи і перенумерувати  змінні. Тоді, за теоремою про базисний мінор, r  перших рядків матриці A лінійно незалежні, решта рядків через них лінійно виражається. Це означає, що r перших рівнянь в системі (1) лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через перші  r рівнянь, тобто є їх наслідками. Рівняння-наслідки можна відкинути, при цьому перейдемо до еквівалентної системи

-------------------------------------------------------

Цю систему можна записати таким чином

     (2)

---------------------------------------------------------------

Оскільки базисний мінор Δr  матриці  A будується на перших r стовпчиках, то в системі (2) змінні x1,x2,…,xr  базисні, а змінні xr+1,xr+2,…,xn вільні . Якщо замість вільних змінних підставити будь-який фіксований набір чисел, то система (2) перетворюється на систему лінійних рівнянь відносно базисних змінних, причому ця система квадратна, а її головний визначник співпадає з мінором Δr, а тому не дорівнює нулю. Отже, система рівнянь відносно базисних змінних, за теоремою Крамера, має єдиний розв’язок.

Спочатку підставляємо xr+1=1,,xr+2=0,…,xn=0 і одержуємо розв’язок системи (2) відносно базисних змінних, який визначає розв’язок системи рівнянь (1)                 a1=(γ11, γ12 ,…, γ1r,1,0,…,0). Далі підставляємо xr+1=0,,xr+2=1,…,xn=0. Розв’язуємо систему відносно базисних змінних і одержуємо розв’язок системи (1)                    a2=(γ21, γ22 ,…, γ2r,0,1,…,0). Оскільки кількість вільних змінних дорівнює n-r, то можна зробити  n-r таких кроків. На останньому кроці одержимо розвязок системи рівнянь  (1) an-r=(γn-r,1, γn-r,2 ,…, γn-r,r,0,0,…,1).. Покажемо, що вектори a1,a2,…,an-r утворюють базис підпростору M розв’язків системи (1). Для цього перевіримо виконання двох умов базису.

  1.  доведемо лінійну незалежність розв’язків a1,a2,…,an-r. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λn-ran-r=

Вектор в лівій частині має координати12,…,βr12,…,λn-r). Отже12,…,βr12,…,λn-r)==.

 Звідси λ1=0, λ2=0,…,λn-r=0, лінійна комбінація тривіальна, і розв’язки лінійно незалежні .

  1.  покажемо, що всі  розв’язки  однорідної системи (1) лінійно виражаються через  a1,a2,…,an-r. При доведенні скористаємось таким фактором: якщо у двох розв’язків системи (1) координати починаючи з (r+1)- ї і до n- ї  співпадають, то ці розв’язки рівні. Цей факт випливає з того, що при фіксованих значеннях вільних змінних xr+1,xr+2,…,xn система (2) відносно базисних змінних має єдиний розв’язок, тобто перші r координат розв’язку системи (1) визначається однозначно .

Візьмемо довільний розв’язок системи (1) a=(β12,…,βrr+1r+2,…,βn). Нехай також b=βr+1a1r+2a2+…+βnan-r. Зрозуміло, що  b є M, тобто вектор b є розвязком  системи рівнянь (1). У розвязків a і b координати починаючи з (r+1) - ї і до n- ї   співпадають. Це означає, що a=b= βr+1a1r+2a2+…+βnan-r.

Умови базису виконуються, теорему доведено.

Наслідок. Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь з n змінними рангу r. Тоді будь-які n-r лінійно незалежних  розв’язків системи утворюють її фундаментальну систему розв’язків.

Доведення. Нехай a1,a2,…,an-r - лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи, а b1,b2,…,bn-r - її фундаментальна система розв’язків.

За означенням достатньо показати, що будь-який розв’зок x системи лінійно виражається через a1,a2,…,an-r. Оскільки вектори b1,b2,…,bn-r утворюють фундаментальну систему розв’зків, то всі вектори в системі  a1,a2,…,an-r,x лінійно виражається через b1,b2,…,bn-r. За лемою про дві системи, звідси система розв’зків a1,a2,…,an-r,x  лінійно залежна, тобто існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a12a2+…+λn-ran-r+γx=

Якщо γ=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів a1,a2,…,an-r, що суперечить їх лінійній незалежності . Отже, γ≠0 і . Таким чином розв’язок x лінійно виражається через a1,a2,…,an-r, звідси випливає твердження .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

70269. Визначення ризику портфеля цінних паперів 95 KB
  Для дохідності як випадкової величини варіація що оцінює ступінь відхилення можливих конкретних значень або очікуваної дохідності слугує мірою ризику пов’язаного з даною дохідністю. Формула для визначення варіації дохідності го активу записується наступним чином...
70271. Разрезы 549.57 KB
  Изображение предмета, мысленно рассеченного одной или несколькими плоскостями, называют разрезом. Мысленное рассечение предмета относится только к данному разрезу и не влечет за собой изменения других изображений того же предмета.
70272. Избранные лекции по экономике (для медицинских Вузов). Учебно-методическое пособие 2.59 MB
  Название «экономика» произошло от греческих слов: oikos – дом и nomos – закон, иначе управление домашним хозяйством. Домашнее хозяйство является моделью функционирования, как многих организаций (потому, что они перерабатывают редкие экономические ресурсы и производят товары и услуги...
70273. Экономика предприятия (Экономика фирмы): Курс лекций 992.5 KB
  Если предприятие производит быстро устаревающую морально продукцию то оно заинтересовано в скорейшей замене своих ОС а поэтому заинтересовано в ускоренной амортизации чтобы быстрее сформировать необходимые средства на замену оборудования машин...
70274. Аппаратное обеспечение ПК. Архитектура ПК 89 KB
  Положения фон Неймана: Компьютер состоит из нескольких основных устройств арифметико-логическое устройство управляющее устройство память внешняя память устройства ввода и вывода. Для ввода и вывода информации используются устройства ввода и вывода.
70275. УГОЛОВНОЕ ПРАВО: ЛЕКЦИИ 2.51 MB
  Уголовное право как одна из отраслей права представляет собой совокупность принятых государством правовых норм, которые устанавливают и регулируют определенные общественные отношения в соответствии с интересами и потребностями общества.
70276. Methods of teaching English as a science and its relation to other sciences 27 KB
  Pedagogics is the science concerned with general teaching and education. It would be impossible to develop language habits and speech skills without information about the ways of forming them, the influence of formerly acquired habits on the formation of new ones which is supplied by Psychology.