22922

Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків

Доклад

Математика и математический анализ

Як показано вище множина M всіх розвязків однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір. Фундаментальною базисною системою розвязків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис підпростору всіх її розвязків. Теорема про фундаментальну систему розвязків.

Украинкский

2013-08-04

55.5 KB

1 чел.

Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків.

Як показано вище, множина M всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір.

Фундаментальною (базисною) системою розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис підпростору всіх її розв’язків.

Теорема (про фундаментальну систему розв’язків). Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь рангу r з n змінними. Тоді її фундаментальна система розв’язків складається з n-r розв’язків.

Іншими словами, розмірність підпростору всіх розв’язків системи дорівнює  n-r.

Доведення. Припустимо, що ранг однорідної системи лінійних рівнянь (1) дорівнює r. Множину всіх її розв’язків позначимо через M. Якщо r=n, то система має лише тривіальний розв’язок. Тоді M={θ}; n-r=0=dim{θ}=dim M, і твердження теореми виконується. Тому будемо вважати, що r<n. Складемо основну матрицю системи.

.

За означенням рангу системи, ранг матриці A дорівнює r. Це означає, що базисний мінор матриці Δr має порядок r, Δr ≠0,  а всі мінори в матриці порядку r+1, якщо вони існують, дорівнюють нулю. Можна вважати, що мінор Δr  будується на перших r рядках і r стовпчиках матриці. Інакше можна переставити рівняння системи і перенумерувати  змінні. Тоді, за теоремою про базисний мінор, r  перших рядків матриці A лінійно незалежні, решта рядків через них лінійно виражається. Це означає, що r перших рівнянь в системі (1) лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через перші  r рівнянь, тобто є їх наслідками. Рівняння-наслідки можна відкинути, при цьому перейдемо до еквівалентної системи

-------------------------------------------------------

Цю систему можна записати таким чином

     (2)

---------------------------------------------------------------

Оскільки базисний мінор Δr  матриці  A будується на перших r стовпчиках, то в системі (2) змінні x1,x2,…,xr  базисні, а змінні xr+1,xr+2,…,xn вільні . Якщо замість вільних змінних підставити будь-який фіксований набір чисел, то система (2) перетворюється на систему лінійних рівнянь відносно базисних змінних, причому ця система квадратна, а її головний визначник співпадає з мінором Δr, а тому не дорівнює нулю. Отже, система рівнянь відносно базисних змінних, за теоремою Крамера, має єдиний розв’язок.

Спочатку підставляємо xr+1=1,,xr+2=0,…,xn=0 і одержуємо розв’язок системи (2) відносно базисних змінних, який визначає розв’язок системи рівнянь (1)                 a1=(γ11, γ12 ,…, γ1r,1,0,…,0). Далі підставляємо xr+1=0,,xr+2=1,…,xn=0. Розв’язуємо систему відносно базисних змінних і одержуємо розв’язок системи (1)                    a2=(γ21, γ22 ,…, γ2r,0,1,…,0). Оскільки кількість вільних змінних дорівнює n-r, то можна зробити  n-r таких кроків. На останньому кроці одержимо розвязок системи рівнянь  (1) an-r=(γn-r,1, γn-r,2 ,…, γn-r,r,0,0,…,1).. Покажемо, що вектори a1,a2,…,an-r утворюють базис підпростору M розв’язків системи (1). Для цього перевіримо виконання двох умов базису.

  1.  доведемо лінійну незалежність розв’язків a1,a2,…,an-r. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λn-ran-r=

Вектор в лівій частині має координати12,…,βr12,…,λn-r). Отже12,…,βr12,…,λn-r)==.

 Звідси λ1=0, λ2=0,…,λn-r=0, лінійна комбінація тривіальна, і розв’язки лінійно незалежні .

  1.  покажемо, що всі  розв’язки  однорідної системи (1) лінійно виражаються через  a1,a2,…,an-r. При доведенні скористаємось таким фактором: якщо у двох розв’язків системи (1) координати починаючи з (r+1)- ї і до n- ї  співпадають, то ці розв’язки рівні. Цей факт випливає з того, що при фіксованих значеннях вільних змінних xr+1,xr+2,…,xn система (2) відносно базисних змінних має єдиний розв’язок, тобто перші r координат розв’язку системи (1) визначається однозначно .

Візьмемо довільний розв’язок системи (1) a=(β12,…,βrr+1r+2,…,βn). Нехай також b=βr+1a1r+2a2+…+βnan-r. Зрозуміло, що  b є M, тобто вектор b є розвязком  системи рівнянь (1). У розвязків a і b координати починаючи з (r+1) - ї і до n- ї   співпадають. Це означає, що a=b= βr+1a1r+2a2+…+βnan-r.

Умови базису виконуються, теорему доведено.

Наслідок. Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь з n змінними рангу r. Тоді будь-які n-r лінійно незалежних  розв’язків системи утворюють її фундаментальну систему розв’язків.

Доведення. Нехай a1,a2,…,an-r - лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи, а b1,b2,…,bn-r - її фундаментальна система розв’язків.

За означенням достатньо показати, що будь-який розв’зок x системи лінійно виражається через a1,a2,…,an-r. Оскільки вектори b1,b2,…,bn-r утворюють фундаментальну систему розв’зків, то всі вектори в системі  a1,a2,…,an-r,x лінійно виражається через b1,b2,…,bn-r. За лемою про дві системи, звідси система розв’зків a1,a2,…,an-r,x  лінійно залежна, тобто існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a12a2+…+λn-ran-r+γx=

Якщо γ=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів a1,a2,…,an-r, що суперечить їх лінійній незалежності . Отже, γ≠0 і . Таким чином розв’язок x лінійно виражається через a1,a2,…,an-r, звідси випливає твердження .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

46410. Розмір речення та ідіостиль 36.21 KB
  Підготувала студентка 2го курсу ФІФ Група 2338 н Бреніч Наталія Розмір речення та ідіостиль Ця доповідь присвячена висвітленню теми Розмір речення та ідіостиль Поліни Ігорівни Климової. Обьектом статті є речення в свою чергу предметом є розмір речення та поняття іліостиль. Адмоні даючи детальну характеристику особливостям побудови речення в творах цього письменника наголошував на тому що у фразі Томаса Манна наявний процес пошуку істини це проявляється. Цією статтею робимо спробу дослідити недостатньо вивчений аспект ідіостиля...
46411. Аналіз умов та факторів виходу на зовнішній ринок українських літакобудівних підприємств 1.41 MB
  Цю стратегію переважно використовують невеликі авіакомпанії які мають невеликий парк літаків або взагалі орендують літаки. Але частка нових літаків в повітряному парку світу залишилась нижче рекордних показників зафіксованих в 1991 та 1999 роках. Прогноз оновлення парку літаків у світі Підтримка промисловості здійснюється урядами в різних формах: від істотної суттєвої частки долі у фінансуванні наукових досліджень до прямого субсидування виробництва і державного страхування експорту. На сьогоднішній день Boeing та irbus постачають на...
46412. Статус Рахункової Палати в Україні: українське законодавство, зарубіжний досвід та шляхи удосконалення 254 KB
  Нижче розглянуто основні віхи становлення Рахункової палати як органу фінансового контролю її завдання повноваження та проблеми діяльності на сучасному етапі зарубіжний досвід правового регулювання статусу аналогічних органів в окремих зарубіжних державах. На основі проведеного дослідження розроблено пропозиції щодо можливих шляхів удосконалення правового регулювання діяльності Рахункової палати в Україні. Денис КОВРИЖЕНКОексперт Лабораторії законодавчих ініціатив Основні етапи інституціоналізації Рахункової палати У 1992 році з ініціативи...
46413. Педагогічні особливості культури офіцера. Військово-педагогічні процеси 112 KB
  Сформувати у курсантів навички пошуку узагальнення критичного аналізу навча1льного матеріалу вміння висувати і захищати свої погляди з питань що розглядаються; Формувати у курсантів риси необхідні військовому керівнику для професійної діяльності; Формувати світогляд курсантів спираючись на національні історичні та військовопатріотичні традиції загальнолюдські цінності; Сприяти розвитку у курсантів почуття свідомої військової дисципліни відповідальності і цілеспрямованості.
46416. Надійність машин і устаткування 1.13 MB
  Причини утворення і розвитку несправностей деталей машин Практично будьяка несправність є наслідком зміни механічних властивостей матеріалу конструктивних розмірів деталей і стану їхньої поверхні. У свою чергу зміна механічних властивостей відбувається внаслідок зміни складу і структури матеріалу деталей. До конструктивних факторів відносяться фактори що були враховані на стадії проектування: конструктивне виконання деталей і складальних одиниць форма величина зазорів і натягів у спряженнях шорсткість і твердість поверхонь і т.;...
46417. Відновлення деталей типу вал(вісь) 264 KB
  Для відновлення нерухомих сполучень, широко розповсюджена елекроконтактне приварювання металевої стрічки (дроту). Перевага – незначний нагрів деталей, зменшення витрат наплавних матеріалів, значне підвищення продуктивності і умов праці.
46418. УСТРОЙСТВО ВВОДА АНАЛОГОВОЙ ИНФОРМАЦИИ 135.5 KB
  В настоящее время персональные компьютеры используют не только как вычислительные средства, но и как универсальные измерительные приборы. КИС на основе персонального компьютера заменяют стандартные измерительные приборы (вольтметры, осциллографы, анализаторы спектра, генераторы и пр.) системой виртуальных приборов. Причем ряд этих приборов может быть активизирован на одном персональном компьютере одновременно.