22922

Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків

Доклад

Математика и математический анализ

Як показано вище множина M всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір. Фундаментальною базисною системою розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис підпростору всіх її розв’язків. Теорема про фундаментальну систему розв’язків.

Украинкский

2013-08-04

55.5 KB

1 чел.

Поняття фундаментальної (базисної) системи розв’язків.

Як показано вище, множина M всіх розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь утворює підпростір.

Фундаментальною (базисною) системою розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь називається базис підпростору всіх її розв’язків.

Теорема (про фундаментальну систему розв’язків). Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь рангу r з n змінними. Тоді її фундаментальна система розв’язків складається з n-r розв’язків.

Іншими словами, розмірність підпростору всіх розв’язків системи дорівнює  n-r.

Доведення. Припустимо, що ранг однорідної системи лінійних рівнянь (1) дорівнює r. Множину всіх її розв’язків позначимо через M. Якщо r=n, то система має лише тривіальний розв’язок. Тоді M={θ}; n-r=0=dim{θ}=dim M, і твердження теореми виконується. Тому будемо вважати, що r<n. Складемо основну матрицю системи.

.

За означенням рангу системи, ранг матриці A дорівнює r. Це означає, що базисний мінор матриці Δr має порядок r, Δr ≠0,  а всі мінори в матриці порядку r+1, якщо вони існують, дорівнюють нулю. Можна вважати, що мінор Δr  будується на перших r рядках і r стовпчиках матриці. Інакше можна переставити рівняння системи і перенумерувати  змінні. Тоді, за теоремою про базисний мінор, r  перших рядків матриці A лінійно незалежні, решта рядків через них лінійно виражається. Це означає, що r перших рівнянь в системі (1) лінійно незалежні. Решта рівнянь лінійно виражається через перші  r рівнянь, тобто є їх наслідками. Рівняння-наслідки можна відкинути, при цьому перейдемо до еквівалентної системи

-------------------------------------------------------

Цю систему можна записати таким чином

     (2)

---------------------------------------------------------------

Оскільки базисний мінор Δr  матриці  A будується на перших r стовпчиках, то в системі (2) змінні x1,x2,…,xr  базисні, а змінні xr+1,xr+2,…,xn вільні . Якщо замість вільних змінних підставити будь-який фіксований набір чисел, то система (2) перетворюється на систему лінійних рівнянь відносно базисних змінних, причому ця система квадратна, а її головний визначник співпадає з мінором Δr, а тому не дорівнює нулю. Отже, система рівнянь відносно базисних змінних, за теоремою Крамера, має єдиний розв’язок.

Спочатку підставляємо xr+1=1,,xr+2=0,…,xn=0 і одержуємо розв’язок системи (2) відносно базисних змінних, який визначає розв’язок системи рівнянь (1)                 a1=(γ11, γ12 ,…, γ1r,1,0,…,0). Далі підставляємо xr+1=0,,xr+2=1,…,xn=0. Розв’язуємо систему відносно базисних змінних і одержуємо розв’язок системи (1)                    a2=(γ21, γ22 ,…, γ2r,0,1,…,0). Оскільки кількість вільних змінних дорівнює n-r, то можна зробити  n-r таких кроків. На останньому кроці одержимо розвязок системи рівнянь  (1) an-r=(γn-r,1, γn-r,2 ,…, γn-r,r,0,0,…,1).. Покажемо, що вектори a1,a2,…,an-r утворюють базис підпростору M розв’язків системи (1). Для цього перевіримо виконання двох умов базису.

  1.  доведемо лінійну незалежність розв’язків a1,a2,…,an-r. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λn-ran-r=

Вектор в лівій частині має координати12,…,βr12,…,λn-r). Отже12,…,βr12,…,λn-r)==.

 Звідси λ1=0, λ2=0,…,λn-r=0, лінійна комбінація тривіальна, і розв’язки лінійно незалежні .

  1.  покажемо, що всі  розв’язки  однорідної системи (1) лінійно виражаються через  a1,a2,…,an-r. При доведенні скористаємось таким фактором: якщо у двох розв’язків системи (1) координати починаючи з (r+1)- ї і до n- ї  співпадають, то ці розв’язки рівні. Цей факт випливає з того, що при фіксованих значеннях вільних змінних xr+1,xr+2,…,xn система (2) відносно базисних змінних має єдиний розв’язок, тобто перші r координат розв’язку системи (1) визначається однозначно .

Візьмемо довільний розв’язок системи (1) a=(β12,…,βrr+1r+2,…,βn). Нехай також b=βr+1a1r+2a2+…+βnan-r. Зрозуміло, що  b є M, тобто вектор b є розвязком  системи рівнянь (1). У розвязків a і b координати починаючи з (r+1) - ї і до n- ї   співпадають. Це означає, що a=b= βr+1a1r+2a2+…+βnan-r.

Умови базису виконуються, теорему доведено.

Наслідок. Нехай дана однорідна система лінійних рівнянь з n змінними рангу r. Тоді будь-які n-r лінійно незалежних  розв’язків системи утворюють її фундаментальну систему розв’язків.

Доведення. Нехай a1,a2,…,an-r - лінійно незалежна система розв’язків однорідної системи, а b1,b2,…,bn-r - її фундаментальна система розв’язків.

За означенням достатньо показати, що будь-який розв’зок x системи лінійно виражається через a1,a2,…,an-r. Оскільки вектори b1,b2,…,bn-r утворюють фундаментальну систему розв’зків, то всі вектори в системі  a1,a2,…,an-r,x лінійно виражається через b1,b2,…,bn-r. За лемою про дві системи, звідси система розв’зків a1,a2,…,an-r,x  лінійно залежна, тобто існує нетривіальна лінійна комбінація

λ1a12a2+…+λn-ran-r+γx=

Якщо γ=0, то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію векторів a1,a2,…,an-r, що суперечить їх лінійній незалежності . Отже, γ≠0 і . Таким чином розв’язок x лінійно виражається через a1,a2,…,an-r, звідси випливає твердження .


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40952. Создание Flash презентации 807.5 KB
  Создание Flshпрезентации Основные принципы создания презентации Способы создания презентации во Flsh Создание презентации Основные принципы создания презентации Способы создания презентации во Flsh Создание презентации Введение Презентация грамотно разработанная с помощью Flsh будет выгодно выделяться среди шаблонных продуктов рожденных в инкубаторе Microsoft Power Point. Основные принципы создания презентации Очень важно чтобы ваша презентация имела цельный законченный вид. После создания структуры...
40953. Программирование в Flash 785.5 KB
  Программирование во Flsh План Введение Знакомство с панелью Действия ctions Работа с действиями объектов Использование действий Возможности управления сценами с помощью сценариев ctionScript События мыши
40954. Объявление и инициализация переменной типа bool. Вывод данных на консоль 97 KB
  Консолью называется окно операционной системы, в котором пользователи взаимодействуют с операционной системой. Приложение может считывать пользовательский ввод из стандартного входного потока, записывать обычные данные в стандартный выходной поток и записывать данные об ошибках в стандартный поток сообщений об ошибках.
40955. Оператор выбора switch 358 KB
  Пример using System; nmespce Consoleppliction5 { clss Progrm { sttic void Minstring[] rgs { int cseSwitch = 5; switch cseSwitch { cse 1: Console. Если за меткой cse нет списка операторов то операторы brek goto cse или goto defult необязательны В примере управление передается списку операторов следующему за меткой cse 2 using System; nmespce Consoleppliction5 {...
40956. Политические идеи современности 75 KB
  В наши дни наблюдается усиление прикладного характера современных политических идей их использования для решения конкретных социальных и экономических проблем. Для него характерно пристальное внимание к вопросам социальных гарантий политической демократии. С одной стороны социальная драма модели государственного социализма догматического марксизма и в то же время – успех социалдемократии в решении социальных программ превращение в авторитетную политическую силу современности. Политическая дифференциация России выдвигает проблему...
40957. Пример использования делегата 112 KB
  Сортируемый класс Employee описывает данные о сотрудниках: код фамилия имя дата приема на работу заработная плата. Это реализуется определением в коде программы делегата: delegte bool CompreOpobject lhs object rhs; Сигнатуру метода сортировки Sort определим следующим образом: sttic public void Sortobject[] sortrry CompreOp gtMethod Параметр sortrry задает массив сортируемых объектов в рассматриваемом примере массив экземпляров класса Employee а параметр gtMethod – метод принимающий два параметра и возвращающий true если...
40958. Концепция типов данных 121.5 KB
  C поддерживают концепцию соглашение типов данных которая включает следующие договорённости: каждая переменная константа выражение функция относятся к некоторому типу; тип объекта либо определяется по внешнему виду либо задаётся специальным описанием; тип Т определяет множество значений допустимых для данных этого типа множество допустимых операций множество функций определённых для данных этого типа Т. Тип Т = {DomT OPT FunT} { некоторая область памяти её размер способ представления...
40959. Использование двоичного кода 357.5 KB
  Т подходящее имя для обобщенного типа: public clss List T { } public clss LinkedList T { } если к обобщенному типу предъявляются специальные требования например что тип должен реализовывать интерфейс либо наследоваться от определенного класса или же используется два или более обобщенных типа в качестве параметров то следует применять осмысленные имена типов: public delegte void EventHndler TEventrgs object sender TEventrgs e; public delegte TOutput Converter TInput T0utput TInput from; public clss SortedList TKey...
40960. История политической социологии в России 48.5 KB
  Проблемы политического устройства; критика негативов политических отношений в России: произвола и бесправия масс; выдвижение идей демократизации общественнополитической жизни в трудах А. Социальнополитические программы и конституционные проекты демократического преобразования политического строя России политических лидеров и деятелей XIX начала XX веков Т. Основоположение ихлитической социологии как самостоятельной науки в России русский ученый М.