22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розвязки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розвязків а деякий частковий розвязок M множина всіх розвязків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розвязок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

64702. Учет нематериальных активов 2.04 MB
  Кроме того, к нематериальным активам могут относиться организационные расходы (расходы, связанные с образованием юридического лица, признанные в соответствии с учредительными документами вкладом участников (учредителей) в уставный (складочный) капитал), а также деловая репутация организации.
64703. РАСХОДЫ НА ФИНАНСИРОВАНИЕ БЮДЖЕТНЫХ ИНВЕСТИЦИЙ 495 KB
  Целью данной работы является рассмотрение и изучение проблем и возможностей улучшения формирования расходов на финансирование бюджетных инвестиций. Задачи исследования: изучить теоретические основы бюджетных инвестиций; изучить формы государственного финансирования экономики...
64704. Доходах и расходах государственного бюджета 852.5 KB
  Понятие государственного бюджета понятие расхода и дохода государственного бюджета. Так в практической части данной работе рассматривается влияние доходов государственного бюджета на расходы государственного бюджета.
64706. АНАЛИЗ ДОХОДОВ ОТ ОСНОВНЫХ ОПЕРАЦИЙ БАНКА 487 KB
  Постоянные изменения экономической социальной правовой и культурной среды сохраняющееся недоверие населения к финансовым институтам и особенной банкам вместе с тем усиление конкуренции на российском рынке финансовых услуг приводят к тому что...
64707. Семь основных инструментов контроля качества 1.34 MB
  Обычно цели сбора данных в процессе контроля качества состоят в следующем: контроль и регулирование процесса; анализ отклонений от установленных требований; контроль выхода процесса. Если например возник вопрос о вариации качества изделия в течение дня то необходимо собирать несколько данных.
64708. ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА 3.2 MB
  Опционы продажи обратный тип по отношению к опционам купли. Английское название такого опциона put options. Дело в том что покупатель опциона в момент заключения контракта выплачивает эмитенту определенную премию размер которой объявлен заранее и которая выплачивается сразу.
64709. ІСТОРІЯ РІДНОГО КРАЮ 1.44 MB
  Зледеніння на території області його причини. Після просмотру такого уявного фільму можна зрозуміти яке важливе значення мають дві перші геологічні ери відкладення яких широко представлені в Дніпропетровській області.
64710. ЛЕКЦИИ С ФИЛОСОФИИ ДЛЯ СТУДЕНТОВ 605 KB
  Очень важную роль играет также методологическая функция философии, вытекающая из универсального характера философского знания. В итоге ее общие принципы и методы становятся общеметодологическими по отношению к специфическим дисциплинарным.