22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розвязки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розвязків а деякий частковий розвязок M множина всіх розвязків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розвязок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

39039. Понятие информационной системы 98.5 KB
  Сейчас пришло время дать этому понятию более точное определение: Информационная система ИС это взаимосвязанная совокупность средств методов и персонала используемых для хранения обработки и выдачи информации в интересах достижения поставленной цели. Как видно из определения информационные системы обеспечивают сбор хранение обработку поиск выдачу информации необходимой в процессе принятия решений задач из любой области. Основными элементами работы информационных систем являются: ввод новой информации и выдача текущей информации по...
39040. Классификация информационных систем 123 KB
  Основная проблема классификации ИС заключается в том что единой системы оснований для классификации выработать не удалось. Предлагается классифицировать информационные системы по следующим признакам: По масштабам применения настольные офисные и корпоративные. ПО: различные программные приложения связанных общим информационным фондом Такие приложения создаются с помощью так называемых настольных СУБД FoxPro Prdox dBse MS ccess или с помощью файловой системы и диалоговой оболочки для ввода редактирования и обработки данных. Это...
39041. Документальные информационные системы 237 KB
  Практика показывает что чаще всего информация представлена не в виде структурированных массивов данных а в виде простых текстовых документов. В отличие от ФИПС в результате проведения информационного поиска ДИПС выдает потребителю не конкретные сведения факты а совокупность документов смысловое содержание которых соответствует его запросу. Поэтому для автоматизации информационного поиска необходимо формализовать представление смыслового содержания информационного запроса и документов то есть перейти от их записи на естественном языке...
39042. Фактографические информационные системы 194 KB
  Основными компонентами фактографических систем являются Базы Данных и системы управления Базами Данных СУБД. Ее основные задачи: распределение внешней памяти; определение структуры файла; способы именования файлов и отображение их имен на пространство адресов внешней памяти; обеспечение доступа к данным; обеспечение защиты данных в файлах; способы многопользовательского доступа к файлам. Ограничения файловых информационных систем Разделение и изоляция данных. Обработка данных из разных файлов обычно требует значительных усилий...
39043. Интеллектуальные информационные системы ИИС. Экспертные системы 146 KB
  Основные задачи ИИ Представление знаний и разработка систем основанных на знаниях; Разработка естественно-языковых интерфейсов; Разработка систем машинного перевода; Распознавание образов идентификация неизвестного объекта по его признакам; Создание обучающихся и самообучающихся систем; Программное обеспечение интеллектуальных систем развитие существующих...
39044. Информационные системы в экономике и бизнесе 93 KB
  ; Не удавалось построить оптимальную модель планирования при увеличении количества комплектующих до тысяч единиц нельзя чтобы изза отсутствия одной гайки простаивал конвейер по сборке авиадвигателя каждая из которых характеризуется своей динамикой поведения запасов. Усложнение методов планирования запасов привело к появлению более развитого стандарта планирования потребностей в материалах Mteril Requirement Plnning MRP. Недостаток методики MRP: Отсутствие контроля выполнения плана закупок и механизма корректировки этого плана в...
39045. Понятие информации. Способы измерения и оценки информации 196 KB
  Понятие информации Понятие информации Несмотря на то что информация является базовым понятием информатики и кибернетики дать ей точное определение весьма затруднительно. В настоящее время можно выделить три основных подхода к понятию информации: Общенаучный философский. Рассмотрим например переход вещества из твердого состояния в жидкое здесь можно наблюдать материальные преобразования энергетические затраты а также потерю информации относительно расположения атомов. Другой пример: образовательный процесс который сам по себе...
39046. Основные процессы преобразования информации 114.5 KB
  Основные процессы преобразования информации Информационная деятельность Уже говорилось что по мере развития общества происходит перераспределение трудовых ресурсов из сферы материального производства в сферу информационного. Деятельность по сбору и обработке существующей и созданию новой информации называется информационной деятельностью. Создание информационного продукта это ответ на появление некоторой информационной потребности под которой понимают совокупность элементов информации данных необходимых и достаточных для...
39047. Сбор и предварительная обработка информации 34 KB
  Целью лабораторной работы является получение навыков в поиске научно-технической информации (НТИ) в сети Internet, а также автоматизированного перевода научно-технических документов.