22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розвязки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розвязків а деякий частковий розвязок M множина всіх розвязків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розвязок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7734. Захист населення в умовах надзвичайних ситуацій 785 KB
  Захист населення в умовах надзвичайних ситуацій Програмна анотація Заходи та засоби захисту населення в умовах надзвичайних ситуацій. Організація і проведення рятувальних та невідкладних робіт у районах лиха. Організація рухомих пу...
7735. Психологическая коррекция и ее виды 98 KB
  Психологическая коррекция и ее виды В жизни довольно часто приходится встречаться с проблемами и вопросами, относящимися к области психологии. Человек устроен таким образом, что ему свойственно стремиться к внутреннему равновесию, гармонии...
7736. Особенности составления психокоррекционных программ 69.5 KB
  Особенности составления психокоррекционных программ. Принципы составления и основные виды психокоррекционных программ Основные принципы составления психокоррекционных программ Составляя различного рода коррекционные программы, необходимо опирать...
7737. Основные направления в зарубежной психокоррекционной практике 185 KB
  Основные направления в зарубежной психокоррекционной практике. Коррекционные воздействия в классическом психоанализе Термин психодинамика был введен в 1918 г. Р. Вудвортсом. Согласно определению в центре психодинамического...
7738. Поведенческое направление 81 KB
  Поведенческое направление Поведенческое направление в психокоррекционной работе берет свое начало от работ Д. Вольпе и А. Лазаруса (середина 50-х - начало 60-х годов), хотя корни его уходят в бихевиоризм Д. Уотсона и Э. Торндайка. В основе дан...
7739. Когнитивное направление психокоррекции 149.5 KB
  Когнитивное направление психокоррекции. Особенности когнитивной психокоррекции Когнитивная психология появилась как ответная реакция на бихевиоризм и гештальтпсихологию. Поэтому в когнитивной психокоррекции основное внимание уделяется познавател...
7740. Трансактный анализ Э. Берна 56.5 KB
  Трансактный анализ Э. Берна Э. Берн создал популярную концепцию, корни которой уходят в психоанализ. Однако концепция Берна вобрала в себя идеи и понятия как психодинамического, так и бихевиористского подхода, сделав акцент на определении...
7741. Гештальттерапия Ф. Перлза 64.5 KB
  Гештальттерапия Ф. Перлза Метод, созданный американским психологом Ф. Перлзом под влиянием идей гештальтпсихологии, экзистенциализма, психоанализа, получил большую практическую популярность. Ф. Перлз перенес закономерности образования фигуры...
7742. Методы практической коррекции 171.5 KB
  Методы практической коррекции § 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МЕТОДА Игровая терапия - метод психотерапевтического воздействия на детей и взрослых с использованием игры. В основе различных методик, описываемых этим понятием, лежит признание того, что...