22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розвязки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розвязків а деякий частковий розвязок M множина всіх розвязків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розвязок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40488. Образ Бабы Яги 21.5 KB
  Баба Яга живет в избушке находящейся на границе двух миров в тёмном лесу. Баба Яга безусловно злой персонаж но делает добрые дела. Костяная нога лежит на печи: нос в потолок врос а пятки в дверь упираются атрибуты смерти Баба Яга живет в гробу С одной стороны Баба Яга окружена атрибутами смерти а с другой атрибуты кухни. В XVIII веке в Европе добрая волшебница и злая колдунья; в России одна Баба Яга.
40489. Образ врагов в былинах 20 KB
  Образ врагов в былинах. Эволюция образа: Змей Горыныч самый древний зооморфный СоловейРазбойник промежуточный образ терратоморфный Тугарин человек но остается змеиное крылья от Горыныча антропоморфный король литовский Калин антропоморфные сам богатырь если отпадет от земли русской Дунай.
40490. Образ Ивана Дурака 24 KB
  Образ Ивана Дурака. Иван Дурак открывает ряд литературных персонажей который заканчивается Христом. В волшебной сказке Иван дурак в архетипичном смысле слова. Иван Дурак высокий дурак ср.
40491. Образ Ильи Муромца в былине Илья и Святогор 20.5 KB
  Образ Ильи Муромца в былине 'Илья и Святогор'. Инвариант: Святогор и велик и высок его земля не держит и он ездит по горам всё что находится в горизонтальной плоскости хорошо всё что в вертикальной плохо. Святогор и Русь несовместимые понятия. Святогор символ природы гора камень.
40492. Образ Князя Владимира в былинах 21 KB
  Образ Князя Владимира в былинах. Основную часть русских былин прежде всего киевского цикла ученые связывают с Киевской Русью и правлением князя Владимира. Время князя Владимира время больших событий. Былинный образ Владимира прошел сложную историю.
40493. Образ Кощея 22 KB
  А рабство социальная смерть = Кощей полная смерть и физическая и социальная. он сама смерть т. смерть бессмертна. Как же можно победить смерть Смерть Кощея спрятана на конце иголки символ.
40494. Основные проблемы современной фольклористики 23 KB
  Основные проблемы современной фольклористики. У современной фольклористики те же самые проблемы что и у академических школ новые. Проблемы: вопрос о происхождении фольклора. проблемы изучения нового нетрадиционного фольклора.
40495. Особенности поэтики былин 28.5 KB
  Стих былины тонический многосложный с тремя или даже четырьмя сильными ударениями. Художественные средства былины подчинены оценке поведения персонажей. Структура былины: Запев вступление которое имеет целью привлечь внимание слушателей. Зачин устойчивое начало былины которое служит исходным моментом действия и часто содержит экспозицию.
40496. Особенности поэтики волшебной сказки 24.5 KB
  Особенности поэтики волшебной сказки. Композиция: начало и финал сказки очень жесткие В. Пропп Путьдорога = жизнь судьба героя 1 2 1 начало сказки: В некотором царстве в некотором государстве. 2 конец сказки: И я там было мед пиво пил по усам текло да в рот не попало.