22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розв’язків а деякий частковий розв’язок M множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розв’язок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20957. Робота Антивірусу Касперського 593 KB
  Вивчення інтерфейсу У цім завданні вивчається інтерфейс Антивірусу Касперського. У ньому також розташовані посилання на інші вікна  Вікна настроювань призначеного для настроювання завдань і компонентів  Вікна статистики й звітів у якому можна одержати дані про результати роботи антивірусу  Вікна довідкової системи У ході виконання завдання потрібно буде по черзі викликати всі чотири вікна інтерфейсу Антивірусу Касперського й ознайомитися з їхнім зовнішнім виглядом. Після успішного завершення процесу установки Антивірусу Касперського в...
20959. Національно-культурне піднесення 1920-1930-х рр.. Українська культура в період тоталітаризму 1.42 MB
  Початок 1920-х років було для української культури позбавленим світлих перспектив. Розділ Україні між сусідніми державами гальмував національну інтеграцію, в тому числі і в сфері культури. Культурний потенціал Україні був підірваний руйнівними наслідками громадянської війни, часткової окупацією країни. Військове лихоліття не тільки знищило духовні і матеріальні цінності, а й основного творця культурних цінностей - інтелігенцію.
20960. ПАРОЛЬНИЙ ЗАХИСТ 101 KB
  Текст програми include iostream include fstream include conio.h include string include iomanip include windows.h using namespace std; string decrypt string str { for unsigned int i=0; i str.size; i if str[i]=' ' str[i]=charabsshortstr[i]255; return str; } string encrypt string str { for unsigned int i=0; i str.
20961. Шифрування та дешифрування даних за допомогою алгоритмів перестановки (збивання) 141.09 KB
  У якості інформації використовувати копію файлу з розробленою програмою програма дешифрування інформації повернення початкового вигляду файла; Індивідуальні завдання: Метод €œспутаної шини€ Текст програми: DEFINT IN: DEFSTR S RANDOMIZE 231 CLS: LOCATE 1 1 Lot = 5 s = FOR i=1 TO 64:s=sCHR6525RND:NEXT PRINT s; text : sav = s s = FOR i=1 TO 192: s=sCHR255RND: NEXT 'шифрование FOR i = 0 TO Lot sc=MIDss1I3232 l=2^i:sl= : r= FOR j = 1 TO 32 kg=ASCMIDsc j 1 kl=ASCMIDs j 1...
20962. Шифрування та дешифрування даних за допомогою алгоритмів підстановки (заміна) 69.72 KB
  Програма дешифрування інформації повернення початкового вигляду файла; а також оцінити правильність процедури €œшифрування – дешифрування€ відсутність зміни результату відносно початкового файлу. Підготовка даних полягає в: Введення вихідного тексту; Створення тимчасового текстового файлу файл 1 та занесення в нього вихідного тексту; Створення тимчасового текстового файлу файл 2 для подальшого занесення в нього результатів роботи програми; Введенні або автоматичному виборі ключа; Для режиму дешифрування якщо ключ...
20963. Шифрування та дешифрування даних з використанням режиму шифрування 98.95 KB
  Індивідуальні завдання: алгоритм Counter Mode CTR Текст програми AutoSeededRandomPool prng; SecByteBlock keyAES::DEFAULT_KEYLENGTH; prng.size ; byte ctr[ AES::BLOCKSIZE ]; prng.GenerateBlock ctr sizeofctr ; string plain = CTR Mode Test ; string cipher encoded recovered; try { cout plain text: plain endl; CTR_Mode AES ::Encryption e; e.size ctr ; The StreamTransformationFilter adds padding as required.
20964. Шифрування та дешифрування даних за допомогою алгоритмів гамування 30.38 KB
  Індивідуальні завдання : конгруэнтные генераторы Линейными конгруэнтными генераторами являются генераторы следующей формы: в которых это nый член последовательности а предыдущий член последовательности. Период такого генератора не больше чем m. Если a b и m подобраны правильно то генератор будет генератором с максимальным периодом и его период будет равен m. Например для линейного конгруэнтного генератора b должно быть взаимно простым с m.
20965. Використання алгоритмів шифрування з відкритими ключами 45.99 KB
  Постановка задачі Необхідно розробити і налагодити дві програми: Програма шифрування інформації з використанням визначених алгоритмів. Програма дешифрування інформації повернення початкового вигляду файла; а також оцінити правильність процедури €œшифрування – дешифрування€ відсутність зміни результату відносно початкового файлу.09 funkcja f dla kazdej rundy czynniki pierwsze klucz zakryty p1 4 = 0 q1 4 = 0 p = 19; q = 23; n = pq; M = random n; print Message = M; print Cryptogram = C; C = M^2 n; m1= C ^...