22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розв’язків а деякий частковий розв’язок M множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розв’язок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14858. Бейнелеу өнерінің әмбебап тақырыбы, идеясы, мазмұны мен қыр-сыры 96.5 KB
  Бейнелеу өнерінің әмбебап тақырыбы идеясы мазмұны мен қырсыры Өткен жолыңды қорытындылау жете түсіну және бағалауға деген ұмтылыс әр саналы тұлғаға тән. Сондықтан адамның осы қасиеті оның ұлттық рухани түсінігінің жалпылама процестерін де анықтайды. Өнердің
14859. Бейнелік шығармалар мен мүсіндік композициялар 103.5 KB
  Бейнелік шығармалар мен мүсіндік композициялар Соғыстан кейінгі жылдары бізде мүсін өнері де пайда болғанын айта кету қажет. Онымен әуелі шеттен келгендер айналысса содан соң өзіміздің мүшелер шықты. Соның алдыңғы қатарында Исаак Иткинд де болды. Оның жұмыстарыны
14860. ӘЛЕМДIК ТҰТАСТАНУ 76 KB
  ӘЛЕМДIК ТҰТАСТАНУ [1]Бiр үлкен империяның құрамынан шығып ұлттық мемлекетiн ендiендi орнатып келе жатқан Қазақстан көз ашпастан күллi жиһанды қоршаған һәм бопсалаған әлемдiк тұтастану барысының өтiнен шыға келдi. Бiздi қатты толғандыратын шекара топырақ ұлттық егемендiк
14861. Әскери өнердің шыңдалған шыңы – жекпе-жек 66 KB
  Әскери өнердің шыңдалған шыңы – жекпежек Ұстағалиев Ернар ҚазҰУдің 4 курс студенті Ғасырлар бойы қалыптасқан қазақ халқының әскери өнері оның әскеритарихи болмысын айқындап берді. Көшпелілердің әскери жүйесінің мұрагері қазақтар өз заманына сай аталған өнерд...
14862. ИРАН ЖӘНЕ ТҮРКІСТАН 150.5 KB
  ИРАН ЖӘНЕ ТҮРКІСТАН Мұртаза Жүнісұлы БҰЛҰТАЙ ИСЛАМИЯТТЫҢ ТҮРКІСТАНДА ТАРАЛУЫ ЖӘНЕ ИРАН МӘДЕНИЕТІ Исламияттың Түркістан елдерінде таралуындағы Иран халықтары мен мәдениеттерінің алар орны ерекше. Сонау Хазіреті Мұхаммедтің 569632 vV: y[V2 yV7~ V. өмірінде парсы жұ
14863. Киiз туырлықты, ағаш уықты 36 KB
  Киiз туырлықты ағаш уықты Қазақы бала бала емес өзбекi мал мал емес деген мақал қазақтар мен өзбек сарттардың араласқұралас отырған аймағында пайда болған деп түсiндiредi ғалым Ә.Қайдар. Ташкенттiң базарына базарлауға барған қазақтардың астыүстiне түсiп қызмет iсте
14864. «КӨК БӨРІ» СӨЗІНІҢ ТҮРІК МИФОЛОГИЯСЫНАН АЛАТЫН ОРНЫ 72 KB
  КӨК БӨРІ СӨЗІНІҢ ТҮРІК МИФОЛОГИЯСЫНАН АЛАТЫН ОРНЫ Түбі бір түркі тілдес халықтардың ауызекі әдебиетінде түбірі мағынасы бір сөздер көптеп кездеседі. Біреуі өзінің мәнін жоғалтып пайдаланудан шықса енді бірі уақыт өте бейімделіп тұрмыстірлікте қолданып кел
14865. КӨНЕ ДӘСТҮРДIҢ ОЗЫҒЫН ҚАЙТА ЖАҢҒЫРТСАҚ 67 KB
  ТАРИХ ТАҒЫЛЫМЫ КӨне дәстүрдiң озығын қайта жаңғыртсақ Жұмағұл ШӨженов Балқаш қаласының мамандандырылған әкiмшiлiк сотының төрағасы Шешендiк өнер Ұлы даланың тiршiлiгiнен өмiрге келген табиғи туындысы сол ортаның мұрасы ұлттық рухымыздың биiгi д...
14866. Ежелгі түркілердің наным-сенімдері 82 KB
  Ежелгі түркілердің нанымсенімдері Халықтың діні нанымсенімдері мен көзқарастары оның тарихына руханимәдени саяси өміріне үлкен әсер ететін фактор болып табылады. Дін – руханияттың өзекті саласы. Дін тарихын білмейінше белгілі бір аймақты мекендеген халық