22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розв’язків а деякий частковий розв’язок M множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розв’язок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13563. Индивидом рождаются, личностью становятся, индивидуальность отстаивают 14.53 KB
  Индивидом рождаются личностью становятся индивидуальность отстаивают. А.Г. Асмолов Выбранное мною высказывание связано с проблемой природы человека различных сторон характеристик человеческого существа природы человека. Люди задумывались издревле кто мы как
13564. Люди не рождаются, а становятся теми, кто они есть 32.5 KB
  Люди не рождаются а становятся теми кто они есть. К.А. Гельвеций Выбранное мною высказывание связано с вопросом становления личности. Данная тема крайне актуальна в современном мире когда на развитие человека влияют множество факторов и социализация личности начи...
13565. Маргинальность – это результат конфликта с социальными нормами 28 KB
  €œМаргинальность – это результат конфликта с социальными нормами. А. Фаржд Выбранное мною высказывание связано с пониманием сущности маргинальности. В современном мире данный вопрос действительно является актуальным в свете того что маргинальные слои присутствуют...
13566. Маргинальность – это результат конфликта с общественными нормами 18.09 KB
  Маргинальность – это результат конфликта с общественными нормами. А. Фардж В выбранном мною высказывании автор рассматривает сущность такого социального явления как маргинальность. Эта проблема актуальна практически в любом обществе так как всегда находились лю
13567. Общество - свод камней, который обрушился бы, если бы один не поддерживал другого 13.14 KB
  Общество свод камней который обрушился бы если бы один не поддерживал другого Сенека. Выбранное мною высказывание затрагивает проблему общественной солидарности то есть взаимосвязи составляющих её элементов. Данная проблема всегда была и будет оставаться зна
13568. Потребности людей диктуют их поведение с такой же властностью, как сила тяготения - движения физических тел 15.77 KB
  Потребности людей диктуют их поведение с такой же властностью как сила тяготения движения физических тел Б.Ф Ломов Выбранное мною высказывание рассматривает проблему потребностей человека как определяющей движущей силы в его линии поведения. Данная проблема...
13569. Потребность во внимании, признании, самовыражении являются универсальными потребностями каждого индивида 14.02 KB
  Потребность во внимании признании самовыражении являются универсальными потребностями каждого индивида. Б.Д. Парыгин В выбранном мною высказывании затрагивается проблема значимости социальных потребностей связанных с жизнью и взаимоотношениями людей в обществ...
13570. Сухомлинский. В семейной жизни надо считаться с мыслями, убеждениями, чувствами, стремлениями любимых людей 30.5 KB
  В семейной жизни надо считаться с мыслями убеждениями чувствами стремлениями любимых людей В.А. Сухомлинский Выбранное мною высказывание касается формирования семейного уклада значимости семьи для человека. Данный вопрос крайне важен в современном мире так ...
13571. Способность не может возникнуть вне соответствующей конкретной деятельности 30 KB
  Способность не может возникнуть вне соответствующей конкретной деятельности. Б. М. Теплов Выбранное мною высказывание связано с ролью деятельности в развитии человеческих способностей в формировании личности. Данная тема крайне актуальна в современном мире и отно