22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розвязки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розвязків а деякий частковий розвязок M множина всіх розвязків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розвязок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22615. Методичні вказівки до роботи з комп'ютерними програмами обрахунку даних лабораторних робіт з механіки та вимірювального циклу 414.5 KB
  Значна кількість студентів має ускладнення з застосуванням методу найменших квадратів частинного диференціювання при обробці непрямих вимірюваньз вибором та застосуванням відповідної методики визначення похибок вимірювання. У роботі треба зробити прямі ввимірювання маси та лінійних розмірів тіл правильної геометричної форми і обрахувати густину речовиниз якої зроблене тіло. Вона зкомпонована з програми безпосередніх обчислень та програми Обробка прямих вимірювань яка використовується для обробки результатів спостереженьпов'язаних з...
22616. ВИВЧЕННЯ ПРУЖНОГО УДАРУ ДВОХ КУЛЬ 23.5 KB
  Користуючись методом найменших квадратів МНК визначити модуль пружності сталі E модуль Юнга. Дати оцінку похибки визначення модуля Юнга E за методом НК. Дати оцінку E для одного окремо взятого вимірювання вивести формулу середнього квадратичного відхилення модуля Юнга SЕ . Модуль Юнга сталі E = 20  1010 Н м2 .
22617. Вивчення коливань струни 63 KB
  Якщо у iдеально гнучкої однорiдної струни що має нескiнчену довжину i знаходиться у станi рiвноваги вiдтягнути маленьку дiлянку та потiм вiдпустити її то виникає збурення яке пересувається вздовж струни у двох протилежних напрямках утворюючи двi бiжучi поперечнi хвилi. Якщо довжина струни скiнчена то бiжучi хвилi вiдбиваються вiд її кiнцiв. Фази та амплiтуди вiдбитих хвиль залежатимуть при цьому вiд положення та засобу закрiплення кiнцiв струни.
22618. Прямі вимірювання 929.5 KB
  Щоб отримати наближені значення похибки у формулу підставляють не істинне а так зване дійсне значення вимірюваної величини. Коли мова йде про похибки то їх звичайно підрозділяють на 3 категорії: промахи систематичні похибки та випадкові похибки. Промахи або грубі похибки виникають як результат неуважності експериментатора несправності приладів різких відхилень в умовах проведення експерименту стрибок напруги в електричній мережі та таке інше. Систематичні похибки відзначаються тим що не змінюються протягом часу.
22619. Вимірювальний практикум. Механіка 23 KB
  Вступні лекції Перша лекція Друга лекція Третя лекція Вимірювальний практикум Визначення густини твердого тіла Вимірювання струмів та напруг у колах постійного струму Вимірювання опорів за допомогою мостової схеми постійного струму Вимірювання електрорушійної сили ЕРС та напруг компенсаційним методом Градуювання напівпровідникового датчика температури Методичні вказівки до лабораторної роботи Електронний осцилограф Завдання до лабораторної роботи Визначення питомого опору провідника Механіка Вивчення коливань струни Вивчення...
22620. Вимірювання опорів за допомогою мостової схеми постійного струму 57.5 KB
  Вимірювання опорів за допомогою мостової схеми постійного струму. Вимірювання невідомих опорів за допомогою мосту Уітстона. Вимірювальні магазини опорів блок гальванометрів джерело живлення набір невідомих опорівз'єднувальні провідники.1 Вона складається з чотирьох опорів R1 R2 R3 R4 утворюючих плечі мосту гальванометра G та джерела живлення U підключених відповідно до діагоналей мосту ВД та АС.
22621. Крутильний балістичний маятник 181 KB
  Визначення швидкості польоту кулі у повітрі за допомогою крутильного балістичного маятника. Макетна установка для здійснення непружної взаємодії кулі та крутильного балістичного маятника вимірювання його кута відхилення та періоду колівань металеві кулі. Як у випадку балістичного так і балістичного крутильного маятника час співудару кулі з маятником значно менший порівняно з періодом виникаючих коливань Т тобто маятник не встигає відчутно відхилитися за час співудару. Якщо під час руху маятника знехтувати моментом сил тертя то можна...
22622. Вимірювання струмів та напруг у колах постійного струму 60 KB
  Для вимірювань у колах електричного струму користуються електровимірювальними приладами які промисловість випускає у великій кількості. Найчастіше вимірювання у колах постійного струму здійснюється за допомогою приладів магнітоелектричної системи. Магнітоелектричні прилади дозволяють отримати кут повного відхилення стрілки у межах 90 100 і можуть бути використані для вимірювань тільки постійного струму.
22623. Градуювання напівпровідникового датчика температури 81.5 KB
  При вимірюванні опору постійному струму натискати кнопку K можна тільки після підключення об'єкту вимірювання.Зняти залежність опору напівпровідникового датчика від температури та побудувати графік T = f R. Наприклад як фізичний принцип за яким можна побудувати термометр широко використовується залежність опору R від температури Т. Для реєстрації незначних змін опору супутніх незначним перепадам температур потрібна апаратура високої точності а це ускладнює але не виключає зовсім застосування металів як датчиків температури.