22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розв’язків а деякий частковий розв’язок M множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розв’язок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

81395. Теоретико-категориальный аппарат социальной работы. Понятия «социальная помощь», «социальная защита», «социальная реабилитация», «социальные гарантии» 33.49 KB
  Теоретикокатегориальный аппарат социальной работы. Под социальной защитой можно понимать систему мероприятий осуществляемых обществом и его различными структурами по обеспечению гарантированных минимально достаточных условий жизни поддержанию жизнеобеспечения и деятельного существования человека. Социальная помощь система социальных мер в виде содействия поддержки и услуг оказываемых отдельным лицам или группам населения социальной службой для преодоления или смягчения жизненных трудностей поддержания их социального статуса и...
81396. Антидискриминационная направленность социальной работы. Эйджизм, сексизм и инвалидизм в современном обществе 39.68 KB
  С точки зрения феминистской теории сексизм это проявление патриархата то есть такого устройства общества при котором мужчины как социальная группа обладают властью над женщинами как социальной группой. Для оправдания идеологии сексизма как правило используются эссенциалистские утверждения объясняющие социальное неравенство мужчин и женщин их природными различиями. Исторически женщины были а в некоторых странах остаются ущемлены в гражданских правах по сравнению с мужчинами например лишены избирательных прав. Она может выражаться в...
81397. Явление стигматизации в современном обществе. Виды стигматизации. Приведите примеры проявления 39.99 KB
  В отличие от слова клеймение слово стигматизация может обозначать навешивания социальных ярлыков. В этом смысле стигматизация ассоциация какоголибо качества как правило отрицательного с конкретным человеком или группой людей хотя эта связь отсутствует или не доказана. Стигматизация является составной частью многих стереотипов. Виды социальной стигматизации можно классифицировать следующим образом: Культурная стигматизация социальные ярлыки укоренившиеся в культуре государства либо мировой культуре чукчи недогадливы.
81398. Виктимизация и криминализация как социальное явление 37.5 KB
  Виктимизация это процесс превращения человека в жертву преступления и результат этого процесса как в единичном так и в массовом порядке. Виктимизация Обстоятельства тормозящие нормальное развитие личности человека: Общество и его культура; Низкий уровень жизни; Безработица обычаи и традиции народа; Особенности семейного воспитания; Плохие экологические условия на месте проживания; Слабая социальная поддержка государства Все эти факторы могут превращать в жертву социализации. Виктимизация – процесс превращения человека в...
81399. Пенсионеры как объект социальной работы и социологического анализа 38.97 KB
  Роуз согласно которой культура становится стержнем объединяющим людей пожилого возраста создает особую близость между ними и в то же время обосабливает их от других возрастных когорт. Эта теория предполагает возрастную дифференциацию наряду с социальной разделяя людей на группы по их образу жизни и материальному положению. Терапевтические модели образующие фундамент практической работы с пожилыми людьми должны использовать 3 принципа: Изучение индивида в его социальной среде Понимание психосоциологического становления и развития...
81400. Социально-демографическая категория пожилых людей. Основные подходы к рассмотрению процесса ресоциализации пожилых людей 39.08 KB
  Основные подходы к рассмотрению процесса ресоциализации пожилых людей. У людей избравших в старости цель сохранения себя как личности важным является сохранение системы социальных связей и передача своего жизненного опыта. Рассматривая данную стратегию старения ученые отмечают что психика пожилых людей в этом случае отличается ориентировкой на настоящее и отсутствием депрессивной проекции на прошедшее.
81401. Принципы социальной работы с пожилыми людьми и основные аспекты социальной поддержки пожилых людей 39.62 KB
  Принципы социальной работы в отношении пожилых граждан следующие: принцип независимости подразумевает что пожилые люди должны иметь: доступ к основным благам и обслуживанию; возможность работать или заниматься какимилибо видами деятельности приносящей доход; участвовать в определении сроков прекращения трудовой деятельности; сохранять возможность участия в программах образования и профессиональной подготовки; жить в безопасных условиях с учетом личных наклонностей и изменяющегося состояния; получать содействие в проживании в домашних...
81402. Основные положения социальной политики в отношении пожилых людей 37.81 KB
  Устойчивое повышение уровня и качества жизни поддержание социально приемлемого образа жизни граждан старшего поколения осуществляется с учетом специфики положения возрастной и иной дифференциации пожилых людей национальных традиций конфессиональных и других различий по следующим основным направлениям: 1. усиление правовой защиты граждан пожилого возраста путем продвижения в действующее законодательство специальных норм способствующих реализации конституционных гарантий их прав осуществления комплексных мер оказания правовой и иной защиты...
81403. Социальное обслуживание пожилых людей 37.36 KB
  Традиционно в нашем обществе сложились три направления деятельности органов социальной защиты населения в том числе пожилых людей и старых людей: социальная помощь представление старым людям льгот и преимуществ; социальное обслуживание; организация пенсионного обеспечения. Для Большинства пожилых людей выход на пенсию это снижение доходов в полтора два и более раз. Отсутствие возможности у пожилых людей самостоятельно или с помощью родственников удовлетворять свои потребности не всегда должно являться основанием для помещения в...