22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розвязки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розвязків а деякий частковий розвязок M множина всіх розвязків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розвязок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

77263. Плечевое сплетение. Нервы его подключичной части 15.59 KB
  Нервы его подключичной части В межлестничном промежутке выше подключичной артерии демонстрируют плечевое сплетение pi. brchilis которое образовано передними ветвями четырех нижних шейных и частично первого грудного спинномозговых нервов. Из этих пучков происходят длинные нервы иннервирующие кожу и мышцы свободного отдела верхней конечности. Из латерального пучка происходят: 1 мышечнокожный нерв п.
77264. Формирование спинномозгового нерва, его ветви, состав волокон. Межреберные нервы 14.99 KB
  СМН он отдает 4 ветви: менингеальную заднюю переднюю и белую соединительную. Передняя и задняя ветви r. При этом менингеальная и задняя ветви имеют сегментарный принцип иннервации передние ветви участвуют в образовании сплетений шейного плечевого поясничного и крестцового.
77266. Кресцовое сплетение и его нервы 162.82 KB
  Pltxus sacralis - образовано передними ветвями 4-5 поясничного и 4 верхних крестцовых. Распологается на передней поверхности грушевидной мышцы. Ветви делятся на короткие, которые заканчиваются в области тазового пояса, и длинные, направляющиеся к свободной нижней конечности
77267. Сегмент спинного мозга 56.3 KB
  Заднекорешковые волокна Вставочные рассеянные клетки spongios et terminlis 12 выше и нижележащие geltinos 37 выше и ниже Задние латеральные передние собственные пучки ДЯПРСМ.
77268. Канатики спинного мозга. Восходящие и нисходящие проводники спинного мозга 105.58 KB
  Задний канатик афферентные пути: fsciculus grcilis Голля центральные отростки псевдоуниполярных клеток 19 нижних спинномозговых узлов сознательная проприоцептивная и частично тактильная чувствительность от нижних конечностей и нижней части туловища fsciculus cunetus Бурдаха 12 верхних от рецепторов мышц верхних конечностей шеи и верхней части туловища fsciculus proprius posterior аксоны вставочных нейронов сегментарного аппарата zon rdiculris горизонтальные нервные волокна центральные отростки псевдоуниполярных клеток...
77269. Оболочки и межоболочечные пространства спинного мозга. Содержимое этих пространств. Фиксирующий аппарат спинного мозга 13.58 KB
  От латеральной части отходят ligment denticult во фронтальной плоскости в форме зубцов верхушки которых охватываются отростками паутинной оболочки и заканчиваются на внутренней поверхности твёрдой посередине между двумя СМН rchnoide mter spinlis паутинная оболочка прозрачная плёнка переходит в паутинную оболочку головного мозга в области formen mgnum; на уровне SII сливается с мягкой оболочкой. Её отростки образуют влагалища для пронизывающих её корешков СМН и зубчатых связок. От боковой поверхности отходят отростки в виде рукавов для...
77270. Продолговатый мозг, его развитие, внешнее и внутреннее строение (ядра, проводники), артерии продолговатого мозга 385.3 KB
  Серое вещество: 4 группы ядер nuclei grcilis et cunetus; nuclei olive; nuclei formtion reticulris; ядра IXXII пар черепных нервов Черепные нервы продолговатого мозга: nn hypoglossus XII пара ccessories XI пара vgus X пара glossophryngeus IX пара.
77271. Мост, его развитие, внешнее и внутреннее строение (ядра и проводники). Артерии моста 147.51 KB
  Артерии моста. Внутреннее строение: На поперечном срезе можно выделить основание моста базилярную часть вентральную часть prs bsilris ventrlis; покрышку моста tegmentum pontis дорсальную часть prs dorslis и трапециевидное тело corpus trpezoideum Серое вещество: nuclei proprii pontis; nuclei formtion reticulris; nuclei nterior et posterior corporis trpezoideum; ядра VVIII пар черепных нервов. Черепные нервы моста n. Белое вещество: В базальной части основании моста проходят: tr.