22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розвязки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розвязків а деякий частковий розвязок M множина всіх розвязків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розвязок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

66791. ЧАСТНАЯ И ОБЩЕСТВЕННАЯ ФОРМЫ СОБСТВЕННОСТИ: СОЦИАЛЬНО-ФИЛОСОФСКИЙ АНАЛИЗ 748 KB
  Проблема собственности - одна из центральных проблем сегодняшнего времени, и она существенна не только для России, так и для других стран. Исследование данной темы важно для целей постижения её детерминант и причин двух основных форм собственности: частной и общественной.
66792. Конституційне право зарубіжних країн 682 KB
  Конституційне право в кожній зарубіжній країні — це основоположна, фундаментальна галузь усієї національної системи права. Як і будь-яка інша галузь права, вона являє собою сукупність конституційно-правових норм, що закріплюють економічну
66793. Основи теорії держави та права 3.37 MB
  У світі завжди існувало безліч теорій що пояснюють виникнення держави і права основними з яких є зокрема: Патріархальна теорія була поширена у Стародавній Греції та рабовласницькому Римі й трактувала державу як велику сім'ю. Теологічна теорія походження держави і права пояснювала...
66794. ОБГРУТНУВАННЯ ЕФЕКТИВНОСТІ НОРМ ВИЗНАЧЕННЯ ТА УЗГОДЖЕННЯ ПОДАТКОВИХ ЗОБОВЯЗАНЬ В КОНТЕКСТІ ЧИННОЇ ПРАКТИКИ ПОДАТКОВОГО АДМІНІСТРУВАННЯ В УКРАЇНІ 139 KB
  Відповідно до Податкового кодексу України від 2 грудня 2010 року податкове зобовязання це сума коштів яку платник податків у тому числі податковий агент повинен сплатити до відповідного бюджету як податок або збір на підставі в порядку та строки визначені податковим законодавством.
66796. Контрольная работа по экономическому анализу 61 KB
  Розрахувати методом факторного аналізу вплив на відхилення фактичного значення показника продуктивності праці робітника за рік від планового наступних факторів: а зміни числа робочих днів; б зміни тривалості зміни; в зміни годинного виробітку робітників.
66797. КОНЦЕПТ «PUNISHMENT» В СОВРЕМЕННОМ АНГЛИЙСКОМ ЯЗЫКЕ 121 KB
  Проблема наказания изучается многими науками в фокусе которых находится человек. Объектом исследования являются языковые репрезентации объективирующие концепт PUNISHMENT и представляющие собой как отдельные лексические единицы так и словосочетания а также метафорические выражения и высказывания значение...