22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розвязки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розвязків а деякий частковий розвязок M множина всіх розвязків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розвязок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62802. Плетение 57.45 KB
  Оборудование: образец закладки для книг метровая линейка. А какая из этих книг будет той о которой говорилось в начале стихотворения Почему вы так решили Значит как с этой книгой обращались Верно А что нужно делать для того чтобы книга на долгое время сохранялась...
62803. Приемы изготовления сюжетной композиции «Лодочка» по образцу 18.35 KB
  Я буду называть материалы и инструменты а вы будете хлопать в ладоши при их наличии. Выполняя эту аппликацию вы будете продолжать осваивать приемы работы с бумагой: разметку по шаблону резание наклеивание. Это значит что синюю полосу вы будете приклеивать последней.
62804. Игрушка на 23 февраля 23.48 KB
  Что такое цилиндр Сегодня мы будем делать вот таких военных человечков. Посмотрите внимательно и скажите какая фигура является основой нашей поделки цилиндр. А кто может сказать что такое цилиндр...
62805. Работа с бумагой. Сгибание. Постройка дачи 15.41 KB
  Скажите чем вы занимались на прошлом занятии На этом уроке мы тоже будем работать с бумагой. Учитель: Итак мы переходим к практической работе. Учитель заготавливает детали для аппликации дети за ним повторяют.
62807. Пасха. Виготовлення святкової листівки 17.71 KB
  Обладнання для вчителя: зразки різних листівок зразки поетапного показу кольоровий папір альбомний папір технологічні картки. Обладнання для учнів: папір кольоровий і альбомний ножиці клей олівець.
62809. Поглиблення знань про тверді та м’які приголосні на письмі 19.09 KB
  Актуалізація опорних знань ЗУН учнів Прочитайте звукосполучення в таблиці ссь цуцю зизі раря дудю дзудзю татя лелє ненє Які букви вказують на мяку вимову попереднього приголосного звука Які букви помякшують тверді приголосні...