22923

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь

Доклад

Математика и математический анализ

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь. Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь 3 L множина всіх її розв’язків а деякий частковий розв’язок M множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи 4. Нехай a=γ1γ2γn і припустимо що b=λ1λ2λn довільний розв’язок системи 3 тобто b є L.

Украинкский

2013-08-04

43 KB

0 чел.

Теорема про розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь.

Нехай дана неоднорідна система лінійних рівнянь

             (3)

----------------------------

Цій системі відповідає однорідна система  лінійних рівнянь

                   (4)

----------------------------

     

Припустимо, що система (3) сумісна.

Теорема (про   розв’язки неоднорідної системи лінійних рівнянь). Нехай дана сумісна неоднорідна система лінійних рівнянь (3), L- множина всіх її розв’язків, а деякий частковий розв’язок, M- множина всіх розв’язків відповідної однорідної системи (4).. Тоді.L=a+M={a+x|xєM}

Доведення. Покажемо спочатку, що . Нехай a=(γ12,…,γn) і припустимо, що  b=(λ12,…,λn) - довільний розв’язок системи (3), тобто b є L. Доведемо, що вектор c=b-a є розв’язком однорідної системи (4).

Для цього підставимо координати вектора  c==(λ1- γ12- γ2,…,λn- γn) в i - е рівняння системи (4). Оскільки a  і  b є розв’язками системи рівнянь (3), то αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni,                   αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλni, . Звідси  

αi1(γ1- λ1)+ αi2(γ2- λ2)+…+ αin(γn- λn)=( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)-( αi1λ1+ αi2λ2+…+ αinλn)= βi- βi=0.

Отже, координати вектора с задовольняють рівняння системи (4). Це означає, що с є M.. Але      c=b-a  , звідси b=a+c, де с є M. Тобто,   b є a+M, і включення   доведено.

Покажемо, що . Нехай x=(μ12,…, μn) є M., тобто вектор x є розв’язком системи рівнянь (4). Покажемо, що a+x є L.. Для цього координати вектора a+x=( γ11, γ22,…, γnn) підставимо в i - е рівняння системи (3). При цьому враховуємо, що αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγni, αi1μ1+ αi2μ2+…+ αinμn=0.   Звідси

αi1(γ11)+ αi2(γ22)+…+ αin(γn+ μn)= (αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)+( αi1γ1+ αi2γ2+…+ αinγn)= βi+0= βi.

Отже, координати вектора a+x  задовольняють рівняння системи (3), тому a+x є L. Таким чином, .

З двох включень  випливає, що  L=a+M. Теорему доведено.

Наслідок. Якщо a - деякий частковий  розв’язок неоднорідної системи лінійних рівнянь (3), а вектори a1,a2,…,an-r утворюють фундаментальну систему розв’язків однорідної системи лінійних рівнянь (4), то будь-який розв’язок в системі рівнянь (3) можна подати у вигляді                 b=a1a1+ λ2a2+…+ λn-ran-r, де  λ1, λ2,…, λn є R.

 

Список літератури.

  1.  Курош А. Г. Курс высшей алгебры.
  2.  Проскурянов И. В. Сборник задач по линейной алгебре.
  3.  Фаддеев


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

59327. Сценарій фестивалю “Повір у себе” 32.5 KB
  Весна. Цвіте на землі і летить у небесах, як сонячна богиня волі, розбуджує природу, звільняє від снігів і морозів землю, розсіває квіти і квітчає сади. Весна – це поклик молодості, голос радості й щастя, віри й любові, надії й краси, поезії й пісні.
59328. Ток-шоу “Дзеркало” 53.5 KB
  В його програмі будуть висвітлюватися актуальні питання опираючись на твори мистецтва та досвід з власного життя. Яке ще призвання Туди ідуть щоб забезпечити собі безбідне і спокійне життя.
59329. Місце Т. Шевченка в українському національному відродженні 42.5 KB
  Тарас Оксано Подивись що я намалював. Оксана Ой як гарно яка хатинка Тарас а ти мене колинебудь намалюєш Тарас Звичайно. А вірша про тебе складу хочеш Голос мачухи: Тарас Тарас Ой лихо мені.
59330. Повторення таблиць множення і ділення чисел 2 і 3. Складання задач на дві дії за даним виразом. Знаходження значень буквенних виразів 39 KB
  Мета: Виявити обсяг і якість знань про множенні і ділення таблиць 2 і 3, рівень навичок у лічбі та обчислювальній діяльності; Вдосконалити вміння учнів розв’язувати задачі на 2 дії за даним виразом. Розвивати пам’ять, логічне мислення, зв’язне мовлення, увагу.
59332. Мамо, тобі низенько вклонюсь 36.5 KB
  Син: Чому у тебе у косі ясна Забриніла раптом сивина Мати: Од любові од. Син: А в бабусі голова біліш То ж мене бабуся любить більш Мати: В неї діти доньки і сини Додають сердешній сивини. Син: Чом же тітка біла як зима – В неї ж діток не було й нема Мати: Так синочку біла геть вона...
59334. Відкритий урок „Тарас Шевченко” 43 KB
  Портрет Тараса Шевченка рушники серветки. Тарасова доля то правда жива. Тарасе наш Кобзарю всюди Приходиш нині ти як свій Тебе вітають щиро люди На всій Україні моїй.
59335. О слово рідне! України слово! (Сценарій свята мови) 51.5 KB
  О слово рідне України слово Богдана мудрість і Тараса заповіт. О слово рідне Мудру і прадавнє Ти вросло з могутньої землі Тебе валуєви жорстоко розпинали А ти возносилось і не корилось – ні 3 учень. О слово рідне Подарунок мами І пісня ніжна і розрада нам Я всім на світі...