22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk – дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk – дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

34038. Установление ставок земельного налога. Льготы по взиманию земельного налога 36.5 KB
  ЗЕМЕЛЬНЫЙ НАЛОГ В 2011-2012 ГОДАХ. Земельный налог является местным налогом. на территории которой находится земельный участок. Земельный налог уплачивают организации и физические лица обладающие земельными участками на праве собственности праве постоянного бессрочного пользования или праве пожизненного наследуемого владения.
34039. Понятие и виды земельных споров. Виды и компетенция органов, уполномоченных разрешать земельные споры 35.5 KB
  Виды и компетенция органов уполномоченных разрешать земельные споры. Земельные споры. Как правило споры возникают в сфере использования земельных участков. Рассматривая земельные споры можно выделить 2 их вида.
34040. Правовой режим служебных земельных наделов 25 KB
  Основанием выделения работникам служебного земельного надела служит решение соответствующей организации о выделении работнику служебного земельного надела при наличии заявления работника. лесничий обязан предоставлять работникам государственной лесной охраны служебные земельные наделы и другие льготы предусмотренные законодательством. Увольнение работника из штата организации влечет за собой изъятие предоставленного земельного участка. В случае когда на служебном наделе произведен посев сельскохозяйственных культур право пользования...
34041. Правовой режим земель водного фонда 48 KB
  ЗЕМЛИ ВОДНОГО ФОНДА К землям водного фонда относятся: 1 земли занятые водными объектами; 2 земли водоохранных зон водных объектов; 3 земли выделяемые для установления полос отвода и зон охраны водозаборов гидротехнических сооружений и иных водохозяйственных сооружений и объектов. В частномельным MM с использованием воды изъятой из водных не водным а гражданским и иными отрас мьм жизни и деятел ьности е лями законодательства. водных отношении тесно вязаны Р территории Российской CoBOicynHWWSSrLS включению в...
34042. Правовой режим земельных участков предоставленных для жилищного, дачного, гаражного строительства, огородничества, садоводства. Нормы предоставления земельных участков 49 KB
  Садоводство огородничество и дачное строительство являются одними из наиболее распространенных видов землевладения и землепользования граждан на землях сельскохозяйственного назначения. Особенностью этих видов землевладения является то что подавляющее большинство его субъектов это граждане проживающие в городах и поселках городского типа. Эти отношения достаточно полно регулируются Законами О садоводческих огороднических и дачных некоммерческих объединениях граждан который был принят 15 апреля 1998 г. и О внесении изменений в...
34043. Правовой режим земель лесного фонда 56.5 KB
  Правовой режим земель лесного фонда. ЗЕМЛИ ЛЕСНОГО ФОНДА К землям лесного фонда согласно ст. 101 Земельного кодекса РФ относятся: 1 лесные земли а земли покрытые лесной растительностью; б не покрытые ею но предназначенные для ее восстановления вырубки гари редины прогалины; 2 предназначенные для ведения лесного хозяйства нелесные земли просеки дороги болота. Земли лесного фонда занимают больше половины территории России 59.
34044. Правовой режим особо охраняемых территорий (общие положения) 25.5 KB
  Правовой режим особо охраняемых территорий общие положения. Особо охраняемые природные территории определены законодательством РФ как участки земли водной поверхности и воздушного пространства над ними где располагаются природные комплексы и объекты имеющие особое природоохранное научное культурное эстетическое рекреационное и оздоровительное значение. Общественные отношения в сфере организации охраны и использования особо охраняемых природных территорий с целью сохранения уникальных и типичных природных комплексов и объектов...
34045. Правовой режим земель сельскохозяйственного назначения (общие положения) 79.5 KB
  Правовой режим земель сельскохозяйственного назначения общие положения. Правовой режим земель сельскохозяйственного назначения. В действующем Земельном Кодексе РФ целая глава посвящена закреплению правового режима земель сельскохозяйственного назначения. Правовой режим использования данных земель кроме ЗК РФ регулируется также специальным Федеральным законом от 24 июля 2002г.
34046. Правовой режим земель специального назначения 84 KB
  Землями специального назначения признаются земли отведенные в установленном порядке предприятиям учреждениям и организациям для выполнения соответствующих задач. Общим признаком всех видов земель данной категории является то обстоятельство что данные земли выступают в качестве территориального базиса и не являются сельскохозяйственными т. Правовой режим земель специального назначения распространяется и на земли других категорий. В зависимости от нахождения в той или иной категории земли специального назначения имеют определенный...