22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk – дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk – дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

84273. Взаимоотношения между микроорганизмами. Влияние антибиотиков на микроорганизмы 35.36 KB
  Примером метабиоза может служить порча сахаросодержащих субстратов плодовоягодных соков поврежденных плодов ягод когда на них сначала развиваются дрожжи превращающие сахар в спирт затем уксуснокислые бактерии превращающие спирт в уксусную кислоту и наконец мицелиальные грибы которые окисляют уксусную кислоту до углекислого газа и воды. В кефирном грибке например содержатся дрожжи и молочнокислые бактерии. Примером комменсалов могут служить бактерии нормальной микрофлоры тела человека. Молочнокислые бактерии например выделяя...
84274. Возможные пути регулирования жизнедеятельности микроорганизмов при хранении пищевых продуктов 33.45 KB
  Основными принципами хранения пищевых продуктов по Я. При хранении этих продуктов создаются условия препятствующие развитию микроорганизмов путем понижения температуры до 5 С и поддержания определенной влажности. К таким методам относятся использование низких температур охлаждение и замораживание удаление воды из продукта ниже предела необходимого для развития микробов сушка вяление добавление к продукту веществ соли сахара создающих высокое осмотическое давление повышение кислотности продукта путем добавления уксусной кислоты...
84275. Генетика как наука. Понятие о наследственности и изменчивости 34.37 KB
  В процессе жизни под влиянием факторов внешней среды свойства микроорганизмов могут изменяться. Приспособление микроорганизмов к новым условиям жизни называется адаптацией. Явления наследственности и изменчивости играют важную роль в жизни микроорганизмов для которых характерны интенсивный обмен веществ быстрое размножение и смена поколений чрезвычайно высокая способность приспосабливаться к новым условиям среды обитания. Поэтому существовали два противоположных мнения о наследственности и изменчивости микроорганизмов.
84276. Генотип и фенотип микроорганизмов 34.06 KB
  Гены подразделяются на структурные гены генырегуляторы и геныоператоры. Генырегуляторы контролируют синтез белковрепрессоров подавляющих функцию структурных генов а геныоператоры выполняют роль посредников между генами регуляторами и структурными генами. Гены обозначают строчными начальными буквами названия синтезируемого под их контролем соединения например his – гистидиновый ген rg – аргининовый ген lc и ml – гены контролирующие расщепление coответственно лактозы мальтозы.
84277. Формы изменчивости микроорганизмов 41.75 KB
  Фенотипические изменения При фенотипической изменчивости микробы образовавшиеся из одной материнской клетки могут различаться между собой по ферментативной активности морфологическим признакам потребности в источниках питания. Мутагенным действием обладают ультрафиолетовые рентгеновские и радиоактивные излучения которые вызывают повреждение генетического аппарата клетки. Бактериальные клетки в которых произошла мутация называют мутантами. Трансдукция – перенос генов фрагментов ДНК от донорской клетки бактерии к реципиентной...
84278. Практическое значение изменчивости микроорганизмов 31.56 KB
  Вследствие этого учение о наследственности и изменчивости микроорганизмов является научной основой систематики микроорганизмов и их идентификации. Знания закономерностей модификационной и мутационной изменчивости позволяют проводить целенаправленную селекцию отбор из популяций микроорганизмов особей с нужными человеку свойствами. Селекцию микроорганизмов для выделения полезных мутантов осуществляют несколькими путями: благодаря поиску и отбору полезных форм микроорганизмов из природных источников; в результате адаптации микроорганизмов...
84279. Спиртовое брожение. Химизм, условия проведения процесса. Возбудители. Практическое использование спиртового брожения 34.17 KB
  Практическое использование спиртового брожения Спиртовое брожение – микробиологический процесс превращения углеводов в спирт и углекислый газ. Суммарное уравнение реакции: С6 H12 O6 → 2 СНзCH2 ОН 2 СО2 Е глюкоза этиловый спирт Как и любое брожение это сложный многоступенчатый процесс см. Дрожжи верхового брожения вызывают бурное и быстрое брожение при температуре 20–28 С.
84280. Химизм процесса. Характеристика молочнокислых бактерий. Практическое значение молочнокислого брожения 33.66 KB
  Суммарное уравнение процесса имеет вид: С6H12О6 СНзСНОНСООН СООНСН2СН2СООН СНзСООН глюкоза молочная кислота янтарная кислота уксусная кислота СНзСН2ОН C02Н2 Е этиловый спирт К гетероферментативным молочнокислым бактериям относятся бактерии рода Streptococcus: Streptococcus dicetilctis Streptococcus cetoinicus; бактерии рода Lctobcillus: Lctobcillus brevis Lctobcillus helveticus а также бактерии рода Leuconostoc: Leuconostoc mesenteroides Leuconostoc cremoris. Характеристика молочнокислых бактерий Все молочнокислые бактерии...
84281. Пропионовокислое брожение. Химизм процесса, возбудители. Практическое использование пропионовокислого брожения 30.49 KB
  Практическое использование пропионовокислого брожения Пропионовокислое брожение вызывается пропионовокислыми бактериями относящимися к роду Propionibcterium. Химизм пропионовокислого брожения: ЗС6H12О6 → 4СНзCH2СООН 2СНзСООН 2CO2 2H2O Е глюкоза пропионовая уксусная кислота кислота Пропионовокислые бактерии – небольшие неподвижные грамположительные палочки не образующие спор факультативные анаэробы. Практическое применение пропионовокислого брожения Пропионовокислое брожение используется в сыроделии.