22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk – дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk – дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13766. Пишем сочинение на лингвистическую тему 175.5 KB
  1. Как сформулировано задание С2. Напишите сочинениерассуждение приняв в качестве тезиса слова известного лингвиста Г. Степанова: Словарь языка свидетельствует о чём думают люди а грамматика – как они думают. Аргументируя свой ответ приведите по 1 примеру из проч...
13767. Терминологический словарь к ЕГЄ. Биология 956 KB
  Аберрации. См. Мутации хромосомные. Абиогенез от греч. а частица отрицания bios жизнь и genesis рождение появление процесс возникновения живых организмов из веществ неорганической неживой природы. Автор гипотезы А.И. Опарин 1924. Абиотические экологические факторы о...
13768. Шпаргалка к ЕГЄ. Биология 202.5 KB
  1.Предмет задачи и методы изучения общей биологии. Значение общей биологии. Впервые этот термин был предложен в 1802 г. французким ученым Ж. Б. Ламарком. Для обозначения науки о жизни как особом явлении природы. Современная биология – это комплекс биологических наук изуча...
13769. Шпаргалка к ЕГЄ. Генетика и Биология 187 KB
  1Методы изучения наследственности человека Применимость к человеку классического генетического анализа как основного метода изучения наследственности и изменчивости исключена изза невозможности экспериментальных скрещиваний длительности времени достижения поло...
13770. ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ ПАСКАЛЬ 513.5 KB
  ОЛИМПИАДЫ ПО ИНФОРМАТИКЕ ЗАДАЧИ И РЕШЕНИЯ ЧАСТЬ 1 Задача №1 У продавца и покупателя имеется неограниченное количество монет достоинством к примеру. Покупатель купил товар на сумму n. Нужно найти минимальное количество монет которые будут использованы при рас...
13771. Курс лекций по языку программирования QBASIC 351.5 KB
  Введение Данный курс лекций по языку программирования QBASIC разработан согласно временному региональному компоненту государственного образовательного стандарта и может быть использован для ведения лекций преподавателями школ и лицеев а также учащимися как учебное...
13772. Системы счисления и перевод между ними 233 KB
  Оглавление Системы счисления Двоичная система счисления 8ая система счисления 16ая система счисления Перевод чисел из одной системы счисления в другую Перевод из 2ой системы в 10ую Пер...
13773. Методы решения иррациональных неравенств 61.6 KB
  Методы решения иррациональных неравенств. I Неравенствах вида решаются следующим образом. Если то решений нет. Если то неравенству соответствует равносидьная система II Неравенствах вида решаются следующим образом. Если то решений нет. Если то нераве...
13774. Методы решения иррациональных уравнений 113.5 KB
  Методы решения иррациональных уравнений. I Метод возведения в четные степени неравносильный переход нужна проверка и нечетные степени равносильный переход. II Уравнения вида решаются следующим образом. Уравнению вида соответствует равносильная система ...