22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

22955. Західноєвропейська філософія нового часу 53 KB
  Просвітництво 18ст. Ідеалізм або матеріалізм залежить від того як співвідноситься почуття зі світом. Поза нами існує матеріальний світ незалежний від нас явища цього світу впливають на наші органи почуття в нас виникають чуттєві образи цих явищ. Перш ніж пізнавати навколишній світ і природу треба підготувати свою свідомість подолати перешкоди ідоли або примари свідомості.
22956. Естетика 50 KB
  Історичний матеріалізм це є поширення поглядів матеріалізму на суспільне життя на людську історію. Фактично ці умови життя визначаються напрямком нашої свідомості. Тобто поступово переходимо на іншу позицію що засадою нашого суспільства і життя не є розум. Світова воля Шопенгауер біологічне життя Ніцше несвідоме життя Фрейд.
22957. Особливості сучасної західної філософії. Вітчизняні філософські традиції 54 KB
  Антропологізм ця тенденція орієнтує філософію на дослідження людини і світу культури. Сутність тенденції виражають наступні ідеї: вивчення життя окремої людини стоїть вище є більш значним ніж вивчення великих людських спільнот класів народів націй. відмова від розуміння сучасної людини як свободної і розумної здатної переробляти світ. Відмова від такого розуміння і перехід до розуміння людини яка жорстко обумовлена економікою політикою релігією та ін.
22958. Проблема свідомості 62.5 KB
  Свідомість самосвідомість мова. Проблема свідомості одна з найбільш важливих для дослідження і одна з найбільш загадкових оскільки свідомість не існує як окремий предмет дослідження. Свідомість присутня в кожному образі думці поєднує наші почуття і думки. Свідомість завжди проявляється через якийсь конкретний зміст який виражається думками знаннями образами.
22959. Психіка людини 56 KB
  Голодна людина має енергію скеровану на пошук їжі. Людина народжується в суспільстві яке задає певні правила виховання. Людина деякі з цих правил бере добровільно в свою свідомість як ті правил яким вона буде підкорятись. Людина перестає контролювати себе і відчуває певне задоволення.
22960. ПИТАННЯ ПРО ПРИРОДУ ЛЮДИНИ 68 KB
  Питання сутності людини це питання про те які глибинні людські якості визначають специфіку людини і проявляється зовні в її природі. Природи людини дуже суперечлива. Наші біологічні властивості це лише передумови виникнення людини а якщо не буде соціальних умов то людина не виникне.
22961. Виявлення сутності суспільства 63 KB
  Пізнання. Уявлення про знання і пізнання. Теорія пізнання її предмет і метод. Чуттєве і раціональне пізнання.
22962. Форми раціонального пізнання 62 KB
  На їх основі створюються більш складні форми наукового пізнання: 1. Умовивід це форма мислення за допомогою якої з раніше встановленого знання або судження виводяться нові знанні нові судження. Напрямком сучасної західної філософії для якої головна проблема це звязок пізнання і розуміння герменевтика.
22963. Наукове пізнання 46.5 KB
  Це сукупність способів принципів пізнання прийомів і процедур якими керуються в тій або іншій галузі науки. Ця дисципліна входить до якоїсь галузі науки. Для сучасної науки в цілому характерним є методологічний плюралізм тобто вона прагне використовувати будьякі принципи і прийоми дослідження в їхньому сполученні і взаємодії. Питання етики науки.