22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk – дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk – дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

37823. РЕКУРСИВНЫЕ ФИЛЬТРЫ 143.5 KB
  = Координаты нуля фильтрапробки на zплоскости. = Частота режекции в единицах главного диапазона Ширина фильтрапробки на уровне 0.9 полосы подавления должна быть равна Гц = Координаты нуля фильтрапробки на zплоскости.
37824. Діагностика комп’ютерних мереж 866.5 KB
  Головне вікно програми EtherSnoop Для роботи процесу перехоплення пакетів оберіть мережений інтерфейс вбудованої або зовнішньої мережевої карти що обирається за допомогою списку зображеного на рисунку 2. Рисунок 2 – Список для вибору мережевого інтерфейсу Для налагодження режиму перехоплення пакетів виконуються три етапи підготовки: Виділення буферу – розміру пам’яті для збереження інформації про перехоплені пакети рис. Рисунок 3 – Вікно налагодження розміру буфера Рисунок 4 – Вибір фільтру пакетів Рисунок 5 – Вибір...
37825. Безпека в мережі 226 KB
  Перераховані порушення роботи в мережі викликали необхідність створення різних видів захисту інформації. Умовно їх можна розділити на три класи: засоби фізичного захисту; програмні засоби антивірусні програми системи розмежування повноважень програмні засоби контролю доступу; адміністративні міри захисту доступ у приміщення розробка стратегій безпеки фірми і т. Одним із засобів фізичного захисту є системи архівації і дублювання інформації. Для боротьби з комп'ютерними вірусами найбільше часто застосовуються антивірусні...
37826. Обробка масивів 87 KB
  Мета роботи: вивчити властивості компонента TStringGrid. Компонент TStringGrid При роботі з масивами введення і виведення інформації на екран зручно організовувати у виді таблиць використовуючи компонент TStringGrid. Значення N вводити в компонент Tedit А и В – у компонент TStringGrid. Результат після натискання кнопки типу TButton вивести в компонент TStringGrid.
37827. Організація обробки графічної інформації 57.5 KB
  При необхідності за допомогою убудованого редактора EditingChrt компонентові TChrt передаються дані про товщину стиль і колір ліній параметрах шрифту підписів кроках розмітки координатної сітки й інші настроювання. Для уведення вихідних даних використовуються вікна TEdit. З'явиться вікно редагування EditingChrt див. Натискаючи різні кнопки меню познайомитися з іншими можливостями EditingChrt.
37828. ОБРОБКА ПОДІЙ У DELPHI. КОМПОНЕНТИ TLISTBOX І TCOMBOBOX 69 KB
  Типи даних для роботи з рядками Короткі рядки типу ShortString і String[N]:Короткі рядки мають фіксована кількість символів. Рядок ShortString може містити 255 символів. Рядок String[N] може містити N символів але не більш 255. На етапі виконання програма визначає необхідну довжину ланцюжка символів і звертається до ядра операційної системи з вимогою виділити необхідну пам'ять.
37829. Програмування підпрограм та модулів 41 KB
  Контрольні запитання: Що називають підпрограмою Які види підпрограму мові Pscl Ви знаєте Які види параметрів Ви знаєте Які види змінних Ви знаєте Що називають моделем Яка структура модуля Як організувати модуль у Delphi Теоретичні відомості. Створення модуля: Створюючи модуль варто звернути увагу на те що він не повинний мати своєї форми. Для створення модуля в меню File вибрати File New і потім у репозиторії – піктограму. Ім'я модуля можна перемінити на інше що відповідає внутрішньому змістові модуля наприклад Unit...