22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40935. Самоконтроль на заняттях з легкої атлетики 31.5 KB
  Самопочуття після занять фізичними вправами повинне бути бадьорим настрій гарним людина не повинна почувати головного болю розбитості й відчуття стомлення. Як правило при систематичних занять спортом сон добрий зі швидким засипанням і бадьорим самопочуттям після сну. Вживати їжу відразу після занять не рекомендується краще почекати 3060 хвилин. Щоденник самоконтролю служить для обліку самостійних занять фізичною культурою й спорту а також реєстрації антропометричних змін показників функціональних проб і контрольних випробувань...
40936. Історія створення Міжнародного олімпійського комітету 92.5 KB
  Роль Пєра де Кубертена у відродженні сучасних Олімпійських ігор. Роль Пєра де Кубертена у відродженні сучасних Олімпійських ігор. Відродженню сучасних Олімпійських ігор світ зобовязаний в першу чергу енергії та наполегливості історика літератора педагога соціолога барона Пєра де Кубертена. Пєр Фреді барон де Кубертен народився у Парижі 1 січня 1863 року в багатій сімї французького живописця.
40937. Технология и безопасность взрывных работ 2.83 MB
  Рассмотрены основные теоретические и практические вопросы по курсу «Технология и безопасность взрывных работ». Учебное пособие предназначено для студентов четвертого курса заочной формы обучения специальностей направления «Горное дело»
40938. Когнітивний інструментарій комп’ютерної лінгвістики 133 KB
  Компютерна лінгвістика. Когнітивний інструментарій компютерної лінгвістики. Напрямки компютерної лінгвістики. Компютерна лінгвістика computtionl linguistics є маргінальною галуззю мовознавства спрямованою на розробку автоматизованих методів зберігання обробки переробки й використання лінгвістичних знань й інформації репрезентованої знаками природної мови.
40939. Оптимізація когнітивної функції мови 72 KB
  Квантитативна лінгвістика міждисциплінарний напрямок у прикладних дослідженнях в якому як основний інструмент вивчення мови та мовлення використовуються кількісні або статистичні методи аналізу. Компютерне моделювання мови та мовлення використання знання про частоту у компютерній лінгвістиці. Ідентифікація людини за усним мовленням потребує залучення відповідних технічних засобів що відображають певні фонетичні ознаки та здійснюється на підставі характеристик голосу: гучності тривалості висоти тону висотного діапазону висотного...
40940. Типи словників. Структура словників 100 KB
  За кількістю представлених мов словники поділяються на одномовні двомовні й багатомовні перші представляють лексикон однієї мови інші є перекладними й подають еквіваленти мовних одиниць. За функцією словники поділяються на дескриптивні й нормативні: перші спрямовані на повний опис проблемної галузі в розмаїтті всіх випадків слововживань наприклад діалектні словники словники жаргонів сленгу; другі орієнтовані на норму мови з них вилучено все що не відповідає літературній нормі. Одномовні словники за типом характеристики слова...
40941. Оптимізація функціонування мови як засобу передачі інформації 109.5 KB
  Перекладознавство є філологічною галуззю яка вивчає закономірності процесу перекладу з однієї мови на іншу в його різноманітних виявах а також досліджує міжмовні відповідники різних рівнів і механізми та способи досягнення різних типів еквівалентності текстів оригіналу й перекладу. Об'єктом перекладознавства можна вважати первинний оригінальний текст і вторинний текст як результат перекладу. Предметом перекладознавства є процес перекладу як подвійний інтерпретаційнопороджувальний дискурс головним суб'єктом якого є особистість перекладача....
40942. Розвиток буржуазної держави та права у Великобританії 38 KB
  Розвиток буржуазної держави та права у Великобританії Буржуазна революція в Англії. Розвиток буржуазного права. вже новий король Вільгельм підписав Біль про права яким затверджувалось верховенство парламенту в законотворчості. визначався неписаними правилами колегіальна відповідальність кабінету міністрів формування уряду з партії що перемогла на виборах відмова короля від права вето та ін.
40943. Розвиток буржуазної держави та права у Франції 53.5 KB
  Розвиток буржуазної держави та права у Франції Буржуазна революція у Франції. Розвиток державності Франції у XIX ст. Буржуазна революція у Франції.