22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20910. Исследование вращающихся трансформаторов 619 KB
  Основные теоретические сведения Вращающиеся поворотные трансформаторы ВТ электрические информационные микромашины переменного тока предназначенные для преобразования угла поворота в напряжение пропорциональное некоторым функциям угла например синусу или косинусу или самому углу поворота ротора. Вращающиеся трансформаторы используются в системах дистанционной передачи ДП угла повышенной точности; в качестве датчиков угла; счетнорешающих элементов аналоговых и аналоговоцифровых вычислительных устройств для решения геометрических...
20911. Исследование однофазных сельсинов 417.5 KB
  Систему синхронной связи передающую электрическим путем на расстояние угловые перемещения называют системой передачи угла или синхронного поворота. В системах электрического вала применяют трехфазные сельсины а в системах передачи угла однофазные сельсины. В зависимости от величины погрешности в индикаторной системе передачи угла сельсины делятся на четыре класса точности см. Параметр точности Класс точности 1 2 3 4 Погрешность следования в дистанционной передаче угла в индикаторном режиме угл.
20912. Исследование феррозондов 179 KB
  Это изменение достигается магнитным воздействием на сердечник с помощью обмоток возбуждения подключенных к источнику переменного тока. Здесь w1в и w2в обмотки возбуждения включенные встречно wвых выходная сигнальная обмотка. Встречное включение обмоток возбуждения расположенных симметрично относительно середины сердечника обеспечивает развязку цепей возбуждения и выхода и позволяет свести к минимуму величину выходного напряжения в отсутствие внешнего поля. При подаче в обмотки возбуждения переменного напряжения uв=uвмsint магнитная...
20913. Исследование статических тяговых характеристик силового электромагнита 265.5 KB
  При протекании тока по обмотке 3 электромагнита создается магнитный поток который проходит по магнитопроводу паразитному и рабочему воздушному зазорам. В последнем создается электромагнитная сила стремящаяся притянуть якорь электромагнита к стопу. Электромагнитное усилие определяется зависимостью 1 где коэффициент зависящий от конструктивных особенностей электромагнита; ток в обмотке; количество витков обмотки; зазор.
20914. Ознакомление с конструкциями и схемами включения электромагнитных реле 327.5 KB
  Основные теоретические сведения Реле это устройство в котором при достижении входной величиной определенного значения скачкообразно изменяется выходная величина. В зависимости от того на какое физическое явление реагирует воспринимающая система реле подразделяют на электромагнитные оптические химические механические пневматические и др. Реле используются для управления режимами работы аппаратуры или отдельных ее блоков систем устройств приборов и элементов а также для усиления преобразования контроля запоминания кодирования и...
20915. Исследование двигателей постоянного тока 578.5 KB
  Оборудование измерительные приборы и инструменты: лабораторная установка источники постоянного тока вольтметр амперметр тахометр магазин сопротивлений. В настоящее время в качестве исполнительных двигателей наиболее часто используются: двухфазные асинхронные двигатели с повышенным сопротивлением ротора; двигатели постоянного тока с независимым возбуждением или постоянными магнитами; 3 синхронные шаговые двигатели. В настоящей работе исследуется двигатель постоянного тока ДПТ.
20916. Исследование тахогенераторов постоянного и переменного тока 980.5 KB
  Оборудование измерительные приборы и инструменты: лабораторная установка источники постоянного и переменного тока вольтметры тахометр магазины сопротивлений и конденсаторов. По роду тока тахогенераторы делятся на ТГ постоянного тока и ТГ переменного тока. Допустимая амплитудная погрешность может составлять единицы процентов; минимум фазовой погрешности минимум изменения фазы выходного напряжения при изменении скорости вращения для ТГ переменного тока; симметричность выходной характеристики неизменность ее крутизны при изменении...
20917. Исследование электрических гиромоторов 327 KB
  Совокупность ротора электропривода роторных опор называемых главными опорами гироскопа и элементов крепящих двигатель на раме гироскопа представляет собой гиромотор гиродвигатель. Кинетический момент равен произведению момента инерции ротора J на угловую скорость его вращения 2: H=J2 . Для получения максимально возможного момента инерции ротора в заданных габаритах гиромоторы выполняются по обращенной схеме. В отличие от обычного двигателя статор гиромотора размещается внутри охватывающего его ротора.
20918. Классификаторы, коды и технология их применения 117 KB
  Контрольное число контрольная цифра разновидность контрольной суммы добавляется обычно в конец длинных номеров с целью первичной проверки их правильности. Контрольное число чаще всего это либо последняя цифра суммы всех чисел номера либо результат другой математической операции над цифрами. Вычисляется контрольное число A как остаток от деления контрольной суммы на 11 3. Если контрольное число A больше 9 то результирующее контрольное число A вычисляется как остаток от деления A на 10 4.