22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

13494. СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ 288 KB
  Лабораторная работа №11. Синтез систем автоматического регулирования. ПАРАМЕТРИЧЕСКАЯ КОРРЕКЦИЯ Дисциплина: ОПД.Ф.15. Теория автоматического управления 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Данная работа нацелена на приобретение студентами навыков синтеза САУ. Её целью является вы
13495. СИНТЕЗ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ. СТРУКТУРНАЯ КОРРЕКЦИЯ 386 KB
  Лабораторная работа №12. Синтез систем автоматического регулирования. СТРУКТУРНАЯ КОРРЕКЦИЯ Дисциплина: ОПД.Ф.15. Теория автоматического управления Цель работы Изучить влияние последовательного включения различных корректирующих звеньев на свойс
13496. СИНТЕЗ САР РЕЛЕЙНЫХ И ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ 97 KB
  Лабораторная работа №8 СИНТЕЗ САР РЕЛЕЙНЫХ И ЛОГИЧЕСКИХ СХЕМ. Цель работы: 1. Изучение методики синтеза релейной а также логической схемы. 2. Разработка САР на базе релейных и логических элементов путем моделирования структурной схемы на ЭВМ. 3. Практическая оценка и ис...
13497. Коррекция статических и динамических свойств САУ 334 KB
  Лабораторная работа №14. Тема: Коррекция статических и динамических свойств САУ 1. Цель работы Эта работа нацелена на приобретение студентами навыков анализа и синтеза САУ: 1 определение характеристик САУ которые необходимо скорректировать; 2 обеспечение
13498. Стеганографические методы передачи информации в сетях TCP/IP 1.27 MB
  Методические указания на проведение лабораторных работ Стеганографические методы передачи информации в сетях TCP/IP по дисциплине специальности. Введение Традиционно для защиты данных передаваемых по открытым сетям используются методы криптографии позв...
13499. Александр Александрович Блок 36.5 KB
  Александр Александрович Блок Родился в Петербурге в дворянской семье. Отец А. Л. Блок был юристом профессором Варшавского университета; мать А. А. Бекетова по второму браку КублицкаяПиоттух дочь ученогоботаника А. Н. Бекетова ректора Петербургского...
13500. Грибоедов Александр Сергеевич 40.5 KB
  Грибоедов Александр Сергеевич 1795-1829 Русский писатель поэт драматург дипломат. Александр Грибоедов родился 15 января по старому стилю 4 января 1795 в некоторых источниках указан 1790 в Москве в старинной дворянской семье. Дворянский род Грибоедовых шляхетск
13501. Гаврила Романович Державин 30 KB
  Гаврила Романович Державин 1743-1816 Державин Г.Р. российский поэт. Государственный деятель бывший статссекретарь при императрице Екатерине Второй сенатор и коммерцколлегии президент при императоре Павле член Верховного совета и государственный казначей а п
13502. Сергей Александрович Есенин 31 KB
  Сергей Александрович Есенин Сергей Александрович Есенин родился в селе Константинове Рязанской губернии в крестьянской семье. С малолетства воспитывался у деда по матери человека предприимчивого и зажиточного знатока церковных книг. Окончил четырехклассное сель...