22924

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ

Доклад

Математика и математический анализ

bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m k то перша система лінійно залежна. Нехай а1 а2 аm і b1 b2 bk дві системи векторів кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна то m≤k.

Украинкский

2013-08-04

37.5 KB

0 чел.

ЛЕМА ПРО ДВІ СИСТЕМИ.

Лема (1 формулювання). Нехай а1, а2, …., аm і b1, b2. …., bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно визначається через другу систему. Якщо m>k, то перша система лінійно залежна.

Лема (2 формулювання). Нехай  а1, а2, …, аm, і b1, b2, …, bk – дві системи векторів, кожен вектор першої системи лінійно виражається через другу систему. Якщо перша система лінійно незалежна, то mk.

Доведення. Доведемо лему в 1-му формулюванні індукцією за  числом  k векторів в другій системі.

Нехай спочатку k=1, тобто друга система складається з одного вектора b1. Всі вектори першої системи а1, а2, …,am лінійно виражаються через b1. За умовою вважаємо, що m>1, отже  а11b1, а22b1, …, аmmb1. Якщо серед коефіцієнтів α1, α2, …, αm є нульовий, то до першої системи входить θ, а  тому вона лінійно залежна. Припускаємо, що αj≠0, j=. Оскільки m>1, беремо два вектори a1=α1b1, a2=α2b1. Звідси

Лінійна комбінація нетривіальна, тому система векторів а1, а2 лінійно залежна. Звідси вся перша система лінійно залежна.

Припустимо тепер, що твердження леми виконується, якщо друга система складається з не більш ніж k-1 векторів, і нехай друга система складається з k векторів, всі вектори першої системи лінійно виражаються через другу і m>k. Тоді

a1=α11b112b2+…+α1,k-1bk-1+α1kbk

a2=α21b122b2+…+α2,k-1bk-1 +α2kbk

……………………………………

am-1=αm-1,1b1m-1,2b2+…+αm-1,k-1bk-1m-1,kbk

am=Αm1b1m2b2+…+αm,k-1bk-1mkbk

Розглянемо систему коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk. Якщо всі ці коефіцієнти рівні нулю, то всі вектори системи а1, а2, …, аm-1, ам лінійно виражаються через b1, b2, .., bk-1. Тоді, оскільки m>k>k-1, перша система лінійно залежна за припущенням індукції. Тому вважаємо, що серед коефіцієнтів α1k, α2k, …,αm-1,k, αmk є принаймні один ненульовий. Не втрачаючи загальності міркувань, можна покласти, що αmk≠0 (інакше можна перенумерувати вектори в першій системі). Перетворимо першу систему таким чином, щоб виключити вектор bk з усіх лінійних комбінацій,  крім останньої. Для цього від вектора а1 віднімемо , далі від а2 віднімемо , нарешті, продовжуючи цей процес, від am-1 віднімемо вектор .Одержимо

a1-=α11 b1+ α12 b2+…+ α1,k-1 bk-1=d1

a2-=α21 b1+ α22 b2+…+ α2,k-1bk-1=d2

…………………………………………………….

am-1-= αm-1,1 b1+ αm-1,2 b2+…+ αm-1,k-1 bk-1= dm-1

Ситема векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно виражається через систему b1, b2, .., bk-1. При цьому, оскільки m>k, то m-1>k-1. За припущенням індукції система векторів d1, d2, …,dm-1 лінійно залежна. За означенням, існує нетривіальна лінійна комбінація

γ1d1+γ2d2+…+γm-1dm-1=θ

Комбінація нетривіальна, тому γj≠0 для деякого значення індексу j (1≤jm-1). Отже,

aбо

γ1a1+ γ2a2+… γm-1am-1+ γmam=θ,  де

Лінійна комбінація нетривіальна, оскільки γj≠0. Тому перша система лінійно залежна. Лему доведено.

Основний зміст леми такий: лінійно незалежна система векторів  не може лінійно виражатись через систему з меншим числом векторів.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

36445. Зарубежная Азия 48 KB
  Азиатские страны населяют представители монголоидной и европеоидной рас говорящие па самых различных языках и диалектах. ЮгоВосточная Азия Континентальный район включает Бирму Таиланд Вьетнам Лаос Камбоджу Малайзию Островной макрорайон включает в себя две страны Индонезию и Филиппины Центральная Азия Япония Корейский район СевероВосточный и Восточный Китай Южный Китай с Тайванем. Среди них Стамбул Турция Амман Иордания древние города Ливана Баальбек Сайда а также организующийся туристский центр страны его...
36446. Северная Америка 27 KB
  В США создана крупнейшая в мире туристскорекреационная инфраструктура; число мест в гостиницах и мотелях исчисляется многими миллионами при этом возрастает роль мотелей. В США выделяются 7 туристскорекреационных зон: Восток Запад Центр Тихоокеанская зона ЮгоВосточное побережье Аляска Гавайские острова. Юговосточное побережье Юговосток США включает южную часть побережья Атлантики и побережье Мексиканского залива.
36447. Латинская Америка 35.5 KB
  К тому же вся Латинская Америка отличается большой экзотикой что объясняется и историей коренного населения индейцев и последующей колонизацией испанцами и португальцами а также и другими европейцами и перемещением из Африки в отдельные латиноамериканские страны большого числа жителей черного континента. По степени развития международного туризма в Латиноамериканском регионе можно выделить две туристскорекреационных зоны: 1 Карибская Мексика страны Центральной Америки островные государства Карибского моря Бермудские острова; 2...
36448. Африка 33 KB
  Северная Африка не только район преимущественно благоприятного для отдыха средиземноморского климата пляжей которые в ряде районов например в Египте начинают функционировать значительно раньше южноевропейских а в иных случаях действуют круглый год что весьма привлекательно для многих тысяч туристов но и зона где в огромном количестве сохранились в той или иной степени разрушения памятники древней культуры возраст которых исчисляется многими тысячелетиями. Именно страны Северной Африки принимают основной поток туристов которые...
36449. ОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ. ВМС. БИОХИМИЯ 1.78 MB
  Направление реакции определяется распределением электронной плотности в исходных соединениях статический фактор. Поэтому для них характерен радикальный механизм реакции. Семенова радикальное замещение протекает по цепному механизму включающему 3 стадии: hη 1 стадия инициирование реакцииСl2 → 2 Cl Под действием кванта света 1 электрон со связывающей σ орбитали молекулы хлора переходят на σ разрыхляющую орбиталь. Сl∙ R∙ → RCl Cl∙ Cl∙ → Cl2 Практическое применение этой реакции...
36450. ФИЗХИМИЯ 884.51 KB
  Тепловой эффект это теплота выделяемое или поглощаемое при необратимом течении хим реакции пр след. Тисх=Тпрод Другими словами закон Гесса можно сформулировать так: тепловой эффект реакции зависит только от вида и состояния исходных веществ и продуктов реакции но не зависит от пути перехода. Стандартная энтальпия хим реакций равна разности суммы стандартных энтальпий образования продуктов реакции и реагента с учетом стехиометрических коэффициентов. Стандартной энтальпией или теплотой образования вва при заданной температуре называют...
36451. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ХИМИЯ 252.91 KB
  Реальные потенциалы необходимы при определении хода потенциометрического титрования. Реальные потенциалы необходимы для решения вопроса о направлении окислительновосстановительного процесса и хода потенциометрического титрования. Опредся точка конечная и точка титрования.Алкелидиметрия HCl NOH Окислительновосстановительная аОх1вRed2=Ox2bRed1 Редоксиметрия Перманганометрия Дихроматометрия Иодометрия Вонадатометрия Цериметрия KMnO4 K2Cr2O7 I2 KI NH4xVO3 CuSO42 nMnL=[ML] Комплексонометрия Меркуриметрия комплексонометрия...
36452. КОЛЛОИДНАЯ ХИМИЯ 475.42 KB
  Удельная геометрическая поверхность Sуд = S V м2 м3 м2 кгВ общем случае: Sуд = kD Размеры частиц дисперсной фазы: Грунты: песчаные больше 50 мкм пылеватые 150 мкм Эритроциты крови человека 7 мкм Кишечная палочка 3 мкм Вирус гриппа 01 мкм 10 нм Дым древесный уголь 30 40 мкм Тонкие поры угля 110 нм...
36453. НЕОРГАНИЧЕСКАЯ ХИМИЯ 79.4 KB
  Активность возрастает отLi к Сs в данном ряду. растёт радиус атома а притяжение последнего электрона к ядру ослабевает поэтому самый активный в данном ряду Цезий. По отношению к воде: 2R2H2O=2ROHH2 где Rлюбой металл из семейства щелочных только литий растворяется спокойно натрий может загореться на поверхности воды а калий взрывоопасен с водой очень бурно реагирует Объясните кажущуюся аномалию положения Li в ряду электродных потенциалов Eo процесса Э 1е → Э в растворе представленных в таблице по сравнению с положением в...