22925

Поняття базису

Доклад

Математика и математический анализ

aik лінійно незалежна; Всі вектори системи a1 a2 am лінійно виражаються через ai1ai2. Базисом простору Rn називається система векторів a1 a2 an є Rn така що система a1 a2 an лінійно незалежна; Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1 a2 an. Звідси α1= α2==αn=0 лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна. Будьякий вектор простору лінійно виражається через e1e2en .

Украинкский

2013-08-04

25.5 KB

0 чел.

Поняття базису.

Означення. Базисом системи векторів a1, a2,… am є Rn  називається її підсистема ai1,ai2,..,aik  така, що

  1.  Підсистема ai1,ai2,..,aik   лінійно незалежна;
  2.  Всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через  ai1,ai2,..,aik.

Означення. Базисом простору Rn називається система векторів a1, a2,… an є Rn  така, що

  1.  система a1, a2,… an   лінійно незалежна;
  2.  Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1, a2,… an.   .

Покажемо існування базису простору  Rn. Візьмемо в просторі таку систему векторів:

Перевіримо виконання умови базису для даної системи.

  1.  Лінійна незалежність. Беремо лінійну комбінацію

α1e1+ α2e2+…+ αnen =,

тоді для координат векторів виконується

(α1, α2,…, αn)=(0,0,…,0).

Звідси α1= α2=…=αn=0, лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна.

2. Будь-який вектор простору лінійно виражається через e1,e2,…,en . Беремо довільний вектор    x=1, β2,…, βn). Тоді x= β1e1+ β2e2+…+ βnen .

Отже, умови базису виконуються. Базис e1,e2,…,en  називається стандартним базисом  простору Rn.

Ми переконалися в тому, що в просторі Rn існує лінійно незалежна система, яка складається з n векторів. Припустимо, що в просторі існують лінійно незалежні системи з числом векторів, більшим n . Візьмемо одну таку систему a1, a2,… am є Rn , m>n. За доведеним, вектори e1,e2,…,en утворюють базис простору,  тому всі вектори простору лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Зокрема, це означає, що всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Але, оскільки m>n, то  за лемою про дві системи, вектори a1, a2,… am  лінійно залежні, що суперечить припущенню. Отже, ми довели наступне твердження.

В просторі Rn будь-яка система з m векторів m>n лінійно залежна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47450. Общая экология. Виды биологических ритмов 42 KB
  Динамика и развитие экосистем. Динамика экосистем 2. Динамика и развитие экосистем. Динамика экосистем Любая экосистема приспосабливаясь к изменениям внешней среды находится в состоянии динамики.
47451. Биология как наука. Общая характеристика жизни 44.5 KB
  Общая характеристика жизни. Общая характеристика жизни. Развитие представлений о сущности жизни. Определение жизни.
47452. Клетка – элементарная биологическая система 117 KB
  Вне клетки не существует настоящей жизнедеятельности. Исходя из предположения о схожести гомологичности растительных и животных клеток доказываемой одинаковым механизмом их возникновения Шванн обобщил многочисленные данные в виде теории согласно которой клетки являются структурной и функциональной основой живых существ. Ему принадлежит вывод о том что клетка может возникнуть лишь из предсуществующей клетки. Выдающаяся роль клетки как первоисточника жизни обусловливается тем что именно она является биологической единицей с помощью...
47453. Изменчивость и ее формы 41.5 KB
  Изменчивость и ее формы. Изменчивость как свойство живых систем Модификационная изменчивость. Наследственная генотипическая изменчивость
47454. Генетика человека. Нормальная наследственность человека 31.5 KB
  Генеалогический метод Популяционностатистический метод Близнецовый метод Метод дерматоглифики Цитогенетический метод Биохимические методы Методы рекомбинантной ДНК Методы генетики соматических клеток Карты хромосом 1. Генеалогический метод Генеалогический метод является наиболее старым методом генетики человека. Метод относительно прост и доступен. В методе составляются и ё анализируются семейные родословные что позволяет определить наследственный или ненаследственный характер заболевания отдельного симптома;...
47455. Медицинская генетика. Медико-генетическое консультирование 33.5 KB
  Наследственные болезни человека Генные болезни Хромосомные болезни Болезни с наследственным предрасположением
47456. Воспроизведение на организменном уровне (размножение организмов). Онтогенез, общие закономерности. Прогенез 42.5 KB
  Тема: Воспроизведение на организменном уровне размножение организмов. Размножение организмов Бесполое размножение. Половое размножение
47457. ЭЛЕКТРОНИКА. Учебное пособие 21.81 MB
  Для полупроводников наиболее важной является валентная зона, образованная уровнями энергии валентных электронов невозбужденных атомов (т.е. при отсутствии внешней энергии) и ближайшая к ней разрешенная зона (см. рис.9-1). Разрешенная зона, в которой при возбуждении могут находиться электроны, называется зоной проводимости, или свободной зоной.
47458. Бухгалтерский учет, анализ и аудит, Методические указания по дипломному проектированию 665.5 KB
  В методических указаниях определены цель и задачи дипломного проектирования требования к содержанию структуре и оформлению дипломной работы порядок проведения защиты работы. Назначение руководителя и выбор темы дипломной работы Содержание основной части дипломной работы Порядок проведения защиты дипломной работы