22925

Поняття базису

Доклад

Математика и математический анализ

aik лінійно незалежна; Всі вектори системи a1 a2 am лінійно виражаються через ai1ai2. Базисом простору Rn називається система векторів a1 a2 an є Rn така що система a1 a2 an лінійно незалежна; Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1 a2 an. Звідси α1= α2==αn=0 лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна. Будьякий вектор простору лінійно виражається через e1e2en .

Украинкский

2013-08-04

25.5 KB

0 чел.

Поняття базису.

Означення. Базисом системи векторів a1, a2,… am є Rn  називається її підсистема ai1,ai2,..,aik  така, що

  1.  Підсистема ai1,ai2,..,aik   лінійно незалежна;
  2.  Всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через  ai1,ai2,..,aik.

Означення. Базисом простору Rn називається система векторів a1, a2,… an є Rn  така, що

  1.  система a1, a2,… an   лінійно незалежна;
  2.  Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1, a2,… an.   .

Покажемо існування базису простору  Rn. Візьмемо в просторі таку систему векторів:

Перевіримо виконання умови базису для даної системи.

  1.  Лінійна незалежність. Беремо лінійну комбінацію

α1e1+ α2e2+…+ αnen =,

тоді для координат векторів виконується

(α1, α2,…, αn)=(0,0,…,0).

Звідси α1= α2=…=αn=0, лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна.

2. Будь-який вектор простору лінійно виражається через e1,e2,…,en . Беремо довільний вектор    x=1, β2,…, βn). Тоді x= β1e1+ β2e2+…+ βnen .

Отже, умови базису виконуються. Базис e1,e2,…,en  називається стандартним базисом  простору Rn.

Ми переконалися в тому, що в просторі Rn існує лінійно незалежна система, яка складається з n векторів. Припустимо, що в просторі існують лінійно незалежні системи з числом векторів, більшим n . Візьмемо одну таку систему a1, a2,… am є Rn , m>n. За доведеним, вектори e1,e2,…,en утворюють базис простору,  тому всі вектори простору лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Зокрема, це означає, що всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Але, оскільки m>n, то  за лемою про дві системи, вектори a1, a2,… am  лінійно залежні, що суперечить припущенню. Отже, ми довели наступне твердження.

В просторі Rn будь-яка система з m векторів m>n лінійно залежна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

3086. Экологические проблемы литосферы 62.3 KB
  Введение Человек и природа неотделимы друг от друга и тесно взаимосвязаны. Для человека, как и для общества в целом, природа является средой жизни и единственным источником необходимых для существования ресурсов. Природа и природные ресурсы - база...
3087. Выбор профессии - Менеджер 39.14 KB
  Есть такая профессия – Менеджер. Выбирая профессию, каждый человек должен, прежде всего, самому себе ответить на вопрос: Почему я выбрал именно эту профессию. Целью моего реферата является ответить на вопрос: Почему я выбр...
3088. Переустройство и перепланировка жилых помещений 14.65 KB
  Переустройство и перепланировка жилых помещений В соответствии со ст. 25 ЖК РФ переустройство жилого помещения представляет собой установку, замену или перенос инженерных сетей, санитарно-технического, электрического или другого оборудования. В свою...
3089. Раскрытие особенностей малого и среднего бизнеса в регионе Казахстана 100.27 KB
  В приоритетных направлениях развития общества, поставленных Президентом страны Н. Назарбаевым в своих Посланиях народу Казахстана, центральное место занимает экономический рост, базирующийся на открытой рыночной экономике и реальной конкуре...
3090. Влияние продуктов сгорания углеводородов на экосферу 38.8 KB
  Введение Экосфера - биотоп биосферы; совокупность свойств Земли как планеты, создающих условия для развития жизни. Пространственно экосферы включает в себя тропосферу, всю гидросферу и верхнюю часть литосферы. Интенсивное развитие энергетики, промыш...
3091. Классификация и функции социальной роли человека 36.41 KB
  Актуальность исследования. В наше время прогресса человечество становится все более  высокоразвитым сообществом с развитой социальной структурой. Но перед обществом, как и раньше, встают различные трудные и важные проблемы. Вста...
3092. Транспортный налог 30.57 KB
  Общие положения Транспортный налог был введен в действие 1 января 2003 года, он взимается с владельцев зарегистрированных транспортных средств в местный бюджет, так как относится к региональным налогам. Величина налога, порядок и сроки его уплаты...
3093. Вступление Республики Казахстан в ВТО. Проблемы и перспективы 97.09 KB
  Республика Казахстан, как одна из самых быстроразвивающихся стран СНГ, а также страна, владеющая большими запасами стратегических ресурсов, не может оставаться в стороне от расширяющейся мировой интеграции. В последние несколько лет руковод...
3094. Выбор валютно-финансовых условий внешнеторговых контрактов 42.27 KB
  Развитие стран мирового сообщества характеризуется постоянным расширением их взаимных хозяйственных связей. Этот процесс привел к созданию международной экономики - многогранного и сложного явления, выражающего высший этап развития обществе...