22925

Поняття базису

Доклад

Математика и математический анализ

aik лінійно незалежна; Всі вектори системи a1 a2 am лінійно виражаються через ai1ai2. Базисом простору Rn називається система векторів a1 a2 an є Rn така що система a1 a2 an лінійно незалежна; Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1 a2 an. Звідси α1= α2==αn=0 лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна. Будьякий вектор простору лінійно виражається через e1e2en .

Украинкский

2013-08-04

25.5 KB

0 чел.

Поняття базису.

Означення. Базисом системи векторів a1, a2,… am є Rn  називається її підсистема ai1,ai2,..,aik  така, що

  1.  Підсистема ai1,ai2,..,aik   лінійно незалежна;
  2.  Всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через  ai1,ai2,..,aik.

Означення. Базисом простору Rn називається система векторів a1, a2,… an є Rn  така, що

  1.  система a1, a2,… an   лінійно незалежна;
  2.  Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1, a2,… an.   .

Покажемо існування базису простору  Rn. Візьмемо в просторі таку систему векторів:

Перевіримо виконання умови базису для даної системи.

  1.  Лінійна незалежність. Беремо лінійну комбінацію

α1e1+ α2e2+…+ αnen =,

тоді для координат векторів виконується

(α1, α2,…, αn)=(0,0,…,0).

Звідси α1= α2=…=αn=0, лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна.

2. Будь-який вектор простору лінійно виражається через e1,e2,…,en . Беремо довільний вектор    x=1, β2,…, βn). Тоді x= β1e1+ β2e2+…+ βnen .

Отже, умови базису виконуються. Базис e1,e2,…,en  називається стандартним базисом  простору Rn.

Ми переконалися в тому, що в просторі Rn існує лінійно незалежна система, яка складається з n векторів. Припустимо, що в просторі існують лінійно незалежні системи з числом векторів, більшим n . Візьмемо одну таку систему a1, a2,… am є Rn , m>n. За доведеним, вектори e1,e2,…,en утворюють базис простору,  тому всі вектори простору лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Зокрема, це означає, що всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Але, оскільки m>n, то  за лемою про дві системи, вектори a1, a2,… am  лінійно залежні, що суперечить припущенню. Отже, ми довели наступне твердження.

В просторі Rn будь-яка система з m векторів m>n лінійно залежна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

16878. Размышления физика о тайне творения вселенной 63.5 KB
  PAGE 2 О.В.Петренко Содержание: 1. Вступление. 2. Чудесное рождение вселеннной и ее удивительная природа. 3. Совершенство конструкции человеческого организма. 4. Вероятность случайного появления человека. 5. Свидетельства фундаментальной науки. 6....
16879. Могли ли обезьяны напечатать 23-ий Псалом 93.5 KB
  Могли ли обезьяны напечатать 23ий Псалом Рассел Григ 30 июня 1860 произошло событие которое в сознании многих людей стало поворотным моментом для общественного принятия теории эволюции в ее конфронтации с христианством. Этим событием стали дебаты между агностиком То
16880. Сложность сознания - не продукт самоорганизации 64.07 KB
  Сложность сознания не продукт самоорганизации Отрывок из книги Кризис эволюционизма. Киев 2003 гл. Происхождение видов. В механизме мутаций всё для теории эволюции видов. Если он недееспособен то естественному отбору нечего подхват
16881. ДНК и другие дизайны 114 KB
  PAGE 1 ДНК и другие дизайны Стефан Мейер На протяжении 2 тысячелетий аргумент дизайна обеспечивал интеллектуальную основу для большей части Западного мышления. От классической античности до подъема современной науки ведущие философы теологи и ученые ...
16885. Эволюция надеется, что вы не знаете химию: проблема с хиральностью 63.5 KB
  Эволюция надеется что вы не знаете химию: проблема с хиральностью Чарлз Маккомб Когда в 1953 году появился газетный заголовок Жизнь в пробирке сообщество эволюционистов пришло в восторг. Работа Миллера рассматривалась ими как научное доказательство того что жизнь ...
16886. Эволюция – религия, а не наука 49 KB
  Эволюция – религия а не наука В двух своих предыдущих статьях [12] автор задокументировал с признаний эволюционистов тот факт что идея эволюции от молекулы к человеку не соответствует критериям научной теории. Не существует ни одного эволюционного перехода переходн