22925

Поняття базису

Доклад

Математика и математический анализ

aik лінійно незалежна; Всі вектори системи a1 a2 am лінійно виражаються через ai1ai2. Базисом простору Rn називається система векторів a1 a2 an є Rn така що система a1 a2 an лінійно незалежна; Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1 a2 an. Звідси α1= α2==αn=0 лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна. Будьякий вектор простору лінійно виражається через e1e2en .

Украинкский

2013-08-04

25.5 KB

0 чел.

Поняття базису.

Означення. Базисом системи векторів a1, a2,… am є Rn  називається її підсистема ai1,ai2,..,aik  така, що

  1.  Підсистема ai1,ai2,..,aik   лінійно незалежна;
  2.  Всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через  ai1,ai2,..,aik.

Означення. Базисом простору Rn називається система векторів a1, a2,… an є Rn  така, що

  1.  система a1, a2,… an   лінійно незалежна;
  2.  Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1, a2,… an.   .

Покажемо існування базису простору  Rn. Візьмемо в просторі таку систему векторів:

Перевіримо виконання умови базису для даної системи.

  1.  Лінійна незалежність. Беремо лінійну комбінацію

α1e1+ α2e2+…+ αnen =,

тоді для координат векторів виконується

(α1, α2,…, αn)=(0,0,…,0).

Звідси α1= α2=…=αn=0, лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна.

2. Будь-який вектор простору лінійно виражається через e1,e2,…,en . Беремо довільний вектор    x=1, β2,…, βn). Тоді x= β1e1+ β2e2+…+ βnen .

Отже, умови базису виконуються. Базис e1,e2,…,en  називається стандартним базисом  простору Rn.

Ми переконалися в тому, що в просторі Rn існує лінійно незалежна система, яка складається з n векторів. Припустимо, що в просторі існують лінійно незалежні системи з числом векторів, більшим n . Візьмемо одну таку систему a1, a2,… am є Rn , m>n. За доведеним, вектори e1,e2,…,en утворюють базис простору,  тому всі вектори простору лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Зокрема, це означає, що всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Але, оскільки m>n, то  за лемою про дві системи, вектори a1, a2,… am  лінійно залежні, що суперечить припущенню. Отже, ми довели наступне твердження.

В просторі Rn будь-яка система з m векторів m>n лінійно залежна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80426. СОЗДАНИЕ МОБИЛЬНОГО ИНФОРМАЦИОННОГО РЕСУРСА 143 KB
  В рамках данной дипломной работы будет описан процесс создания мобильной версии информационного ресурса Яковлевской центральной детской библиотеки в городе Строитель ориентированной в частности на учащихся средних школ Яковлевского района Белгородской области.
80427. Принцип разделения властей и его реализация к Конституции Российской федерации 1993-го года 127 KB
  Суть данного принципа заключается в том, чтобы не допустить узурпации власти в руках главы одной ветви власти, чтобы размеренно, путём системы сдержек и противовесов, одна ветвь власти влияла на другую, контролировала и выявляла недостатки в управлении, взаимодействовала, чтобы один орган не оказался таком положении...
80429. Финансово-правовое стимулирование инвестиционной деятельности в субъекте Российской Федерации (на примере Томской области) 43.13 KB
  Как известно, рыночная экономика функционирует по принципу естественного отбора. Но уровень развития производственной, иной хозяйственной деятельности на соответствующей территории едва ли можно назвать исключительно частным делом – ведь от этого зависит уровень жизни проживающих в этой местности граждан.
80430. Компетенция Конституционных ( уставных ) судов Субъектов РФ 111 KB
  Конституции Российской Федерации на основании этих положений разводиться компетенциальный вопрос но вопрос о компетенции и юрисдикции конституционных уставных судов в РФ с судами общей юрисдикцией а именно с публичным производством представляется довольно интересным применительно...
80431. Физическая культура и спорт. Волейбол 1.35 MB
  Товарищеские это неофициальные встречи которые проводятся по взаимной договоренности с целью определения степени подготовленности отдельных игроков и команды в целом к предстоящим соревнованиям а также степени усвоения программного материала.
80432. КЛАССИФИКАЦИЯ НАУК 74.5 KB
  Выявление структуры науки в этом ее аспекте ставит проблему классификации наук раскрытие их взаимосвязи на основании определенных принципов и критериев и выражение их связи в виде логически обоснованного расположения в определенный ряд структурный срез.