22925

Поняття базису

Доклад

Математика и математический анализ

aik лінійно незалежна; Всі вектори системи a1 a2 am лінійно виражаються через ai1ai2. Базисом простору Rn називається система векторів a1 a2 an є Rn така що система a1 a2 an лінійно незалежна; Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1 a2 an. Звідси α1= α2==αn=0 лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна. Будьякий вектор простору лінійно виражається через e1e2en .

Украинкский

2013-08-04

25.5 KB

0 чел.

Поняття базису.

Означення. Базисом системи векторів a1, a2,… am є Rn  називається її підсистема ai1,ai2,..,aik  така, що

  1.  Підсистема ai1,ai2,..,aik   лінійно незалежна;
  2.  Всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через  ai1,ai2,..,aik.

Означення. Базисом простору Rn називається система векторів a1, a2,… an є Rn  така, що

  1.  система a1, a2,… an   лінійно незалежна;
  2.  Кожний вектор простору Rn лінійно виражається через a1, a2,… an.   .

Покажемо існування базису простору  Rn. Візьмемо в просторі таку систему векторів:

Перевіримо виконання умови базису для даної системи.

  1.  Лінійна незалежність. Беремо лінійну комбінацію

α1e1+ α2e2+…+ αnen =,

тоді для координат векторів виконується

(α1, α2,…, αn)=(0,0,…,0).

Звідси α1= α2=…=αn=0, лінійна коомбінація тривіальна і система лінійно незалежна.

2. Будь-який вектор простору лінійно виражається через e1,e2,…,en . Беремо довільний вектор    x=1, β2,…, βn). Тоді x= β1e1+ β2e2+…+ βnen .

Отже, умови базису виконуються. Базис e1,e2,…,en  називається стандартним базисом  простору Rn.

Ми переконалися в тому, що в просторі Rn існує лінійно незалежна система, яка складається з n векторів. Припустимо, що в просторі існують лінійно незалежні системи з числом векторів, більшим n . Візьмемо одну таку систему a1, a2,… am є Rn , m>n. За доведеним, вектори e1,e2,…,en утворюють базис простору,  тому всі вектори простору лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Зокрема, це означає, що всі вектори системи a1, a2,… am лінійно виражаються через e1,e2,…,en. Але, оскільки m>n, то  за лемою про дві системи, вектори a1, a2,… am  лінійно залежні, що суперечить припущенню. Отже, ми довели наступне твердження.

В просторі Rn будь-яка система з m векторів m>n лінійно залежна.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

14369. ЭЛЕКТРИЧЕСТВО ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК 4.5 MB
  Описания лабораторных работУчебной лаборатории физического эксперимента физического факультета СПбГУ Часть IV ЭЛЕКТРИЧЕСТВО ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК Данное пособие содержит описания лабораторных работ по разделу Электричест
14370. Расчет коэффициента внутреннего трения жидкости по методу Стокса 99.5 KB
  Лабораторная работа №17 по дисциплине Физика на тему: Определение коэффициента внутреннего трения жидкости по методу Стокса 1. Цели и задачи: целью данной работы является определение коэффициента динамической вязкости исследуемой жидкости при температур...
14371. Финансовое планирование в организации 740.5 KB
  Понятие финансового планирования. Содержание и цели финансового планирования. Основные принципы и задачи финансового планирования. Виды финансовых планов, составляемых в организации: перспективные, текущие и оперативные планы, планы финансирования капитальных вложений, планы текущих операций.
14372. Определение отношения теплоемкостей газов Cp/Cv методом адиабатического расширения 96 KB
  Лабораторная работа № 9 по дисциплине Физика на тему: Определение отношения теплоемкостей газов Cp/Cv методом адиабатического расширения 1. Цели и задачи: в работе необходимо определить γ = Cp/Cv для воздуха используя адиабатический метод Клемана и Дезорма. 2...
14373. Определение удельной теплоты плавления льда и изменения энтропии в процессе плавления 86.5 KB
  Лабораторная работа №15 по дисциплине Физика на тему: Определение удельной теплоты плавления льда и изменения энтропии в процессе плавления. 1. Цели и задачи: определение калориметрическим методом удельной теплоты фазового перехода λ и расчет изменения эн
14374. Градуировка дифференциальной термопары медь-константан по термометру и определение коэффициента термоэдс для спаев двух данных металлов 115.5 KB
  Лабораторная работа №15 по дисциплине Физика на тему: Градуировка дифференциальной термопары медьконстантан по термометру и определение коэффициента термоэдс для спаев двух данных металлов 1. Цели и задачи: дифференциальную термопару необходимо проградуи
14375. Определение ЭДС и напряжений методом компенсации 232 KB
  Лабораторная работа № 32 по дисциплине Физика на тему: Определение ЭДС и напряжений методом компенсации. Цели и задачи: Определение ЭДС элемента при комнатной температуре методом компенсации. Определение внутреннего сопротивления элемента.
14376. Дифракция света на бегущих ультразвуковых волнах 199 KB
  Лабораторная работа по дисциплине Физика на тему: Дифракция света на бегущих ультразвуковых волнах.. Цели и задачи: определить скорость ультразвука в воде по дифракции света на бегущих волнах и рассчитать для воды. Приборы и...
14377. Определение ускорения свободного падения при помощи физического оборотного маятника и нахождения его момента инерции 96 KB
  Определение ускорения свободного падения при помощи физического оборотного маятника и нахождения его момента инерции Лабораторная работа №4 1. Цели и задачи: определить ускорение свободного падения при помощи физического оборотного маятника и найти его момент и