22926

Властивості базисів

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки при m n система з m векторів лінійно залежна то m≤n. Якщо m n то за означенням базису всі вектори простору а тому і вектори системи e1e2en лінійно виражаються через базис a1 a2 am .Тоді за лемою про дві системи вектори e1e2en лінійно залежні. Отже В просторі Rn будьяка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Украинкский

2013-08-04

33.5 KB

0 чел.

Властивості базисів.

  1.  Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am  - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то mn.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи  e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

  1.  В просторі Rn  будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an  - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор  b є Rn  лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b  лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αnan+βb=.

Якщо β=0,  то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему  a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

  1.  В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення.  Нехай  a1, a2,… am  - лінійно незалежна система векторів в просторі  . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn  , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система  a1, a2,… am,am+1   лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λmam m+1am+1=.

Якщо , то  , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am  , що суперечить припущенню. Отже,  am+1=. Звідси 

λ1a12a2+…+λmam =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… am+1  . Система векторів a1, a2,… am,am+1,am+2   лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

20479. Графічний метод відокремлення коренів 39.5 KB
  Найчастіше в додатках використовуються трансцендентні рівняння. Для відокремлення коренів можна ефективно використати ЕОМ. Проте слід памятати що дане твердження справедливе лише за умов монотонності на заданому відрізку і виборі достатньо малого кроку приросту аргументу з врахуванням характеристик. Слід аналізувати три можливості що можуть виникнути а саме: Якщо рис.
20481. Детальний розгляд критичних етапів життєвого циклу. Принципи структурного аналізу 34 KB
  Принципи структурного аналізу. Всі методології структурного аналізу базуються на ряді загальних принципів частина з яких регламентує організацію робіт на початкових етапах ЖЦ а частина використовується при виробленні рекомендацій щодо організації робіт. В якості двох базових принципів використовуються наступні: принцип розділяй і володарюй і принцип ієрархічного упорядкування. Перший є принципом вирішення важких проблем шляхом розбиття їх на безліч менших незалежних завдань легких для розуміння і вирішення.
20482. Совокупное предложение и кривая 94 KB
  Совокупное предложение базируется на производственных возможностях национальной экономики. Оно является функцией экономики от доступных на текущий момент факторов производства, технологии и уровня цен. В процессе анализа совокупного предложения важно различать совокупное предложение в краткосрочном и долгосрочном периодах.
20483. Діаграми “сутність-зв’язок”. Основні означення та терміни. Нотація Чена 55.5 KB
  Модель сутністьзв'язок ERмодель англ. Entityrelationship model або entityrelationship diagram модель даних яка дозволяє описувати концептуальні схеми за допомогою узагальнених конструкцій блоків. ERмодель це метамодель даних тобто засіб опису моделей даних. ERмодель зручна при проектуванні інформаційних систем баз даних архітектур комп'ютерних застосунків та інших систем моделей.
20484. Діаграми атрибутів. Категоризація сутностей 38 KB
  Діаграми випадків використання описують взаємозвязки і залежності між групою випадків використання і акторами що беруть участь у процесі. Важливо зауважити що діаграми випадків використання не призначено для показу компонування вони не можуть описати внутрішню структуру системи. Діаграми випадків використання призначено для полегшення обміну інформацією між майбутніми користувачами системи і замовником вони особливо корисні для визначення переліку можливостей які повинна мати система. За діаграмами випадків використання можна...
20485. Діаграми потоків даних. Основні означення та символи 29 KB
  Діаграма потоків даних англ. Data Flow Diagram графічне представлення потоків даних в інформаційній системі. Діаграма потоків даних також може використовуватись для представлення обробки даних структурна розробка.
20486. Закони булевої алгебри 28 KB
  Конюнкцією висловлень А і В називаємо висловлення А^В буде істинним тоді і тільки тоді коли обидва висловлення істинні. Дизюнкцією висловлень А і В називаються висловлення АvВ в якій буде істина тоді і лише тоді коли істинне хоча б одне із висловлень. Імплікацією висловлень А і В називається таке висловлення АВ яке буде хибне тоді і лише тоді коли А істинне В хибне. Заперечення висловлення А називається складне висловлення А яке буде істинне тоді і лише тоді коли А хибне і хибним тоді коли а істинне.
20487. Запити, типи запитів, обчислення в запитах 32 KB
  Запити дозволяють обраховувати підсумкові значення і виводити їх у компактному форматі а також виконувати обчислення над групами записів. Запити можна створювати самостійно і за допомогою майстра. Майстри запитів автоматично виконують основні дії залежно від відповідей користувача на поставлені питання.