22926

Властивості базисів

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки при m n система з m векторів лінійно залежна то m≤n. Якщо m n то за означенням базису всі вектори простору а тому і вектори системи e1e2en лінійно виражаються через базис a1 a2 am .Тоді за лемою про дві системи вектори e1e2en лінійно залежні. Отже В просторі Rn будьяка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Украинкский

2013-08-04

33.5 KB

0 чел.

Властивості базисів.

  1.  Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am  - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то mn.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи  e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

  1.  В просторі Rn  будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an  - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор  b є Rn  лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b  лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αnan+βb=.

Якщо β=0,  то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему  a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

  1.  В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення.  Нехай  a1, a2,… am  - лінійно незалежна система векторів в просторі  . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn  , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система  a1, a2,… am,am+1   лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λmam m+1am+1=.

Якщо , то  , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am  , що суперечить припущенню. Отже,  am+1=. Звідси 

λ1a12a2+…+λmam =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… am+1  . Система векторів a1, a2,… am,am+1,am+2   лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

7131. Синтез комбинационных систем 82 KB
  Лекция 2 Тема: Синтез комбинационных систем Под комбинационной схемой понимается цифровой автомат без памяти. Схема однозначно преобразует входные сигналы в выходные, без предистории. Под комбинационной схемой понимается такая схема...
7132. Музыкальное воспитание младших школьников 155.5 KB
  Музыкальное воспитание младших школьников Введение Музыкальное воспитание младших школьников все настойчивее входит в разряд первостепенных задач, волнующих общественность, что дает простор для радикального решения ряда важнейших аспектов про...
7133. Особенности жарочного шкафа 240.23 KB
  Тепловое оборудование предназначено для доведения кулинарных изделий до готовности, их разогрева и поддержания необходимой температуры ...
7134. Логика и теория аргументации 4.26 MB
  Логика и теория аргументации Введение Трудно переоценить значение логики и теории аргументации не только в развитии научного знания, но и в обыденной жизни. Для науки существенным моментом являются эффективные способы обработки информации и методы и...
7135. Бухгалтерский учет на малых предприятиях 186.5 KB
  Введение Предприятия малого бизнеса являются важнейшей составной частью обширного комплекса всех предприятий Российской Федерации. С принятием Гражданского кодекса Российской Федерации, законов о земле, о предприятиях с разной формой собственности п...
7136. Логический синтез цифровых устройств 905.5 KB
  Курсовая работа Логический синтез цифровых устройств Описание работы проектируемого устройства. Объект представляет собой техническое устройство, в которое поступают различные детали. Имеется 5 датчиков, которые определяют соответствие д...
7137. Важность мотивации для успешного развития компании 191 KB
  Введение. Основы мотивационной деятельности. Основы и сущность мотивации и стимулирование трудовой деятельности персонала. Смысл и эволюция мотивации. Содержательные теории мотивации. Мотивация персонала в организациях ...
7138. Понятие вины в уголовном праве 198.5 KB
  Понятие вины в уголовном праве Введение Состав преступления характеризуется совокупностью четырех элементов: объект, объективная сторона, субъект, субъективная сторона. Каждый из этих элементов является для любого состава обязательным. Отсутствие лю...
7139. Курортное оздоровление детей и подростков на российских и зарубежных курортах 218 KB
  Курортное оздоровление детей и подростков на российских и зарубежных курортах Введение Здоровье населения - один из важнейших элементов социального, культурного и экономического развития нашей страны. Именно поэтому Правительство Российской Федераци...