22926

Властивості базисів

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки при m n система з m векторів лінійно залежна то m≤n. Якщо m n то за означенням базису всі вектори простору а тому і вектори системи e1e2en лінійно виражаються через базис a1 a2 am .Тоді за лемою про дві системи вектори e1e2en лінійно залежні. Отже В просторі Rn будьяка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Украинкский

2013-08-04

33.5 KB

0 чел.

Властивості базисів.

  1.  Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am  - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то mn.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи  e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

  1.  В просторі Rn  будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an  - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор  b є Rn  лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b  лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αnan+βb=.

Якщо β=0,  то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему  a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

  1.  В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення.  Нехай  a1, a2,… am  - лінійно незалежна система векторів в просторі  . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn  , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система  a1, a2,… am,am+1   лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λmam m+1am+1=.

Якщо , то  , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am  , що суперечить припущенню. Отже,  am+1=. Звідси 

λ1a12a2+…+λmam =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… am+1  . Система векторів a1, a2,… am,am+1,am+2   лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

65015. Влияние исламских и татарских монет на Российскую денежную систему 423 KB
  Исламские монеты формировали основу русской денежной системы веками. В начале существования славянского княжества, ввезенные дирхамы Аббасидов и Саманидов были основными монетами, находящимися в обращении в Киеве.
65016. Военное устройство монгольской империи 115 KB
  Хотя военное искусство монголов продолжало развиваться и в последующее время царствования Чингисхана а также при его преемниках особенно в области применения к военному делу техники заимствованной у культурных врагов и их развитие могло конечно повлиять на подробности...
65017. Военные подходы монголов при Чингисхане 299.85 KB
  Казнены были все татары, кто ростом оказался выше оси тележного колеса, и осталась от тех монгольских татар только горстка людей, да имя, перешедшее на остальных монголов и подвластные им не монгольские племена. Под именем уничтоженного племени татар узнал вскоре монголов весь мир.
65018. Вопросы истории монгольских войск в период нахождения Монголии под игом Манжурии (1691-1911) 52.5 KB
  Это было тесно связано с государственной политикой и деятельностью Манжурии принимаемых для монгольских воинов. Поэтому необходимо тщательно изучить историю монгольских воинов в период покорения Манжурии и это объясняется нижеследующими условиями и причинами.
65019. Ислам в Золотой Орде: традиции религиозного опыта 47.5 KB
  Коротко о теме исследования Ислам в Золотой Орде: традиции религиозного опыта Проблематика распространения ислама в Золотой Орде привлекает интерес для изучения основных тенденций национально-культурного развития мусульманских народов Поволжья и Приуралья.
65020. Ратная сила Золотой Орды 358 KB
  Государство Золотая Орда образовалось в результате похода монголов к “Последнему морю”. Земли, захваченные в ходе этого грандиозного завоевания, отошли в удел потомков старшего сына Чингизхана Джучи. Поэтому арабские и персидские авторы именовали...
65021. Посмертный титул Бату-хана 28.5 KB
  Однако современники Бату никогда не использовали этот титул. Он не встречается в трудах Джувейни и Джузджани, Киракоса Гандзакеци и Вардана Аравелци или в сочинениях западных авторов — Иоанна де Плано Карпини, Симона де Сен-Кантена и Вильгельма де Рубрука.
65022. Мужской союз, дружина и гвардия у монголов: преемственность и конфликты 157.5 KB
  Мужской союз дружина и гвардия у монголов: преемственность и конфликты Употребляя в заглавии данной работы термин мужской союз автор невольно вынужден значительную ее часть посвятить доказательству тезиса о существовании организаций...
65023. ТУРАНСКАЯ СИБИРЬ 76.5 KB
  История Сибири писалась прямо скажем весьма странным образом. Самая заметная странность это начало истории Сибири с тех пор как русские о ней услышали. В 1032 году новгородцы как записано в €œПовести временных лет впервые проникли в устье Оби и с этих пор в русской историографии отсчитывается история Сибири.