22926

Властивості базисів

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки при m n система з m векторів лінійно залежна то m≤n. Якщо m n то за означенням базису всі вектори простору а тому і вектори системи e1e2en лінійно виражаються через базис a1 a2 am .Тоді за лемою про дві системи вектори e1e2en лінійно залежні. Отже В просторі Rn будьяка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Украинкский

2013-08-04

33.5 KB

0 чел.

Властивості базисів.

  1.  Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am  - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то mn.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи  e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

  1.  В просторі Rn  будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an  - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор  b є Rn  лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b  лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αnan+βb=.

Якщо β=0,  то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему  a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

  1.  В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення.  Нехай  a1, a2,… am  - лінійно незалежна система векторів в просторі  . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn  , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система  a1, a2,… am,am+1   лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λmam m+1am+1=.

Якщо , то  , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am  , що суперечить припущенню. Отже,  am+1=. Звідси 

λ1a12a2+…+λmam =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… am+1  . Система векторів a1, a2,… am,am+1,am+2   лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

30636. Земное и вечное в стихотворении А.А. Ахматовой «Приморский сонет» 15.8 KB
  Ахматовой Приморский сонет.Облик героини поэзии Ахматовой предстает в житейской простоте но в нем заключается пафос сильной личности. Ее лирическая героиня не отражает персональной судьбы Ахматовой а отражает проявление женской доли женского голоса. Предметный мир воспринимается уже в ином виде: три ступеньки кажутся вечностью любимый прием Ахматовой оксюморон темный дом свечи горевшие равнодушножелтым огнем.
30637. Изображение народного характера в рассказе А.И. Солженицына «Матренин двор» 12.62 KB
  Солженицына является то что он исследует русский характер. Но главным в образе героини является доброта доброе расположение духа добрая улыбка побеждающая в душе все тяготы и заботы. Неслучайно Солженицын хотел назвать свой рассказ Не стоит село без праведника поскольку именно Матрена является истинным праведником: она тот самый праведник без которого не стоит село. Реалистическая достоверность изображенных событий накладывает особый отпечаток на образ Матрены ее жизнь является не только символом праведности но и ощутимым...
30638. Интерьер как средство характеристики героя 18.61 KB
  Интерьер его домика состоящего из шести крошечных комнат говорит о том что перед нами маленький человек очевидно небогатый который не претендует на значимость любит уют. И действительно толстоногий стол заваленный почерневшими от старинной пыли бумагами говорит о том что Василий Иванович занимается работой но делает это время от времени. О том что Василий Иванович интересуется естественными науками и физическими опытами говорит сломанная электрическая машина но это увлечение осталось в прошлом так как она до сих...
30639. «Испытание любовью» как средство характеристики героя в произведениях отечественной классики 19 века 14.36 KB
  Но можем сказать что испытание любовью открыло насколько изменился Онегин.Ещё одним героем прошедшим через испытание любовью является Печорин Лермонтова Герой нашего времени. В таких случаях жизнь мстит за себя: в крепости Печорин пытается заглушить тоску сердца любовью к дикарке Бэле но очень скоро убеждается в бесплодности своих усилий.
30640. Стихотворение М.Ю. Лермонтова «Родина». (Восприятие, истолкование, оценка.) 15.68 KB
  Лермонтова Родина. Ни в одном произведении Лермонтов не достигал такой поэтической ясности как в стихотворении Родина написанном в 1841 году. Родина отразила целый комплекс народных понятий и представлений сложившихся на протяжении столетий и выявившихся как разум народа в отличие от предрассудков предубеждений мгновенного настроения толпы или тех чувств которые несли на себе печать векового рабства и порабощения. И как богат этот опыт как он многосторонен как утонченно и благородно народное чувство и как велик его разум...
30641. Любовная лирика А.С. Пушкина. Чтение наизусть и анализ одного из стихотворений по выбору учащегося 13.5 KB
  Пушкина. Любовь в поэзии Пушкина это глубокое нравственно чистое и самоотверженное чувство облагораживающее и очищающее человека. Я помню чудное мгновенье одно из самых проникновенных трепетных гармонических стихотворений Пушкина относящихся к любовной тематике. Вновь возрождение чувств в душе поэта вновь прилив жизненных сил вновь приход творческого вдохновения: Душе настало пробужденье: И вот опять явилась ты В этом стихотворении Пушкина любовная тема сочетается с философскими раздумьями поэта о своей жизни о радости...
30642. Своеобразие художественного мира одного из поэтов Серебряного века 15.41 KB
  Символистам и футуристам Гумилев противопоставил акмеизм. Как создатель нового литературного направления, первом десятилетии ХХ века он приобрёл широкую известность. Греческое слово «акме» в переводе означало «цвести» и трансформировалось в программе акмеистов как ясность, простота, утверждение реального в жизни.
30643. Мотив дороги и его философское звучание в произведениях отечественной классики 19 века 15.53 KB
  Образ дороги в этом произведении не выходит на первый план.Образ дороги здесь традиционный символ жизненного пути. Тема дороги путешествия главного героя имеет в поэме несколько функций.
30644. Мотивы преступления и возмездия в произведениях отечественной литературы 13.83 KB
  В ней повествуется о том как некий граф Р слишком равнодушно отнёсся к возможной гибели от его пули главного героя Сильвио. Фуражка Сильвио была прострелена на вершок ото лба право своего выстрела он оставил за собой. Граф больше ценит свою жизнь больше боится возмездия Сильвио. Сильвио прекрасно понимает это поэтому приходит в дом к своему сопернику объясняется с ним при его жене.