22926

Властивості базисів

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки при m n система з m векторів лінійно залежна то m≤n. Якщо m n то за означенням базису всі вектори простору а тому і вектори системи e1e2en лінійно виражаються через базис a1 a2 am .Тоді за лемою про дві системи вектори e1e2en лінійно залежні. Отже В просторі Rn будьяка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Украинкский

2013-08-04

33.5 KB

0 чел.

Властивості базисів.

  1.  Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am  - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то mn.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи  e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

  1.  В просторі Rn  будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an  - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор  b є Rn  лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b  лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αnan+βb=.

Якщо β=0,  то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему  a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

  1.  В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення.  Нехай  a1, a2,… am  - лінійно незалежна система векторів в просторі  . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn  , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система  a1, a2,… am,am+1   лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λmam m+1am+1=.

Якщо , то  , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am  , що суперечить припущенню. Отже,  am+1=. Звідси 

λ1a12a2+…+λmam =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… am+1  . Система векторів a1, a2,… am,am+1,am+2   лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

47636. Разработка модели мультипрограммной вычислительной системы 578 KB
  Любое устройство СОО представляется в модели одноканальной СМО. Дисциплина обслуживания заявок в любой СМО предполагается простейшей бесприоритетной очередью FIFO обслуживание в порядке поступления. Одноканальная СМО характеризуется интенсивностью i входящего потока и средним временем U обслуживания заявок. Множество m однотипных устройств СОО представляется в модели в зависимости от степени ее детализации: совокупностью одноканальных СМО S1 S2 Sm с раздельными потоками заявок интенсивностью 1 2 m; совокупностью...
47638. Теории вычислительных процессов. Методические указания 819.5 KB
  Третья модель предполагает проведение оптимального синтеза системы РВ основываясь на оптимизации функций Лагранжа применительно к экспоненциальным стохастическим сетям. Синтез системы разделения времени по критерию минимума стоимости при заданном времени реакции системы на запрос пользователя. Синтез системы разделения времени по критерию минимума времени реакции системы на запрос пользователя заданной стоимости. На...
47640. Правотворчество. Правотворческая деятельность 41 KB
  Правотворческая деятельность – это форма деятельности компетентных органов государства, в ходе которой устанавливаются нормы права посредством издания, изменения или отмены правовых актов. Особо следует отметить, что государство не создает право
47641. Расчёт конденсатора паровой турбины (методические указания) 1.1 MB
  Целью расчета конденсатора является: определение геометрических размеров, режимных характеристик, характеристик конденсатора на переменном режиме, гидравлический расчет, а также механические расчеты на прочность основных элементов конденсатора
47644. ДЕРЖАВНА ЕКОЛОГІЧНА ПОЛІТИКА. РОБОЧА НАВЧАЛЬНА ПРОГРАМА 325.5 KB
  Ці та інші чинники зокрема низький рівень екологічної свідомості суспільства призвели до значної деградації довкілля України надмірного забруднення поверхневих і підземних вод повітря і земель нагромадження у дуже великих кількостях шкідливих у тому числі високотоксичних відходів виробництва. Охорона навколишнього природного середовища раціональне використання природних ресурсів забезпечення екологічної безпеки життєдіяльності людини невідємна умова сталого економічного та соціального розвитку України. В основу формування державної...