22926

Властивості базисів

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки при m n система з m векторів лінійно залежна то m≤n. Якщо m n то за означенням базису всі вектори простору а тому і вектори системи e1e2en лінійно виражаються через базис a1 a2 am .Тоді за лемою про дві системи вектори e1e2en лінійно залежні. Отже В просторі Rn будьяка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Украинкский

2013-08-04

33.5 KB

0 чел.

Властивості базисів.

  1.  Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am  - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то mn.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи  e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

  1.  В просторі Rn  будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an  - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор  b є Rn  лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b  лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αnan+βb=.

Якщо β=0,  то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему  a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

  1.  В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення.  Нехай  a1, a2,… am  - лінійно незалежна система векторів в просторі  . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn  , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система  a1, a2,… am,am+1   лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λmam m+1am+1=.

Якщо , то  , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am  , що суперечить припущенню. Отже,  am+1=. Звідси 

λ1a12a2+…+λmam =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… am+1  . Система векторів a1, a2,… am,am+1,am+2   лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52048. Супер-сценарий маскарадного Нового года 25 KB
  Компания из 11 человек:1 Дед Мороз: настоящий костюм урвали у знакомых;2снежная королева: серое вечернее платье на шее колье из горного стекла думаю есть у любой девушки на крайний случай можно сделать самой из мишурыдождик из проволоки сделала каркас высокого воротника купила стальную блестящую ткань 2м. это была моя замораживающая палочка;3царь: из картона и фальги корона скипетр и держава из фальги и сподручных средств накидка из старого покрывала обшитого красной мишурой;4серкетарь царя: можно обычный строгий костюм;5шут...
52049. Маскарад для любимого 23.5 KB
  Костюм горничной: черный комплект белья обшила белым кружевом благо оно продается практически везде. Костюм медсестры: нашить на белое белье красные крестики совсем несложно также как и найти белые чулки. Костюм школьницы: здесь проблем практически не возникло короткая юбочка со складками и подходящая рубашечка в моем гардеробе нашлись очень легко. Костюм чертенка: рожки продаются в большинстве детских отделов а красночерное белье я нашла в своем гардеробе.
52050. Сценарий Нового года по-гавайски 33.5 KB
  Объявляется аукцион Новый год. Итак общими усилиями мы выяснили что Новый год – это. Такой уж это праздник Новый год шумный веселый но всегда остается много мусора.
52051. Сценарий веселого новогоднего корпоратива 31.5 KB
  Доктор помогите Я в себя не верю.: И что же мне делать. Пушистую такую снегом припорошенную. всматривается переворачивает лист снова всматривается улыбается Так это ж хоровод Детишки нарядились зверятами и танцуют вокруг ёлки Весело имДок.
52052. Новый год к нам мчится... 47 KB
  Появляется почтальон Печкин в шапкеушанке с конвертом в руках.Почтальон Печкин. Здравствуйте Это я почтальон Печкин Принес вам письмо для вашего шефа. А письмо от когоПочтальон Печкин.
52053. Сценарий Нового Года на работе 40.5 KB
  Царь: О Новый год скоро Хлопушечек прикупил постреляем на новогоднем вечере.Царь: Ты кто Откуда взялсяВолшебник: Из хлопушки.Царь: Ничего себе а почему одно желание В сказках волшебники несколько желаний исполняют.
52054. Новогодний КВН 26 KB
  МУЗЫКАЛЬНЫЙ КОНКУРСФранцузская народная песня о незадачливых туристахисполняется на мелодии Джо Дассена Все действия сопровождаются пантомимой Таня Заяц и Бычок.Со скалы он слезть не могИ весь до нитки промокВ турпоходТаких турклуб наш не берётВ Новый годСюда не зоветТех ктоГромко стонетТех ктоВ речке тонетТише Танечка не плачьЗабери свой мячИ не дурачь туристовНе дурачь3. АНЕКДОТ В ЛИЦАХСтолкнулись в лесу нос к носу Турист и Медведь. Я турист Нет это я турист а ты завтрак туристаВ течение вечера предлагается...
52055. Сценарий проведения новогоднего корпоратива 33 KB
  Тост: Пусть Новый год Вас осенитПодарит Вам успехИ в Вашем доме пусть звучитВеселый звонкий смех.И пусть в Ваш дом как снежный комВсегда приходит счастьеПесняПока все танцуют нужно выбрать ДМ и СН и подготовить их к встрече.Тост: Пусть горы в жизни будут не помехойНам сдвинуть их делов на 5 минут.Тост: Вьюга пусть на целый годВам здоровья намететВетер выдует все хвориНа холодное подворье.
52056. Інтерактивні технології навчання на уроках математики та інформатики 419 KB
  Інтерактивне навчання 3 2 розділ. Використання інтерактивного навчання на уроках інформатики 15 4. Використання інтерактивного навчання на уроках математики 24 5.