22926

Властивості базисів

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки при m n система з m векторів лінійно залежна то m≤n. Якщо m n то за означенням базису всі вектори простору а тому і вектори системи e1e2en лінійно виражаються через базис a1 a2 am .Тоді за лемою про дві системи вектори e1e2en лінійно залежні. Отже В просторі Rn будьяка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Украинкский

2013-08-04

33.5 KB

0 чел.

Властивості базисів.

  1.  Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am  - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то mn.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи  e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

  1.  В просторі Rn  будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an  - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор  b є Rn  лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b  лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αnan+βb=.

Якщо β=0,  то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему  a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

  1.  В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення.  Нехай  a1, a2,… am  - лінійно незалежна система векторів в просторі  . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn  , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система  a1, a2,… am,am+1   лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λmam m+1am+1=.

Якщо , то  , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am  , що суперечить припущенню. Отже,  am+1=. Звідси 

λ1a12a2+…+λmam =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… am+1  . Система векторів a1, a2,… am,am+1,am+2   лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

21826. Возведение зданий методом подъёма перекрытий 136 KB
  Этот метод очень эффективен в сейсмических районах благодаря применению цельных неразрезных плит перекрытий выполняющих роль горизонтальных диафрагм обеспечивающих поперечную жёсткость здания а также при необходимости строительства в стеснённых условиях исключающих применение кранов. 5 а 2 3 б 1 2 в 4 г ...
21827. ВОЗВЕДЕНИЕ ВЫСОТНЫХ ЗДАНИЙ 85 KB
  Конструктивно современные высотные здания являются каркасными – это железобетонный стальной или комбинированный каркас с пространственным ядром жёсткости или с плоскими диафрагмамисвязями рис. В большинстве высотных зданий предусмотрено ядро жёсткости которое воспринимает горизонтальные нагрузки от примыкающих частей здания и обеспечивает устойчивость и пространственную жёсткость всего здания в процессе монтажа и эксплуатации. Ядра жёсткости обычно выполняют из железобетона хотя в металлических каркасах ядро может быть стальным....
21828. СТРОИТЕЛЬСТВО ДЕРЕВЯННЫХ ЗДАНИЙ 42 KB
  Технология производства строительномонтажных работ включает в себя следующие основные процессы: земляные работы под фундаменты; устройство фундаментов с гидроизоляцией; установка обвязочного бруса по периметру стен; укладка элементов пола 1 этажа по обвязочному брусу с утеплением и изоляционными слоями; устройство чёрного пола; монтаж стен и перегородок первого этажа; устройство проёмообразователей под окна и двери из пилёного леса перемычек и стоек ; окончательное проектное соединение элементов между собой; монтаж или устройство...
21829. МОНТАЖ БОЛЬШЕПРОЛЁТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ 78.5 KB
  Конструктивно покрытия выполняются следующих типов рис.: Металлические фермы и балочные системы иногда предварительно напряжённые с затяжками; Арочные и купольные системы; Перекрёстностержневые системы типа структур; Железобетонные пространственные покрытия оболочки арки складки ; Висячие покрытия мембранные тонколистовые с жесткими нитями подвесные – плоскостные и пространственные; Вантовые покрытия вантовые сетки вантовобалочные системы висячие оболочки вантовые фермы комбинированные системы; Пневматические...
21830. МОНТАЖ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ – МАЧТ, БАШЕН, ТРУБ 51 KB
  МОНТАЖ ВЫСОТНЫХ СООРУЖЕНИЙ – МАЧТ БАШЕН ТРУБ 15. При возведении высотных сооружений наиболее распространены следующие методы: наращивание конструкций в проектном положении – поярусное возведение снизу вверх; монтаж поворотом – предварительная сборка сооружения на земле в горизонтальном поолжении с последующим поворотом вокруг шарнира в вертикальное проектное положение; подращивание конструкции – сборка в вертикальном положении начиная с самых верхних секций их подъём подведение под них последующих секций их общий подъём до...
21831. ВОЗВЕДЕНИЕ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ РЕЗЕРВУАРОВ 37.5 KB
  Днище и корпус устраивают из цельносварных рулонированных на заводе полотнищ. Изготавливают рулонные заготовки на специальных двухярусных стендахконвейерах имеющих посты раскроя; сборки и прихватки листов; сварки с одной стороны; сварки с другой стороны; испытания и рулонирования. Готовую заготовку сворачивают в рулон на центральную стойку покрытия или шахтную лестницу и закрепляют от самопроизвольного разворачивания специальными планками на сварке. Готовые к отправке рулоны имеют габариты: высота – 3м; длина – 12 или 18м; вес – 21 или 47т.
21832. СТРОИТЕЛЬСТВО АВТОМОБИЛЬНЫХ ДОРОГ 282 KB
  Профили автомобильной дороги: А Поперечный профиль; Б продольный профиль; 1 – разделительная полоса 2 – дорожная одежда 3 – укрепительная полоса 4 – обочина 5 – основание под дорожную одежду 6 – тело насыпи 7 – уклоны поперечный и продольный 8 – кювет 9 – зона сосредоточенного ведения работ 10 – естественный профиль местности. Ознакомимся с терминологией характеризующей основные конструктивные элементы автомобильных дорог: поперечный профиль – поперечное сечение автодороги характеризующее составляющие конструктивные...
21833. СТРОИТЕЛЬСТВО ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ В УСЛОЖНЁННЫХ УСЛОВИЯХ СТРОИТЕЛЬСТВА 50.5 KB
  Возведение строительных объектов в условиях плотной городской застройки. При строительстве в условиях плотной городской застройки возникает ряд факторов соблюдение которых обеспечивает качество и долговечность не только непосредственно возводимых объектов но и окружающих их соружений. Для ограничения складских площадей можно организовывать монтаж строительных конструкций с колёс применять максимально укрупнённые элементы применять апробированные в аналогичных условиях передовые строительные технологии.