22926

Властивості базисів

Доклад

Математика и математический анализ

Оскільки при m n система з m векторів лінійно залежна то m≤n. Якщо m n то за означенням базису всі вектори простору а тому і вектори системи e1e2en лінійно виражаються через базис a1 a2 am .Тоді за лемою про дві системи вектори e1e2en лінійно залежні. Отже В просторі Rn будьяка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Украинкский

2013-08-04

33.5 KB

0 чел.

Властивості базисів.

  1.  Всі базиси простору Rn складаються з n векторів.

Доведення. В просторі Rn існує стандартний базис e1,e2,…,en . Припустимо, a1, a2,… am  - інший базис. Оскільки при m>n система з m векторів лінійно залежна, то mn.. Якщо m>n, то за означенням базису всі вектори простору, а тому і вектори системи  e1,e2,…,en лінійно виражаються через базис a1, a2,… am .Тоді, за лемою про дві системи, вектори e1,e2,…,en лінійно залежні. Протиріччя. Отже,

  1.  В просторі Rn  будь-яка лінійно незалежна система з n векторів утворює базис простору.

Доведення. Нехай a1, a2,… an  - лінійно незалежна система векторів в просторі Rn . Покажемо, що будь-який вектор  b є Rn  лінійно виражається через a1, a2,… an. Як показано вище, система векторів a1, a2,… an,b  лінійно залежна. Отже, існує нетривіальна лінійна комбінація

α1a12a2+…αnan+βb=.

Якщо β=0,  то одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію системи a1, a2,… an, що суперечить її лінійній незалежності. Отже, , а тому:

;

Тобто вектор b лінійно виражається через систему  a1, a2,… an. Оскільки, за умовою, ця система лінійно незалежна, то вона утворює базис простору Rn.

  1.  В просторі Rn будь-яку лінійно незалежну систему векторів можна доповнити до базису простору.

Доведення.  Нехай  a1, a2,… am  - лінійно незалежна система векторів в просторі  . Якщо m=n,то за попередньою властивістю дана система утворює базис простору. Припустимо m<n. Тоді для системи a1, a2,… am умови базису не виконуються, а тому існує вектор am+1 є Rn  , який не виражається через a1, a2,… am . Покажемо, що система  a1, a2,… am,am+1   лінійно незалежна. Беремо лінійну комбінацію

λ1a12a2+…+λmam m+1am+1=.

Якщо , то  , тобто вектор am+1 лінійно виражається через a1, a2,… am  , що суперечить припущенню. Отже,  am+1=. Звідси 

λ1a12a2+…+λmam =. Ми одержали лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів, звідси α1= α2=…=αm=0 Тобто, система a1, a2,… am,am+1 лінійно незалежна. Якщо m+1=n, то вона утворює базис простору, інакше існує вектор am+2 є Rn, який не виражається через a1, a2,… am+1  . Система векторів a1, a2,… am,am+1,am+2   лінійно незалежна. Оскільки в просторі Rn не існує лінійно незалежних систем з будь-яким числом векторів, то за скінчене число кроків ми проходимо до базису простору.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

32929. Русская философия XVIII века 14.57 KB
  Ломоносов и А. Михаил Васильевич Ломоносов 1711 1765 свое место в истории русской философии определил прежде всего тем что заложил основы материалистической традиции. Согласно этому закону в основе мироздания лежат мельчайшие частицы которые Ломоносов вслед за Лейбницем назвал монадами. Однако в отличие от последнего Ломоносов говорит не о духовных а о материальных монадах и материальных атомах.
32930. Основная специфика философского знания 12.54 KB
  Основная специфика философского знания заключается в его двойственности так как оно: имеет очень много общего с научным знанием предметметоды логикопонятийный аппарат; однако не является научным знанием в чистом виде. Предмет философии шире предмета исследования любой отдельной науки философия обобщает интегрирует иные науки но не поглощает их не включает в себя все научное знание не стоит над ним.; носит предельно общий теоретический характер; содержит базовые основополагающие идеи и понятия которые лежат в основе иных...