22927

Поняття рангу

Доклад

Математика и математический анализ

В довільній системі векторів a1a2am візьмемо всі лінійно незалежні підсистеми. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1 a2 am . Таким чином рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі. Зрозуміло що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Поняття рангу.

В довільній системі векторів a1,a2,…am  візьмемо всі лінійно незалежні  підсистеми. Серед них фіксуємо ту, що складається з найбільшого числа векторів. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1, a2,… am .
Таким чином, рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі.
Якщо система векторів складається лише з θ , то в ній немає лінійно незалежних підсистем , а тому її ранг вважається рівним 0.
Зрозуміло, що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі. Якщо система лінійно незалежна, її ранг менше кількості векторів системи.
Для обчислювання рангів системи векторів використовуються наступні три теореми про ранг.
Теорема 1 (про ранг) ранг системи векторів
 a1,a2,… am  дорівнює числу r (r>0) тоді і тільки тоді, коли в системі існує лінійно незалежна підсистема з r (r>0) векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи.
Доведення. Необхідність. Припустимо, що в системі векторів
a1,a2,… am   підсистема a1,a2,… ar лінійно незалежна і всі вектори системи лінійно виражаються через a1,a2,… ar . Якщо r=m, то система лінійно незалежна, і  її ранг дорівнює r. Інакше можна зробити висновок, що в системі вже існує лінійно незалежна підсистема  з r векторів, і, згідно з означенням, достатньо переконатись в тому, що кожна підсистема, що складається з більшого ніж r числа векторів лінійно залежна. Візьмемо таку підсистему ai1,ai2,…,aik   k>r. За умовою теореми всі вектори ai1,ai2,…,aik  лінійно виражаються через систему  a1,a2,… ar. Оскільки k r, за лемою про дві системи система векторів ai1,ai2,…,aik  лінійно залежна.
Достатність. Нехай ранг системи векторів
a1,a2,… am  дорівнює r. За означенням, в системі існує лінійно незалежна підсистема з r векторів. Якщо r=m, це означає, що вся система лінійно незалежна. Припустимо r<m, тоді, за означенням, в системі є лінійно незалежна підсистема ai1,ai2,…,air, а всі підсистеми, що складаються з  r+1 векторів, лінійно залежні. Для доведення теореми достатньо показати, що будь-який вектор системи, який не входить до підсистеми ai1,ai2,…,air,  лінійно виражається через цю підсистему. Нехай aj - такий вектор. Тоді система векторів ai1,ai2,…,air,aj   складаються з r + 1 векторів, тобто лінійно залежна.
Це означає, що існує нетривіальна лінійна комбінація
λ
1ai1+λ2ai2 +… + λrair+ λr+1aj  =.
Комбінація нетривіальна, тому серед її коефіцієнтів є ненульовий. Припустимо, що λ
r+1=0 тоді  λs≠0  для деякого sr і при цьому   λ1ai1+λ2ai2+…+λsais+… + λrair= .
Одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів    
ai1,ai2,…,air  і  приходимо до протиріччя. Отже  λr+1≠0. Тоді                                              
                          
Таким чином, вектор
aj лінійно виражається  через вектори підсистеми ai1,ai2,…,air  
і теорему доведено.
     Зауваження. Фактично, в останній теоремі доведено, що ранг системи векторів дорівнює числу векторів в її базис
і.

     Теорема 2 (про ранг).  Ранг системи векторів не змінюється, якщо до неї дописується  вектор, який лінійно виражається  через цю систему. Ранг системи векторів не змінюється,  якщо з неї викреслюється вектор, який  лінійно виражається через інші вектори системи.
       Доведення. Припустимо, ранг системи векторів
a1,a2,…am дорівнює r і   вектор am+1 лінійно виражається через вектори a1,a2,…am.  Доведемо, що ранг системи векторів a1,a2,…am,am+1   також дорівнює r. За теоремою 1 (про ранг), в  системі a1,a2,…am   існує лінійно незалежна підсистема з  r  векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи. Припустимо, що підсистему утворюють вектори a1,a2,…ar.  Розглянемо систему   a1,a2,…am,am+1. В цій системі вектори a1,a2,…am     лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему a1,a2,…ar. Вектор am+1 лінійно виражається через a1,a2,…am Тому цей вектор можна лінійно виразити через a1,a2,…ar. Отож, в системі векторів a1,a2,…am,am+1 всі вектори лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему з r векторів a1,a2,…ar.  Таким чином, за теоремою 1 (про ранг)  ранг системи a1,a2,…am,am+1  дорівнює  r.
     Припустимо тепер, що з системи векторів викреслюються деякі вектори а, який лінійно виражається через інші вектори системи. Нехай ранг  одержаної системи дорівнює
r.  Допишемо до цієї системи вектор а. За доведеним вище, ранг системи векторів при цьому не змінюється. Але ми одержуємо початкову систему. Отже, ранг початкової системи також дорівнює r.   Теорему доведено.

Означення. До елементарних перетворень системи векторів належать перетворення двох типів:
        1 Множення деякого вектора системи на ненульове число.
        2 Додання до вектора системи деякого іншого вектора системи.
    Теорія 3 (про ранг). Елементарні перетворення не змінюють рангу системи векторів
    Доведення. Спочатку доведемо перетворення  для перетворень першого типу.  Припустимо, в системі векторів
a1,a2,…,ai,…am, вектор ai домножається  на число  λ (λ≠0). Будемо розглядати дві системи векторів.

I         a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am

II       a1,a2,…ai-1,λai,ai+1,…am 
Складемо
 третю систему векторів, дописуючи вектор  до першої системи:
III    a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am, λai .
Зрозуміло
, що вектор    лінійно виражається через вектори системи, першої  системи  (λai=0∙a1+0∙a2,…0∙ai-1+λ∙ai+0∙ai+1,…+0∙am).  Тому за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої систем рівні. Друга система одержується з третьої викресленням вектора ai. При цьому, оскільки  λ≠0, то      Таким чином, вектор          лінійно виражається через інші вектори третьої системи, а тому за теоремою 2 (про ранг), ранг третьої та другої систем рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи.
    Далі доведемо теорему для перетворень другого типу. Нехай в системі векторів
a1,a2,…,ai,…,aj,…am  до вектора ai додається вектор  aj.         
Аналогічно попередньому, розглядаються дві системи векторів
І
a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am 

ІІ a1,a2,…ai-1,ai+aj,ai+1,…,aj,…,…am 

Далі складемо третю систему векторів, дописуючи вектори  ai+aj до  першої системи:
III a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am ,ai+aj.

Вектор ai+aj  лінійно виражається через вектори першої системи, тому за, теоремою 2 (про ранг), ранг першої та третьої системи рівні. Друга система одержується з третьої ви- кресленням вектора  ai  при цьому  ai=(ai+aj)-aj.           
Отже, вектор
ai лінійно виражається через інші вектори третьої системи.
Тому, за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої системи рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи. Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

40746. Наука як сфера людської діяльності 59.51 KB
  Поняття зміст і функції науки Курс: 1 Факультет: 4й медичний Поняття зміст і функції науки Актуальність теми. Необхідність надання загальних відомостей про завдання курсу а також про науку як систему знань і уявлень про сутність науки аналіз змісту та функцій науки диктується вимогами розвитку та становлення сучасної науки і є необхідною передумовою формування наукового світогляду необхідного майбутнім спеціалістам. Цілі лекції мета Навчальні: ознайомитись з...
40747. Філософія Середньовіччя, Відродження та Нового часу 49.79 KB
  Центральна проблема філософії – проблема взаємовідносин людини та світу – у середньовічній філософії набирає специфічного змісту: це взаємовідносин Бога людини та світу. Завдання людини – зробити правильний вибір між цими двома світами. Утверджуючи переконання що істинне буття людини – це її духовне буття християнська теософія від Теос – Бог скеровує увагу філософів середньовіччя на дослідження внутрішнього духовного світу людини на освоєння безмежних глибин людської душі. Якщо ж людина знає розуміє те в що вірить її віра...
40748. Суб’єкти кримінального процесу 68.21 KB
  Інші учасники кримінального провадження. Відводи суб’єктів кримінального провадження. Поняття і класифікація суб’єктів кримінального процесу Кримінальний процесуальний кодекс України прийнятий 13 квітня 2012 року чітко не визначає поняття і не подає класифікацію суб’єктів кримінального провадження тому їх називають порізному: 1 особи які беруть участь у процесуальній дії – статті 104 107 КПК; 2 учасники кримінального провадження – статті 27 113 237 КПК та ін.; 3 учасники судового провадження – статті 34 107 317 347 КПК та ін.
40749. Сучасні види та способи друку 175.54 KB
  Класифікація видів та способів друку. Спеціальні види та способи друку. Класифікація видів та способів друку. Вид друку оприділяється конкретними особливостями роз положення друкарських елементів відносно пробільних на друкарських формах.
40750. АХОДИ ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ КРИМІНАЛЬНОГО ПРОВАДЖЕННЯ 107.41 KB
  Затримання особи та обрання їй запобіжного заходу у вигляді взяття під варту : у чинному КПК України та у його проекті О. Поміщення особи у медичний заклад : пропозиції до нового КПК України В. 131 КПК заходами забезпечення кримінального провадження є: 1 виклик слідчим прокурором судовий виклик і привід ст. 133−143 КПК; 2 накладення грошового стягнення ст.
40751. Загальні положення досудового розслідування 41.62 KB
  Загальні положення досудового розслідування Поняття стадії досудового розслідування. Форми досудового розслідування: дізнання та досудове слідство. Поняття та характеристика загальних положень досудового розслідування.
40752. ПРОВАДЖЕННЯ СЛІДЧИХ (РОЗШУКОВИХ) ДІЙ 70.79 KB
  Забезпечення недоторканості житла чи іншого володіння особи в кримінальному процесі : Інститут слідчої дії ‑ це система правових приписів що визначають: сферу й об’єкт слідчої дії його мету і завдання; підстави проведення; коло учасників та їх правовий статус; механізм реалізації ними своїх прав і обов’язків; порядок здійснення і правила провадження пізнавальнозасвідчувальних дій; способи і форми їх фіксації; гарантії захисту прав і свобод людини заходи та межі примусу і відповідальності які застосовуються у разі...
40753. ПОВІДОМЛЕННЯ ПРО ПІДОЗРУ 44.63 KB
  Повідомлення про підозру займає особливе місце в структурі досудового розслідування. Воно підводить підсумок проведеної до того часу роботи, зібраним доказам, у більшості визначає подальше спрямування кримінального провадження і є початковим моментом притягнення до кримінальної відповідальності.
40754. Абразивні матеріали: класифікація, властивості та галузі використання 111.92 KB
  Абразивные материалы это материалы обладающие высокой твердостью и используемые для обработки поверхности различных материалов. Для изготовления абразивных инструментов используются частицы материалов различной зернистости обладающие высокой твердостью и способностью резания. Карбид кремния SiC обладает более высокой твердостью до3235 ГПа но имеет высокую хрупкость и малую прочность поэтому применяется для обработки хрупких материалов – чугунов бронзы титановых и тугоплавких сплавов заточки твердосплавных инструментов.