22927

Поняття рангу

Доклад

Математика и математический анализ

В довільній системі векторів a1a2am візьмемо всі лінійно незалежні підсистеми. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1 a2 am . Таким чином рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі. Зрозуміло що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Поняття рангу.

В довільній системі векторів a1,a2,…am  візьмемо всі лінійно незалежні  підсистеми. Серед них фіксуємо ту, що складається з найбільшого числа векторів. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1, a2,… am .
Таким чином, рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі.
Якщо система векторів складається лише з θ , то в ній немає лінійно незалежних підсистем , а тому її ранг вважається рівним 0.
Зрозуміло, що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі. Якщо система лінійно незалежна, її ранг менше кількості векторів системи.
Для обчислювання рангів системи векторів використовуються наступні три теореми про ранг.
Теорема 1 (про ранг) ранг системи векторів
 a1,a2,… am  дорівнює числу r (r>0) тоді і тільки тоді, коли в системі існує лінійно незалежна підсистема з r (r>0) векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи.
Доведення. Необхідність. Припустимо, що в системі векторів
a1,a2,… am   підсистема a1,a2,… ar лінійно незалежна і всі вектори системи лінійно виражаються через a1,a2,… ar . Якщо r=m, то система лінійно незалежна, і  її ранг дорівнює r. Інакше можна зробити висновок, що в системі вже існує лінійно незалежна підсистема  з r векторів, і, згідно з означенням, достатньо переконатись в тому, що кожна підсистема, що складається з більшого ніж r числа векторів лінійно залежна. Візьмемо таку підсистему ai1,ai2,…,aik   k>r. За умовою теореми всі вектори ai1,ai2,…,aik  лінійно виражаються через систему  a1,a2,… ar. Оскільки k r, за лемою про дві системи система векторів ai1,ai2,…,aik  лінійно залежна.
Достатність. Нехай ранг системи векторів
a1,a2,… am  дорівнює r. За означенням, в системі існує лінійно незалежна підсистема з r векторів. Якщо r=m, це означає, що вся система лінійно незалежна. Припустимо r<m, тоді, за означенням, в системі є лінійно незалежна підсистема ai1,ai2,…,air, а всі підсистеми, що складаються з  r+1 векторів, лінійно залежні. Для доведення теореми достатньо показати, що будь-який вектор системи, який не входить до підсистеми ai1,ai2,…,air,  лінійно виражається через цю підсистему. Нехай aj - такий вектор. Тоді система векторів ai1,ai2,…,air,aj   складаються з r + 1 векторів, тобто лінійно залежна.
Це означає, що існує нетривіальна лінійна комбінація
λ
1ai1+λ2ai2 +… + λrair+ λr+1aj  =.
Комбінація нетривіальна, тому серед її коефіцієнтів є ненульовий. Припустимо, що λ
r+1=0 тоді  λs≠0  для деякого sr і при цьому   λ1ai1+λ2ai2+…+λsais+… + λrair= .
Одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів    
ai1,ai2,…,air  і  приходимо до протиріччя. Отже  λr+1≠0. Тоді                                              
                          
Таким чином, вектор
aj лінійно виражається  через вектори підсистеми ai1,ai2,…,air  
і теорему доведено.
     Зауваження. Фактично, в останній теоремі доведено, що ранг системи векторів дорівнює числу векторів в її базис
і.

     Теорема 2 (про ранг).  Ранг системи векторів не змінюється, якщо до неї дописується  вектор, який лінійно виражається  через цю систему. Ранг системи векторів не змінюється,  якщо з неї викреслюється вектор, який  лінійно виражається через інші вектори системи.
       Доведення. Припустимо, ранг системи векторів
a1,a2,…am дорівнює r і   вектор am+1 лінійно виражається через вектори a1,a2,…am.  Доведемо, що ранг системи векторів a1,a2,…am,am+1   також дорівнює r. За теоремою 1 (про ранг), в  системі a1,a2,…am   існує лінійно незалежна підсистема з  r  векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи. Припустимо, що підсистему утворюють вектори a1,a2,…ar.  Розглянемо систему   a1,a2,…am,am+1. В цій системі вектори a1,a2,…am     лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему a1,a2,…ar. Вектор am+1 лінійно виражається через a1,a2,…am Тому цей вектор можна лінійно виразити через a1,a2,…ar. Отож, в системі векторів a1,a2,…am,am+1 всі вектори лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему з r векторів a1,a2,…ar.  Таким чином, за теоремою 1 (про ранг)  ранг системи a1,a2,…am,am+1  дорівнює  r.
     Припустимо тепер, що з системи векторів викреслюються деякі вектори а, який лінійно виражається через інші вектори системи. Нехай ранг  одержаної системи дорівнює
r.  Допишемо до цієї системи вектор а. За доведеним вище, ранг системи векторів при цьому не змінюється. Але ми одержуємо початкову систему. Отже, ранг початкової системи також дорівнює r.   Теорему доведено.

Означення. До елементарних перетворень системи векторів належать перетворення двох типів:
        1 Множення деякого вектора системи на ненульове число.
        2 Додання до вектора системи деякого іншого вектора системи.
    Теорія 3 (про ранг). Елементарні перетворення не змінюють рангу системи векторів
    Доведення. Спочатку доведемо перетворення  для перетворень першого типу.  Припустимо, в системі векторів
a1,a2,…,ai,…am, вектор ai домножається  на число  λ (λ≠0). Будемо розглядати дві системи векторів.

I         a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am

II       a1,a2,…ai-1,λai,ai+1,…am 
Складемо
 третю систему векторів, дописуючи вектор  до першої системи:
III    a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am, λai .
Зрозуміло
, що вектор    лінійно виражається через вектори системи, першої  системи  (λai=0∙a1+0∙a2,…0∙ai-1+λ∙ai+0∙ai+1,…+0∙am).  Тому за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої систем рівні. Друга система одержується з третьої викресленням вектора ai. При цьому, оскільки  λ≠0, то      Таким чином, вектор          лінійно виражається через інші вектори третьої системи, а тому за теоремою 2 (про ранг), ранг третьої та другої систем рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи.
    Далі доведемо теорему для перетворень другого типу. Нехай в системі векторів
a1,a2,…,ai,…,aj,…am  до вектора ai додається вектор  aj.         
Аналогічно попередньому, розглядаються дві системи векторів
І
a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am 

ІІ a1,a2,…ai-1,ai+aj,ai+1,…,aj,…,…am 

Далі складемо третю систему векторів, дописуючи вектори  ai+aj до  першої системи:
III a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am ,ai+aj.

Вектор ai+aj  лінійно виражається через вектори першої системи, тому за, теоремою 2 (про ранг), ранг першої та третьої системи рівні. Друга система одержується з третьої ви- кресленням вектора  ai  при цьому  ai=(ai+aj)-aj.           
Отже, вектор
ai лінійно виражається через інші вектори третьої системи.
Тому, за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої системи рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи. Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

6457. Особенности образования и воспитания просвещенной Древней Руси X-XIII веках (на примере произведений древнерусской литературы) 25.06 KB
  Особенности образования и воспитания просвещенной Древней Руси X-XIII веках (на примере произведений древнерусской литературы) Современная российская культура своими корнями уходит в глубокое прошлое. Какой бы отрезок нашей истории мы не взяли, в не...
6458. Особенности потребительского поведения студенческой молодёжи города Иркутска (по результатам социологического опроса) 25.52 KB
  Особенности потребительского поведения студенческой молодёжи города Иркутска (по результатам социологического опроса) Современная молодежь - это поколение, выросшее и сформировавшееся в условиях реформирующейся переходной рыночной экономики. Ст...
6459. Отношение российской молодежи к современной армии: результаты социологического исследования 34.65 KB
  Отношение российской молодежи к современной армии: результаты социологического исследования Изучение готовности российской молодежи к военной службе показывает наличие тревожных социальных тенденций, затрагивающих устойчивость оборонного сознания мо...
6460. Отношение студентов к браку 27.36 KB
  Отношение студентов к браку Актуальность данной темы заключается в том, что в настоящее время большинство молодых людей вступают в брак необдуманно. Некоторые молодые граждане принимают это решение не так серьезно и ответственно, насколь...
6461. Сорокин и проблема альтруистической любви 27 KB
  П. Сорокин и проблема альтруистической любви П.А. Сорокин в его четырехтомной монографии Социальная и культурная динамика сформулировал идеи интегрализма как основы грядущего общественного строя. Развивая свои идеи о будущем цивилизаций, он пришел...
6462. Проблема адаптации сирот-выпускников детских домов 31.87 KB
  Проблема адаптации сирот-выпускников детских домов Рассматривая проблемы социальной адаптации сирот-выпускников, необходимо обратить внимание на социально-психологический портрет нынешнего выпускника детского дома, вступающего в самостоятельную жизн...
6463. Проблемы адаптации студентов к общежитию 39.75 KB
  Проблемы адаптации студентов к общежитию Адаптация - это процесс, при котором организм приспосабливается к условиям внешней среды. Необходимо отметить, что адаптация не только дает возможность личности приспособиться к новым условиям, но и сформиров...
6464. Проблема влияния СМИ на сознание населения РФ: результаты социологического исследования 28.51 KB
  Проблема влияния СМИ на сознание населения РФ: результаты социологического исследования Необходимость проведения данного исследования вызвана, прежде всего, тем, что СМИ оказывают скорее отрицательный, чем положительный результат на население. Сформ...
6465. Проблемы трудоустройства российской молодежи 32.54 KB
  Проблемы трудоустройства российской молодежи Произошедшие в нашей стране политические и экономические перемены, изменение форм собственности, переход от командно-административной системы управления к рыночной, демократизация общественно-политической...