22927

Поняття рангу

Доклад

Математика и математический анализ

В довільній системі векторів a1a2am візьмемо всі лінійно незалежні підсистеми. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1 a2 am . Таким чином рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі. Зрозуміло що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Поняття рангу.

В довільній системі векторів a1,a2,…am  візьмемо всі лінійно незалежні  підсистеми. Серед них фіксуємо ту, що складається з найбільшого числа векторів. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1, a2,… am .
Таким чином, рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі.
Якщо система векторів складається лише з θ , то в ній немає лінійно незалежних підсистем , а тому її ранг вважається рівним 0.
Зрозуміло, що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі. Якщо система лінійно незалежна, її ранг менше кількості векторів системи.
Для обчислювання рангів системи векторів використовуються наступні три теореми про ранг.
Теорема 1 (про ранг) ранг системи векторів
 a1,a2,… am  дорівнює числу r (r>0) тоді і тільки тоді, коли в системі існує лінійно незалежна підсистема з r (r>0) векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи.
Доведення. Необхідність. Припустимо, що в системі векторів
a1,a2,… am   підсистема a1,a2,… ar лінійно незалежна і всі вектори системи лінійно виражаються через a1,a2,… ar . Якщо r=m, то система лінійно незалежна, і  її ранг дорівнює r. Інакше можна зробити висновок, що в системі вже існує лінійно незалежна підсистема  з r векторів, і, згідно з означенням, достатньо переконатись в тому, що кожна підсистема, що складається з більшого ніж r числа векторів лінійно залежна. Візьмемо таку підсистему ai1,ai2,…,aik   k>r. За умовою теореми всі вектори ai1,ai2,…,aik  лінійно виражаються через систему  a1,a2,… ar. Оскільки k r, за лемою про дві системи система векторів ai1,ai2,…,aik  лінійно залежна.
Достатність. Нехай ранг системи векторів
a1,a2,… am  дорівнює r. За означенням, в системі існує лінійно незалежна підсистема з r векторів. Якщо r=m, це означає, що вся система лінійно незалежна. Припустимо r<m, тоді, за означенням, в системі є лінійно незалежна підсистема ai1,ai2,…,air, а всі підсистеми, що складаються з  r+1 векторів, лінійно залежні. Для доведення теореми достатньо показати, що будь-який вектор системи, який не входить до підсистеми ai1,ai2,…,air,  лінійно виражається через цю підсистему. Нехай aj - такий вектор. Тоді система векторів ai1,ai2,…,air,aj   складаються з r + 1 векторів, тобто лінійно залежна.
Це означає, що існує нетривіальна лінійна комбінація
λ
1ai1+λ2ai2 +… + λrair+ λr+1aj  =.
Комбінація нетривіальна, тому серед її коефіцієнтів є ненульовий. Припустимо, що λ
r+1=0 тоді  λs≠0  для деякого sr і при цьому   λ1ai1+λ2ai2+…+λsais+… + λrair= .
Одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів    
ai1,ai2,…,air  і  приходимо до протиріччя. Отже  λr+1≠0. Тоді                                              
                          
Таким чином, вектор
aj лінійно виражається  через вектори підсистеми ai1,ai2,…,air  
і теорему доведено.
     Зауваження. Фактично, в останній теоремі доведено, що ранг системи векторів дорівнює числу векторів в її базис
і.

     Теорема 2 (про ранг).  Ранг системи векторів не змінюється, якщо до неї дописується  вектор, який лінійно виражається  через цю систему. Ранг системи векторів не змінюється,  якщо з неї викреслюється вектор, який  лінійно виражається через інші вектори системи.
       Доведення. Припустимо, ранг системи векторів
a1,a2,…am дорівнює r і   вектор am+1 лінійно виражається через вектори a1,a2,…am.  Доведемо, що ранг системи векторів a1,a2,…am,am+1   також дорівнює r. За теоремою 1 (про ранг), в  системі a1,a2,…am   існує лінійно незалежна підсистема з  r  векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи. Припустимо, що підсистему утворюють вектори a1,a2,…ar.  Розглянемо систему   a1,a2,…am,am+1. В цій системі вектори a1,a2,…am     лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему a1,a2,…ar. Вектор am+1 лінійно виражається через a1,a2,…am Тому цей вектор можна лінійно виразити через a1,a2,…ar. Отож, в системі векторів a1,a2,…am,am+1 всі вектори лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему з r векторів a1,a2,…ar.  Таким чином, за теоремою 1 (про ранг)  ранг системи a1,a2,…am,am+1  дорівнює  r.
     Припустимо тепер, що з системи векторів викреслюються деякі вектори а, який лінійно виражається через інші вектори системи. Нехай ранг  одержаної системи дорівнює
r.  Допишемо до цієї системи вектор а. За доведеним вище, ранг системи векторів при цьому не змінюється. Але ми одержуємо початкову систему. Отже, ранг початкової системи також дорівнює r.   Теорему доведено.

Означення. До елементарних перетворень системи векторів належать перетворення двох типів:
        1 Множення деякого вектора системи на ненульове число.
        2 Додання до вектора системи деякого іншого вектора системи.
    Теорія 3 (про ранг). Елементарні перетворення не змінюють рангу системи векторів
    Доведення. Спочатку доведемо перетворення  для перетворень першого типу.  Припустимо, в системі векторів
a1,a2,…,ai,…am, вектор ai домножається  на число  λ (λ≠0). Будемо розглядати дві системи векторів.

I         a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am

II       a1,a2,…ai-1,λai,ai+1,…am 
Складемо
 третю систему векторів, дописуючи вектор  до першої системи:
III    a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am, λai .
Зрозуміло
, що вектор    лінійно виражається через вектори системи, першої  системи  (λai=0∙a1+0∙a2,…0∙ai-1+λ∙ai+0∙ai+1,…+0∙am).  Тому за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої систем рівні. Друга система одержується з третьої викресленням вектора ai. При цьому, оскільки  λ≠0, то      Таким чином, вектор          лінійно виражається через інші вектори третьої системи, а тому за теоремою 2 (про ранг), ранг третьої та другої систем рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи.
    Далі доведемо теорему для перетворень другого типу. Нехай в системі векторів
a1,a2,…,ai,…,aj,…am  до вектора ai додається вектор  aj.         
Аналогічно попередньому, розглядаються дві системи векторів
І
a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am 

ІІ a1,a2,…ai-1,ai+aj,ai+1,…,aj,…,…am 

Далі складемо третю систему векторів, дописуючи вектори  ai+aj до  першої системи:
III a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am ,ai+aj.

Вектор ai+aj  лінійно виражається через вектори першої системи, тому за, теоремою 2 (про ранг), ранг першої та третьої системи рівні. Друга система одержується з третьої ви- кресленням вектора  ai  при цьому  ai=(ai+aj)-aj.           
Отже, вектор
ai лінійно виражається через інші вектори третьої системи.
Тому, за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої системи рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи. Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

19452. Недействительность сделки 23 KB
  Недействительность сделки. Сделка недействительна в силу признания ее таковой судом оспоримая сделка либо независимо от такого признания ничтожная сделка но только при наличии законных на то оснований. При недействительности сделки каждая из сторон обязана воз
19453. ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВО: ПОНЯТИЕ И ВИДЫ. ДОВЕРЕННОСТЬ 27.5 KB
  ПРЕДСТАВИТЕЛЬСТВО: ПОНЯТИЕ И ВИДЫ. ДОВЕРЕННОСТЬ Представительство совершение сделок представителем от имени представляемого лица и в его интересах в силу имеющихся полномочий основанных на доверенности указании закона либо акте уполномоченного на то государственн
19454. СРОКИ: ПОНЯТИЕ, ИСЧИСЛЕНИЕ И ВИДЫ 29 KB
  СРОКИ: ПОНЯТИЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ВИДЫ Срок момент или период времени в который должны реализовываться права и выполняться возложенные обязанности с которым гражданское законодательство связывает определенные правовые последствия. Сроки по своей природе относятся к той...
19455. ПРАВО ОБЩЕЙ СОБСТВЕННОСТИ: ПОНЯТИЕ И ВИДЫ 27.5 KB
  ПРАВО ОБЩЕЙ СОБСТВЕННОСТИ: ПОНЯТИЕ И ВИДЫ В случаях когда имущество принадлежит на праве собственности не одному а двум и более лицам можно говорить об общей собственности.Общая собственность может возникать по различным основаниям: совместная покупка состояние в бра...
19456. Договор купли-продажи 23.5 KB
  Договор куплипродажи. Договор куплипродажи это соглашение по которому одна сторона продавец обязуется передать вещь товар в собственность другой стороне покупателю а покупатель обязуется принять этот товар и уплатить за него определенную денежную сумму цену ...
19457. Договор найма жилого помещения 24 KB
  Договор найма жилого помещения. Договор найма жилого помещения это соглашение сторон по которому одна сторона собственник жилого помещения или управомоченное им лицо наймодатель обязуется предоставить другой стороне нанимателю жилое помещение за плату во владе...
19458. Понятие договора хранения 24 KB
  Понятие договора хранения Договор хранения это соглашение сторон по которому одна сторона хранитель обязуется хранить вещь переданную ей другой стороной поклажедателем и возвратить эту вещь в сохранности. Договор хранения может быть как реальным так и консенсу...
19459. Символьные вычисления 37.15 KB
  В ходе лабораторной работы я научился выполнять символьные вычисления, такие как нахождение производной различных порядков, поиск пределов функций, нахождение определенных и неопределенных интегралов и т.д.
19460. Договор страхования 28.5 KB
  Договор страхования. Договор страхования это гражданскоправовая сделка между страховщиком и страхователем в силу которой страховщик обязуется при наступлении страхового случая произвести страховую выплату при условии оплаты страхователем страховой премии в обусл...