22927

Поняття рангу

Доклад

Математика и математический анализ

В довільній системі векторів a1a2am візьмемо всі лінійно незалежні підсистеми. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1 a2 am . Таким чином рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі. Зрозуміло що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Поняття рангу.

В довільній системі векторів a1,a2,…am  візьмемо всі лінійно незалежні  підсистеми. Серед них фіксуємо ту, що складається з найбільшого числа векторів. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1, a2,… am .
Таким чином, рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі.
Якщо система векторів складається лише з θ , то в ній немає лінійно незалежних підсистем , а тому її ранг вважається рівним 0.
Зрозуміло, що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі. Якщо система лінійно незалежна, її ранг менше кількості векторів системи.
Для обчислювання рангів системи векторів використовуються наступні три теореми про ранг.
Теорема 1 (про ранг) ранг системи векторів
 a1,a2,… am  дорівнює числу r (r>0) тоді і тільки тоді, коли в системі існує лінійно незалежна підсистема з r (r>0) векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи.
Доведення. Необхідність. Припустимо, що в системі векторів
a1,a2,… am   підсистема a1,a2,… ar лінійно незалежна і всі вектори системи лінійно виражаються через a1,a2,… ar . Якщо r=m, то система лінійно незалежна, і  її ранг дорівнює r. Інакше можна зробити висновок, що в системі вже існує лінійно незалежна підсистема  з r векторів, і, згідно з означенням, достатньо переконатись в тому, що кожна підсистема, що складається з більшого ніж r числа векторів лінійно залежна. Візьмемо таку підсистему ai1,ai2,…,aik   k>r. За умовою теореми всі вектори ai1,ai2,…,aik  лінійно виражаються через систему  a1,a2,… ar. Оскільки k r, за лемою про дві системи система векторів ai1,ai2,…,aik  лінійно залежна.
Достатність. Нехай ранг системи векторів
a1,a2,… am  дорівнює r. За означенням, в системі існує лінійно незалежна підсистема з r векторів. Якщо r=m, це означає, що вся система лінійно незалежна. Припустимо r<m, тоді, за означенням, в системі є лінійно незалежна підсистема ai1,ai2,…,air, а всі підсистеми, що складаються з  r+1 векторів, лінійно залежні. Для доведення теореми достатньо показати, що будь-який вектор системи, який не входить до підсистеми ai1,ai2,…,air,  лінійно виражається через цю підсистему. Нехай aj - такий вектор. Тоді система векторів ai1,ai2,…,air,aj   складаються з r + 1 векторів, тобто лінійно залежна.
Це означає, що існує нетривіальна лінійна комбінація
λ
1ai1+λ2ai2 +… + λrair+ λr+1aj  =.
Комбінація нетривіальна, тому серед її коефіцієнтів є ненульовий. Припустимо, що λ
r+1=0 тоді  λs≠0  для деякого sr і при цьому   λ1ai1+λ2ai2+…+λsais+… + λrair= .
Одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів    
ai1,ai2,…,air  і  приходимо до протиріччя. Отже  λr+1≠0. Тоді                                              
                          
Таким чином, вектор
aj лінійно виражається  через вектори підсистеми ai1,ai2,…,air  
і теорему доведено.
     Зауваження. Фактично, в останній теоремі доведено, що ранг системи векторів дорівнює числу векторів в її базис
і.

     Теорема 2 (про ранг).  Ранг системи векторів не змінюється, якщо до неї дописується  вектор, який лінійно виражається  через цю систему. Ранг системи векторів не змінюється,  якщо з неї викреслюється вектор, який  лінійно виражається через інші вектори системи.
       Доведення. Припустимо, ранг системи векторів
a1,a2,…am дорівнює r і   вектор am+1 лінійно виражається через вектори a1,a2,…am.  Доведемо, що ранг системи векторів a1,a2,…am,am+1   також дорівнює r. За теоремою 1 (про ранг), в  системі a1,a2,…am   існує лінійно незалежна підсистема з  r  векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи. Припустимо, що підсистему утворюють вектори a1,a2,…ar.  Розглянемо систему   a1,a2,…am,am+1. В цій системі вектори a1,a2,…am     лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему a1,a2,…ar. Вектор am+1 лінійно виражається через a1,a2,…am Тому цей вектор можна лінійно виразити через a1,a2,…ar. Отож, в системі векторів a1,a2,…am,am+1 всі вектори лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему з r векторів a1,a2,…ar.  Таким чином, за теоремою 1 (про ранг)  ранг системи a1,a2,…am,am+1  дорівнює  r.
     Припустимо тепер, що з системи векторів викреслюються деякі вектори а, який лінійно виражається через інші вектори системи. Нехай ранг  одержаної системи дорівнює
r.  Допишемо до цієї системи вектор а. За доведеним вище, ранг системи векторів при цьому не змінюється. Але ми одержуємо початкову систему. Отже, ранг початкової системи також дорівнює r.   Теорему доведено.

Означення. До елементарних перетворень системи векторів належать перетворення двох типів:
        1 Множення деякого вектора системи на ненульове число.
        2 Додання до вектора системи деякого іншого вектора системи.
    Теорія 3 (про ранг). Елементарні перетворення не змінюють рангу системи векторів
    Доведення. Спочатку доведемо перетворення  для перетворень першого типу.  Припустимо, в системі векторів
a1,a2,…,ai,…am, вектор ai домножається  на число  λ (λ≠0). Будемо розглядати дві системи векторів.

I         a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am

II       a1,a2,…ai-1,λai,ai+1,…am 
Складемо
 третю систему векторів, дописуючи вектор  до першої системи:
III    a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am, λai .
Зрозуміло
, що вектор    лінійно виражається через вектори системи, першої  системи  (λai=0∙a1+0∙a2,…0∙ai-1+λ∙ai+0∙ai+1,…+0∙am).  Тому за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої систем рівні. Друга система одержується з третьої викресленням вектора ai. При цьому, оскільки  λ≠0, то      Таким чином, вектор          лінійно виражається через інші вектори третьої системи, а тому за теоремою 2 (про ранг), ранг третьої та другої систем рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи.
    Далі доведемо теорему для перетворень другого типу. Нехай в системі векторів
a1,a2,…,ai,…,aj,…am  до вектора ai додається вектор  aj.         
Аналогічно попередньому, розглядаються дві системи векторів
І
a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am 

ІІ a1,a2,…ai-1,ai+aj,ai+1,…,aj,…,…am 

Далі складемо третю систему векторів, дописуючи вектори  ai+aj до  першої системи:
III a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am ,ai+aj.

Вектор ai+aj  лінійно виражається через вектори першої системи, тому за, теоремою 2 (про ранг), ранг першої та третьої системи рівні. Друга система одержується з третьої ви- кресленням вектора  ai  при цьому  ai=(ai+aj)-aj.           
Отже, вектор
ai лінійно виражається через інші вектори третьої системи.
Тому, за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої системи рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи. Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

63913. Скрытая реклама как уникальная технология управления потребительским поведением в трансформирующемся обществе 42.5 KB
  Скрытая реклама как уникальная технология управления потребительским поведением в трансформирующемся обществе Наше общество общество потребления. Именно для такой удачной презентации товаров в обществе тотального потребления и существует реклама.
63914. Моральные и правовые трансформации общественного сознания на примере Беби-боксов 53 KB
  В переходный период углубляющийся кризис духовного мира личности сопровождающийся деформацией индивидуального сознания ценностной переориентацией личности столкновением сложившихся стереотипов с реалиями жизни требует переосмысления многих теоретических представлений о соотношении...
63915. Идолопоклонство в современном мире 37.27 KB
  Можно заметить и рост фанатизма и зависимости от различных обожествленных объектов и их проникновение в повседневную обыденную жизнь и также большее количество людей которые пребывают под влиянием идолов. Появление организованных религий привело к усилению религиозной власти над мирской...
63917. Различия в социально-психологической адаптации городской и сельской молодежи в период учебной деятельности в ВУЗе 47.5 KB
  Самой главной опасностью по признанию самих студентов является незнакомая среда в которой приезжий студент предоставлен сам себе. В студенческих общежитиях где проживает большинство приезжих студентов у ребят может отсутствовать место где они могут спокойно подготовиться к занятиям.
63918. Трансформация коммуникативных практик в контексте социокультурных изменений (на примере посткризисного региона Чечня) 76.5 KB
  Между тем изучение коммуникации посткризисного региона может помочь не только вникнуть в суть самого кризиса но и проникнуть в психологию общества ведь каждый человек и общество в целом отражает в коммуникации свое видение вещей. На сегодняшний день не существует ясности...
63919. Социальная солидарность и социальное отчуждение в перспективе общественного воспроизводства 69 KB
  Человек не способный понимать всего социально-экономического значения взаимной солидарности никогда не будет истинно свободным истинно честным и истинно благородным человеком. Такие понятия как социальная солидарность и социальное отчуждение достаточно знакомы нашему обществу...
63920. Влияние Интернета на социально-политические процессы в государстве: «твиттерные революции» в арабском мире 53 KB
  Вместе с этим меняются и методы воздействия на сознание людей и даже способы ведения войны. Продукт современной операции информационно-психологической войны это сводка новостей СМИ в формате журналистского репортажа...
63921. Государственная служба в современной России: природа, виды, проблемы регулирования 22.87 KB
  Среди задач которые необходимо решить в процессе реформирования социально-политической системы страны особое место занимает реформирование государственной службы. Цель реформирования повышение эффективности государственной службы в интересах развития гражданского общества...