22927

Поняття рангу

Доклад

Математика и математический анализ

В довільній системі векторів a1a2am візьмемо всі лінійно незалежні підсистеми. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1 a2 am . Таким чином рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі. Зрозуміло що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі.

Украинкский

2013-08-04

47.5 KB

0 чел.

Поняття рангу.

В довільній системі векторів a1,a2,…am  візьмемо всі лінійно незалежні  підсистеми. Серед них фіксуємо ту, що складається з найбільшого числа векторів. Число векторів в цій фіксованій підсистемі будемо називати рангом системи векторів a1, a2,… am .
Таким чином, рангом системи векторів називається максимальна кількість лінійно незалежних векторів в системі.
Якщо система векторів складається лише з θ , то в ній немає лінійно незалежних підсистем , а тому її ранг вважається рівним 0.
Зрозуміло, що ранг лінійно незалежної системи дорівнює числу всіх векторів в системі. Якщо система лінійно незалежна, її ранг менше кількості векторів системи.
Для обчислювання рангів системи векторів використовуються наступні три теореми про ранг.
Теорема 1 (про ранг) ранг системи векторів
 a1,a2,… am  дорівнює числу r (r>0) тоді і тільки тоді, коли в системі існує лінійно незалежна підсистема з r (r>0) векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи.
Доведення. Необхідність. Припустимо, що в системі векторів
a1,a2,… am   підсистема a1,a2,… ar лінійно незалежна і всі вектори системи лінійно виражаються через a1,a2,… ar . Якщо r=m, то система лінійно незалежна, і  її ранг дорівнює r. Інакше можна зробити висновок, що в системі вже існує лінійно незалежна підсистема  з r векторів, і, згідно з означенням, достатньо переконатись в тому, що кожна підсистема, що складається з більшого ніж r числа векторів лінійно залежна. Візьмемо таку підсистему ai1,ai2,…,aik   k>r. За умовою теореми всі вектори ai1,ai2,…,aik  лінійно виражаються через систему  a1,a2,… ar. Оскільки k r, за лемою про дві системи система векторів ai1,ai2,…,aik  лінійно залежна.
Достатність. Нехай ранг системи векторів
a1,a2,… am  дорівнює r. За означенням, в системі існує лінійно незалежна підсистема з r векторів. Якщо r=m, це означає, що вся система лінійно незалежна. Припустимо r<m, тоді, за означенням, в системі є лінійно незалежна підсистема ai1,ai2,…,air, а всі підсистеми, що складаються з  r+1 векторів, лінійно залежні. Для доведення теореми достатньо показати, що будь-який вектор системи, який не входить до підсистеми ai1,ai2,…,air,  лінійно виражається через цю підсистему. Нехай aj - такий вектор. Тоді система векторів ai1,ai2,…,air,aj   складаються з r + 1 векторів, тобто лінійно залежна.
Це означає, що існує нетривіальна лінійна комбінація
λ
1ai1+λ2ai2 +… + λrair+ λr+1aj  =.
Комбінація нетривіальна, тому серед її коефіцієнтів є ненульовий. Припустимо, що λ
r+1=0 тоді  λs≠0  для деякого sr і при цьому   λ1ai1+λ2ai2+…+λsais+… + λrair= .
Одержуємо нетривіальну лінійну комбінацію лінійно незалежної системи векторів    
ai1,ai2,…,air  і  приходимо до протиріччя. Отже  λr+1≠0. Тоді                                              
                          
Таким чином, вектор
aj лінійно виражається  через вектори підсистеми ai1,ai2,…,air  
і теорему доведено.
     Зауваження. Фактично, в останній теоремі доведено, що ранг системи векторів дорівнює числу векторів в її базис
і.

     Теорема 2 (про ранг).  Ранг системи векторів не змінюється, якщо до неї дописується  вектор, який лінійно виражається  через цю систему. Ранг системи векторів не змінюється,  якщо з неї викреслюється вектор, який  лінійно виражається через інші вектори системи.
       Доведення. Припустимо, ранг системи векторів
a1,a2,…am дорівнює r і   вектор am+1 лінійно виражається через вектори a1,a2,…am.  Доведемо, що ранг системи векторів a1,a2,…am,am+1   також дорівнює r. За теоремою 1 (про ранг), в  системі a1,a2,…am   існує лінійно незалежна підсистема з  r  векторів, через яку лінійно виражаються всі вектори системи. Припустимо, що підсистему утворюють вектори a1,a2,…ar.  Розглянемо систему   a1,a2,…am,am+1. В цій системі вектори a1,a2,…am     лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему a1,a2,…ar. Вектор am+1 лінійно виражається через a1,a2,…am Тому цей вектор можна лінійно виразити через a1,a2,…ar. Отож, в системі векторів a1,a2,…am,am+1 всі вектори лінійно виражаються через лінійно незалежну підсистему з r векторів a1,a2,…ar.  Таким чином, за теоремою 1 (про ранг)  ранг системи a1,a2,…am,am+1  дорівнює  r.
     Припустимо тепер, що з системи векторів викреслюються деякі вектори а, який лінійно виражається через інші вектори системи. Нехай ранг  одержаної системи дорівнює
r.  Допишемо до цієї системи вектор а. За доведеним вище, ранг системи векторів при цьому не змінюється. Але ми одержуємо початкову систему. Отже, ранг початкової системи також дорівнює r.   Теорему доведено.

Означення. До елементарних перетворень системи векторів належать перетворення двох типів:
        1 Множення деякого вектора системи на ненульове число.
        2 Додання до вектора системи деякого іншого вектора системи.
    Теорія 3 (про ранг). Елементарні перетворення не змінюють рангу системи векторів
    Доведення. Спочатку доведемо перетворення  для перетворень першого типу.  Припустимо, в системі векторів
a1,a2,…,ai,…am, вектор ai домножається  на число  λ (λ≠0). Будемо розглядати дві системи векторів.

I         a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am

II       a1,a2,…ai-1,λai,ai+1,…am 
Складемо
 третю систему векторів, дописуючи вектор  до першої системи:
III    a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…am, λai .
Зрозуміло
, що вектор    лінійно виражається через вектори системи, першої  системи  (λai=0∙a1+0∙a2,…0∙ai-1+λ∙ai+0∙ai+1,…+0∙am).  Тому за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої систем рівні. Друга система одержується з третьої викресленням вектора ai. При цьому, оскільки  λ≠0, то      Таким чином, вектор          лінійно виражається через інші вектори третьої системи, а тому за теоремою 2 (про ранг), ранг третьої та другої систем рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи.
    Далі доведемо теорему для перетворень другого типу. Нехай в системі векторів
a1,a2,…,ai,…,aj,…am  до вектора ai додається вектор  aj.         
Аналогічно попередньому, розглядаються дві системи векторів
І
a1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am 

ІІ a1,a2,…ai-1,ai+aj,ai+1,…,aj,…,…am 

Далі складемо третю систему векторів, дописуючи вектори  ai+aj до  першої системи:
III a
1,a2,…ai-1,ai,ai+1,…,aj,…,…am ,ai+aj.

Вектор ai+aj  лінійно виражається через вектори першої системи, тому за, теоремою 2 (про ранг), ранг першої та третьої системи рівні. Друга система одержується з третьої ви- кресленням вектора  ai  при цьому  ai=(ai+aj)-aj.           
Отже, вектор
ai лінійно виражається через інші вектори третьої системи.
Тому, за теоремою 2 (про ранг), ранги третьої та другої системи рівні.
Звідси випливає рівність рангів першої та другої системи. Теорему доведено.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

27950. Специфика психологического понимания личности. Проблемы социально-психологической диагностики организаций. Параметры организационной диагностики в модели Визбора 31.97 KB
  Специфика психологического понимания личности. Исследованием проблем человеческой личности занимаются персонологи этот термин предложил Генри Мюррей для обозначения как экспериментаторов так и теоретиков в области психологии личности. Наука о личности это дисциплина стремящаяся заложить фундамент для лучшего понимания человеческой индивидуальности путём использования разнообразных исследовательских стратегий а также методов оценки при изучении объяснении прогнозировании вынесении обоснованных решений в том или в ином...