22931

Теорема про базисний мінор та її наслідки

Доклад

Математика и математический анализ

Нехай мінор Δr порядку r є базисним мінором ненульової матриці. Тоді рядки матриці на яких будується мінор Δr лінійно незалежі; всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них. Не втрачаючи загальності міркувань можна вважати що базисний мінор будується на перетині перших r рядків і r стовпчиків матриці . Можна вважати що a11 інакше для того щоб це виконалось можна переставити перші r рядків матриці A і при цьому умови теореми не змінюються.

Украинкский

2013-08-04

87 KB

0 чел.

Теорема про  базисний мінор та її наслідки.

    Теорема (про базисний мінор). Нехай мінор Δr  порядку r є базисним мінором ненульової матриці.

.  Тоді

     

  1.  рядки матриці, на яких будується мінор Δr  лінійно незалежі;
  2.  всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Доведення. Не втрачаючи загальності міркувань можна вважати, що базисний мінор будується на перетині перших r рядків і r стовпчиків матриці .

Отже,



Всі мінори, оточуючі для  Δr дорівнюють нулю.

Доведення теореми проведемо методом, який можна назвати методом тріангуляції.

    Серед елементів першого стовпчика визначника  Δr  існує ненульовий елемент (інакше Δr = 0). Можна вважати, що  a11 (інакше для того, щоб це виконалось, можна переставити перші  r рядків матриці A і при цьому умови теореми не змінюються). Виконаємо наступні перетворення матриці.

Від другого рядка віднімемо перший рядок, домножений на число .  Далі від третього рядка віднімемо перший, домножений на . Продовжуючи цей процес, нарешті від m- го  рядка віднімемо перший, домножений на . Оскільки перший рядок матриці є рядком  мінора Δr а тому і рядком всіх його оточуючих мінорів, то перетворення не змінюють величини цих визначників, а тому умови теореми зберігаються. Після перетворень одержуємо матрицю:

Її базисний мінор

 

     Розглянемо елементи    ці елементи одночасно не можуть бути рівними 0 (інакше Δr=0). Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки матриці,  зберігаючи умови теореми). Застосовуючи міркування, що описуються вище, можна виконати перетворення матриці таким чином, щоб всі елементи другого стовпчика нижче елемента   були рівними 0. При цьому одержується матриця, базисний мінор якої знаходиться на перетині перших r рядків і r стовпчиків; умови теореми зберігаються .

Виконавши r кроків подібних перетворень отримаємо матрицю

Для матриці С виконуються  умови теореми . Її базисний мінор.

.

Покажемо ,що всі рядки матриці C з номерами r+1,r+2,…,m  нульові. Для цього беремо ir+1, jr+1, і доведемо, що cij=0. Для мінора Δr складаємо оточуючий мінор дописуючи  i- й рядок та j- й стовпчик :

.

 Мінор Δr базисний , тому,  за означенням, оточуючий мінор дорівнює 0.

 Δ=c11c22…crrcij=0

Але c11c22…crr= Δr ≠0, звідси cij=0

Нехай тепер r+1≤im. В матриці C i-й рядок нульовий. Але i- й рядок матриці C одержується відніманням від i- го рядка матриці A лінійної комбінації рядків з номерами 1,2,…,r. Це означає, що i- й рядок матриці A лінійно  виражається через перші  r рядків і друге твердження теореми доведено.

   Доведемо перше твердження. Припустимо, що в матриці  рядки з номерами 1,2,…,r  лінійно залежні. Це означає, що один з цих рядків, наприклад k- й лінійно виражається через інші. Звідти випливає що k-й рядок визначника Δr  є лінійною комбінацією інших рядків визначника. Але тоді за  властивостями визначників,    Δr = 0 що суперечать умові теореми. Теорему доведено.

Наслідок1. Ранг нульової матриці за мінорами дорівнює порядку її базисного мінора.

Доведення . Нехай дана ненульова матриця  порядку mxm


Позначимо Ії вектор – рядки як a1,a2,…,am.  Припустимо для визначеності ,що базисний мінор матриці Δr  будується на перших  r  рядках .

За теоремою, рядки a1,a2,…,ar лінійно незалежні, решта рядків лінійно виражаються через них. Нехай Δ - мінор порядку k причому k>r. Мінор Δ будується на рядках ai1,ai2,…,aik. Тоді всі вектори-рядки ai1,ai2,…,aik  системи лінійно виражаються через вектор-рядки  a1,a2,…,ar.

Оскільки kr за лемою про дві системи, вектори ai1,ai2,…,aik  лінійно залежні. Тому принаймні один з них лінійно виражається через інші. Таким чином, один з рядків визначника   лінійно виражається  через інші. Це означає що  = 0. Отже одержуємо, що всі мінори матриці A, порядок яких більше  r,  дорівнюють нулю. При цьому Δr≠0, як базисний мінор. За означенням, ранг матриці A за мінорами дорівнює порядку визначника  Δr, тобто r.

Наслідок 2. Визначник   порядку n дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпчики) лінійно залежні.

Доведення. Нехай.


Доведемо твердження для рядків.

Припустимо спочатку, що рядки  визначника Δ лінійно залежні. Тоді принаймні один з них лінійно виражається через інші. Згідно з властивостями  визначників , це означає ,  що Δ=0.

Припустимо тепер, що Δ=0і доведемо лінійну залежність рядків визначника. Зрозуміло, якщо всі елементи визначника дорівнюють нулю, то всі його рядки нульові, а тому і лінійно залежні. Тому нехай у визначнику є ненульові елементи і позначимо через A матрицю визначника Δ, через  Δr -  базисний мінор матриці A. Оскільки Δ=0, мінор Δr не співпадає з визначником Δ, а тому його порядок r менше порядку n визначника Δ. За теоремою рядки, на яких будується мінор Δr,  лінійно незалежні, решта рядків лінійно виражається через них. Оскільки nr, у визначнику Δ існує принаймні один рядок, якого немає серед рядків мінора Δr  . Цей рядок лінійно виражається  через рядки мінора Δr. Отже,  у випадку Δ один рядок лінійно виражається через інші, тобто рядки лінійно залежні.

     Для доведення твердження для стовпчиків перейдемо до транспонованого визначника. При цьому стовпчики визначника Δ перетворюються на рядки транспонованого визначника, а величина визначника не змінюється. Отже, достатньо скористатись доведеним твердженням для транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

52720. Робота з обдарованими учнями в умовах спеціалізованого навчального закладу в контексті Національної стратегії розвитку освіти в Україні на період до 2021 року 164.5 KB
  Безперечно передбачає вона і вивченні потреб та забезпечення розвитку обдарованих дітей розроблення індивідуальних методик організації їх навчання та соціалізації проектування особистіснорозвивального середовища обдарованих дітей і молоді. Критерії обдарованості Обдарованими можна вважати дітей якщо вони: 1.Юркевич Обдарованими ми вважаємо наших дітей і підлітків рівень інтелекта яких і мотивація що склалася дозволяє їм досягти в майбутньому високих професійних і творчих досягнень.Шадриков Обдарованість завжди...
52721. Dora, the Explorer 241 KB
  Dora is an adventurous1 who lives inside a computer. Determined, positive, helpful2 and caring, Dora is always ready for adventure. She's filled with a sense of wonder, as she explores her world with her faithful3 Backpack, Map and her best friend Boots.
52722. Сценарій новорічного свята «Зоряна доріжка» 47.5 KB
  Сценарій новорічного свята Зоряна доріжка для учнів початкових класів Ведмедик Мудрійко Зайчик Косько Рисеня Русько Білочка Їжачок Тітонька Сова Вірус 1 Вірус 2 Дракон Змія Снігуронька Святий Миколай Лісова галявина перед головною ялинкою. Їжачок: І взяти її штурмом Білочка: Можна зліпити сніговика Зайчик: А коли замерзне ставок то можна кататися на ковзанах Мудрійко: А головне це Новий рік Рисеня: Це подарунки ялинка хороводи та різні розваги Білочка: А ви вже написали листа Святому...
52724. До майстерності – через передовий досвід 69 KB
  Авторська школа О. Як це починалось Знайомтесь Авторська школа О. Сахнівська школа славилась Літописом надзвичайних справ а саме: майстрували повітряну кулю; майстрували дво чи триступінчасті ракети які запускали зі шкільного Байконуру; створили €œрозумні двері з кодовим замком для контрольних робіт; створили обчислювальні машини Ромашка і Ромашка 2 €; створили Музей бойової слави; будівництво Палацу здоров’я; спорудження Криниці совісті; випуск шкільної газети €œДівочі гори та інші. І ще...
52725. Створення умов для самореалізації особистості кожного учня на уроках математики 75.5 KB
  Досягти освітньої мети означає озброїти учнів максимумом знань з основ алгебри та геометрії; сприяти формуванню математичних навичок; ознайомити їх з доступними методами сучасної науки математики; показати її місце в суспільнокорисній діяльності. Практичноприкладні цілі передбачають формування в учнів умінь і навичок пов’язувати теорію з практикою: розвязувати задачі виробничого і життєвого характеру математично осмислювати навколишні явища тощо. Учитель не лише має можливість а і зобов’язаний активно формувати в учнів науковий...
52726. Пізнавальний інтерес 269.5 KB
  Так справді нинішній стан навчання учнів молодшого шкільного вікузасвідчує що 80 дітей залишаються пасивними на уроці і ця пасивністьспостерігається упродовж багатьох років навчання в школі. При цьому навчально пізнавальна діяльність організовується так щоб діти шукали різницю між новими та вже отриманими знаннями приймають альтернативні рішення мають змогу зробити відкриття формулювали свої власні ідеї та думки за допомогою різноманітних засобів навчальної співпраці. При цьому ситуативний інтерес який проявляється через позитивні...
52727. Досвід роботи з упровадження інтерактивних і мультимедійних технологій на уроках української літератури як засобу формування компетентної особистості 76 KB
  Моя система роботи будується на сучасних педагогічних технологіях головна мета яких зробити процес навчання творчим особистісно зорієнтованим. Під час етапу цілеутворення та планування роботи учні спільно працюють на уроці з учителем. Продумуючи кожен свій крок надаю перевагу таким формам роботи котрі сприяли б виробленню в учнів психологічних установок на самовдосконалення націлювали б їх на високі моральні цінностівідповідальне ставлення до життя.