22931

Теорема про базисний мінор та її наслідки

Доклад

Математика и математический анализ

Нехай мінор Δr порядку r є базисним мінором ненульової матриці. Тоді рядки матриці на яких будується мінор Δr лінійно незалежі; всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них. Не втрачаючи загальності міркувань можна вважати що базисний мінор будується на перетині перших r рядків і r стовпчиків матриці . Можна вважати що a11 інакше для того щоб це виконалось можна переставити перші r рядків матриці A і при цьому умови теореми не змінюються.

Украинкский

2013-08-04

87 KB

0 чел.

Теорема про  базисний мінор та її наслідки.

    Теорема (про базисний мінор). Нехай мінор Δr  порядку r є базисним мінором ненульової матриці.

.  Тоді

     

  1.  рядки матриці, на яких будується мінор Δr  лінійно незалежі;
  2.  всі інші рядки матриці лінійно виражаються через них.

Доведення. Не втрачаючи загальності міркувань можна вважати, що базисний мінор будується на перетині перших r рядків і r стовпчиків матриці .

Отже,



Всі мінори, оточуючі для  Δr дорівнюють нулю.

Доведення теореми проведемо методом, який можна назвати методом тріангуляції.

    Серед елементів першого стовпчика визначника  Δr  існує ненульовий елемент (інакше Δr = 0). Можна вважати, що  a11 (інакше для того, щоб це виконалось, можна переставити перші  r рядків матриці A і при цьому умови теореми не змінюються). Виконаємо наступні перетворення матриці.

Від другого рядка віднімемо перший рядок, домножений на число .  Далі від третього рядка віднімемо перший, домножений на . Продовжуючи цей процес, нарешті від m- го  рядка віднімемо перший, домножений на . Оскільки перший рядок матриці є рядком  мінора Δr а тому і рядком всіх його оточуючих мінорів, то перетворення не змінюють величини цих визначників, а тому умови теореми зберігаються. Після перетворень одержуємо матрицю:

Її базисний мінор

 

     Розглянемо елементи    ці елементи одночасно не можуть бути рівними 0 (інакше Δr=0). Можна вважати, що   (інакше можна переставити рядки матриці,  зберігаючи умови теореми). Застосовуючи міркування, що описуються вище, можна виконати перетворення матриці таким чином, щоб всі елементи другого стовпчика нижче елемента   були рівними 0. При цьому одержується матриця, базисний мінор якої знаходиться на перетині перших r рядків і r стовпчиків; умови теореми зберігаються .

Виконавши r кроків подібних перетворень отримаємо матрицю

Для матриці С виконуються  умови теореми . Її базисний мінор.

.

Покажемо ,що всі рядки матриці C з номерами r+1,r+2,…,m  нульові. Для цього беремо ir+1, jr+1, і доведемо, що cij=0. Для мінора Δr складаємо оточуючий мінор дописуючи  i- й рядок та j- й стовпчик :

.

 Мінор Δr базисний , тому,  за означенням, оточуючий мінор дорівнює 0.

 Δ=c11c22…crrcij=0

Але c11c22…crr= Δr ≠0, звідси cij=0

Нехай тепер r+1≤im. В матриці C i-й рядок нульовий. Але i- й рядок матриці C одержується відніманням від i- го рядка матриці A лінійної комбінації рядків з номерами 1,2,…,r. Це означає, що i- й рядок матриці A лінійно  виражається через перші  r рядків і друге твердження теореми доведено.

   Доведемо перше твердження. Припустимо, що в матриці  рядки з номерами 1,2,…,r  лінійно залежні. Це означає, що один з цих рядків, наприклад k- й лінійно виражається через інші. Звідти випливає що k-й рядок визначника Δr  є лінійною комбінацією інших рядків визначника. Але тоді за  властивостями визначників,    Δr = 0 що суперечать умові теореми. Теорему доведено.

Наслідок1. Ранг нульової матриці за мінорами дорівнює порядку її базисного мінора.

Доведення . Нехай дана ненульова матриця  порядку mxm


Позначимо Ії вектор – рядки як a1,a2,…,am.  Припустимо для визначеності ,що базисний мінор матриці Δr  будується на перших  r  рядках .

За теоремою, рядки a1,a2,…,ar лінійно незалежні, решта рядків лінійно виражаються через них. Нехай Δ - мінор порядку k причому k>r. Мінор Δ будується на рядках ai1,ai2,…,aik. Тоді всі вектори-рядки ai1,ai2,…,aik  системи лінійно виражаються через вектор-рядки  a1,a2,…,ar.

Оскільки kr за лемою про дві системи, вектори ai1,ai2,…,aik  лінійно залежні. Тому принаймні один з них лінійно виражається через інші. Таким чином, один з рядків визначника   лінійно виражається  через інші. Це означає що  = 0. Отже одержуємо, що всі мінори матриці A, порядок яких більше  r,  дорівнюють нулю. При цьому Δr≠0, як базисний мінор. За означенням, ранг матриці A за мінорами дорівнює порядку визначника  Δr, тобто r.

Наслідок 2. Визначник   порядку n дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його рядки (стовпчики) лінійно залежні.

Доведення. Нехай.


Доведемо твердження для рядків.

Припустимо спочатку, що рядки  визначника Δ лінійно залежні. Тоді принаймні один з них лінійно виражається через інші. Згідно з властивостями  визначників , це означає ,  що Δ=0.

Припустимо тепер, що Δ=0і доведемо лінійну залежність рядків визначника. Зрозуміло, якщо всі елементи визначника дорівнюють нулю, то всі його рядки нульові, а тому і лінійно залежні. Тому нехай у визначнику є ненульові елементи і позначимо через A матрицю визначника Δ, через  Δr -  базисний мінор матриці A. Оскільки Δ=0, мінор Δr не співпадає з визначником Δ, а тому його порядок r менше порядку n визначника Δ. За теоремою рядки, на яких будується мінор Δr,  лінійно незалежні, решта рядків лінійно виражається через них. Оскільки nr, у визначнику Δ існує принаймні один рядок, якого немає серед рядків мінора Δr  . Цей рядок лінійно виражається  через рядки мінора Δr. Отже,  у випадку Δ один рядок лінійно виражається через інші, тобто рядки лінійно залежні.

     Для доведення твердження для стовпчиків перейдемо до транспонованого визначника. При цьому стовпчики визначника Δ перетворюються на рядки транспонованого визначника, а величина визначника не змінюється. Отже, достатньо скористатись доведеним твердженням для транспонованого визначника.


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

61043. Формирование понятия «культура» на уроке японского языка 266 KB
  Существующая в современном обществе тенденция к возрастающей роли иностранного языка во всех сферах жизнедеятельности человека диктует новый подход к обучению иностранным языкам суть которого заключается не только в пересмотре методики преподавания отдельных аспектов...
61044. Київська Русь за князювання Ольги та Святослава 47.5 KB
  Очікувані результати : після цього уроку учні зможуть: характеризувати княгиню Ольгу та князя Святслава як особистостей та державних діячів використовуючи джерела інформації; аналізувати літописні легенди; визначати наслідки внутрішньої т зовнішньої політики Ольги та Святослава для розвитку Київської Русі; наводити приклади зростання військової могутності та авторитету Київської Русі; порівнювати діяльність перших князів. Ким же вона була насправді: мудрим державотворцем чи самовпевненою...
61046. Число і цифра 1. Орієнтування в часі 203 KB
  Мета і задачі уроку: формувати аналітико синтетичне сприймання співвідношення числа і цифри зорове тактильне сприймання кількості поняття про число 1 ознайомити із цифрою 1 яка позначає число 1...