22933

Методи обчислення визначників n порядку

Книга

Математика и математический анализ

Поняття визначника n–го порядку. Числа aіj називаються елементами визначника . Добуток 5536 є одним з добутків визначника  оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Аналітичний запис визначника.

Украинкский

2013-08-04

761.5 KB

53 чел.

Шестаков С.С., канд. ф.-м. наук, Давидов О.С., канд. ф.-м. наук

Методи обчислення визначників n порядку

Методична розробка для студентів заочного відділення факультету кібернетики Київського Національного університету ім. Тараса Шевченка

Київ – 2001 р.

Основні означення та факти з теорії визначників.

Визначники другого та третього порядку.

Означення. Визначником другого порядку називається число, яке обчислюється за правилом = x1y2 – x2y1.

Означення. Визначником третього порядку  називається число, яке обчислюється за правилом

= x1y2z3 +x2y3z1 + x3y1z2 - x3y2z1 - x2y1z3 - x1y3z2.

Поняття матриці.

Матрицею порядку m x n називається прямокутна таблиця  чисел, яка складається з m рядків та  n стовпчиків.

A = .

Числа aij називаються елементами матриці A. Положення кожного елемента матриці визначається номерами рядка і стовпчика, в яких знаходиться цей елемент. Це положення визначається парою індексів, наприклад, aij – елемент, який знаходиться в i–му рядку і j–му стовпчику матриці A.

Матриця, число рядків якої співпадає з числом стовпчиків, називається квадратною. Квадратна матриця порядку n x n називається квадратною матрицею порядку n.

Поняття перестановки.

Нехай дана система різних елементів a1,a2,…,an. Перестановкою цієї системи називається будь-яке упорядкуване розміщення елементів.

Іншими словами, перестановкою називається будь-яка упорядкована послідовність, яку утворюють дані елементи. Наприклад, числа 1,2,3,4 утворюють перестановки 1,2,3,4; 3,4,2,1; 2,3,1,4 та ін. Далі будемо розглядати лише перестановки систем натуральних чисел.

Будемо казати, що два числа і,j в перестановці утворюють інверсію, якщо і>j і в перестановці число і стоїть раніше від j.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1).

Перестановка називається парною, якщо її елементи утворюють парне число інверсій. Перестановка називається непарною, якщо її елементи утворюють непарне число інверсій.

Наприклад, в перестановці 4,2,1,3 інверсії утворюють пари чисел (4,2), (4,1), (4,3), (2,1), тобто в перестановці 4 інверсії, а тому перестановка парна. В перестановці 3,1,4,2 інверсії утворюють пари чисел (3,1), (3,2), (4,2), тобто в перестановці 3 інверсії, і перестановка непарна. В перестановці 1,2,3,4 інверсій немає, тобто число інверсій дорівнює нулю, і перестановка парна.

Теорема 1.

Число всіх перестановок, які можна скласти з n елементів, дорівнює n!

Нехай в перестановці міняються місцями два елементи. Така операція називається транспозицією.

Теорема 2.

Кожна транспозиція змінює парність перестановки.

Наслідок. При n2 число парних перестановок з n елементів співпадає з числом непарних і дорівнює .

Поняття визначника n–го порядку.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

A = .

Визначником n –го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядковання співмножників у добутку за першим індексом другі індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак .

Визначник матриці A позначається так

= .

Числа aіj називаються елементами визначника . Визначник матриці A ще називається детермінантом і позначається det A.

Зрозуміло, що визначник складається з n! добутків. Наприклад,

=

Беремо з першого рядка елемент –5, що знаходиться у першому рядку і третьому стовпчику. З другого рядка беремо число 5, яке знаходиться у другому рядку і першому стовпчику. З третього рядка беремо число –3, яке знаходиться у третьому рядку і другому стовпчику. З четвертого рядка беремо число 6, що знаходиться у четвертому рядку і четвертому стовпчику. Добуток (-5)5(-3)6 є одним з добутків визначника , оскільки серед його співмножників є по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. З’ясуємо знак при цьому добутку. Далі місце елемента у визначнику будемо позначати парою чисел (і,j) (і-й рядок і j–й стовпчик). Елементи добутку у визначнику знаходяться на місцях (1,3),(2,1),(3,2),(4,4). Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 3,1,2,4. В цієї перестановці 2 інверсії, перестановка парна, отже, знак при добутку +.

Аналітичний запис визначника.

Нехай

= .

Кожен добуток, з яких складається визначник , можна упорядковати за першим індексом, тобто подати у вигляді …, де  1,2,…,n – деяка перестановка чисел 1,2,...,n. Позначимо через s(1,2,…,n) число інверсій в перестановці 1,2,…,n. Тоді

= ,

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,..., n.

Лема про знак. 

Нехай 

= .

і1,і2,...,іn та j1,j2,...,jn дві перестановки чисел 1,2,...,n. Тоді добуток входить до визначника  зі знаком .

Друге означення визначника.

Нехай дана квадратна матриця A порядку n

A = .

Визначником n–го порядку матриці A називається алгебраїчна сума всіх можливих добутків її елементів, побудованих за правилом: з кожного рядка і з кожного стовпчика матриці береться по одному і лише по одному елементу. Якщо після упорядкування співмножників у добутку за другим індексом перші індекси утворюють парну перестановку, перед добутком ставиться знак +, якщо непарну перестановку, то перед добутком ставиться знак .

Таким чином, на відміну від першого означення визначника, за другим означенням знак при добутку визначається парністю перестановки перших індексів при упорядкуванні співмножників за другим індексом.

Теорема..

Два означення визначника еквівалентні.

Користуючись другим означенням визначник матриці A можна записати аналітично так:

= ,

де сума береться по всім перестановкам чисел 1,2,...,n.

Визначники трикутного вигляду.

Нехай

= .

У визначнику можна визначити дві діагоналі. Головну діагональ утворюють елементи a11,a22,…,an-1,n-1,ann; побічну діагональ утворюють елементи a1n,a2,n-1,…,

an-1,2,an1.

Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю.

Наприклад,

= .

Визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі дорівнює добутку елементів головної діагоналі

=  = a11a22an-1,n-1ann.

Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що знаходяться вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю.

1 = .

Визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі дорівнює добутку елементів побічної діагоналі зі знаком , де n – порядок визначника.

1 =  =a1na2,n-1an-1,2an1.

Транспонування матриці.

Нехай дана матриця A порядку m x n

  A = .

Складемо нову матрицю B за такими правилами. Запишемо елементи першого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, до першого стовпчика матриці B. Далі елементи другого рядка матриці A, зберігаючи їх порядок, запишемо до другого стовпчика матриці B і т.д. Такий процес називається транспонуванням матриці A. В результаті одержимо матрицю B порядку n x m, яка називається транспонованою матрицею для матриці A і позначається AT.

AT = .

Зрозуміло, що (AT)T = A.

Теорема..

Нехай A – квадратна матриця. Тоді визначники матриць AT і A рівні.

Таким чином, транспонування не змінює визначника матриці. Далі будемо вважати визначники взаємно транспонованих матриць тотожними.

Властивості визначників.

Зауваження. Будемо формулювати властивості визначників для рядків визначників. Але при цьому будемо враховувати, що вони вірні і для стовпчиків визначників.

1. Якщо всі елементи деякого рядка визначника дорівнюють нулю (нульовий рядок), то визначник дорівнює нулю.

2. Якщо у визначнику переставляються місцями два рядки, то змінюється лише знак визначника.

Припустимо, що у визначнику міняються місцями і-й і j-й рядки (іj), тоді

=  = - .

3. Якщо два рядки визначника співпадають, то визначник дорівнює нулю.

4. Якщо деякий рядок визначника помножується на число , то визначник помножується на .

Припустимо, що у визначнику

=

помножується на  і-й рядок, тоді

  = = .

З цієї властивості випливає, що якщо всі елементи деякого рядка визначника помножені на деяке число , то це число можна винести за знак визначника як множник.

Два рядки визначника називаються пропорційними, якщо один з них можна одержати помноженням другого на деяке число.

5. Якщо два рядки визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.

Нехай (bi1, bi2,…,bin) і (сi1, сi2,…,сin) – два рядки. Під сумою цих рядків розуміється рядок вигляду (bi1+сi1, bi2 +сi2,…,bin+сin).

6. Якщо у визначнику і-рядок є сумою двох рядків, то визначник можна розкласти в суму двох визначників 1 і 2 за і-м рядком таким чином, що і-рядком визначника 1 є перший доданок, а і-м рядком визначника 2 – другий доданок і-го рядка визначника . Решта рядків визначників 1 і 2 співпадають з відповідними рядками визначника .

Припустимо, що у визначнику  і-й рядок є сумою двох рядків, тоді

= = +.

Аналогічно, якщо і-й рядок визначника є сумою k рядків, то визначник можна розкласти в суму k визначників за і-м рядком.

7. Якщо до рядка визначника додати інший рядок, помножений на число, то визначник не змінюється.

Нехай ,,...,  деякі рядки визначника , а 1,2,...,n – деякі числа. Тоді рядок 1+2+...+nназивається лінійною комбінацією рядків ,,...,

8. Якщо у визначнику деякий рядок є лінійною комбінацією інших рядків, то визначник дорівнює нулю.

9. Якщо до рядка визначника додати лінійну комбінацію інших рядків, то визначник не змінюється.

Теорема про розклад визначника за елементами рядка (стовпчика).

Нехай

= .

Доповнюючим мінором Mij елемента aij називається визначник порядку n-1, який одержується з визначника викресленням і-го рядка і j-го стовпчика. Тобто викреслюються рядок та стовпчик, в яких знаходиться елемент aij.

Алгебраїчним доповненням елемента aij називається число

Aij=(-1)і+jMіj 

Теорема.

Визначник n–го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого рядка на їх алгебраїчні доповнення.

Наприклад, розкладемо визначник за елементами і-го рядка

  = ai1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin.

Розкладемо визначник

=

за елементами 3-го рядка.

= 5(-1)3+1+ 7(-1)3+2 + (-1) (-1)3+3 +

+3(-1)3+4 =

= 5  7   3.

Наслідок 1. Визначник n–го порядку дорівнює сумі добутків елементів будь-якого фіксованого стовпчика на їх алгебраїчні доповнення.

Наслідок 2. Сума добутків елементів рядка (стовпчика) визначника на алгебраїчні доповнення іншого рядка (стовпчика) дорівнює нулю.

Визначник Вандермонда.

Визначником Вандермонда n–го порядку називається визначник

n = .

Визначник Вандермонда дорівнює

n = (a2-a1)(a3-a1)(a3-a2)(an-a1)(an-a2)(an-an-1) = .

Методи обчислення визначників

Користуючись означенням, можна обчислювати визначники малого порядку або визначники спеціального вигляду. Для обчислення визначників n–го порядку існують спеціальні методи. У кожному методі суттєво використовується структура самого визначника.

1. Метод зведення визначника до трикутного вигляду

Визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник дорівнює добутку елементів його головної діагоналі.

  = a11a22ann

Визначником трикутного вигляду відносно побічної діагоналі називається визначник, всі елементи якого, що стоять вище або нижче побічної діагоналі, дорівнюють нулю. Такий визначник складається лише з одного добутку елементів побічної діагоналі. Знак при цьому добутку визначається як , де n – порядок визначника.

  = a1na2,n-1an1

Метод зведення визначника до трикутного вигляду полягає в тому, що, користуючись властивостями визначників, даний визначник перетворюється так, щоб одержати визначник трикутного вигляду відносно головної або побічної діагоналі, і далі одержується результат.

Нехай задано визначник n–го порядку загального вигляду.

Будемо зводити цей визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Якщо всі елементи першого стовпчика дорівнюють нулю, то = 0. В супротивному випадку будемо вважати, що a11 0 (інакше знаходимо в першому стовпчику ненульовий елемент і рядок, в якому він знаходиться, додамо до першого рядка). Будемо перетворювати визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи першого стовпчика, крім першого, дорівнюють 0. Для цього віднімемо від другого рядка перший, помножений на число . Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімемо перший, помножений на число  Згідно з властивостями визначників, ці перетворення не змінюють величини визначника . Одержуємо визначник

  =

Якщо в цьому визначнику всі елементи b22, b32,…,bn2 дорівнюють 0, то = 0. Дійсно, якщо розкласти в такому випадку визначник за елементами першого стовпчика, одержуємо = a11A11, де A11 – алгебраїчне доповнення елемента a11; A11 = (-1)1+1M11 де M11 – доповнюючий мінор елемента a11; M11 – визначник порядку n-1, перший стовпчик якого нульовий, тому M11 = 0, звідки A11 = 0 і = 0. Тому далі будемо вважати, що серед елементів b22, b32,…,bn2 є ненульові, а тоді можна вважати b22  0 (в супротивному випадку можна до другого рядка додати деякий рядок, що стоїть після нього і другий елемент якого не дорівнює нулю). Далі перетворюємо визначник так, щоб одержати визначник, в якому всі елементи другого стовпчика, починаючи з третього, дорівнюють нулю. Для цього спочатку від третього рядка віднімаємо другий, помножений на число . Далі, аналогічно, від четвертого рядка віднімемо другий, помножений на число . Продовжуючи цей процес, нарешті від n-го рядка віднімаємо другий, помножений на . Всі ці перетворення не змінюють величини визначника. В результаті одержуємо визначник

= .

Продовжуючи цей процес одержання нулів нижче головної діагоналі, через скінчене число кроків або переконаємось в тому, що = 0, або зведемо визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. В цьому випадку

= ,

причому x11= a11 0, x22= b22 0, x33= c33 0,…, xnn  0. Отже,

  = x11x22x33...xnn 

Методом зведення до трикутного вигляду можна обчислювати визначники малих порядків.

Приклад 1. Обчислити визначник

=

Розв’язування. Перший стовпчик визначника ненульовий, і в ньому на першому місці стоїть ненульовий елемент. Тому можна в першому стовпчику одержати нулі на всіх місцях, починаючи з другого. Для цього від другого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

= .

Далі від третього рядка віднімаємо перший, помножений на 3:

= .

Від четвертого рядка віднімаємо перший, помножений на 2:

= .

Нарешті від п’ятого рядка віднімемо перший:

= .

У другому стовпчику одержаного визначника на другом місці знаходиться ненульовий елемент. Тому одержуємо нулі у другому стовпчику на всіх місцях, починаючи з третього. Для цього від третього рядка віднімемо другий, від четвертого віднімемо другий, помножений на 11, і до п’ятого рядка додамо другий, помножений на 2.

= .

У третьому стовпчику одержаного визначника на другому місці знаходиться ненульовий елемент. Одержуємо нулі у третьому стовпчику, починаючи з четвертого місця. Для цього до четвертого рядка додамо третій помножений на 10, а від п’ятого віднімемо третій, помножений на 4

= .

У даному визначнику четвертий елемент четвертого стовпчика не дорівнює нулю. Тому можна від п’ятого рядка відняти четвертий, помножений на  і одержати визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі

= .

Тоді = 1(-1)1(-3) = 52

На практиці рекомендується при обчисленні визначників з цілими елементами на кожному кроці одержувати визначники також з цілими елементами. У нашому випадку перед виконанням останнього кроку перетворень можна було, наприклад, перейти від визначника

=

до визначника

=

відніманням від п’ятого рядка четвертого, помноженого на 2. Далі переставимо четвертий і п’ятий рядки. Як відомо, при цьому змінюється знак визначника:

=  .

Нарешті до п’ятого рядка додамо четвертий, помножений на 3:

                       =  .

Таким чином, =  (1(-1)11 52) = 52.

Розглянемо тепер деякі приклади обчислення визначників n–го порядку методом зведення до трикутного вигляду. При обчисленні визначників n–го порядку будемо суттєво користуватись закономірностями в будові цих визначників.

Приклад 2. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у першому рядку елементами є всі натуральні числа від 1 до n, кількість їх дорівнює n). Кожен рядок визначника, починаючи з другого, відрізняється від першого рядка лише єдиним елементом, а саме елементом, який стоїть на головній діагоналі. Тому можна від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо

= .

Всі елементи одержаного визначника, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому

  = 112...(n-2)(n-1) = (n-1)!

Приклад 3. Обчислити визначник порядку n

= .

Розв’язування. В цьому визначнику всі елементи, яки знаходяться вище головної діагоналі, а також всі елементи головної діагоналі однакові. Визначник можна звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі, одержуючи нулі вище діагоналі. Віднімемо від першого рядка визначника другий. Одержуємо

= .

Далі, аналогічно від другого рядка віднімемо 3-й,  від 3-го  4-й  і нарешті, від (n –1)-го – n-й.

= .

Порядок визначника дорівнює n, а тому

  = x(x-y)n-1.

Приклад 4. Обчислити визначник

=

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n (елементи першого рядка – всі натуральні числа від 1 до n, тобто кількість їх дорівнює n). Всі елементи визначника на побічній діагоналі і нижче побічної діагоналі однакові. Тому визначник можна звести до трикутного вигляду відносно побічної діагоналі. Для цього віднімемо від n-го стовпчика визначника (n-1)-й стовпчик.

= .

В останньому стовпчику залишається лише один ненульовий елемент. Далі аналогічно від (n-1)-го стовпчика віднімемо (n-2)-й, від (n-2)-го  (n-3)-й і, нарешті, від 2-го стовпчика віднімемо 1-й. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі

= .

Порядок визначника дорівнює n, а тому

  =

Приклад 5. Обчислити визначник

                        = .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку елементами є степеня змінної x від 0 до n). Будемо зводити визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Неважко переконатись в тому, що елементи першого рядка, починаючи з другого, можна одержати помноженням відповідних елементів другого рядка на x. Тому, віднімаючи від першого рядка другий рядок, помножений на x, одержимо на місці цих елементів нулі. Тобто,  

                         = .

Далі, аналогічно, від другого рядка віднімемо 3-й, помножений на x, від 3-го рядка віднімемо 4-й, помножений на x, і нарешті від (n-1)–го рядка віднімемо n–й, помножений на x:

= .

Всі елементи визначника, що знаходяться вище головної діагоналі, дорівнюють нулю. Таким чином, ми одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі і

= (1- a11x)(1-a22x)(1-a33x)…(1-annx)1 =

Приклад 6. Обчислити визначник порядку n 

= .

Розв’язування. У визначниках такого вигляду зручно на першому кроці від кожного рядка, починаючи з другого, відняти перший рядок. Одержуємо визначник

= .

Далі визначник неважко звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього можна, наприклад, додати до першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків. Згідно з властивостями визначника, його величина при цьому не змінюється. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

= .

Порядок визначника дорівнює n, а тому

= (n-1)x(-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.

Визначник можна зводити до трикутного вигляду різними способами. Наприклад, для даного визначника можна запропонувати ще один спосіб зведення. Неважко бачити, що у початковому визначнику сума елементів кожного рядка і кожного стовпчика однакова. Тому додамо до першого рядка початкового визначника суму всіх інших рядків. При цьому величина визначника не змінюється

= .

Перший рядок визначника складається з однакових елементів, а тому з цього рядка можна винести множник за знак визначника

= (n-1)x.

Далі одержуємо нулі нижче головної діагоналі. Для цього достатньо відняти від всіх рядків визначника, починаючи з другого, перший рядок, помножений на x.

= (n-1)x.

Одержали визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

= (n-1)x(-x)n-1 = (-1)n-1(n-1)xn.

Приклад 7. Обчислити визначник порядку n 

= .

Розв’язування. Помножимо перший рядок визначника на x. З властивостей визначників випливає, що при цьому визначник помножається на x, тобто

= .

Далі аналогічно помножуємо перший стовпчик визначника на x. Визначник помножається на x ще один раз

= .

Одержуємо визначник, який співпадає з визначником з попереднього прикладу. У цьому визначнику від всіх рядків, починаючи з другого, віднімаємо перший рядок:

= .

Далі до першого стовпчика додамо суму всіх інших стовпчиків

= .

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі, а тому

= (n-1)x(-x)n-1=(-1)n-1(n-1)xn = (-1)n-1(n-1)xn-2.

Приклад 8. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (на головній діагоналі n елементів). Будемо перетворювати визначник таким чином, щоб одержати визначник, всі елементи головної діагоналі якого дорівнюють 1. Для цього з другого стовпчика визначника винесемо множник – число 2, з третього – множник 3, і нарешті з останнього – множник n. Одержуємо

                       =23...n= n!

В одержаному визначнику всі елементи першого стовпчика, починаючи з другого, співпадають з відповідними елементами головної діагоналі. Тому, віднімаючи від першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків, одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі

=n! .

Таким чином,

                         = n!(1-)

Приклад 9. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n (число елементів на головної діагоналі дорівнює n). У цьому визначнику можна відняти перший рядок від всіх інших рядків. = .

Звертаємо увагу на те, що всі елементи першого стовпчика одержаного визначника, починаючи з 2-го дорівнюють –1. Тому перетворюємо визначник так, щоб діагональні елементи, починаючи з 2-го, були рівними 1. Для цього з другого стовпчика виносимо множник – число 2, з третього – число 3, і нарешті з n-го – число n:

= 23...n = n! 

В одержаному визначнику до першого стовпчика додаємо суму інших стовпчиків:

= n! .

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому

= n!(1+x+).

Приклад 10. Обчислити визначник

=.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (число елементів на побічній діагоналі дорівнює n). Віднімемо перший рядок від всіх інших рядків

=.

У цьому визначнику всі елементи n-го стовпчика, починаючи з другого, дорівнює x-a1. Будемо перетворювати визначник так, щоб всі елементи побічної діагоналі, починаючи з другого, були рівними 1. Для цього з першого стовпчика винесемо множник (an-x), з другого - (an-1-x), нарешті з (n-1)-го – множник (a2-x).

= (an-x) (an-1-x)... (a2-x) .

Далі з останнього стовпчика визначника віднімемо суму всіх інших стовпчиків, помножених на (x-a1). Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно побічної діагоналі

= (an-x) (an-1-x)... (a2-x) .

Оскільки порядок визначника дорівнює n,

= (an-x) (an-1-x)... (a2-x) =

= (an-x)(an-1-x)...(a2-x)=

= x(a1-x)(a2-x)…(an-1-x)(an-x) .

Приклад 11. Обчислити визначник

=

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку (n+1) елементів). Будемо зводити визначник до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього будемо перетворювати визначник таким чином, щоб одержати визначник, всі елементи якого, що знаходяться нижче головної діагоналі, дорівнюють 0. Зрозуміло, якщо до першого стовпчика визначника додати другий, то на другому місці у першому стовпчику з’являється 0, але на третьому місці замість 0 з’являється –x. Таким чином, слід додати ще третій стовпчик. Тобто, для того, щоб у першому стовпчику всі елементи, починаючи з другого, були рівними нулю, слід додати до першого стовпчика суму всіх інших стовпчиків. Одержуємо

= .

Далі, аналогічно, до 2-го стовпчика додаємо всі стовпчики, починаючи з 3-го, до 3-го – всі стовпчики, починаючи з 4-го, і нарешті до n-го стовпчика додамо останній. Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі.

= .

Оскільки порядок визначника дорівнює n+1, одержуємо:

  = (a0+a1+a2+…+an)xn. 

Задачі для самостійного розв’язування

Обчислити визначники методом зведення до трикутного вигляду

1.    

2.  

3.  

4.  

5.   (порядок визначника дорівнює n)

6.   (порядок визначника дорівнює n)

7.    

2. Метод виділення лінійних множників

Метод використовується, коли елементи визначника можна вважати многочленами від одної або кількох змінних. В цьому випадку і самий визначник є многочленом від цих змінних.

В основі метода знаходяться наступні відомі властивості многочленів

1)  многочлен від деякої змінної степеня k має не більше ніж k коренів.

2)  якщо f(x) – многочлен степеня k і x=- корінь цього многочлена, то з многочлена виноситься множник (x-), тобто многочлен подається у вигляді f(x) = (x-)g(x), де g(x) – многочлен степеня k-1.

3)  якщо x=1 і x=2 – корені многочлена f(x) степеня k, 1  2  і, згідно з попередньою властивістю, f(x) = (x-1)g(x), де g(x) – многочлен степеня k-1, то x=2, є коренем многочлена g(x), а тому многочлен f(x) можна подати у вигляді f(x) = (x-1) (x-2)h(x), де h(x) – многочлен степеня k-2.

4) з попередньої властивості випливає, що якщо f(x) – многочлен степеня k, 1, 2,..., k – його різні корені, то f(x) = a(x-1) (x-2)… (x-k), де a – старший коефіцієнт многочлена f(x).

Припустимо, що всі елементи визначника є многочленами від змінної x. Тоді також є многочленом від змінної x, тобто = (x). Знаходиться степінь многочлена (x). Для цього проглядаються всі добутки, з яких складається визначник , і серед них визначається той, у якому степінь змінної x максимальний. Припустимо, що (x) є многочленом степеня k. Далі шукаються корені многочлена (x). Це означає, що шукаються ті значення змінної x, при яких многочлен (x), тобто визначник = (x), дорівнює нулю. Для цього використовуються властивості визначників. Нехай було знайдено k різних коренів x1, x2,…,xk многочлена (x). Тоді = (x) = a(x-x1) (x-x2)… (x-xk). Число a є старшим коефіцієнтом многочлена. Для знаходження числа a знову проглядаються всі добутки, з яких складається визначник , беруться всі добутки, у яких степінь змінної x дорівнює k, і визначається сумарний коефіцієнт при xk по всім цим добуткам. Цей сумарний коефіцієнт співпадає з числом a.

Приклад 12. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому рядку n+1 елементів). Вважаємо елементи a0,a1,…,an сталими величинами, а x – змінною. Тоді кожний елемент визначника , а тому і самий визначник, є многочленом від змінної x, тобто = (x). Визначимо степінь многочлена (x). Одним з добутків, з яких складається визначник , є добуток елементів його головної діагоналі. Цей добуток має вигляд a0xn. Кожний елемент визначника є многочленом від змінної x степеня 1 або 0. Число всіх елементів визначника, які є многочленами від x степеня 1 дорівнює n. Тому неможливо знайти добуток, який є многочленом від x степеня, більшого n. Таким чином, добуток елементів головної діагоналі визначника дає максимальний степінь змінної x, а тому = (x) є многочленом від x степеня n. Далі шукаємо корені цього многочлена. Якщо x = a1, то перший і другій рядки визначника рівні, а тоді визначник дорівнює нулю. Таким чином, при x = a1 многочлен (x) дорівнює нулю. Це означає, що x = a1 – корінь многочлена (x). Аналогічно, при x = a2 рівні перший і третій рядки визначника і = 0, а тому x = a2 – також корінь многочлена (x). Нарешті, при x = an співпадають перший і останній рядки визначника, а тому x = an – також корінь многочлена (x). Ми з’ясували, що = (x) є многочленом степеня n від змінної x і знайшли n коренів a1,a2,…,an цього многочлена. Тому = (x) = a(x-a1) (x-a2)… (x-an). Залишається визначити старший коефіцієнт a. Для цього шукаємо всі добутки визначника, у яких степінь x дорівнює n. Оскільки у визначнику є лише n елементів, що є многочленами від x степеня 1, а решта елементів є многочленами степеня 0, то всі ці елементи мають бути співмножниками такого добутку. Ці елементи знаходяться на головній діагоналі і займають місця (2,2), (3,3),..., (n+1, n+1) (перше число – номер рядка, друге – номер стовпчика, у яких знаходиться елемент). За правилом будування добутків для визначника, до кожного добутку береться по одному і лише по одному елементу з кожного рядка і кожного стовпчика визначника. Тому до шуканого добутку береться також співмножник, що знаходиться у першому рядку і першому стовпчику визначника, тобто на місці (1,1). Таким чином, єдиний добуток, який дає старший степінь многочлена (x) є добуток елементів головної діагоналі, тобто a0xn. Визначимо знак, з яким цей добуток входить до визначника. Після упорядкування добутку за першим індексом (тобто за номером рядка) другі індекси утворюють перестановку 1,2,..., n, n+1. В цій перестановці 0 інверсій, перестановка парна, знак при добутку +. Таким чином, єдиний добуток визначника, що дає максимальний степінь x, має вигляд a0xn. Тому сумарний коефіцієнт при xn дорівнює a0, тобто a = a0 і, остаточно,

= (x) = a0(x-a1) (x-a2)… (x-an).

Приклад 13. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Визначник є многочленом від змінної x, тобто = (x). З’ясуємо степінь цього многочлена. Серед елементів визначника два елементи є многочленами від x степеня 2, решта елементів – многочлени степеня 0. Зрозуміло, що максимальний степінь змінної x можна одержати лише в добутках, серед співмножників яких є два многочлена степеня 2. Таки добутки існують, наприклад, добуток елементів побічної діагоналі. Добуток елементів побічної діагоналі має вигляд 2(5-x2)1(4-x2) = 2(5-x2)(4-x2), тобто є многочленом від x степеня 4. Таким чином, степінь многочлена = (x) дорівнює 4. Знаходимо корені цього многочлена. Неважко бачити, що перший і другий рядки співпадають, якщо 5-x2 =1. Звідси x2 = 4, x = 2. Таким чином, при x = 2 і x = -2 визначник дорівнює нулю, а тому x1 = 2 і x2 = -2 – корені многочлена (x). Аналогічно, третій і четвертий рядки визначника співпадають, якщо 4-x2 = 3. Звідси x2 = 1, x = 1. Таким чином, x3 = 1 і x4 = -1. – також корені (x). Для многочлена (x) степеня 4 відомі корені x1 = 2, x2 = -2, x3 = 1 x4 = -1. Звідси (x) = a(x-2)(x+2)(x-1)(x+1) = a(x2-4)( x2-1), де a – старший коефіцієнт. Для знаходження числа a шукаємо всі добутки, яки є многочленами від x степеня 4. Як сказано вище, співмножниками такого добутку є многочлени 5-x2 і 4-x2, тобто елементи визначника, що стоять на місцях (2,3) и (4,1). За правилом будування добутків для визначника, до такого добутку входять співмножники, що знаходяться або на місцях (1,2) і (3,4), або на місцях (1,4) и (3,2). Таким чином, існують два добутки, яки є многочленами степеня 4. Перший добуток має вигляд d1= 3(5-x2)4(4-x2) = 12(x4-9x2+20) = 12x4-108x2+240; другий добуток d2= 2(5-x2)1(4-x2) = 2(x4-9x2+20) = 2x4-18x2+40. З’ясуємо знаки, з якими ці добутки входять до визначника. До добутку d1 входять елементи, що стоять на місцях (1,2), (2,3), (3,4), (4,1). Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 2, 3, 4, 1. В цій перестановці 3 інверсії, перестановка непарна, знак при добутку . До добутку d2 входять елементи, що знаходяться на місцях (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Після упорядкування співмножників за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 4, 3, 2, 1. В перестановці 6 інверсій, перестановка парна, знак при добутку +. Знайдемо сумарний коефіцієнт при x4 в добутках d1 і d2. У добутку d1 коефіцієнт при x4 дорівнює 12, знак при добутку , у добутку d2. коефіцієнт при x4 дорівнює 2, знак при добутку +. Тому сумарний коефіцієнт при x4: a = -12+2=-10, а тому,

= (x) = -10(x2-4)(x2-1).

У деяких випадках корені многочлена = (x) можна знайти, користуючись перетвореннями визначника.

Приклад 14. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Визначник є многочленом від змінної x, тобто = (x). Добуток елементів побічної діагоналі дорівнює x4. Оскільки порядок визначника дорівнює 4, а всі його елементи є многочленами від x степеня 1 або 0, то добутків, які є многочленами від x степеня, більшого 4, не існує, а тому визначник = (x) є многочленом від x степеня 4. Для знаходження коренів цього многочлена додамо до першого стовпчика визначника суму всіх інших стовпчиків. Одержуємо

= .

Зрозуміло, що при = 0, тобто при x = -a-b-c, перший стовпчик визначника нульовий, а тому = 0. Це означає, що x1 = -a-b-c – корінь многочлена (x). Далі повернемось до початкового визначника, додамо до першого стовпчика другій стовпчик і віднімемо суму третього і четвертого:

= .

Зрозуміло, що при a+b-c-x=0, тобто при x = a+b-c, визначник дорівнює 0, тому x2 = a+b-c – корінь многочлена (x). Далі, аналогічно, у початковому визначнику до першого стовпчика додамо третій і віднімемо суму другого та четвертого:

= .

При a+c-b-x = 0, тобто x=a+c-b, перший стовпчик нульовий, а тому = 0. Це означає, що x3=a+c-b – корінь (x). Нарешті до першого стовпчика початкового визначника додамо четвертий і віднімемо суму другого та третього

= .

При b+c-a-x = 0, тобто x=b+c-a, перший стовпчик нульовий, а тому = 0. Звідси x4=b+c-a – корінь (x).

Таким чином, для многочлена (x) степеня 4одержано 4 кореня: x1 = -a-b-c, x2 = a+b-c, x3=a+c-b, x4=b+c-a.

Елементи визначника = (x) є многочленами від x степеня 1 або 0, причому многочленами степеня 1 є лише чотири елементи, що знаходяться на побічній діагоналі. Тому серед всіх добутків, з яких складається визначник , лише добуток елементів побічної діагоналі є многочленом степеня 4. Цей добуток дорівнює x4. Елементи, що складають цей добуток, знаходяться на місцях (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). Після упорядкування співмножників добутку за першим індексом другі індекси утворюють перестановку 4,3,2,1. В перестановці 6 інверсій, перестановка парна, знак при добутку +. Таким чином, оскільки у добутку елементів побічної діагоналі коефіцієнт при x4 дорівнює 1, то старший коефіцієнт многочлена (x) дорівнює 1 і

= (x) = (x+a+b+c)(x-a-b+c)(x-a-c+b)(x-b-c+a).

Задачі для самостійного розв’язування.

Обчислити визначники методом виділення лінійних множників

1.   

2.   

3.   

4.   

5.   

3. Метод розкладу визначника в суму визначників

В основі методу знаходиться властивість 6 визначників. Якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою двох рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму двох визначників. Наприклад, нехай у визначнику i–й рядок є сумою двох рядків, тоді виконується

=  +

Аналогічно, якщо деякий рядок (стовпчик) визначника є сумою k рядків (стовпчиків), то визначник можна розкласти за даним рядком (стовпчиком) в суму k визначників.

В деяких випадках визначник можна розкласти в суму двох або більшого числа визначників, яки неважко обчислити.

Приклад 15. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n+1 (у першому стовпчику n+1 елементів). Елемент визначника , що знаходиться на місці (1,1) можна подати в вигляді 0=-1+1, тобто

= .

Тоді перший рядок визначника можна розкласти в суму двох рядків (для зручності рядок визначника запишемо у вигляді вектора):

(-1+1,1,1,...,1,1) = (-1,0,0,0,...,0,0) + (1,1,1,1,...,1,1).

За першим рядком визначник можна розкласти в суму двох визначників

= 1+2 =  + .

Перший визначник 1 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі:

1 =  = (-1)234...(n+1) = -(n+1)!

Другий визначник

2 =

можна звести до трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Для цього від другого рядка визначника віднімемо перший

2 =.

Далі від третього рядка віднімемо перший, помножений на 2, від четвертого віднімемо перший, помножений на 3, і, нарешті, від останнього віднімемо перший, помножений на n.

2 =.

Одержуємо визначник трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Таким чином, 2=11...1 = 1 і, остаточно,

 = 1+2 = 1-(n+1)!

Приклад 16. Обчислити методом розкладу в суму визначників визначник з прикладу 9.

= .

Розв’язування. Порядок визначника дорівнює n. Перший рядок визначника можна розкласти в суму двох рядків (для зручності рядки будемо записувати у вигляді векторів):

 (x+1,x,x,…,x) = (x,x,x,…,x) + (1,0,0,…,0).

Аналогічно, в суму двох рядків можна розкласти решту рядків:

 (x,x+2,x,…,x) = (x,x,x,…,x) + (0,2,0,…,0),

 (x,x,x+3,…,x) = (x,x,x,…,x) + (0,0,3,…,0),

...............................................................................................

 (x,x,x,…,x +n) = (x,x,x,…,x) + (0,0,0,…,n).

Таким чином, за першим рядком визначник можна розкласти в суму двох визначників:

=  + .

Далі кожний з двох одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників:

=  + +

+  + .

Кожний з одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за 3-м рядком і т.д. На кожному кроці число доданків збільшується в два рази. В результаті, після розкладу в суму послідовно за всіма рядками, одержуємо суму 2n визначників.

Рядки, в суму яких розкладається рядок даного визначника, можна умовно поділити на два типи. Рядком першого типу будемо вважати рядок (x,x,x,…,x). Рядками другого типу будемо вважати рядки (1,0,0,…,0),(0,2,0,…,0), (0,0,3,…,0),...,(0,0,0,…,n). Після остаточного розкладу визначника за всіма рядками кожен з одержаних визначників складається лише з рядків першого та другого типів. Рядком першого типу є рядок (x,x,x,…,x). Тому, якщо у визначнику є принаймні два рядки першого типу, то у цьому визначнику є принаймні два однакових рядки, і цей визначник дорівнює нулю. Таким чином, для обчислення визначника достатньо з суми 2n визначників взяти лише суму ненульових визначників. Ненульовими є визначники, які або не мають рядків першого типу, або мають лише один такий рядок. Якщо у визначнику немає рядка першого типу, то всі його рядки є рядками другого типу. Існує лише один такий визначник

0 = .

Якщо лише один рядок визначника є рядком першого типу, то решта n-1 рядків є рядками другого типу. У такому визначнику рядок першого типу може стояти на будь-якому місці, тобто бути першим рядком, другим і т.д. Тому існує n таких визначників

1 = , 2 = , 3 = , ...,

n = .

Таким чином,

= 0+1+2+3+...+n.

визначник 0 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому

0 = = 12n = n!

Обчислімо визначник i при і 1.

i = .

У визначнику i рядок першого типу знаходиться на і-му місці. У і-му стовпчику визначника i є лише один ненульовий елемент x, який знаходиться в і-му рядку. Розкладемо визначник i за елементами і-го стовпчика:

i =(-1)i+ix= (-1)2ix12(i-1)(i+1)n =

=x12(i-1)(i+1)n =n!.

Таким чином,

1 = n! = xn!; 2 = n!; 3 = n!;...; n = n!.

Остаточно,

= 0+1+2+3+...+n = n! + x n! + n! + n! +...+ n! =

= n!().

Приклад 17. Обчислити визначник

=

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, на головної діагоналі n елементів). Діагональні елементи визначника можна подати у вигляді

 xi = xi-aibi + aibi; i = 1,2,…,n.

Тобто

= .

Розкладемо перший рядок визначника в сумі двох рядків:

(x1,a1b2, a1b3,…, a1bn) = (x1-a1b1+ a1b1,a1b2, a1b3,…, a1bn) =

= (a1b1,a1b2, a1b3,…, a1bn) + (x1-a1b1,0, 0,…, 0).

Аналогічно, в суму двох рядків розкладемо решту рядків:

(a2b1, x2,a2b3,…, a2bn) = (a2b1,x2-a2b2+ a2b2, a2b3,…, a2bn) =

= (a2b1,a2b2, a2b3,…, a2bn) + (0,x2-a2b2,0,…, 0).

(a3b1, a3b2, x3,…, a3bn) = (a3b1,a3b2, x3-a3b3+ a3b3, …, a3bn) =

= (a3b1,a3b2, a3b3,…, a3bn) + (0,0,x3-a3b3,…, 0).

..................................................................................................

(anb1, anb2, anb3,…, xn) = (anb1,anb2,anb3, …, xn-anbn+ anbn) =

= (anb1,anb2, anb3,…, anbn) + (0,0,0,…, xn-anbn).

За першим рядком визначник розкладемо в суму двох визначників:

= .+

+ .

Далі кожен з одержаних визначників розкладемо в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників:

= .+

+  +

+  +

+.

Кожний з одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за 3-м рядком і т.д. На кожному кроці число доданків збільшується в два рази. Після розкладу в суму послідовно за всіма рядками одержуємо суму 2n визначників.

Рядки, в суму яких розкладається даний рядок початкового визначника, поділимо на два типи. Рядками першого типу будемо вважати рядки (a1b1,a1b2, a1b3,…, a1bn), (a2b1,a2b2, a2b3,…, a2bn), (a3b1, a3b2, a3b3,…, a3bn),..., (anb1,anb2, anb3,…, anbn). Рядки другого типу – це рядки (x1-a1b1,0, 0,…, 0), (0,x2-a2b2,0,…, 0), (0,0,x3-a3b3,…, 0),..., (0,0,0,…, xn-anbn). Після розкладу визначника в суму послідовно за всіма рядками одержуємо суму визначників, які мають лише рядки першого та другого типів. Неважко переконатись в тому, що рядки першого типу пропорційні. Тому визначник, який має принаймні два рядки першого типу, дорівнює нулю. Для того, щоб знайти величину визначника , достатньо взяти лишу суму ненульових визначників. У кожному з таких визначників не більше одного рядка першого типу. Якщо визначник не має рядків першого типу, то всі його рядки другого типу і визначник має вигляд

0= .

Якщо у визначнику єдиний рядок першого типу, то решта рядків є рядками другого типу. Рядок першого типу у такому визначнику може бути на першому місці, на другому і т.д. Тому існує n таких визначників:

1= ,

2= ,

3= ,

................................................................................

n= .

Таким чином,

= 0+1+2+3+...+n.

Визначник 0 є визначником трикутного вигляду відносно головної діагоналі. Тому

0= = (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)… (xn-anbn).

Обчислимо визначник i  при і  1.

і = .

Розкладемо визначник і на за елементами і-го стовпчика:

і = (-1)і+iaіbі   =

= (-1)2і aіbі (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xі-1-aі-1bі-1) (xі+1-aі+1bі+1)…(xn-anbn) =

= aіbі (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xі-1-aі-1bі-1) (xі+1-aі+1bі+1)…(xn-anbn).

Одержуємо

= 0+1+2+3+...+n = (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)… (xn-anbn) +

+ a1b1 (x2-a2b2)(x3-a3b3)...(xn-anbn) + a2b2 (x1-a1b1)(x3-a3b3)...(xn-anbn) + 

+ a3b3 (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x4-a4b4)...(xn-anbn) +...+ anbn (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)…(xn-1-an-1bn-1) = = (x1-a1b1)(x2-a2b2)(x3-a3b3)…(xn-anbn) .

Приклад 18. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n. Розкладемо кожний рядок визначника в суму двох рядків:

(a1-x1y1, a1-x1y2, a1-x1y3,…,a1-x1yn) = (a1, a1, a1,…,a1) + (-x1y1,-x1y2,-x1y3,…,-x1yn)

(a2-x2y1, a2-x2y2, a2-x2y3,…,a2-x2yn) = (a2, a2, a2,…,a2) + (-x2y1,-x2y2,-x2y3,…,-x2yn)

(a3-x3y1, a3-x3y2, a3-x3y3,…,a3-x3yn) = (a3, a3, a3,…,a3) + (-x3y1,-x3y2,-x3y3,…,-x3yn)

………………………………………………………………………………………

(an-xny1, an-xny2, an-xny3,…,an-xnyn) = (an, an, an,…,an) + (-xny1,-xny2,-xny3,…,-xnyn).

Розкладемо визначник в суму двох визначників за другим рядком:

= +

+ .

Далі кожен з двох одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників:

= +

+  +

+ +

+ .

Кожний з одержаних визначників можна розкласти в суму двох визначників за 3-м рядком і т.д. Після розкладу в суму послідовно за всіма рядками одержуємо 2n визначників.

Рядки, в суму яких розкладаються рядки початкового визначника, умовно поділимо на два типи. Рядками першого типу будемо вважати рядки (a1, a1, a1,…,a1), (a2, a2, a2,…,a2), (a3, a3, a3,…,a3),..., (an, an, an,…,an). Рядками другого типу будемо вважати рядки (-x1y1,-x1y2,     -x1y3,…,-x1yn), (-x2y1,-x2y2,-x2y3,…,-x2yn), (-x3y1,-x3y2,-x3y3,…,-x3yn),...,(-xny1,-xny2,-xny3,…,-xnyn). Після розкладу визначника в суму 2n визначників кожен з цих визначників складається з рядків або першого, або другого типу. Але два рядки першого типу пропорційні, також пропорційні два рядки другого типу. При n3 кожен з одержаних визначників має принаймні два рядки одного типу, тобто пропорційні рядки. Це означає, що при n3 кожен з 2n визначників, в суму яких розкладається початковий визначник, дорівнює нулю, а тому =0.

Залишається розглянути випадки n = 1, n = 2.

При n = 1 = a1-x1y1.

При n = 2 розкладемо визначник в суму двох визначників за першим рядком

=  =  + .

Кожен з одержаних визначників розкладемо в суму двох визначників за другим рядком. Одержуємо суму чотирьох визначників.

=  +  +  + .

Серед одержаних чотирьох визначників перший і останній дорівнюють нулю, оскільки мають пропорційні рядки, тому

= + .

Виносимо множники з рядків визначників:

= -a1x2  x1a2 = -a1x2 (y2-y1) -x1a2 (y1-y2) =

 = a1x2 (y1-y2) -x1a2 (y1-y2) = (y1-y2) (a1x2 -x1a2).

Задачі для самостійного розв’язування.

Обчислити визначники методом розкладу в суму.

1.   

2.  

3.   

4.   

5.   

6.  

7.  

4. Зведення визначників до визначника Вандермонда

Визначником Вандермонда порядку n називається визначник вигляду

n = .

Як відомо,

n = . = .

Розглянемо приклади зведення визначників до визначника Вандермонда.

Приклад 19. Обчислити визначник

=.

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (наприклад, у другому рядку n елементів). Додамо до другого рядка перший:

=.

Далі, в одержаному визначнику до третього рядка додамо другий:

==.

Аналогічно, до четвертого рядка додамо третій. В одержаному після цього визначнику до п’ятого рядка додамо четвертий і т.д. В результаті, після додавання до n-го рядка (n-1)-го одержуємо визначник

==.

Цей визначник є визначником Вандермонда порядку n, а тому

=  

Приклад 20. Обчислити визначник

=

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n +1 (у першому рядку n +1 елементів). Якщо всі рядки визначника записати у зворотному порядку, одержимо визначник Вандермонда порядку n +1. Для обчислення даного визначника будемо переставляти рядки. Як відомо, кожна перестановка двох рядків змінює знак визначника, що означає помноження визначника на –1. Спочатку будемо переставляти останній рядок визначника так, щоб винести його на перше місце і при цьому не міняти взаємне розміщення інших рядків. Для цього переставимо (n +1)-й рядок з n-м, знак визначника змінюється:

= (-1).

Далі, у цьому визначнику n-й рядок переставляється з (n -1)-м и т.д. В результаті, після виконання n таких сусідніх перестановок рядків одержуємо

= (-1)n .

Далі, в одержаному визначнику переставляємо останній рядок так, щоб винести його на друге місце, не змінюючи взаємне розміщення інших рядків. Для цього потрібно n –1 сусідніх перестановок рядків, тобто

= (-1)n(-1)n-1 .

В одержаному визначнику, аналогічно, останній рядок переставляємо на 3 місце за допомогою n –2 сусідніх перестановок і т.д. Нарешті, на останньому кроці переставляємо два останніх рядки і одержуємо

= (-1)n(-1)n-1(-1)n-2…(-1)2(-1)1  =

  = (-1)n+(n-1)+(n-2)+…+2+1 =

= .

Одержаний визначник є визначником Вандермонда порядку n +1. Тому

=

Неважко бачити, що число співмножників у добутку дорівнює .

Дійсно,

= ....

У першому з цих добутків n співмножників, у другому n –1 співмножників і т.д. Число всіх співмножників дорівнює n+ (n –1) + (n –2) +...+ 2 + 1 = .

У кожному зі співмножників одержаного добутку міняємо знак, тобто помножаємо співмножник на –1. Остаточно одержуємо

=.

Приклад 21. Обчислити визначник

= .

Розв’язування. Зрозуміло, що порядок визначника дорівнює n (у кожному стовпчику n елементів). З рядків визначника будемо виносити множники так, щоб одержати визначник, всі елементи першого стовпчика якого рівні 1. Для цього з першого рядка виносимо множник , з другого рядка  множник , нарешті, з останнього рядка  множник .

= ...  =  =

= .

Далі, з другого стовпчика одержаного визначника віднімемо перший:

=.

З третього стовпчика визначника віднімемо другий:

=.

Далі, з четвертого стовпчика визначника віднімемо третій і т.д. Нарешті, з останнього n-го стовпчика віднімаємо (n-1)-й стовпчик. Одержуємо визначник Вандермонда:

=.

Таким чином,

  =.

Задачі для самостійного розв’язування.

Обчислити визначник методом зведення до визначника Вандермонда

1.   

2.   

3.  

4.  

5.  

6.  

Список літератури

  1.  Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М., 1965.
  2.  Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре. – М., 1984.
  3.  Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М., 1977.

26


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

72839. Нормирование ЭМП. Защита от воздействия электромагнитных полей 67 KB
  Различные виды неионизирующих излучений электромагнитных полей ЭМП оказывают разное физиологическое воздействие. В связи со всё большим распространением источников ЭМП в быту СВЧ микроволновые печи мобильные телефоны телерадиовещание и на производстве оборудование ТВЧ радиосвязь...
72840. Техногенные источники электромагнитных полей. Электростатические поля. Биологическое действие электромагнитных полей 62 KB
  Однако за последние 50-60 лет возник и сформировался новый значимый фактор окружающей среды – ЭМП антропогенного происхождения или электромагнитный смог. Его создают 2 большие группы искусственных источников: изделия которые специально создавались для излучения электромагнитной энергии...
72841. Воздействие вредных веществ на организм человека в условиях производства. Системы промышленной вентиляции и кондиционирования 66 KB
  Вредные вещества могут проникать в организм человека через органы дыхания органы пищеварения а также кожу и слизистые оболочки. Через дыхательные пути попадают пары газо и пылеобразные вещества через кожу -– преимущественно жидкие вещества.
72843. Промышленные источники вибраций. Биологическое действие вибраций. Нормирование вибраций 61 KB
  Вибрация - это механическое колебательное движение системы с упругими связями; движение точки или механической системы, при котором происходит поочередное возрастание и убывание во времени значений по крайней мере одной координаты.
72844. Инфразвук. Средства защиты от инфразвука 58.5 KB
  Снижение неблагоприятного воздействия инфразвука достигается комплексом инженерно-технических и медицинских мероприятий основными из которых являются: устранение причин генерации инфразвука в источнике образования повышение жесткости конструкций больших размеров устранение...
72846. Классификация энергетических загрязнений. Естественный фон. Понятие о шумах. Источники шума естественного и техногенного происхождения. Биологическое действие шумов. Нормирование шумов 64 KB
  В окружающую среду поступают энергетические загрязнения в виде шума вибрации электромагнитных долей радиоактивных излучений. Источники: Источники шума в окружающей человека среде могут быть разбиты на две большие группы: внешние и внутренние.
72847. Смог (восстановительный и окислительный). Условия образования смога и методы борьбы с ним 62 KB
  Именно жители английской столицы первыми столкнулись с проблемами связанными с загрязнением городского воздуха. Загрязнение воздуха могут вызывать и входящие в состав топлива примеси в первую очередь соединения серы.