2298

Математична обробка даних експерименту. Парна регресія

Лекция

Математика и математический анализ

Постановка задачі. Парна регресія. Лінійна парна регресія. Лінеаризація деяких видів двопараметричних зв’язків. Метод найменших квадратів (МНК). Алгоритм МНК. Приклад розв’язування задачі в середовищі системи Mathcad.

Украинкский

2013-01-06

74.68 KB

72 чел.

Лекція 13. Математична обробка даних експерименту. Парна регресія

План

1. Постановка задачі. Парна регресія.

2. Лінійна парна регресія.

3. Лінеаризація деяких видів двопараметричних зв’язків.

4. Метод найменших квадратів (МНК).

5. Алгоритм МНК.

6. Приклад розв’язування задачі в середовищі системи Mathcad.

1. Постановка задачі. Парна регресія

В практичній діяльності при проведенні досліджень виникає необхідність в математичній обробці результатів експерименту. Для цього використовують кореляційний та регресійний аналіз.

Кореляція (співвідношення, відповідність) – залежність між явищами або величинами, що не мають чіткого функціонального зв’язку.

Регресія (повернення) – ймовірнісна залежність середнього значення якоїсь величини від іншої величини.

При застосуванні регресійного аналізу можна використовувати два види регресій:

  1.  парна регресія – характеризує взаємозв’язок двох множин {xi} та {yi}, тобто одному значенню множини {yi} відповідає тільки одне значення множини {xi};
  2.  множинна регресія – характеризує взаємозв’язок більш, ніж двох множин, тобто одному значенню множини {yi} може відповідати два і більше значень множин {xi(k)}.

Розглянемо парну регресійну залежність результатів експерименту (таблиця 1)

 Результати експерименту

      Таблиця 1

X

x1

x2

x3

xn

Y

y1

y2

y3

yn

Нехай змінні множин X та Y зв’язані між собою деякою функціональною залежністю

y=f(a,b,x). (1)

Якщо на координатній площині x0y відкласти точки з координатами (xi, yi), то отримаємо поле розсіювання, яке може дати наочне представлення про силу тісноти зв’язку та його тип (прямолінійний чи криволінійний) між X та Y.

Математична обробка експериментальних даних (таблиця 1) з допомогою кореляційного та регресійного аналізу проводиться за таким алгоритмом:

1) будують поле розсіювання (на координатній площині x0y відкладають точки з координатами (xi, yi) і з’єднують їх ламаною лінією);

2) вибирають емпіричну формулу (1) користуючись виглядом ламаної лінії;

3) при необхідності лінеаризують формулу (1);

4) визначають параметри a і b формули (1);

5) аналізують результати експерименту.

2. Лінійна парна регресія

Найпростішою залежністю між двома послідовностями є лінійна парна регресія. У цьому випадку рівняння регресії матиме вигляд   (2)

Про тісноту зв’язку між множинами X та Y може свідчити коефіцієнт кореляції r, який приймає значення з інтервалу [-1; 1]:

1)  – зв’язок відсутній;

2) – зв’язок слабкий;

3)  – зв’язок середній;

4)  – зв’язок сильний;

5)  – зв’язок повний.

Якщо , то зв’язок між множинами X та Y прямий, тобто при зростанні X зростають Y; якщо , то зв’язок між множинами X та Y обернений, тобто при зростанні X спадають Y.

3. Лінеаризація деяких видів двопараметричних зв’язків

На практиці дуже часто зв’язок між множинами X та Y носить нелінійний (криволінійний) характер. У більшості випадків за допомогою простих перетворень можна звести нелінійну залежність до лінійної, тобто провести лінеаризацію. Наведемо приклади лінеаризації найбільш часто вживаних нелінійних функцій (табл. 2).

         Таблиця 2

з/п

Функція

Лінеаризуючі перетворення

перетворення змінних

вирази для

коефіцієнтів

y=f(a,b,x)

1

2

3

4

5

6

4. Метод найменших квадратів (МНК)

Лінійний парний регресійний аналіз полягає у визначенні параметрів a і b емпіричної лінійної функції (2), яка описує зв’язок між деяким числом N пар значень (xi, yi) і забезпечує найменшу середньоквадратичну похибку.

Графічно цю задачу можна представити так: у полі розсіювання точок (xi, yi) площини x0y необхідно провести пряму так, щоб величина всіх відхилень задовольняла умову

(3)

Тому цей метод регресійного аналізу називається методом найменших квадратів (МНК).

Для знаходження коефіцієнтів a і b рівняння регресії (2) необхідно знайти часткові похідні по a і b від функції (3) і прирівняти їх до нуля:

(4)

Після простих перетворень отримаємо систему нормальних рівнянь

(5)

Коли розв’яжемо систему (5), то отримаємо коефіцієнти a і b рівняння регресії (2).

Зауваження. На практиці коефіцієнти a і b частіше знаходять з використанням коефіцієнтів кореляції та коваріації.

5. Алгоритм МНК

Алгоритм МНК складається з дев’яти етапів:

  1.  знаходимо середні значення масивів X та Y:
  2.  знаходимо середньоквадратичні вибіркові відхилення:

  1.  знаходимо коефіцієнт коваріації:

  1.  знаходимо коефіцієнт кореляції:

  1.  знаходимо коефіцієнти рівняння регресії:

  1.  знаходимо теоретичні значення змінної Y:

  1.  знаходимо середньоквадратичне відхилення між експери-менттальними та теоретичними значеннями змінної Y:

  1.  знаходимо рівняння ліній смуги довір’я:

  1.  знаходимо інтервал смуги довіря:  

6. Приклад розв’язування задачі в середовищі Mathcad

В таблицю занесені дані експерименту:

x

0

1

2

3

4

5

6

y

4.1

2.4

3

4.3

3.6

5.2

5.9

Побудувати апроксимаційний поліном 1-го степеня . Побудувати в одному графічному вікні графіки заданої дискретної функції і графік отриманої функції .

Завдання виконати в середовищі MathCad.

Розв’язання

 Функції MathCad, які використовуються при розрахунках лінійної регресії:

  1.  line(x,y)вектор із двох елементів (b,a) коефіцієнтів рівняння лінійної регресії
  2.  intercept(x,y) – коефіцієнт b рівняння лінійної регресії
  3.  slope(x,y) - коефіцієнт a рівняння лінійної регресії

Тут x –вектор дійсних даних аргументу, y – вектор дійсних даних функції того ж розміру.

В системі MathCad є два дублюючих один одного способи для розрахунку лінійної регресії.

1-й спосіб.

Рівняння лінійної регресії 

має такий вид:

y=0.414x+2.829

2-й спосіб.

Рівняння лінійної регресії 

має такий вид:

y=0.414x+2.829


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

62148. Интонация, тема волка, охотников, дедушки, мальчика Пети 28.7 KB
  Волк пытается освободиться но Петя привязывает другой конец верёвки к дереву и петля затягивается на хвосте Волка ещё туже. Текст песни Настоящий друг Дружба крепкая не сломается Не расклеится от дождей и вьюг.
62151. Имя существительное 31.37 KB
  Имя существительное одна из сложнейших грамматико-орфографических тем. Результатом 2 этапа работы стал проект урока русского языка обобщение повторение и систематизация знаний учащихся по одной з трудных грамматико-орфографических тем в 3 классе по теме Имя существительное.
62154. Простые задачи на сложение и вычитание 15.29 KB
  Решая задачи учся приобретают новые математические знания готовятся к практической деятельности. Задачи способствуют развитию логического мышления. Поэтому важно чтобы учитель имел глубокие представления о текстовой задаче о её структуре умел решать задачи различными способами.