2298

Математична обробка даних експерименту. Парна регресія

Лекция

Математика и математический анализ

Постановка задачі. Парна регресія. Лінійна парна регресія. Лінеаризація деяких видів двопараметричних зв’язків. Метод найменших квадратів (МНК). Алгоритм МНК. Приклад розв’язування задачі в середовищі системи Mathcad.

Украинкский

2013-01-06

74.68 KB

74 чел.

Лекція 13. Математична обробка даних експерименту. Парна регресія

План

1. Постановка задачі. Парна регресія.

2. Лінійна парна регресія.

3. Лінеаризація деяких видів двопараметричних зв’язків.

4. Метод найменших квадратів (МНК).

5. Алгоритм МНК.

6. Приклад розв’язування задачі в середовищі системи Mathcad.

1. Постановка задачі. Парна регресія

В практичній діяльності при проведенні досліджень виникає необхідність в математичній обробці результатів експерименту. Для цього використовують кореляційний та регресійний аналіз.

Кореляція (співвідношення, відповідність) – залежність між явищами або величинами, що не мають чіткого функціонального зв’язку.

Регресія (повернення) – ймовірнісна залежність середнього значення якоїсь величини від іншої величини.

При застосуванні регресійного аналізу можна використовувати два види регресій:

  1.  парна регресія – характеризує взаємозв’язок двох множин {xi} та {yi}, тобто одному значенню множини {yi} відповідає тільки одне значення множини {xi};
  2.  множинна регресія – характеризує взаємозв’язок більш, ніж двох множин, тобто одному значенню множини {yi} може відповідати два і більше значень множин {xi(k)}.

Розглянемо парну регресійну залежність результатів експерименту (таблиця 1)

 Результати експерименту

      Таблиця 1

X

x1

x2

x3

xn

Y

y1

y2

y3

yn

Нехай змінні множин X та Y зв’язані між собою деякою функціональною залежністю

y=f(a,b,x). (1)

Якщо на координатній площині x0y відкласти точки з координатами (xi, yi), то отримаємо поле розсіювання, яке може дати наочне представлення про силу тісноти зв’язку та його тип (прямолінійний чи криволінійний) між X та Y.

Математична обробка експериментальних даних (таблиця 1) з допомогою кореляційного та регресійного аналізу проводиться за таким алгоритмом:

1) будують поле розсіювання (на координатній площині x0y відкладають точки з координатами (xi, yi) і з’єднують їх ламаною лінією);

2) вибирають емпіричну формулу (1) користуючись виглядом ламаної лінії;

3) при необхідності лінеаризують формулу (1);

4) визначають параметри a і b формули (1);

5) аналізують результати експерименту.

2. Лінійна парна регресія

Найпростішою залежністю між двома послідовностями є лінійна парна регресія. У цьому випадку рівняння регресії матиме вигляд   (2)

Про тісноту зв’язку між множинами X та Y може свідчити коефіцієнт кореляції r, який приймає значення з інтервалу [-1; 1]:

1)  – зв’язок відсутній;

2) – зв’язок слабкий;

3)  – зв’язок середній;

4)  – зв’язок сильний;

5)  – зв’язок повний.

Якщо , то зв’язок між множинами X та Y прямий, тобто при зростанні X зростають Y; якщо , то зв’язок між множинами X та Y обернений, тобто при зростанні X спадають Y.

3. Лінеаризація деяких видів двопараметричних зв’язків

На практиці дуже часто зв’язок між множинами X та Y носить нелінійний (криволінійний) характер. У більшості випадків за допомогою простих перетворень можна звести нелінійну залежність до лінійної, тобто провести лінеаризацію. Наведемо приклади лінеаризації найбільш часто вживаних нелінійних функцій (табл. 2).

         Таблиця 2

з/п

Функція

Лінеаризуючі перетворення

перетворення змінних

вирази для

коефіцієнтів

y=f(a,b,x)

1

2

3

4

5

6

4. Метод найменших квадратів (МНК)

Лінійний парний регресійний аналіз полягає у визначенні параметрів a і b емпіричної лінійної функції (2), яка описує зв’язок між деяким числом N пар значень (xi, yi) і забезпечує найменшу середньоквадратичну похибку.

Графічно цю задачу можна представити так: у полі розсіювання точок (xi, yi) площини x0y необхідно провести пряму так, щоб величина всіх відхилень задовольняла умову

(3)

Тому цей метод регресійного аналізу називається методом найменших квадратів (МНК).

Для знаходження коефіцієнтів a і b рівняння регресії (2) необхідно знайти часткові похідні по a і b від функції (3) і прирівняти їх до нуля:

(4)

Після простих перетворень отримаємо систему нормальних рівнянь

(5)

Коли розв’яжемо систему (5), то отримаємо коефіцієнти a і b рівняння регресії (2).

Зауваження. На практиці коефіцієнти a і b частіше знаходять з використанням коефіцієнтів кореляції та коваріації.

5. Алгоритм МНК

Алгоритм МНК складається з дев’яти етапів:

  1.  знаходимо середні значення масивів X та Y:
  2.  знаходимо середньоквадратичні вибіркові відхилення:

  1.  знаходимо коефіцієнт коваріації:

  1.  знаходимо коефіцієнт кореляції:

  1.  знаходимо коефіцієнти рівняння регресії:

  1.  знаходимо теоретичні значення змінної Y:

  1.  знаходимо середньоквадратичне відхилення між експери-менттальними та теоретичними значеннями змінної Y:

  1.  знаходимо рівняння ліній смуги довір’я:

  1.  знаходимо інтервал смуги довіря:  

6. Приклад розв’язування задачі в середовищі Mathcad

В таблицю занесені дані експерименту:

x

0

1

2

3

4

5

6

y

4.1

2.4

3

4.3

3.6

5.2

5.9

Побудувати апроксимаційний поліном 1-го степеня . Побудувати в одному графічному вікні графіки заданої дискретної функції і графік отриманої функції .

Завдання виконати в середовищі MathCad.

Розв’язання

 Функції MathCad, які використовуються при розрахунках лінійної регресії:

  1.  line(x,y)вектор із двох елементів (b,a) коефіцієнтів рівняння лінійної регресії
  2.  intercept(x,y) – коефіцієнт b рівняння лінійної регресії
  3.  slope(x,y) - коефіцієнт a рівняння лінійної регресії

Тут x –вектор дійсних даних аргументу, y – вектор дійсних даних функції того ж розміру.

В системі MathCad є два дублюючих один одного способи для розрахунку лінійної регресії.

1-й спосіб.

Рівняння лінійної регресії 

має такий вид:

y=0.414x+2.829

2-й спосіб.

Рівняння лінійної регресії 

має такий вид:

y=0.414x+2.829


 

А также другие работы, которые могут Вас заинтересовать

80204. Модулированные сигналы. Радиосигналы с аналоговыми видами модуляции 192.5 KB
  Модулированные сигналы Под модуляцией понимают процесс медленный по сравнению с периодом несущего колебания при котором один или несколько параметров несущего колебания изменяют по закону передаваемого сообщения. Получаемые в процессе модуляции колебания называют радиосигналами. В современных цифровых системах передачи информации широкое распространение получила квадратурная амплитуднофазовая или фазоамплитуд ная ФАМ; mplitude phse modultion...
80205. Аналіз ринкових можливостей 123.5 KB
  Аналіз ринкових можливостей План Маркетингові можливості фірми. Маркетингові можливості фірми Будьякій організації слід самій вміти виявляти ринкові можливості. Маркетингова можливість фірми це найбільш привабливий напрям зосередження маркетингових зусиль за допомогою яких конкретна фірма може досягти найбільших переваг. Ринкові можливості Маркетингові Мета можливості...
80206. Інформація в маркетинговій діяльності 97 KB
  Інформація в маркетинговій діяльності План Система маркетингової інформації Процес маркетингового дослідження Система маркетингової інформації Загальний маркетинговий цикл включає в себе: маркетингові дослідження; планування; організацію маркетингу і контроль маркетингової діяльності. Маркетингова інформаційна система Процес маркетингового дослідження Мета маркетингових досліджень полягає у звязку споживачів і виробників шляхом маркетингової інформації для досягнення мети підприємства і визначення шляхів оптимального використання його...
80207. Типи ринків і моделі поведінки споживачів 115 KB
  Процес прийняття рішення про купівлю Етапи сприймання товаруновинки Промисловий та споживчий ринки З погляду маркетингового управління розрізняють два основних типи ринків: споживчий і промисловий. Порівняльна характеристика споживчого і промислового ринків Характеристика Промисловий ринок Споживчий ринок Обсяг збуту Великий Невеликий Обсяг закупок Великий Невеликий Кількість споживачів Невелика Велика Прийняття рішення про закупку Багато людей Небагато Природа покупки Фахова Дилетантська Розміщення споживачів Географічно сконцентроване...
80208. Добір цільових ринків 69 KB
  Добір цільових ринків План Поняття сегментації Критерії ефективної сегментації Основні принципи сегментації ринків Стратегії охоплення ринку Позиціонування товарів Поняття сегментації Будьяка фірма усвідомлює що її товар не може подобатись одразу всім покупцям. В останньому випадку слід зосередитися на частині ринку або сегментах. При сегментації ринку розрізнення а точніше виділення споживачів має відбуватися на основі вияву суттєвих значущих з погляду фірми різниць між групами споживачів при чому таких різниць які справляють...
80209. Основи товарної політики компанії 139.5 KB
  Товар product комбінація власне товару і обслуговування що компанія пропонує цільовому ринку дизайн позиція на ринку виробнича лінія довжина і глибина марки упаковка гарантії сервісне обслуговування і т. Ціна price визначає кількість грошей що повинні сплатити покупці щоб одержати товар ціна виробника оптовика роздрібного торговця; політика знижок і їхня структура; умови контрактів; цінова політика залежно від собівартості від ситуації на ринку від корисності товару; цінова політика загарбницька очікувальна тощо....
80210. Стратегія збуту і просування товарів 111.5 KB
  Стратегія збуту і просування товарів План Розподіл товару. Реклама Методи стимулювання збуту і пропаганда Особистий продаж і прямий маркетинг Просування товарів і правовий захист споживачів Розподіл товару. Поняття про канали розподілу Розповсюдження товарів на ринку має два елементи: Розподіл товару передача права власності від виробника до споживача. Товарорух фізичне розповсюдження товару.
80211. Маркетинговий менеджмент 120 KB
  Стратегічне планування в маркетингу. Організація відділів маркетингу. Стратегічне планування в маркетингу Раніше ми визначили що згідно з концепцією маркетингу єдиним способом досягнення корпоративних цілей щодо обороту прибутку доходу на інвестиції тощо є задоволення потреб споживачів. Маркетингу як функції менеджменту належить у цьому процесі особлива роль задавати координати іншим стратегічним напрямам діяльності фірми: управління фінансами виробництвом матеріальнотехнічним забезпеченням персоналом.
80212. Загальне поняття маркетингу 99 KB
  Загальне поняття маркетингу План Причини появи і розвитку маркетингу. Сутність маркетингу. Базові поняття маркетингу. Причини появи і розвитку маркетингу Серед понять що стали ознакою сучасного бізнесу особливе місце займає маркетинг.